Текст книги "Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов"

75. Влияние способа закрепления концов стержня

Формула Эйлера, определяющая критическую нагрузку для сжатого стержня, выглядит следующим образом:

Это соотношение верно в том случае, если рассматриваемый стержень шарнирно закреплен с двух концов (см. Рис. 34.2). Рассмотрим другие варианты закрепления.

В общем случае формула Эйлера выглядит так:

μ – так называемый коэффициент приведения длины стержня (коэффициент Ясинского), который зависит от способов закрепления стержня. Произведение μl носит название приведенной длины стержня.

Для различных способов закрепления коэффициент приведения длины стержня имеет следующие значения:

1) стержень жестко закреплен одним концом (Рис. 34.1):

μ = 2;

2) стержень закреплен шарнирно двумя концами (Рис. 34.2):

μ = 1;

3) стержень жестко закреплен одним концом и шарнирно – другим (Рис. 34.3):

μ = 0,7;

4) жесткая заделка (Рис. 34.4):

μ =0,5

Значения коэффициента Ясинского получены путем решения линейного дифференциального уравнения второго порядка, которое получается из уравнения для изгибающего момента M = – F_крv и дифференциального уравнения изогнутой балки Elv'' = M.

Из формулы Эйлера в общем виде ясно, что коэффициент Ясинского обратно пропорционален критической нагрузке стержня. Из этого следует, что практически выгодно жестко закреплять стержень, что, к сожалению, не всегда возможно.

76. Пределы применимости формулы Эйлера

Напряжение, возникающее в поперечном сечении стержня, под действием критической нагрузки называется критическим напряжением и определяется формулой:

Воспользуемся формулой Эйлера для критической силы и сведем в одну две характеристики сечения I_min и А:

– минимальный радиус инерции сечения.

Отношение приведенной длины к минимальному радиусу сечения называется гибкостью стержня: .

Таким образом, выражение для критического напряжения выглядит следующим образом:

Вывод формулы Эйлера основан на линейном дифференциальном уравнении для изогнутой балки. Следовательно, формула Эйлера справедлива только в пределах применимости закона Гука (т. е. в случаях, когда критические напряжения, возникающие в теле при нагрузке, не превышают определенного предела пропорциональности материала). Таким образом, условие применимости формулы Эйлера выглядит следующим образом:

или

Минимальную гибкость стержня применимости формулы Эйлера называют предельной.

Значение предельной гибкости зависит от материала, из которого изготовлено рассматриваемое тело (стержень). Если гибкость стержня меньше допустимой предельной, то устойчивость стержня определяется формулой Ясинского:

σ_кр = a – bλ

Коэффициенты a и b зависят от материала стержня. При достижении гибкостью стержня некоторого значения λ₀ критическое напряжение, определяемое формулой Ясинского, уравнивается с предельным напряжением сжатия.

Стержни с гибкостью λ < λ₀ называются стержнями малой гибкости и рассчитываются на прочность сжатием.

Стержни с гибкостью λ > λ₀ называются стержнями средней гибкости и рассчитываются на устойчивость при помощи формулы Ясинского.

Стержни с гибкостью λ > λ_пр называются стержнями большой гибкости и рассчитываются на устойчивость формулой Эйлера.

77. Проверка сжатых стержней на устойчивость

Расчет стержня на устойчивость вне зависимости от гибкости может осуществляться при помощи следующей формулы:

F_кр = φσ^с_пр А

Для подбора сечения формулу приводят к следующему виду:

A = F_кр / φσ^с_пр

В этой формуле σ^с_пр – основное допускаемое напряжение на сжатие, А – площадь поперечного сечения стержня, φ – коэффициент продольного изгиба, зависящий от материала и гибкости стержня.

Известно, что допускаемое напряжение на сжатие определяется из следующего соотношения:

где σ_y – предельное напряжение (считается равным пределу текучести для пластичных материалов или равным пределу прочности для хрупких материалов);

n – коэффициент запаса прочности.

Произведение φσ^с_пр можно рассматривать как допускаемое напряжение при расчете на устойчивость

σ^s_пр = φσ^с_пр.

Так как

σ^s_пр = φσ^с_пр = σ_кр / n_s

коэффициент продольного изгиба

φ = σ_кр / n_sσ^с_пр = σ_крn / (n_sσ_u)

Этот коэффициент зависит от материала и гибкости исследуемого стержня, его значения определяются по таблицам.

78. Энергетический метод определения критических нагрузок

Рассмотрим стержень, вдоль оси которого действует сила Р (Рис. 35). Если Р < Р_кр, то стержень находится в состоянии устойчивого равновесия. Воздействуем на этот стержень поперечной силой Р₁, при изгибе стержня обе силы совершат работу, что увеличит потенциальную энергию стержня.

Рис. 35

Согласно закону сохранения энергии можно записать, что

U_изг = Pl’ + A_1.

Первое слагаемое определяет работу продольной силы, второе – работу поперечной силы.

Энергия изгиба может иметь одно и то же значение при разных соотношениях сил Р и Р₁, как видно из уравнения энергетического баланса. Таким образом, вероятен случай, когда стержень примет криволинейную форму под воздействием одной только силы Р, без приложения поперечной силы. Тогда

U_изг = P_крl’.

Энергию изгиба можно выразить через изгибающий момент:

Перемещение можно выразить как разность полной длины стержня l и проекцией изогнутой линии на прямую, совпадающую с осью стержня, когда на него не воздействуют

dl’ = dz – dz cosθ,

или, если считать вследствие малости угла θ θ = y’,

Таким образом, критическая сила определяется следующим соотношением:

Если функция y известна (критическая сила определяется легко), но в таком виде требуются довольно громоздкие расчеты для вычисления дифференциального уравнения, тогда для решения этой задачи попробуем предположить форму функции y, соблюдая выполнение ее граничных условий. Подставляя предполагаемую функцию в полученное соотношение для критической силы, мы имеем решение задачи, которое дает небольшую погрешность даже при грубых допущениях. Энергетический метод позволяет определять критические нагрузки довольно простым способом, но на практике применяется редко.

79. Метод начальных параметров при определении критических нагрузок

Один из самых распространенных методов определения критических нагрузок – метод параметров. Рассмотрим стержень с промежуточной дополнительной опорой. Выберем систему координат таким образом, чтобы ее начало совпадало с левым концом стержня. Распределенную нагрузку продлим до конца балки, а для ее компенсации приложим нагрузку обратного направления (см. Рис 36). С учетом момента М, который приложен на расстоянии а от начала координат, уравнение упругой линии в данном случае:

После интегрирования:

Снова интегрируем:

Начальные параметры – то, что мы имеем в начале координат, т. е. для Рис. 36 М₀ = 0, Q₀ = R_A, прогиб y₀ = 0, угол поворота θ₀ ≠ 0. θ₀ находим из подстановки во второе уравнение условия закрепления правой опоры: x = a + b + c; y(x) = 0.

Даем нагрузке небольшое приращение и повторяем рассуждения снова. Шаг приращения может уменьшаться, и так до тех пор, пока не будет найдено значение критической силы с необходимой точностью.

Рис. 36

80. Напряжения и деформации в быстровращающихся дисках

При высокой скорости вращения в валах и дисках возникают большие центробежные усилия, которые вызывают напряжения, равномерно распределяющиеся относительно оси вращения.

Рассмотрим вращающийся диск постоянной толщины, примем ее равной единице.

Рассмотрим элемент диска (Рис. 37) и составим для него уравнение равновесия:

где σ_t – напряжения, действующие на боковых гранях элемента;

σ_r и σ_r + dσ_r – напряжения на внутренней и внешней поверхностях рассматриваемого элемента;

четвертое слагаемое определяет влияние сил инерции.

Рис. 37

Запишем уравнение условий совместности деформаций для данной задачи:

или

Продифференцируем уравнение равновесия и подставим значение , получим:

Интегрируя это уравнение, находим:

где А и В – постоянные интегрирования, которые могут быть определены из условий на контуре диска: , .

Следовательно,

81. Определение напряжений в толстостенных цилиндрах

При расчете тонкостенных цилиндров делается допущение, что давление равномерно распределяется по толщине стенки. В случае цилиндров с толстыми стенками такое допущение приводит к большим погрешностям.

Рассмотрим пример: толстостенный цилиндр с наружным радиусом r₁, внутренним радиусом r₂, подвергнутый внешнему давлению Р₁ и внутреннему Р₂. Выберем элемент цилиндра, представляющий собой тонкое кольцо радиуса r.

Обозначим напряжение, действующее на боковых гранях кольца σ_t, напряжения на внутренней и внешней поверхностях кольца – σ_r и σ_r + dσ_r. По граням элемента АВ будет действовать главное напряжение σ_z, будем считать его постоянным для всего поперечного сечения цилиндра.

Составим уравнение равновесия для рассматриваемого элемента, которое будет иметь вид:

Так как в одном уравнении присутствуют два неизвестных, задача является статически неопределимой, рассмотрим деформации этого элемента. Деформации в этом случае заключаются в радиальном растяжении, обозначим его u, тогда относительное удлинение поверхности запишется как , относительное удлинение боковых поверхностей . Согласно закону Гука

Дифференцируем второе уравнение по r:

заменив ε_t и ε_r, получим:

или, после подстановки разности и преобразований σ_r – σ_t,

Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

Из граничных условий найдем значения постоянных А и В:

Окончательно

82. Устойчивость плоской формы изгиба

В некоторых случаях плоская форма изгиба стержня может потерять устойчивость.

Рассмотрим плоскую форму изгиба на примере балки, концы которой нагружены моментами М, лежащими в вертикальной плоскости. Будем считать, что брус изогнулся перпендикулярно плоскости действия моментов и при этом одновременно закрутился. В произвольном сечении момент изгиба определяется как

М_изг = – φМ

φ – угол поворота поперечного сечения вокруг своей продольной оси, знак минус определяется тем, что момент изгиба направлен в сторону уменьшения кривизны.

Определим крутящий момент этого сечения:

M_кр = θМ

θ = у' – угол поворота относительно вертикальной оси, произведение θМ представляет составляющую момента М относительно оси z₁. Запишем известные дифференциальные уравнения для моментов:

EI θ’ = М_изг => EI θ’ = – φМ;

GI_кφ’ = M_кр => GI_кφ’ = θМ.

Произведение EI представляет жесткость бруса на изгиб перпендикулярно плоскости моментов М, произведение GI_к – жесткость на кручение. Преобразуем эти выражения, получим:

φ'' = k²φ = 0

коэффициентом k² обозначили выражение .

Решая дифференциальное уравнение второго порядка, имеем

φ = С₁ sinkz + C₂ coskz.

Функция φ при z = 0 и z = l превращается в ноль, отсюда С₂ = 0, С₁ sinkz = 0. Следовательно, kl = 0; π; 2π; 3π … Минимальное отличное от нуля значение представляет kl = π. Тогда

В случае балки с защемленными концами можно воспользоваться методом приведенной длины (Рис. 38),

Рис. 38

83. Учет сил инерции

Нагрузка, постепенно возрастающая с течением времени от нуля до своего максимального значения, называется статической нагрузкой. Силами инерции такой нагрузки пренебрегают. Если нагрузка изменяется во времени достаточно быстро (т. е. время, за которое нагрузка претерпевает существенные изменения, сравнимо по порядку с периодом собственных колебаний рассматриваемой системы), то такая нагрузка называется динамической. При такой нагрузке силы инерции учитываются. Под воздействием динамической нагрузки согласно принципу Даламбера каждый элемент рассматриваемого тела можно считать находящимся в состоянии равновесия под воздействием внешних сил. При этом величина инерции, действующей на отдельный элемент тела, определяется следующим соотношением:

dP_i = adm,

где dm – масса;

a – ускорение частица.

Сила инерции направлена противоположно направлению ускорения.

Массу элементарной частицы можно определить как отношение ее веса к ускорению силы тяжести:

Обозначим v – объемный вес материала, dV – объем элементарной частицы.

Получим:

Применяя такие рассуждения к стержневой системе, объемные силы инерции заменяют силами инерции, распределенными по оси стержней. Объем dV представим как произведение Fdx, тогда выражение, определяющее инерцию стержневых систем, представим в виде:

где F – площадь поперечного сечения.

84. Напряжение при свободных колебаниях системы

Рассмотрим тело, например, горизонтально расположенную балку, находящуюся в состоянии статического равновесия. Если наложить на эту балку нагрузку, а затем сразу же убрать ее, то балка прогнется до какого-то своего крайнего положения, а затем под действием сил упругости примет свое противоположное крайнее положение, эти колебания будут продолжаться в течение какого-то времени. Такой вид колебательного движения при отсутствии нагрузки называют собственными колебаниями системы (или свободными колебаниями в противоположность вынужденным колебаниям, возникающим при воздействии переменных внешних сил). Частицы колеблющейся системы испытывают на себе воздействие следующих сил: собственной силы тяжести, силы упругости, действующих со стороны смежных частиц, силы инерции согласно принципу Даламбера.

Рассмотрим теперь колебания системы с одной степенью свободы, состоящей из балки и закрепленного на ней груза массой Р. Инерция тела определяется соотношением

Р_i = ma.

Масса тела в этом примере означает массу груза, предполагается, что сама балка имеет нулевую массу. Ускорение представляет собой вторую производную от перемещения, в данном случае

A = d²∆ / dt²

где ∆ – прогиб под воздействием нагрузки Р, отсчитывается от положения равновесия балки. Обозначим прогиб балки от единичной силы ∆₁, тогда прогиб ∆ = Р_i ∆₁

Таким образом, можно записать выражение для инерции балки в следующем виде:

– (P/g)(d²∆ / dt²) = ∆ / ∆₁

Ускорение и сила инерции направлены противоположно, поэтому в формуле появляется знак минус.

Приведем полученное соотношение к виду:

(P/g)(d²∆ / dt²) + ∆ / ∆₁ = 0

Мы получили дифференциальное уравнение свободных колебаний системы, общее решение его имеет вид:

∆ = С₁ cos(wt + C₂)

и носит название уравнения свободных колебаний системы, в нем , С₁ и С₂ – постоянные интегрирования. Это уравнение показывает, что значение перегиба ∆ периодично повторяется с течением времени. Величина w называется циклической частотой колебаний и представляет собой число колебаний, совершаемых за промежуток времени 2πt. Временной интервал, за который система совершает одно полное колебание, носит название периода свободных колебаний, его величина определяется по формуле

Значения максимальных и минимальных прогибов от положения статического равновесия определяются из уравнений

cos(wt + C₂) = 1;

cos(wt + C₂) = 1

и носят название амплитуды.

Определим значение максимального полного напряжения. Оно возникает в тот момент времени, когда прогиб балки максимален, воздействие нагрузки на балку складывается из Р и Р_{i max}. В сечении середины балки действует максимальный изгибающий момент

Исходя из этого максимальное нормальное напряжение в балке вычисляется по формуле:

здесь W – момент сопротивления поперечного сечения балки.

85. Напряжение при вынужденных колебаниях системы

Рассмотрим горизонтально закрепленную балку, на которую статически наложена нагрузка Р, находящуюся в положении статического равновесия. Если воздействовать на эту балку внешней нагрузкой по некоторому закону, то балка периодично будет перемещаться из крайнего нижнего положения в крайнее высшее, т. е. совершать колебания, которые называются вынужденными. Предположим, что балка имеет нулевой вес, и что внешняя нагрузка S приложена в том же сечении, что и нагрузка P, закон ее изменения S(t) = S cosφt, где S – максимальное значение этой силы, φ – ее частота.

Прогиб балки от положения статического равновесия под совместным воздействием статической силы Р и динамической S вычисляется по формуле:

∆ = (P_i + S cosφt)∆1 => P_i = ∆ / ∆₁ – S cosφt,

где ∆₁ – прогиб от единичной силы.

Рис. 39

Момент инерции определяется соотношением

Р_i = ma = (P / g)(d²∆ / dt²),

где m = P / g – масса груза Р, a = d²∆ / dt² – его ускорение.

Таким образом,

(P/g)(d²∆ / dt²) = ∆ / ∆₁ – S cosφt.

Приведем полученное выражение к виду:

где – частота свободных колебаний системы. Полученное соотношение носит название дифференциального уравнения вынужденных колебаний системы второго порядка. Общее его решение называется уравнением вынужденных колебаний системы и имеет вид:

∆ = С₁ cos(wt + C₂) + (gS cosφt)(P(w² – φ²));

Первое слагаемое определяет свободные колебания системы, второе – вынужденные.

Амплитуда вынужденных колебаний определяется максимальным значением второго слагаемого.

Полное напряжение этой системы определяется следующим образом:

σ = σ_Sk + σ_P

где σ_S – напряжение от статического воздействия силы S, k = 1/(1 – φ²/w²) – динамический коэффициент, σ_P – напряжение от воздействия нагрузки P.

86. Удар. Определение напряжений. Проверка прочности

Под ударом понимается внезапное соприкосновение тел, при котором происходит резкое возрастание деформаций и напряжений в телах, которое постепенно уменьшается в течение короткого промежутка времени, и система приходит в состояние равновесия (Рис. 40.1). Считается, что при ударе не происходит отскока тел друг от друга, т. е. удар является неупругим.

Рассмотрим это явление на примере падения груза Р с некоторой высоты h на неподвижную систему. После удара система приходит в равновесие, напряжения и деформации в ней устанавливаются под воздействием статически приложенной силы Р (Рис. 40.2).

Рис. 40.1

Рис. 40.2

Определение напряжений и деформаций тела после удара составляет задачу расчета на удар. В основе этого расчета лежит предположение, что эпюра перемещений системы при ударе совпадает с эпюрой перемещений системы при статическом воздействии на нее:

где Δ_р и Δ_X – прогибы от удара в сечении воздействия силы Р и произвольном сечении x соответственно;

Δ_рс и Δ_xc – прогибы от статического воздействия силы Р в тех же сечениях;

k – так называемый динамический коэффициент, показывающий, во сколько раз прогиб при ударе превышает прогиб от статического воздействия силы.

Напряжения при динамическом воздействии силы относятся к напряжениям от статического воздействия силы так же, как и соответствующие перемещения:

Динамический коэффициент k учитывает вес и инерцию падающего тела, для его определения существует формула:

где v – скорость падающего тела в момент соприкосновения с системой.

87. Переменные напряжения. Основные определения

На практике часто встречаются случаи, когда механизмы и сооружения работают в условиях напряжений, периодически изменяющихся во времени по какому-либо закону.

– Совокупность значений напряжений в течение одного периода их изменений носит название цикла напряжений. Характеристики (параметры) цикла:

– максимальным (минимальным) значением напряжения (σ_max (σ_min)) называется его наибольшее (наименьшее) алгебраическое значение;

– средним напряжением называется половина алгебраического значения суммы макисмального и минимального напряжений:

– σ_ср = (σ_max + σ_min) / 2;

– амплитудой цикла называется половина алгебраической разности максимального и минимального значений напряжений:

– σ_а = (σ_max – σ_min) / 2.

– Если минимальное и максимальное значения напряжений численно равны, но противоположны по знаку, то цикл таких напряжений называется симметричным. В любом другом случае цикл называется асимметричным. Асимметричные циклы бывают знакопеременные и знакопостоянные Если минимальное или максимальное значение напряжений равно нулю, то цикл называется отнулевым или пульсирующим;

– отношений минимального напряжения к максимальному называется коэффициентом асимметрии цикла:

– R = σ_min / σ_max;

– иногда в расчетах используется понятие характеристики цикла:

Цикл можно полностью описать любыми двумя его параметрами, все остальные легко находятся из перечисленных формул.

Экспериментально установлено, что в случае переменных напряжений напряжения разрушения гораздо меньше, чем опасные напряжения для статических нагрузок. В любом материале существует некоторая неоднородность прочности, при воздействии статических нагрузок напряжения перераспределяются и разрушения не происходит. При воздействии динамических нагрузок в местах пониженной прочности возникают микротрещины, вокруг которых в свою очередь происходит концентрация напряжений, что приводит к увеличению трещин. Этот процесс накопления повреждений материала под периодически повторяющимся воздействием нагрузки называется усталостью материала.

Способность материала противостоять действию повторяющейся нагрузки без разрушений называется выносливостью материала. Для того чтобы определить какие-либо характеристики материала, производят так называемые испытания на выносливость, а расчет прочности конструкций при воздействии переменных напряжений – расчетом на выносливость. Пределом выносливости называется наибольшее из максимальных напряжений цикла, при котором не происходит усталостного разрушения образца после некоторого определенного (базового) количества циклов.