Текст книги "Загадки и диковинки в мире чисел"

Умножение на счетах

Вот несколько приемов, пользуясь которыми, всякий, умеющий быстро складывать на счетах, сможет проворно выполнять встречающиеся на практике примеры умножения.

Умножение на 2 и на 3 заменяется простым сложением.

При умножении на 4 умножают сначала на 2 и складывают этот результат с самим собою.

Умножение числа на 5 выполняется на счетах так: переносят все число одной проволокой выше, – т. е. умножают его на 10, а затем делят это 10-кратное число пополам (как делить на 2 с помощью счетов – мы уже объяснили выше, на стр. 37).

Вместо умножения на 6 умножают на 5 и прибавляют умножаемое.

Вместо умножения на 7 множат на 10 и отнимают умножаемое три раза.

Умножение на 8 заменяют умножением на 10 без двух.

Точно так же множат на 9: заменяют умножением на 10 без 1.

При умножении на 10 – переносят, как мы уже сказали, все число одной проволокой выше.

Читатель теперь, вероятно, уже и сам сообразит, как надо поступать при умножении на числа больше 10 и какого рода замены тут окажутся наиболее удобными. Множитель 11 надо, конечно, заменить 10+1; множитель 12 заменяют 10 + 2, или практически 2 + 10, т. е. сначала откладывают удвоенное число, а затем прибавляют удесятеренное. Множитель 13 заменяется 10 + 3 и т. д.

Вот несколько особых случаев для множителей первой сотни:

20 = 10 × 2

22 = 11 × 2

25 = (100: 2): 2

26 = 25 + 1

27 = 30 – 3

32 = 22 + 10

42 = 22 + 20

43 = 33 + 10

45 = 50 – 5

63 = 33 + 30 и т. д.

Легко видеть, между прочим, что с помощью счетов очень удобно умножать на такие числа, как на 22, 33, 44, 55 и т. п., а потому следует стремиться при разбивке множителей пользоваться подобными числами с одинаковыми цифрами.

К сходным приемам прибегают и при умножении на числа, большие 100. Если искусственные приемы утомительны, мы всегда можем умножить с помощью счетов по общему правилу, умножая каждую цифру множителя и записывая частные произведения – это все же дает некоторое сокращение времени.

Деление на счетах

Выполнять деление с помощью конторских счетов гораздо труднее, чем умножать; для этого нужно запомнить целый ряд особых приемов, подчас довольно сложных. Интересующимся ими придется обратиться к специальным руководствам. Здесь же укажу лишь, для примера, удобные приемы деления с помощью счетов на числа первого десятка (кроме числа 7, способ деления на которое чересчур сложен).

Как делить на 2, мы уже знаем – способ этот очень прост.

Гораздо сложнее прием деления на 3: он состоит в замене деления умножением на бесконечную периодическую дробь 3,3333… (известно, что 0,333… = 1/3). Умножать с помощью счетов на 3 мы умеем; уменьшать в 10 раз – тоже несложно: надо лишь переносить делимое одной проволокой ниже. После не долгого упражнения этот прием деления на 3, на первый взгляд такой сложный, оказывается на практике довольно удобным.

Деление на 4, конечно, заменяется двукратным делением на 2.

Еще проще деление на 5: его заменяют делением на 10 и удвоением результата.

На 6 делят с помощью счетов в два приема: сначала делят на 2, потом полученное делят на 3.

Деление на 7, как мы уже сказали, выполняется помощью счетов чересчур сложно, и потому мы излагать его не будем.

На 8 делят в три приема: сначала делят на 2, потом полученное вновь на 2, и затем еще раз на 2.

Очень интересен прием деления на 9. Он основан на том, что 1/9 = 0,1111… Отсюда ясно, что, вместо деления на 9, можно последовательно складывать 0,1 делимого + 0,1 его + 0,001 его и т. д.[10]10
  Этот прием полезен и для устного деления на 9.


[Закрыть].

Всего проще, как видно, делить на 2,10 и 5 – и, конечно, на такие кратные им числа, как 4, 8, 16, 20, 25, 40, 50, 75, 80,100. Эти случаи деления не представляют трудности и для малоопытного счетчика.

Отголоски старины

С отдаленными предками наших русских счетов связаны некоторые пережитки старины в языке и обычаях. Мало кто подозревает, например, что, завязывая «для памяти» узелок на носовом платке, мы повторяем то, что некогда с большим смыслом делали наши предки, «записывая» таким образом итог счета на шнурках. Веревка с узлами представляла собой счетный прибор, в принципе аналогичный нашим счетам и, без сомнения, связанный с ними общностью происхождения: это – «веревочный абак».

С абаком же связаны и такие распространенные теперь слова, как «банк» и «чек». «Банк» по-немецки означает скамья. Что же общего между финансовым учреждением, «банком» в современном смысле слова, и скамьей? Оказывается, что здесь далеко не простое совпадение. Абак в форме скамьи был широко распространен в деловых кругах Германии в XV–XVI веках; каждая меняльная лавка или банкирская контора характеризовалась присутствием «счетной скамьи» – и естественно, что скамья стала синонимом банка.

Более косвенное отношение к абаку имеет слово «чек». Оно английского происхождения и производится от глагола «чекер» (chequer, или checker) – графить; «чекеред» (графленый) называли разграфленную в форме абака кожаную салфетку, которую в XVI–XVII веках английские коммерсанты носили с собою в свернутом виде и, в случае надобности произвести подсчет, развертывали на столе. Бланки для расчетов графились по образцу этих свертывающихся абаков, и неудивительно, что на них перенесено было, в сокращенном виде, и название этих счетных приборов: от слова «чекеред» произошло слово «чек».

Любопытно, откуда произошло выражение «остаться на бобах», которое мы применяем теперь к человеку, проигравшему все свои деньги. Оно очень древнего происхождения и относится к тому времени, когда все денежные расчеты – в том числе и расчеты между игроками – производились на абаке, на счетном столе или скамье, с помощью бобов, игравших роль косточек наших счетов[11]11
  Один считает на камешках, другой – на бобах, читаем у Кампанеллы в «Государстве Солнца» (1602).


[Закрыть]. Человек проигравший свои деньги, оставался с одними бобами, выражавшими сумму его проигрыша – отсюда и соответствующий оборот речи, надолго переживший породившие его обстоятельства.

Глава IV Немного истории

«Трудное дело – деление»

Привычным движением зажигая спичку, мы иной раз еще задумываемся о том, каких трудов стоило добывание огня нашим предкам, не очень даже отдаленным. Но мало кто подозревает, что и употребительные ныне способы выполнения четырех арифметических действий тоже не всегда были так просты и удобны, так прямо и быстро приводили к искомому результату. Предки наши пользовались приемами, гораздо более громоздкими и медленными. И если бы школьник XX века мог перенестись за четыре, даже всего за три века назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих арифметических выкладок. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи. Со всех концов Европы приезжали бы учиться у нового великого мастера счетного дела… Особенно сложны и трудны были для наших предков действия умножения и деления – последнее всего больше. Тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, одновременно были в ходу целые дюжины различных способов умножения и деления – приемы один другого запутаннее, твердо запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) старался изобрести собственный способ выполнения этого действия. И все эти приемы умножения – «шахматами или органчиком», «загибанием», «по частям или в разрыв», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником», «кубком или чашей», «алмазом» и прочие[12]12
  Перечисленные приемы умножения описаны в старинной «Арифметике» Тарталья. Наш современный способ умножения имеется там под названием «шахматного».


[Закрыть], а также все способы деления, носившие не менее затейливые наименования, соперничали друг с другом в громоздкости и сложности. Усваивались они с большим трудом и лишь после продолжительной практики. Признавалось даже, что для овладения искусством быстрого и безошибочного умножения и деления многозначных чисел нужно особое природное дарование, исключительные способности; рядовым людям премудрость эта недоступна. «Трудное дело – деление» – гласила старинная латинская пословица, и вполне обоснованно, если принять во внимание кропотливые, утомительные методы, какими выполнялось некогда это действие. Нужды нет, что способы эти носили подчас довольно игривые названия: под веселым названием скрывался обычно длиннейший и утомительнейший ряд запутанных манипуляций. В XVI веке кратчайшим и удобнейшим способом деления считался прием деления «лодкой или галерой». Знаменитый итальянский математик того времени Николай Тарталья в своем обширном учебнике арифметики писал о нем следующее:

«Второй способ деления называется в Венеции[13]13
  Венеция и некоторые другие государства Италии в XIV–XVI столетиях вели обширную морскую торговлю, и потому в этих странах приемы счета были, ради коммерческих надобностей, разработаны раньше, чем в других. Лучшие труды по арифметике появились в Венеции. Многие итальянские термины коммерческой арифметики сохранились еще в настоящее время.


[Закрыть] лодкой или галерой, вследствие некоторого сходства фигуры, получающейся при этом, потому что при делении некоторых родов чисел составляется фигура, похожая на лодку, а в других на галеру, которая в самом деле красиво выглядит; галера получается иной раз хорошо отделанная и снабженная всеми принадлежностями – выкладывается из чисел так, что она действительно представляется в виде галеры с кормою и носом, мачтою, парусами и веслами»…

Читается это очень весело: так и настраиваешься скользить по числовому морю на парусах арифметической галеры. Но хотя старинный итальянский математик и рекомендует этот способ как – «самый изящный, самый легкий, самый верный, самый употребительный и самый общий из существующих, пригодный для деления всех возможных чисел», – все же я не решаюсь его изложить здесь, опасаясь, что даже терпеливый читатель закроет книгу в этом скучном месте и не станет читать дальше. Между тем этот утомительный способ действительно был самым лучшим в ту эпоху, а у нас в России употреблялся до середины XVIII века: в «Арифметике» Магницкого он описан в числе шести предлагаемых там способов (из которых ни один не похож на современный) и особенно рекомендуется автором; Магницкий на протяжении своей объемистой книги – 640 страниц огромного формата – пользуется исключительно «способом галеры», хотя и не употребляет этого наименования.

В заключение покажем читателю эту числовую «галеру», воспользовавшись примером из упомянутой книги Тартальи:

Мудрый обычай старины

Добравшись после утомительных трудов до желанного конца арифметического действия, предки наши считали необходимым непременно проверить этот в поте лица добытый итог. Громоздкие приемы вызывали естественное недоверие к их результатам. На длинном, извилистом пути легче заблудиться, чем на прямой дороге современных приемов. Отсюда естественно возник старинный обычай проверять каждое выполняемое арифметическое действие – похвальное правило, следовать которому не мешало бы и нам.

Любимым приемом проверки был так называемый способ 9, – очень изящный прием, который полезно и теперь знать каждому. Он нередко описывается в современных арифметических учебниках, особенно иностранных, но почему-то теперь малоупотребителен на практике, что, впрочем, не умаляет его достоинств.

Проверка девяткой основана на «законе остатков», гласящем: остаток от деления суммы на какое-либо число равен сумме остатков от деления каждого слагаемого на то же число; точно так же, остаток произведения равен произведению остатков множителей. С другой стороны, известно также[14]14
  Последние две девятки приписаны к делителю в процессе деления.
  Это выясняется попутно при выводе признака делимости на 9 (читатель найдет вывод в каждом подробном учебнике арифметики).


[Закрыть], что при делении числа на 9 получается тот же остаток, что и при делении на 9 суммы цифр этого числа; например, 758 при делении на 9 дает 2, и столько же получается в остатке от деления (7 + 5 + 8) на 9. Сопоставив оба свойства чисел, мы и приходим к приему проверки девяткой, т. е. делением на 9.

Пусть требуется проверить правильность сложения следующего столбца:

Составляем в уме сумму цифр каждого слагаемого, причем в получающихся числах также складываем цифры (это делается в самом процессе сложения цифр), пока, в конечном результате, не получим однозначного числа. Результаты эти (остатки от деления на 9) записываем, как показано на примере, рядом с соответствующим слагаемым. Складываем все остатки – получаем 8. Такова же должна быть сумма цифр итога (5339177), если действие выполнено верно:

5 + 3 + 3 + 9+1 + 7 + 7 после всех упрощений, равно 8 (точнее: «равноостаточно с 8»).

Проверка вычитания выполняется точно так же, если принять уменьшаемое за сумму, а вычитаемое и разность – за слагаемое. Например:

4 + 6 = 10, т. е. 1.

Не сложна и проверка умножения, как видно из следующего примера:

Если при такой проверке умножения обнаружена будет ошибочность результата, то, чтобы определить, где именно ошибка находится, можно проверить способом девятки каждое частное произведение отдельно; а если здесь ошибки не окажется, надо проверить еще и сложение частных произведений. Такая проверка сберегает время и труд, конечно, только при умножении многозначных чисел; при малых числах проще заново выполнить действие.

Проверка деления по этому способу требует маленького пояснения. Если имеем случай деления без остатка, то проверка производится, как и при умножении: делимое рассматривается как произведение делителя на частное. В случае же деления с остатком пользуются тем, что делимое = делителю × частное + остаток. Например:

В «Арифметике» Магницкого предлагается для проверки девяткой следующее удобное расположение:

Для умножения:

Для деления:

Подобная проверка, без сомнения, не оставляет желать лучшей в смысле быстроты и удобства. Нельзя сказать того же о ее надежности: ошибка может и ускользнуть от нее. Действительно, ведь одну и ту же сумму цифр могут иметь разные числа; поэтому не только перестановка цифр, но иной раз даже и замена одних цифр другими остаются при такой проверке необнаруженными. Укрываются от контроля также лишние девятки и нули, так как они не влияют на сумму цифр. Всецело полагаться поэтому на такой прием проверки было бы неосмотрительно. Предки наши сознавали это и не ограничивались одною лишь проверкой с помощью девятки, но производили еще дополнительную проверку – чаще всего с помощью семерки. Этот прием основан на том же «правиле остатков», но не так удобен, как «способ девятки», потому что деление на 7 приходится выполнять полностью, чтобы найти остатки (причем легко возможны ошибки в действиях самой проверки). Две проверки – девяткой и семеркой – уже являются гораздо более надежным контролем: что ускользнет от одной проверки, то будет уловлено другою. Ошибка не обнаружится лишь в том случае, если разность истинного и полученного результатов кратна числу 7 × 9 = 63. Так как это все же случайно возможно, то и двойная проверка не может дать полной уверенности в правильности результата.

Впрочем, для обычных вычислений, где ошибаются чаще всего на 1 или на 2 единицы, можно ограничиться только проверкою девяткой. Дополнительная проверка семеркой чересчур обременительна. Всякий контроль хорош только тогда, когда не мешает работе.

«Русский» способ умножения

В некоторых местностях у наших крестьян приходится иногда наблюдать применение очень остроумного способа умножения целых чисел, который не похож на обычный школьный прием и унаследован, по-видимому, от глубочайшей древности. Способ это интересен тем, что, пользуясь им, можно обходиться без таблицы умножения, так как умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа.

Вот пример:

32 × 13

16 × 26

8 × 52

4 × 104

4 × 208

1 × 416

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Основание этого приема очевидно: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение:

32 × 13 = 1 × 416.

Но как поступать, если приходится делить пополам число нечетное?

Народный способ легко выходит из этого затруднения. Надо – гласит правило, – в случае нечетного числа откинуть единицу и остаток делить пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число. Приведем пример (звездочка указывает, что данную строку надо зачеркнуть):

19 × 17

9 × 34

4 × 68*

2 × 136*

1 × 272

Сложив незачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат:

Нетрудно понять полную теоретическую обоснованность этого приема, если принять во внимание, что

19 × 17 = (18 + 1) 17= 18 × 17 + 17

9 × 34 = (8 + 1) 34 = 8 × 34 + 34 и т. п.

Ясно, что числа – 17, 34 и т. п., утрачиваемые при делении нечетного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение.

Нельзя, как видите, отказать в практичности этому народному приему умножения, который один научный английский журнал («Knowledge» – знание) окрестил «русским крестьянским» способом.

Из Страны пирамид

Весьма вероятно, что способ этот дошел до нас из глубочайшей древности и притом из отдаленной страны – из Египта. Мы мало знаем, как считали и производили действия обитатели древней Страны пирамид. Но сохранился любопытный памятник – папирус, на котором записаны арифметические упражнения ученика одной из землемерных школ древнего Египта; это так называемый папирус Ринда, относящийся ко времени между 2000 и 1700 гг. до нашей эры[15]15
  Папирус был разыскан английским египтологом Генри Риндом; он оказался заключенным в жестяном футляре. В развернутом виде имеет 10 сажен длины, при 6 вершках ширины. Хранится в Британском музее, в Лондоне.


[Закрыть] и представляющий собою копию еще более древней рукописи, переписанную неким Аамесом. Писец[16]16
  Звание «писец» принадлежало третьему классу египетских жрецов; в заведывании их находилось «все относившееся к строительной части храма и к его земельной собственности». Математические, астрономические и географические знания составляли их главную специальность (В. Бобынин).


[Закрыть] Аамес, найдя «ученическую тетрадку» этой отдаленнейшей эпохи, тщательно переписал все арифметические упражнения будущего землемера – вместе с их ошибками и исправлениями учителя – и дал своему списку торжественное заглавие, которое дошло до нас в следующем неполном виде:

«Наставление, как достигнуть знания всех темных вещей… всех тайн, сокрытых в вещах.

Составлено при царе Верхнего и Нижнего Египта Ра-а-усе, дающем жизнь, по образцу древних сочинений времен царя Ра-ен-мата писцом Аамесом».

В этом интересном документе, насчитывающем за собою около 40 веков и свидетельствующем о еще более глубокой древности, мы находим четыре примера (№ 48, 50, 66 и 79 по нумерации Эйзенлора) умножения, выполненных по способу, живо напоминающему наш русский народный способ. Вот эти примеры (точки впереди чисел обозначают число единиц множителя; знаком + мы отметили числа, подлежащие сложению):

Вы видите из этих примеров, что еще за тысячелетия до нас египтяне пользовались приемом умножения, сходным с нашим крестьянским, и что неведомыми путями он как бы перекочевал из древней Страны пирамид в современную русскую деревню. Если бы обитателю земли фараонов предложили перемножить, например, 19 × 17, он произвел бы это действие следующим образом: написал бы ряд последовательных удвоений числа 17:

и затем сложил бы те числа, которые отмечены здесь знаком +, т. е. 17 + 34 + 272. Он получил бы, конечно, вполне правильный результат: 17 + (2 × 17) + (16 × 17) = = 19 × 17. Легко видеть, что подобный прием по существу весьма близок к нашему «крестьянскому» (замена умножения рядом последовательных удвоений).

Трудно сказать, у одних ли русских крестьян сохранился в настоящее время такой древний способ умножения; английские авторы называют его именно «русским крестьянским способом»; в Германии простой народ кое-где хотя и пользуется им, но также называет его «русским».

Чрезвычайно интересно было бы получить от читателей сведения о том, применяется ли в их местности этот древний способ умножения, имеющий за собой такое долгое и оригинальное прошлое.

Следовало бы вообще с большим вниманием относиться к народной математике: вникать в употребляемые народом приемы счета и измерений, собирать и записывать эти памятники народного математического творчества, дошедшие до нашего времени из глубин седой старины. На это уже давно указывал покойный историк математики В.В. Бобынин, предложивший даже краткую программу собирания памятников народной математики. Нелишним будет привести здесь составленный им перечень того, что именно следует собирать и записывать: 1) Счисление и счет. 2) Приемы меры и веса. 3) Геометрические сведения и их выражение в постройках, нарядах и украшениях. 4) Способы межевания. 5) Народные задачи. 6) Пословицы, загадки и вообще произведения народной словесности, имеющие отношение к математическим знаниям. 7) Памятники древней народной математики, находящиеся в рукописях, музеях, коллекциях и т. д., или находимые при раскопках курганов, могил, городищ и пр.