Текст книги "Знаете ли вы физику?"

Опасность прыжка в воду с значительной высоты состоит, главным образом, в том, что накопленная при падении скорость сводится к нулю на слишком коротком пути. Если, например, пловец бросается с высоты 10 м и погружается в воду на глубину 1 м, то скорость, накопленная на пути 10 м свободного падения, уничтожается на участке в 1 м. Отрицательное ускорение при погружении в воду должно быть в 10 раз больше ускорения свободно падающего тела. При погружении в воду пловец испытывает поэтому давление снизу, в данном случае вдесятеро превосходящее обычное давление, порождаемое весом. Иными словами, тело пловца становится словно в 10 раз тяжелее С вместо 70 кг весит 700 кг. Такой непомерный груз, действуя даже короткое время (пока длится погружение), может вызвать в организме серьезные расстройства.

Отсюда следует, между прочим, что вредные последствия прыжка смягчаются при возможно более глубоком погружении в воду; накопленная при падении скорость поглощается тогда на более длинном пути, и ускорение (отрицательное) становится меньше.

Если плоскость стола перпендикулярна к отвесной линии, проходящей через ее середину, то края стола расположены, очевидно, дальше от центра Земли, т. е. выше, чем середина (практически на весьма незначительную величину). При полном отсутствии трения и при идеально плоской поверхности шар должен поэтому скатиться с края стола к его середине. Здесь, однако, он не может остановиться С накопленная кинетическая энергия увлечет его далее до точки, находящейся на одном уровне с начальной, т. е. до противоположного края.

^{Рис. 76. При взгляде на этот рисунок, не у всех явится мысль, что шар должен скатиться к середине стола}

^{77. Но из этого чертежа ясно, что шар не может оставаться в покое (при отсутствии трения)}

Оттуда шар снова откатится в первоначальное положение и т. д. Короче говоря, при отсутствии трения о плоскость стола и сопротивления воздуха, шар, положенный на край идеально плоского стола, пришел бы в нескончаемое движение.

Один американец предлагал устроить на этом принципе вечное движение. Проект его, изображенный на рис. 78, по идее совершенно правилен и осуществил бы вечное движение, если бы возможно было избавиться от трения. Впрочем, то же самое можно осуществить и проще С с помощью груза, качающегося на нити: при отсутствии трения в точке привеса (и сопротивления воздуха) такой груз должен качаться вечно[11]11
  В Парижской обсерватории был произведен (Борда) опыт с маятником, качающимся в безвоздушном пространстве при минимально уменьшенном трении в точке привеса: маятник качался 30 часов. Интересно, как затухают постепенно колебания 98-метрового маятника, подвешенного в здании Исаакиевского собора.
  Первоначально 12-метровые размахи спустя 3 часа уменьшаются в 10 раз. Через 6 часов от начала наблюдений размахи сокращаются до 6 см, через 9 часов – до 6 мм. Спустя 12 часов от начала наблюдений размахи делаются незаметными для невооруженного глаза.


[Закрыть]. Производить работу подобные приспособления, однако, не способны.

В заключение поучительно остановиться на возражении, сделанном одним из читателей, который утверждает, что в приведенном рассуждении смешиваются две точки зрения – геометрическая и физическая. Геометрически, – поясняет читатель, – мы считаем лучи Солнца сходящимися на его поверхности, физически же признаем их параллельными. Подобно этому, в нашей задаче две отвесные линии, проведенные на Земле в расстоянии 1 м, геометрически пересекаются в центре земного шара, но физически должны считаться параллельными. А потому сила, увлекающая шар с края стола к середине, физически равна нулю; никакого скатывания наблюдаться не может.

^{Рис. 78. Один из проектов «вечного движения»}

Возражение ошибочно. Нетрудно убедиться расчетом, что отвесные линии, проведенные на Земле в расстоянии 1 м одна от другой, составляют между собою угол, который в 23 000 раз больше, чем угол между лучами Солнца, направленными к тем же точкам. Что касается величины силы, побуждающей шар скатываться с края стола, длиною в 1 м, то она составляет примерно одну 10–миллионную долю веса шара. В условиях нашей задачи, т. е. при полном отсутствии сопротивлений, всякая сколь угодно малая сила должна привести тело в движение, как бы велика ни была его масса. В данном случае, впрочем, сила не так уж мала: она одного порядка величины с тою силою, которая порождает океанские приливы; последняя сила даже и в реальных условиях (т. е. при наличии сопротивлений) ощутительно проявляет свое действие.

Не следует думать, что в положении А брусок, оказывая на опорную плоскость большее удельное давление, испытывает и большее трение. Величина трения не зависит от размеров трущихся поверхностей. Поэтому если брусок скользил, преодолевая трение, в положении В, то он будет скользить и в положении А.

1. При решении этой задачи нередко делают существенную ошибку: не принимают во внимание, что отвесно падающий шар движется только поступательно, между тем как шар, скатывающийся по плоскости, совершает, кроме поступательного движения, также и вращательное. Не свободны от этого недосмотра даже некоторые школьные учебники.

Какое влияние оказывает отмеченное обстоятельство на скорость скатывающегося тела, видно из следующего вычисления.

Потенциальная энергия шара, обусловленная его положением вверху наклонной плоскости, превращается при отвесном падении целиком в энергию поступательного движения, и из уравнения

или (после замены веса р шара произведением его массы m на ускорение g тяжести) из равенства

легко получается скорость v такого шара в конце пути

где h – высота наклонной плоскости.

Иначе обстоит дело с шаром, скатывающимся по наклонной плоскости. В этом случае та же потенциальная энергия ph преобразуется в сумму двух кинетических энергий – в энергию поступательного движения со скоростью v₁ и вращательного – с угловою скоростью ω. Величина первой энергии равна

Вторая равна полупроизведению момента инерции K шара на квадрат его угловой скорости ω:

Имеем, следовательно, уравнение:

Из курса механики известно, что момент инерции K однородного шара массы т и радиуса r относительно оси, проходящей через центр, равен ²/₅ тr². Далее, легко сообразить, что угловая скорость ω этого шара, катящегося с поступательною скоростью v¹, равна . Поэтому энергия вращательного движения

Заменив в нашем уравнении, кроме того, вес р шара равным ему выражением mg, получаем:

или, после упрощения,

gh = 0,7v₁².

Отсюда поступательная скорость

Сопоставляя эту скорость со скоростью в конце отвесного падения (), видим, что они заметно различаются: скатившийся шар (любого радиуса и любой массы) в конце пути, да и в каждой его точке, движется вперед со скоростью на 16 % меньшею, чем шар, свободно упавший с той же высоты.

Сравнивая шар, скатывающийся по наклонной плоскости, с телом, скользящим по той же плоскости с равной высоты, легко установить, что скорость первого в каждой точке пути на 16 % меньше скорости второго.

Скользящий шар при отсутствии трения достигает конца наклонного пути раньше (на 16 %), нежели катящийся. То же верно и для тела, падающего отвесно: оно должно опередить скатывающийся шар на 16 %.

Кто знаком с историей физики, тому известно, что Галилей установил законы падения тел, производя опыты с шарами, которые он пускал по наклонному желобу (длина – 12 локтей, возвышение одного конца 1–2 локтя). После сказанного выше может возникнуть сомнение в правильности пути, избранного Галилеем. Сомнение, однако, отпадает, если вспомним, что скатывающийся шар в своем поступательном перемещении движется равноускоренно, так как в каждой точке наклонного желоба скорость его составляет одну и ту же долю (0,84) скорости отвесно падающего шара на том же уровне. Форма зависимости между пройденным путем и временем остается та же, что и для тела, свободно падающего. Поэтому Галилей и мог правильно установить законы падения тел в результате своих опытов с наклонным желобом.

«Пустив шар, – писал он, – по длине, равной четверти длины желоба, я нашел, что время пробега в точности равнялось половине времени, какое употреблялось для прохождения целого желоба… Из опытов, сто раз повторенных, я всегда находил, что проходимые пути от – носятся между собою, как квадраты времен».

^{Рис. 79. Как шар катится между двумя наклонными плоскостями}

2. Переходя к решению второй задачи, отметим прежде всего, что первоначальный запас потенциальной энергии обоих шаров одинаков, так как массы их равны и оба шара опускаются с одинаковой высоты. Далее, надо иметь в виду, что для шара, движущегося между досками, радиус круга катания меньше, чем для шара, скатывающегося по плоскости (r₂< r₁).

Для шара, скатывающегося по плоскости, имеем, как и в первой задаче:

Для шара, движущегося между досками,

подставив

получаем

После преобразования

Так как мы установили раньше, что r₂< r₁, то числитель правой дроби больше знаменателя и, следовательно, v₁ >v₂; шар движется по плоскости быстрее, чем между досками, и достигнет конца наклонного пути раньше.

Задача – старинного происхождения. Я нашел ее в сочинении Озанама «Развлечения математические и физические» (1694), где она предложена в таком виде:

«Вообразите два шара: полый золотой и сплошной серебряный, покрытый позолотой, оба одинаковой вели – чины и веса; возможно ли было бы различить серебряный от золотого?».

Озанам говорит, что, вопреки мнению более древних авторов математических головоломок, считавших задачу неразрешимой, способ различить шары существует. «Я изготовил бы круглое отверстие в медной пластинке, через которое оба шара проходили бы вплотную, но легко.

Затем я нагрел бы оба шара выше температуры кипятка.

Зная, что серебро расширяется больше золота, я наблюдал бы, который из шаров с бoльшим усилием приходится проталкивать сквозь отверстие: это и есть серебряный шар».

Способ, по существу, правилен, но к нашей задаче о цилиндрах, оклеенных бумагой, очевидно, неудобоприменим. Однако задача разрешима и в этом случае.

Способ решения подсказывается разбором предыдущей, 47–й, задачи. Нетрудно догадаться, что для различения цилиндров всего проще воспользоваться неодинаковостью их моментов инерции; однородный алюминиевый цилиндр имеет иной момент инерции, чем составной, у которого бóльшая часть массы сосредоточена на периферии. Соответственно этому должны быть различны и скорости их поступательного движения при скатывании с наклонной плоскости.

Момент инерции K однородного цилиндра относительно его продольной оси равен, как учит механика,

Для второго, неоднородного цилиндра расчет сложнее. Прежде всего определим радиус и массу его пробковой цилиндрической части. Обозначив искомый радиус через х, радиус всего цилиндра – по – прежнему через r, высоту цилиндров – через h и имея в виду, что плотности их материала соответственно равны:

можем написать следующее равенство:

0,2πx²h + 11,3 · (πr²h – πx²h) = 2,7πr²h.

Равенство означает, что сумма масс пробковой части цилиндра и его свинцовой оболочки равна массе алюминиевого цилиндра. Сделав упрощения, приводим наше уравнение к виду

11,1х² = 8,6r²,

откуда

x² ≈ 0,77r².

В дальнейшем понадобится значение именно х², по – этому корня не извлекаем.

Масса пробковой части составного цилиндра равна

0,2πx²h ≈ 0,2π · 0,77r²h ≈ 0,154πr²h.

Macca свинцовой оболочки равна

2,7πr²h – 0,154πr²h ≈ 2,55πr²h.

В процентах к общей массе это составляет:

для пробковой части. . . . . . . 6 %

для свинцовой части. . . . . . . 94 %

Вычислим теперь момент инерции K₁ составного цилиндра; он равен сумме моментов его составных частей – пробкового цилиндра и свинцовой оболочки.

Момент инерции пробкового цилиндра при радиусе х и массе 0,06 т (где m – масса алюминиевого цилиндра) равен

Момент инерции свинцовой цилиндрической оболочки с радиусами х и r и массою 0,94 т равен

Момент инерции K₁ составного цилиндра равен поэтому

K₁ = 0,0231mr² + 0,832mr² ≈ 0,86mr².

Скорости поступательного движения скатывающихся цилиндров найдем так же, как нашли мы их в предыдущей задаче для шаров. В случае однородного цилиндра имеем уравнение

или

откуда

Для цилиндра неоднородного имеем

или

откуда

Сравнивая обе скорости

видим, что поступательная скорость составного цилиндра на 9 % меньше, чем однородного. По этому признаку и можно распознать алюминиевый цилиндр: он докатится до конца плоскости раньше составного.

Предоставляю читателю самостоятельно рассмотреть видоизменение этой задачи, а именно – тот случай, когда в составном цилиндре свинец сосредоточен у оси, а пробка облекает свинцовый стержень снаружи. Какой цилиндр докатится тогда раньше до конца плоскости?

Песчинки, не касаясь во время падения дна сосуда, не оказывают на него давления. Можно думать поэтому, что в течение тех пяти минут, пока длится пересыпание песка, чашка с часами должна быть легче и подняться вверх. Опыт покажет, однако, другое. Чашка с часами качнется вверх только в первое мгновение, но затем в течение пяти минут весы будут сохранять равновесие до последнего момента, когда чашка с часами качнется вниз и весы придут снова в равновесие.

Почему же весы останутся пять минут в равновесии несмотря на то, что часть песка, падая, не оказывает на дно сосуда никакого давления? Прежде всего отметим, что в течение каждой секунды столько же песчинок покидает шейку часов, сколько их достигает дна. (Если допустить, что дна достигает больше песчинок, чем покидает шейку, то откуда берутся эти избыточные песчинки? При обратном же допущении – куда деваются недостающие песчинки?) Значит, каждую секунду становятся «невесомыми» столько же песчинок, сколько ударяются о дно сосуда. Каждой песчинке, делающейся невесомой, отвечает удар песчинки о дно. Теперь произведем расчет. Пусть высота, с какой падает песчинка, равна h. Из уравнения

где g – ускорение тяжести, а t – продолжительность падения, имеем

В течение такого промежутка времени песчинка не оказывает давления на чашку весов. Уменьшение веса этой чашки на вес песчинки в течение t секунд равносильно тому, что на чашку весов в течение t секунд действует направленная вверх сила, равная весу р песчинки. Действие этой силы измеряется ее импульсом

В течение такого же промежутка времени ударится в дно сосуда одна песчинка со скоростью . Импульс J₁ такого удара равен количеству движения mv песчинки:

Мы видим, что J = J₁, оба импульса равны. Чашка, подверженная равным, но противоположно направленным действиям, останется в равновесии.

Только в первый и в последний моменты пятиминутного промежутка времени равновесие весов (если они достаточно чувствительны) нарушится. В первый момент потому, что некоторые песчинки уже покинут верхний сосуд часов, сделаются невесомыми, но ни одна не успеет еще удариться в дно нижнего сосуда: чашка с часами качнется вверх. К концу пятиминутного промежутка равновесие снова нарушится на мгновение: все песчинки уже покинули верхний сосуд, новых невесомых песчинок нет, а удары о дно нижнего сосуда еще происходят: чашка с часами качнется вниз. Затем снова наступит равновесие, на этот раз окончательно.

Наша задача представляет собою видоизменение знаменитой «обезьяньей» задачи Льюиса Кэрролла (оксфордского профессора математики, автора популярной детской книжки «Алиса в стране чудес»). Кэрролл предложил рисунок, который мы здесь воспроизводим (рис. 80), и поставил вопрос: куда подвинется груз, когда обезьяна начнет взбираться вверх по веревке?

Ответы не были единообразны. Одни из решавших задачу утверждали, что, бегая по веревке, обезьяна не может оказать никакого действия на груз: гиря не сдвинется с места. Другие полагали, что при движении обезьяны вверх груз будет опускаться. И лишь меньшинство высказало мысль, что гиря подвинется вверх, навстречу обезьяне.

Последний ответ и является единственно правильным[12]12
  Если пренебречь трением. При наличии значительного трения гиря может и не подняться. Кроме того, предполагается, что массы груза и обезьяны одинаковы.


[Закрыть]: движение обезьяны или людей вверх должно вызвать не опускание, а подъем гири. Когда люди взбираются вверх по свисающей с блока веревке, сама веревка под их руками должна двигаться обратно вниз (сравните с подъемом человека по лестнице, свисающей с воздушного шара, в ответе к вопросу 24). Но если веревка движется по блоку слева направо, то груз будет увлекаться ею вверх, т. е. подниматься.

То же должно происходить и с грузом на карикатуре: пока министры взбираются по веревке вверх, «фунт» должен подниматься, а не опускаться.

^{Рис. 80. «Обезьянья задача» Льюиса Кэрролла}

Груз в 2 кг, конечно, будет опускаться, – но не с ускорением g свободно падающего тела, а с меньшим. Так как движущая сила здесь равна 2–1, т. е. 1 кг, а приводимая ею в движение масса равна 1 + 2 = 3 кг, то ускорение а замедленно опускающегося тела будет втрое меньше ускорения свободно падающего:

Далее, зная ускорение движущегося тела и его массу, легко вычислить величину силы F, порождающей это движение:

где Р – вес груза, равный 2 кг. Значит, груз в 2 кг увлекается вниз с силою в ²/₃ кг. Почему он не увлекается в движение с силою полного своего веса (2 кг)? Очевидно потому, что гирю тянет вверх сила в 2 —²/₃, т. е. ⁴/₃ кг, которая и представляет собой натяжение веревки. Итак, каждая из двух частей веревки, перекинутой через блок, натянута с силою ⁴/₃ кг. На блок действуют, мы видим, две параллельные силы по ⁴/₃ кг. Равнодействующая равна их сумме:

Следовательно, показание пружинного безмена равно 2²/₃ кг.

Центр тяжести не изменит своего положения внутри конуса. Таково свойство центра тяжести: положение его определяется лишь распределением масс в теле и не меняется с изменением положения самого тела по отношению к отвесной линии.

Пространство внутри свободно падающей кабины представляет особый мирок с совершенно исключительными свойствами. Все тела, стоящие в подобной кабине, опускаются точно с такою же скоростью, как и их опоры, а все тела подвешенные падают со скоростью точек их при – веса; поэтому первые не давят на свои опоры, вторые не обременяют точек привеса. Иными словами, те и другие уподобляются телам, лишенным веса. Становятся невесомыми и тела, свободно витающие в пространстве: уроненный предмет не падает на пол, а остается в том месте, где выпустили его из рук. Он не приближается к полу кабины потому, что одновременно с ним опускается сама кабина, тот и другая с одинаковой скоростью. Короче говоря, в па – дающей кабине мы имеем мир, свободный от тяжести, – превосходную лабораторию для тех физических опытов, ход которых заметно нарушается силой тяжести.

После сказанного легко ответить на вопросы, поставленные в задаче.

1. Указатель весов остановится на нуле: ваше тело не будет вовсе сжимать пружины весов.

2. Из перевернутого кувшина вода не выльется.

Описанные явления должны иметь место не только в кабине падающей, но и в кабине, свободно брошенной вверх, вообще в кабине, движущейся по инерции в поле тяготения. Так как все тела падают с одинаковым ускорением, то сила тяжести должна сообщать равное ускорение как самой кабине, так и телам внутри нее; по от – ношению друг к другу их положения не изменятся, а это то же самое, как если бы тела в кабине не подвержены были силе тяжести.

Подобная феерическая обстановка осуществится в каюте будущего ракетного корабля во время перелетов, не только межпланетных, но и земных, – например, через Атлантический океан с одного материка на другой: сами пассажиры и все предметы на корабле сделаются невесомыми.

С указанными явлениями иногда приходится неожиданно считаться и в технике. Примеры находим в «Беседах по механике» В. Л. Кирпичева и в «Курсе технической механики» проф. Н. Б. Делоне (ч. 2–я). Привожу выдержку из книги Кирпичева:

«Парашюты подъемников. Машины, поднимающие людей в шахтах, всегда снабжаются парашютом, т. е. приспособлением, которое действует в случае разрыва подъемного кана – та: упираясь в деревянные стойки шахты, останавливает клетку, несущую людей, и не позволяет ей упасть с большой высоты. Попробуем устроить парашют так, как показано на рис. 81.

^{Рис. 81. Устройство парашюта подъемника}

А – клеть, внутри которой стоят поднимаемые люди; В – деревянные направляющие стойки по стенам шахты; С – подъемный канат. Он прикрепляется к верху клети не прямо, а через посредство рычагов D, точки опоры которых укреплены на крыше клети. При подъеме канат вытянут; поэтому рычаги становятся в наклонное положение, показанное на чертеже, не задевают стойки В и не мешают подъему. Нужно, чтобы при разрыве подъемного каната рычаги пришли в горизонтальное положение, с силою ударились в стойки и вцепились в них своими зубцами. Тогда клеть повиснет на стойках и не случится несчастья с людьми.

Попробуем для получения такого поворота рычагов поставить на концах их тяжелые противовесы Е….Такие противовесы не принесут никакой пользы. При разрыве каната начнется свободное падение клети, – при этом противовесы Е теряют свою способность стремиться вниз и с большой силой поворачивать рычаги. Таким образом, здесь противовесы, даже очень тяжелые, окажутся бессильными, и вместо них надо поставить сильные пружины или рессоры F».