Текст книги "Теория понятий. Технология семантического мышления"

Теория понятий
Технология семантического мышления
Vict

© Vict, 2017

ISBN 978-5-4485-4976-2

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

СЕМАНТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ, ТЕОРИИ И АЛГОРИТМЫ

[email protected]

Понятие есть «… высший продукт мозга,

высшего продукта материи».

Ленин В. И., ПСС, т.29, с. 149

Аннотация

Основоположником теории понятий является Иммануил Кант. В работе «критика чистого разума» он сформулировал основные понятия теории понятий; в качестве концепции теории понятий он провозгласил: «Sapere aude! – имей мужество пользоваться собственным умом! – таков девиз Просвещения». Кантор предложил формализацию рассматриваемых в математике понятий. Теория семантических понятий использует мышление для единения элементов совокупностей элементов в формальных определениях Кантора и разрабатывает алгоритмический мета-язык ALEPH, представляющий теорию семантических понятий. Формы системы GOGGLECHROM почти идеально подходят для представления семантических понятий мета-языка ALEPH. GOOGLE (Семантические понятия, теории и алгоритмы).

1. Введение

Теория семантических понятий основана на использовании мышления для осуществления единения элементов, упомянутого в определении понятия множества Кантора. Естественно, теория понятий не исключает и других использований мышления, например, для выяснения степени истинности или даже гениальности утверждений. Для теории понятий интерес представляет технология мышления поскольку, как представляется, вся математика и многие другие (если не все) дисциплины и науки основаны на мышлении. Все проблемы естественного интеллекта от возникновения и до разрешения включительно определяются мышлением. Мышление необходимо даже и в быту буквально на каждом магу. Теория понятий – занимается технологией мышления. Для использования теории понятий никакие дополнительные знания не требуются, достаточно мышления. Теория семантических понятий рассматривает мышление в качестве предмета исследования, изучения и применения Проблематика технологии мышления стала особенно актуальной в самое последнее время в связи с работами по искусственному интеллекту. Если ещё недавно естественный интеллект интересовался могут ли машины мыслить, то теперь на повестку дня у симбиоза естественного и искусственного интеллекта, выходит вопрос, а достаточно ли адекватно мыслит естественный интеллект. К сожалению, мышление естественного интеллекта чревато ошибками, особенно семантическими. Искусственному интеллекту это грозит в гораздо меньшей степени. Поскольку машина не мыслит, но может скрупулёзно понимать и исполнять то, что намыслено естественным интеллектом.

Их симбиоз себя оправдывает.

Уважаемый читатель или читательница, если Вы по роду своей деятельности используете некую систему понятий или быть может даже аксиоматическую математику Рассела, Цермело —Френкеля и они Вас вполне устраивают, то читать далее предлагаемую работу нет никакого смысла. Но если Вам требуется рассматривать различные предметы созерцания и предметы мышления не исключая и свои собственные, и если Вам желательно понимать хотя бы свои собственные понятия и утверждения, то использование наивной теории множеств Георга Кантора и её семантического варианта, представляемого предлагаемой работой может оказаться не бесполезным.

Теория понятий представляет технологию работы с семантическими понятиями и с семантическими определениями.

Информатика есть одна из возможных формальных семантических теорий теории понятий.

2. Философия мышления

Старая докантовская философия вообще оказалась не способной заглянуть в те бездны, которые открылись кенигсбергскому философу:

Я не уклонился от поставленных человеческим разумом вопросов, оправдываясь его неспособностью [решить их]; я определил специфику этих вопросов сообразно принципам и, обнаружив пункт разногласия разума с самим собой, дал вполне удовлетворительное решение их. Правда, ответ на эти вопросы получился не такой, какого ожидала, быть может, догматически-мечтательная любознательность; ее могло бы удовлетворить только волшебство, в котором я не сведущ. К тому же и естественное назначение нашего разума исключает такую цель, и долг философии состоял в том, чтобы уничтожить иллюзии, возникшие из-за ложных толкований, хотя бы ценой утраты многих – признанных и излюбленных фикций. В этом исследовании я особенно постарался быть обстоятельным и смею утверждать, что нет ни одной метафизической задачи, которая бы не была здесь разрешена или для решения которой не был бы здесь дан, по крайней мере, ключ.

Предметом философии отныне, согласно Канту, становится область чистого (то есть независимого от опыта) разума. И далее начинается пиршество мысли. Как ученого, сделавшего, кстати, немало в области конкретных наук (достаточно вспомнить, что он одним из первых дал правильное объяснение морских приливов и отливов под воздействием притяжения Луны, разработал оригинальную гипотезу происхождения Солнечной системы и т. д.), Канта интересует, прежде всего, вопрос: как возможны в принципе такие науки, как математика, естествознание и философия. Но как философ он ставит вопрос еще шире: откуда вообще берется всякое знание, содержащее истины, и как оно формируется на основе первичных и ненадежных чувственных данных.

Скрупулезному обоснованию видения данной проблемы и посвящены почти 700 страниц текста «Критики чистого разума». Кант шаг за шагом проводит изумленного читателя над бездной неизведанного. Показывает, как на фундаменте чувственных первоощущений пространства и времени возникают простые и сложные понятия, которыми оперирует человек в своей повседневной жизни. Среди них научные идеи и категории, находящиеся в диалектической субординации. Понятийный синтез, точно в химической реторте, целиком и полностью свершается в нашем сознании. Кант поименовал этот жизненно, важный и таинственный даже для него самого акт превращения простого в сложное – трансцендентальной апперцепцией, положив тем самым начало не слишком отрадной традиции – облекать свои мысли и выводы в трудно постижимые и неудобоваримые категории, чем так прославилась классическая немецкая философия. Логически безупречно Кант подводит читателя и к парадоксальному выводу: любые законы – природы в том числе – находятся в нас самих: «… Рассудок не черпает свои законы (a priori) из природы, а предписывает их ей».

Этот парадоксальный вывод представляет собой философское определение понятия смысла, определение семантики в теории понятий.

И вообще теория понятий очень (но не чрезмерно) парадоксальная дисциплина. Так в теории понятий определяются в принципе не определяемые (в явном виде) сущности, которые в традиционной логике и в быту всего лишь подразумеваются и именуются аксиомами. Одно определение может определять множество сушностей. (Так единственное определение треугольника, например, определяет всё множество треугольников и кроме того определяет ещё и совокупность плоскостей, на которых они находится. Не исключается, что на одной плоскости может находиться несколько треугольников) Существуют несуществующие (но, правда, определённые) сущности. Определяеые сущности в теории понятий могут быть недоопределёнными В теории понятий они считаются существующими. Истины в теории понятий могут быть не очень истинными (и это не противоречие). Не всякая определённая сущность оказывается существующей и т. д. и т. п. Понимание утверждений в теории понятий не тривиально (но возможно). Понимать семантическую теорию понятий способен только естественный интеллект, правда не всякий. Некоторые семантические утверждения понимать нет смысла. А некоторые весьма парадоксальные утверждения могут иметь смысл. В теории понятий не исключено даже, что, например, отношение 13↔13 является вполне осмысленным если, например, одно число 13 является числом в десятичной системе счисления, а другое число 13 является числом в некоторой другой (например, восмеричной) и тогда имеет место отношение (13 ≠ 13). Не исключены ситуации, когда это отношение имеет большой «семантический смысл». И это тоже не противоречие в теории понятий. Логика Аристотеля отдыхает. В теории понятий вместо закона исключённого третьего применяются семантические определения.

Кант в работе «Критика чистого разума» обосновывает безаксиоматичность мышления. Кантор, как последователь Канта, предлагает мыслить определениями. Даже точка требует определения.

В конце прошлого – начале нынешнего веков, когда философия и наука стали с беспокойством осознавать пагубность традиционной методологии и неизбежность замаячивших впереди тупиков, раздался спасительный лозунг: «Назад к Канту!». Может, и был он чересчур паническим, но рациональное зерно здесь налицо: ни наука, ни философия не могут сделать ни одного шага вперед без тех открытий, которые были совершены в тиши кенигсбергского кабинета и получили свое воплощение в великой книге «Критика чистого разума».

3. Теория семантических множеств

В начале XX века прошлого тысячелетия Г. Кантор пришёл к выводу, что интуитивная математика, которой он занимался всё время, требует логического обоснования, формализации. Требуется основание математики и Кантор занялся философией математики, как это тогда именовалось. Кроме того Кантор задумался, как бы высшую математику, которой он занимался всю жизнь можно бы было применить, использовать в быту, в обычной человеческой деятельности.

Кантор пришёл к заключению, что для превращения математики в содержательную прикладную дисциплину необходимо в математике рассматривать предметы мышления наряду с прочими предметами созерцания и предложил схему использования предметов мышления наряду с предметами созерцания, которую он назвал определением понятия множества. Сущность, определяемая этой схемой, учитывает, как естественные изменения предметов созерцания, так и естественные изменения естественного интеллекта и даже учитывает изменения самой математики в процессе её развития Сплошная диалектика. Начиная с Гегеля, диалектикa противопоставляется метафизике Канта как способу мышления, который рассматривает вещи и явления как неизменные и независимые друг от друга. Георг Кантор, являясь последователем Иммануила Канта, строит безаксиоматическую математику. Математику основанную исключительно на определениях.

Теория понятий, основанная на использовании предложенной Кантором схемы мышления, позволяет рассматривать не только сходящиеся или несходящиеся числовые последовательности, но и сходящиеся или не сходящиеся последовательности понятий, теорий и даже последовательности алгоритмов. Математику использующую так определяемые сущности мышления, следует считать диалектической семантической математикой. Сходящаяся последовательность семантических алгоритмом имеет своим пределом алгоритмически полный алгоритм: NP => P

С точки зрения семантической, диалектической математики не любая совокупность, например, даже быть может очень истинных аксиом, постулатов, утверждений, понятий может определять некое новое утверждение, аксиому утверждение, понятие или даже теорему, а лишь такая совокупность, элементы которой находятся в определённой взаимосвязи, находятся в определённом взаимодействии. Семантический Полиморфизм. Такую совокупность элементов Кантор называет множеством. Новую определяемую сущность (по Кантору) создаёт операция единения таких элементов множества.

В соответвие с определением множества, сущность, определяемая этим определением может являться как предметом созерцания, так и предметом мышления.

Примеры: эллипс, парабола, окружность, плоскость, число Пи, вещественные числа числа и т. д.

В формулировке Георга Кантора: ″Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых, хорошо различимых предметов mi нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M). И это множество М представляет эту совокупность {mi} ″. Авторам данной работы неизвестны другие работы, в которых бы использовались множества в определении Кантора. В лучшем случае используется зачем-то термин множество как синоним совокупности. Даже в аксиоматических определениях множеств рассматриваются только совокупности элементов. Во многих математических работах идентификатор множества трактуется как название рассматриваемой совокупности элементов. Можно обратить внимание, что для называния совокупности элементов никакого их единения не требуется. Кроме того, название совокупности вряд ли способно представлять все элементы этой совокупности. Кантор считает, что на эту роль может претендовать лишь некая сущность определяемая всей совокупностью элементов с учётомих взаимоотношений и взаимодействий. Кантор называет эту сущность множеством. Теория понятий считает и называет эту сущность семантикой. Семантика в теории понятий это то, что определяется канторовским определением множества. И неважно как эту сущность называть, главное, чтобы было что называть. Семантика в теории понятий это не досужая выдумка досужих мудрецов, а реальное свойство, реальная характеристика реальных сущностей и реальных действий. Теория понятий считает, что схема M: {mi} это не выдумка Кантора, а схема мироустройства.

Теория понятий считает, что математика с появлением множеств в тот же момент превратилась в информатику. в естественно научную дисциплину.

4. Семантика

Семантика это не досужийдомысел досужих мыслителей.

Многие наивные математики усматривают семантику определения множеств Г Кантора в количественных характеристиках совокупностей элементов. Теория понятий усматривает семантику совокупностей в характере взаимоотношений элементов. совокупностей. К сожалению аксиоматические определения множеств игнорируют эти взаимоотношения, что приводит к логическим парадоксам. Взаимоотношения могут быть очень разнообразными, вплоть до функциональных. Это полиморфизм определения множества. Если некоторые элементы созерцания или даже мышления находятся в естественной взаимозависимости, то её и определять словами нет необходимости. Единственное, что может потребоваться в этой ситуации это лишь удостовериться в её наличии. Но это уже вне теории понятий.

Кантор предложил ставить предметы мышления в один ряд с предметами созерцания. Кантор, наверное, не случайно использовал для называния определяемой сущности термин множество, который в бытовом смысле очень близок термину совокупность элементов. Этим лишний раз подчёркивается, что определяемая сущность по определению не отличается от совокупности элементов, хотя и не является совокупностью элементов. Семантика некоторых сущностей доступна посредством оператора GOOGLE (термин).

В определении понятия множества несколько неопределённым остаётся вопрос о единении элементов. Поскольку в определении понятия множества способ, алгоритм единения элементов определяющей совокупности не определён и не зафиксирован, не исключено, что множества, определяемые на некоторой конкретной совокупности элементов, могут в теории множеств различаться. «Если нечто не исключено, то оно возможно». Но определение понятия множества требует, чтобы в любом случае сущности, составляющие определяющую совокупность, были различимы. Так, если мы сумеем различать определяемые множества, то в качестве предметов нашего мышления элементами множества могут являться определённые множества. Существенно, что не определяемые множества, а уже определённые множества. Это требование определения множества. Ибо не опреднлённые множества различать затруднительно.

Ещё один нюанс в определении множества: определение множества предполагает, что некая сущность M представляет совокупность элементов {mi} в достаточной мере. Практически это не всегда выполнимо. Даже найти сущность, которая будет представлять эту совокупность хотя бы в некоторой степени не так просто. Искусство мышления. В некоторых ситуациях это исключено в принципе. На нет и суда нет. Мышление нетривиально.

В своё время, в начале 20-го века теории множеств уделялось много внимания в надежде на использование её в качестве надёжного, прочного фундамента математики. Однако в самом начале развития теории множеств в ней были обнаружены логические противоречия (обычно называемые парадоксами). Наиболее простое из них так называемый парадокс Рассела. В связи с этим канторовская теория множеств как основание математики была отвергнута. Следует заметить, что первый парадокс множеств был замечен ещё самим автором теории множеств, но это не остановило его от продолжения работы над теорией множеств. Кантор, наверное, понимал, что эти парадоксы преодолимы средствами самой теории множеств

5. Последний парадокс теории множеств

С точки зрения теории понятий парадокс Рассела ошибочен. Гильберт считал, что парадоксы теории множеств вызваны не законом исключённого третьего. Он писал: «эти парадоксы происходят скорее потому, что используются недопустимые, бессмысленные образования понятий, которые в моей теории исключаются сами собой». Он предлагал различать «действительные» и «идеальные» предложения классической математики. Первые имеют содержательный смысл, а вторые не обязаны иметь содержательный смысл. Мы присоединяем идеальные предложения к действительным, чтобы простые правила логики были применимы и к рассуждениям о бесконечных множествах. Это существенно упрощаетструктуру всей теории.

Будущее своей науки Гильберт видел в оптимистических тонах, глубоко веря, что математика счастливо избежит распада на многочисленные не связанные между собой ветви. Он был глубоко убежден, что в математике не существует неразрешимых проблем. Его девизом стало: «Мы должны знать, мы будем знать». Этим высказыванием Гильберт завершил свое знаменитое выступление на Парижском математическом конгрессе в 1900 году, и статью – выступление перед коллегами-математиками в 1930 году, в котором он большое внимание уделил проблемам формализации и применения мышленияне утратившим своего значения и поныне.

Гильберт занимался логическим обоснованием математики, математической логикой [1]. Одним из наиболее замечательных достижений математической логики явилась разработка понятия общерекурсивной функции (1934) и формулировка тезиса Чёрча (1936),утверждающего, что понятие рекурсивной функции является уточнением интуитивного понятия алгоритма. По существу вся математика связана с теми или иными алгоритмами. Но только после уточнения и формализации понятия алгоритма появилась возможность обсуждать алгоритмическую неразрешимость задач в математике. Оказалось, что алгоритмически неразрешимые проблемы связаны с очень распространёнными и фундаментальными понятиями математики.

Гильберт в непротиворечие с Кантом считал, что идеальные виртуальальные сущности должны быть достаточно осмысленными и определёнными даже если это есть аксиомы. Аксиомы требуют доказательства.

Дело в том, что множество это не совсем то, что совокупность, хотя они и представлены одними и теми же элементами. Кантор их различает. Если Рассел хочет рассматривать множества, то определяющая совокупность элементов должна в соответствие с определением множества содержать хорошо различимые элементы, ассел не предлагает способа различения Р но Рассел не предлагает способа различения совокупностей т.е. множеств, образованных, например, одними и теми же по составу наборами элементов – множеств. Таким образом, при рассмотрении в упомянутом парадоксе множества таких множеств, оно оказывается не определённым.

Теория категорий [4], пропагантируемая некоторыми математиками, наряду со множествами идентификаторов, точнее, наряду с совокупностями произвольных идентификаторов рассматривает различные подсовокукпности этих идентификатолров, которые она считает и называет классами, что не меняет положения дел. В теории категорий канторовские множества так же не используются.

Теория понятий не видит в парадоксе Рассела ничего парадоксального.

Несмотря на всю тривиальность определения множества наивной теории множеств, оно определяет даже очень нетривиальные для понимания и использования сущности. Имеющиеся аксиоматики теории множеств не признают отличие совокупности элементов от множеств этих же элементов.

Первой же аксиомой всех предлагаемых аксиоматических определений множеств является следующая аксиома. «Два множества U и V равны тогда и только тогда, когда имеют одни и те же элементы». Эту аксиому, это утверждение можно принять без доказательства, если множество элементов не отличать от совокупности элементов. Хотя совершенно непонятно зачем рассматривать две неотличающиеся по составу совокупности элементов. В наивной теории множеств Кантора это не так. Кантор их различает. Кантор считает, что совокупности элементов и множество этих же элементов находятся в некотором вновь определяемом отношении. Это отношении представляется самим определением множества. Как следствие определения множества Кантор полагает, что две совокупности элементов не равны, но, скорее изоморфны если они определяют одно множество. Поэтому, не исключено, что: «Две совокупности {Mi} и {Mk} имеющие одни и те же элементы могут отличаться», но при этом быть изоморфными. «Если нечто не исключено, то оно возможно» Утверждение «две совокупности U и V имеющие одни и те же элементы, не равны но изоморфны» есть семантический вариант теоремы Кантора-Берштейна —Шрёдера. Для конечных совокупностей.

Теорема Кантора-Берштейна-Шрёдера утверждает и доказывает, что для бесконечных множеств отношения взаимооднознчного соответствия возможны. Несмотря на то, что Кантор является автором, одним из авторов этой теоремы, теорема сформулирована и доказана с недостаточным акцентом на бесконечность рассматриваемых множеств. Для конечных множеств в теории множеств такого утверждения естественно нет. Некоторые математики используют отношения взаимооднозначного соответствия для конечных множеств, что приводит к семантическим некорректностям. Для конечных множеств взаимооднознчные отношения не всегда семантически корректны. Теория семантических понятий строит, определяет семантические отношения, семантически корректные отношения для конечных множеств. Семантические отношения обоснованы средствами самой теории множеств.

В теории множеств Кантор не использует ни аксиом, ни даже постулатов. Для построения теории множеств Кантору было достаточно определения понятия множества. Определение множества не является ни аксиомой, ни постулатом. Оно является семантическим определением. В теории понятий нет определений аксиом и постулатов, что не исключает возможности их использования буде такие сущности будут определены; они могут быть использованы в качестве элементов определяющих сущностей в одном ряду с прочими предметами созерцания и предметами мышления.

Ценность теории множеств теория понятий усматривает не в том, что появился термин «бесконечность», а в том, что Кантор предложил метод использования различных (не исключая и аксиоматических) теорий.

Определение понятия множества это результат мышления Кантора. Предлагая определение понятия множества, Кантор на самом деле предлагает, точнее, предполагает, новую несколько иную логику мышления, иную технологию мышления. Иную (безаксиоматическую) логику. В логике Аристотеля не рассматривается возможность рассмотрения неких других сущностей, кроме предметов созерцания. Поэтому в логике Аристотеля нет определений. Кантор наряду с предметами созерцания предлагает рассматривать некие новые определяемые сущности. В качестве таких сущностей кантор предлагает использовать предметы мышления. В теории множеств по необходимости нужно более осознано относиться к определяемым сущностям. Так если в логике Аристотеля существование некоторой сущности обосновывается тем, что она является предметом созерцания, то в логике Кантора предметы мышления могут создаваться и использоваться мыслителем наряду с естественными предметами созерцанияПредмет мышления отличить от предмета созерцания не очень просто. Гарантированно это может осуществить лишь автор предмета мышления