Текст книги "Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов"

64. Изгиб балки при действии продольных и поперечных сил

Рассмотрим одновременное воздействие на балку продольных и поперечных сил на примере (Рис. 30).

Пусть на балку АВ одновременно воздействуют равномерно распределенная сила q и продольные сжимающие силы P. Если предположить, что прогибы балки незначительны и ими можно пренебречь, то можно считать, что продольная сила Р будет вызывать только осевой сжатие балки.

Нормальное напряжение в любой точке произвольного поперечного сечения балки будет определяться как сумма напряжений, вызванных силами Р и нагрузкой q.

Напряжения от сжимающей силы будут равномерно распределены по сечению:

σ_р = –P / F.

Нормальные напряжения определяются по формуле:

σ_q = M_xz / I_y.

где M_x представляет собой изгибающий момент;

I_y – момент инерции;

z – координата рассматриваемой точки.

Полное напряжение представится в виде суммы:

σ = σ_р+ σ_q = –P / F + M_xz / I_y

Найдем максимальное значение нормального напряжения. Вследствие того, что нормальные напряжения равномерно распределены по сечению, опасными будут точки, наиболее удаленные от центра сечения. Напряжение для них определяется следующим образом:

Знаки каждого их слагаемых устанавливают по построенным эпюрам σ_N, σ_M. В большинстве случаев для опасной точки знаки всех слагаемых совпадают.

Рис. 30

Напряжения в крайних точках сечения

σ₁ = –P / F + M_max / W,

σ₂ = –P / F – M_max / W.

Искомое максимальное напряжение в таком случае:

Описанный ход расчета применяется и при действии на балку наклонных сил. Такую силу можно разложить на нормальную к оси, изгибающую балку, и продольную, сжимающую или растягивающую.

65. Внецентренное растяжение и сжатие

Рассмотрим сочетание пространственного изгиба и растяжения (или сжатия) прямого бруса. Если в числе действующих на брус нагрузок есть силы, направление которых не совпадает ни с одной из главных центральных осей, их следует разложить на составляющие по этим осям.

В произвольном поперечном сечении бруса возникают пять внутренних силовых факторов: продольная сила N_z; поперечные силы Qх и Qу; изгибающие моменты Мх и Му. В частных случаях некоторые из указанных величин могут быть равны нулю. Например, если равны нулю поперечная сила Qх и изгибающий момент Му, будет сочетание прямого изгиба в главной плоскости z Oy с растяжением или сжатием. Влияние поперечных сил не учитывается.

Для определения положения опасного поперечного сечения следует построить эпюры Nz, Mx и Мy.

Линейные перемещения определяют путем геометрического суммирования перемещений в трех взаимно перпендикулярных направлениях – вдоль осей х, у, z.

При нагружении бруса внецентрово приложенной силой, параллельной его продольной оси, также получается сочетание изгиба с растяжением или сжатием (в зависимости от направления силы). В любом поперечном сечении бруса возникают три внутренних силовых фактора:

Nх = F;

Мх = Fy_F;

My = Fx_F,

где у_F и х_F – координаты полюса (точки приложения силы) в системе главных центральных осей.

В общем случае внецентрового растяжения (сжатия) получается сочетание чистого косого изгиба с центральным растяжением или сжатием.

Чистый косой изгиб в свою очередь сводится к двум чистым прямым изгибам во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Нормальные напряжения, возникающие в поперечном сечении бруса, можно на основе принципа независимости действия сил рассматривать как результат наложения трех систем напряжений: определяемых его растяжением или сжатием (σNz), напряжений от прямого изгиба в главной плоскости zOy (σMx), то же, прямого изгиба в главной плоскости zOx (σMz).

Нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения определяется как алгебраическая сумма трех указанных напряжений:

σ = σMz + σMy + σMx.

При сочетании изгиба с растяжением (сжатием) нулевая (нейтральная) линия – прямая, не проходящая через начало координат (центр тяжести сечения).

66. Ядро сечения

Некоторые материалы не могут сопротивляться растяжению или же выдерживают незначительные растягивающие напряжения, и поэтому их не применяют при изготовлении элементов конструкций и сооружений, подвергающихся деформациям изгиба, кручения или растяжения. В центрально или нецентрально сжатых элементах растяжения практически не возникают, если точка приложения внешней силы сжатия расположена в некоторой области сечения, называемой ядром сечения, и тогда указанные материалы могут использоваться для изготовления таких элементов. Ядром сечения называется некоторая область, находящаяся примерно в центре сечения, удовлетворяющая следующему условию: приложение сил сжатия к любой точке этой области вызывает появление сжимающих напряжений во всем сечении. Если сжимающие силы приложены вне ядра сечения, в поперечном сечении возникают не только сжимающие, но и растягивающие напряжения.

Если при расчете внецентренно сжатого элемента известно положение ядра сечения, то по эксцентриситету сжимающей силы можно определить наличие в поперечном сечении растягивающих напряжений.

При построении ядра сечения сначала определяются положение центра тяжести сечения, положение главных центральных осей, значения главных моментов инерции и квадратов радиусов инерции. После этого вершины углов многоугольника (внутренние углы не считаются) рассматриваются как полюсы, и для каждого из них определяется нулевая линия. Ограниченный нулевыми линиями контур представляет собой ядро сечения.

Для построения нулевой линии (нейтральной оси) существуют формулы, определяющие величины отрезков, отсекаемых нулевой линией на осях координат:

где i_y, i_z – радиусы инерции поперечного сечения бруса относительно главных центральных осей инерции;

e_y, e_z – эксцентриситеты приложенной силы относительно главных осей инерции.

Отрезки, отсекаемые нулевой линией сечения a₁ a₁, определяются следующим образом:

y₁ = –i_z² / e_y = –I_z / (Fe_y) = –(bh³ / 12) / (bh² / 2) = –h / 6;

z₁ = –i_y² / ez = –I_y / (Fe_y) = –(bh³ / 12) / (–b²h / 2) = b / 6.

67. Расчет статически определимых систем по допускаемым нагрузкам

При расчете статически неопределимых систем используется метод расчета, в котором используется основное условие прочности вида:

σ_max ≤ [σ]

Такой способ предлагает выбирать такое строение конструкции, чтобы максимальное напряжение в опасной точке не превышало допускаемого. Можно выбрать другой способ и задать условие, чтобы нагрузка, действующая на конструкцию, не превышала некоторой заданной величины, и выразить это условие неравенством.

P_max ≤ P_доп

Допускаемой нагрузкой будем считать некоторую нагрузку, составляющую 1 / k долю предельной нагрузки, т. е. той нагрузки, при превышении которой конструкция перестает нормально функционировать.

В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из двух стержней АВ и АС, нагруженных некоторой силой Р (Рис. 31).

Рис. 31

Найдем усилия N₁ = N₂. Так как точка А уравновешена, то:

N₁ = N₂ = P / 2 cosφ = N.

Площадь каждого стержня определится по формуле:

Исходя из способа допускаемых нагрузок:

P_max ≤ P_доп

Запишем это неравенство в виде равенства, введя коэффициент k, определяющий запас для напряжений:

Предельной величиной нагрузки здесь является величина, при которых напряжения в стержне сравниваются с напряжениями текучести:

Обозначим , тогда с учетом последнего выражения условие прочности запишется следующим образом:

P ≤ 2F[σ]cosφ

Отсюда:

Расчет по допускаемым нагрузкам привел в данном случае к тем же результатам, что и расчет по допускаемым напряжениям.

68. Расчет статически неопределимых систем по допускаемым нагрузкам

Для расчетов статически определимых систем применяется способ допустимых нагрузок, в котором условие прочности определяет не максимально допустимое напряжение стержня, а максимально допустимую нагрузку, действующую на всю конструкцию. При применении к статически неопределимым системам этот метод дает другие результаты.

Рассмотрим пример – систему, состоящую из трех стержней, находящуюся под воздействием нагрузки Q. Обозначим длины крайних стержней l₁, длину среднего стержня l₃. Равные углы между соседними стержнями обозначим φ.

Аналогично случаю статически определимой системы определим площадь F стержней.

N₁ = N₂

N₃ + 2N₁ – Q = 0.

Δl₁ = Δl₃ cosφ

Из закона Гука следует:

N₁ = N₃ cos²φ

Следовательно, N₃ = Q / (1 + 2cos³φ), N₁ = N₂Qcos²φ / (1 + 2cos³φ).

В связи с тем, что напряжение среднего стержня превышает напряжения крайних, подбор площади определяется согласно формуле:

Согласно способу допускаемых нагрузок условие прочности представим в виде:

Обозначим нагрузку Q_m^k максимальную нагрузку, при достижении которой вся конструкция переходит в состояние текучести. Средний стержень напряжен сильнее, чем другие, поэтому в нем раньше напряжение достигнет предела текучести. Соответствующая этому моменту нагрузка Q_m определяется следующим образом:

Q_m = (1+2cos³φ)N₃^m

где N₃^m = Fσ_m – усилие в среднем стержне, соответствующее его пределу текучести.

Чтобы напряжения в крайних стержнях достигли напряжений текучести, нагрузку необходимо увеличивать. При этом напряжения в среднем стержне не будут увеличиваться и заданная статически неопределимая система превратится в статически определимую. Такая схема работы нашей конструкции будет иметь место, пока

Q_m ≤ Q ≤ Q_m^k

Таким образом, метод расчета по допускаемым нагрузкам позволяет спроектировать статически неопределимую систему из материала, обладающего площадкой текучести, экономичнее, чем при расчете по допускаемым напряжениям, так как при способе расчета по допускаемым напряжениям мы считали за предельную нагрузку нашей конструкции величину Q_m, при которой до предела текучести доходил лишь материал среднего стержня, крайние же были недостаточно напряжены.

69. Понятие рамы. Выбор основной системы. Метод сил

Стержневой конструкцией называют конструкцию, которая состоит из элементов, формой напоминающих стержень. Если элементы этой конструкции работают на растяжение или сжатие, конструкцию называют фермой, если элементы работают на кручение или изгиб, конструкция называется рамой.

Стержневые конструкции подразделяются на статически определимые и статически неопределимые. Статически определимой называют систему, для которой при помощи уравнений равновесия возможно определить все реакции опор, а затем по ним методом сечения рассчитываются внутренние силовые факторы. Статически неопределимой называется система, для которой требуется составление дополнительных уравнений перемещений.

Количество лишних связей определяет число статической неопределимости. Для решения таких задач применяют метод сил, который заключается в следующем: необходимо преобразовать заданную статически непреодолимую систему в статически определимую путем устранения из нее лишних связей. Если к такой системе приложить дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакцию отброшенных связей, то устранение избыточных связей не будет сказываться на внутренних усилиях и деформациях. Такая система, полученная отбрасыванием лишних связей, называется основной. Реакции отброшенных связей имеют такие значения, при которых перемещения по их направлениям равны нулю.

Существует алгоритм преобразования статически неопределимых задач в статически определимые:

1) определяется степень статической неопределенности системы методом подсчета лишних связей;

2) лишние связи отбрасываются и заменяются неизвестными усилиями (определяется основная система);

3) составляются дополнительные уравнения деформации, основанные на положении, что перемещения в основной системе от внешних нагрузок и лишних неизвестных должны быть такими же, как и в заданной системе;

4) определяются внутренние усилия в элементах статически неопределимой системы (по методу сечений) путем решения полученных уравнений.

Система линейных уравнений вида:

δ₁₁X₁ + δ₁₂X₂ +…+ δ_1nX_n + Δ_1p = 0;

δ₂₁X + δ₂₂X₂ +…+ δ_2nX_n + Δ_2p = 0;

…………….

δ_n1X₁ + δ_n2X₂ +…+ δ_nnX_n + Δ_np = 0.

называется системой канонических уравнений метода сил. В ней δ_ijX_i – перемещения в направлении действия i-той силы под действием j-той силы, Δ_iр – перемещения в направлении действия i-той силы под действием нагрузки P (системы внешних сил).

Неизвестными в такой системе уравнений являются реакции отброшенных связей. Число уравнений равно числу отброшенных связей.

70. Канонические уравнения. Определения коэффициентов

Статически неопределимыми называются стержневые системы, при расчете усилий которых недостаточно уравнений статики и которые требуют составления дополнительных уравнений деформации. Такие задачи решают, как правило, при помощи метода сил, который заключается в следующем: статически неопределимая система освобождается от лишних связей, они заменяются силами и моментами. Сначала лишние связи заменяются неизвестными усилиями, затем составляются дополнительные уравнения деформации, из которых определяются внутренние усилия.

При устранении лишних связей мы имеем систему, называемую основной. В этой системе реакции отброшенных связей должны иметь значения, при которых перемещения по их направлению равны нулю. На основе принципа действия независимости сил можно записать выражения для перемещений в направлении каждой отброшенной связи:

Δ_I = Δ_il + Δ_i2 +…+ Δ_I,n-1 + Δ_in + Δ_ip = 0.

∆_ip – перемещения в направлении действия i-той силы под действием нагрузки P (системы внешних сил). Обозначим реакцию k-той связи X_k, перемещения Δ_ik = δ_ikX_ik:

Δ_i = δ_n1Х₁ + δ_n2Х₂ +…+ δ_nnХ_n + Δ_ip = 0.

Следовательно, условия эквивалентности заданной и основной систем выглядят следующим образом:

δ₁₁Х₁ + δ₁₂Х₂ +…+ δ_1nХ_n + Δ_1p = 0.

δ₂₁Х₁ + δ₂₂Х₂ +…+ δ_2nХ_n + Δ_2p = 0.

…………….

δ_n1Х₁ + δ_n2Х₂ +…+ δ_nnХ_n + Δ_np = 0.

Такая система уравнений называется системой канонических уравнений метода сил.

71. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости

Система, которая состоит из элементов стержнеобразной формы, подвергающихся воздействию изгиба или кручения, называется рамой. Если рама имеет симметричную форму, ее расчет значительно упрощается, так как снижается количество искомых силовых факторов.

На Рис. 32 приведены примеры нагружения рамы симметричной и несимметричной нагрузками.

Рис. 32

При симметричной нагрузке внешние силы, прикладываемые к одной стороне рамы, являются зеркальным отображением приложения внешних сил к другой стороне. При асимметричной (кососимметричной) нагрузке внешние силы, прикладываемые к одной стороне рамы, являются зеркальным отображением сил, приложенных к другой стороне с противоположным знаком.

Внутренние силовые факторы классифицируются аналогично внешним. Два изгибающих момента и нормальная сила представляют собой симметричные, две поперечные силы и крутящий момент – асимметричные факторы.

У симметричной рамы при наложении симметричной внешней нагрузки асимметричные силовые факторы в плоскости симметрии обращаются в нуль. Соответственно, при наложении асимметричной нагрузки обращаются в нуль симметричные силовые факторы. В рассматриваемой системе под воздействием симметричной нагрузки не возникает асимметричных перемещений, и наоборот, под воздействием кососимметричной нагрузки не возникает симметричных перемещений. Благодаря этому при составлении канонических уравнений, при помощи которых производятся расчеты таких систем, многие коэффициенты обращаются в нуль.

Если приложенная к системе нагрузка не является ни симметричной, ни асимметричной, то ее можно представить в виде симметричных и асимметричных составляющих.

72. Плоскопространственные системы

Стержневой конструкцией называется конструкция, состоящая из стержнеобразных элементов. Если эти элементы подвергаются воздействию сжатия или растяжения, то такая система называется фермой, если изгиба или кручения – рамой. Простейшим случай стержневых систем представляют собой плоские системы, в которых оси всех составляющих, действия всех внешних сил и реакций опор располагаются в одной плоскости, которая служит также и главной плоскостью сечений.

Системы, в которых оси составляющих элементов располагаются в одной плоскости, а действующие внешние силовые факторы и реакции опор – в перпендикулярной ей, называются плоскопространственными. Все остальные системы являются пространственными.

Плоскопространственные системы обладают следующим свойством: внутренние силовые факторы, лежащие в плоскости рамы, равны нулю. Докажем это. Рассмотрим пример плоскопространственной рамы, разрезанной в произвольном сечении. Изгибающий момент, крутящий момент, вертикальная поперечная сила, обозначим через X₁, X₂, X₃. Остальные факторы обозначатся через X₄, X₅, X₆. Одна из главных осей этого сечения располагается в плоскости рамы.

Для решения таких задач используется метод сил и составляется система канонических уравнений. Для такой рамы система уравнений выглядит следующим образом:

δ₁₁Х₁ + δ₁₂Х₂ + δ₁₃Х₃ + δ₁₄Х₄ + δ₁₅Х₅ + δ₁₆Х₆ = –δ_1p.

δ₂₁Х₁ + δ₂₂Х₂ + δ₂₃Х₃ + δ₂₄Х₄ + δ₂₅Х₅ + δ₂₆Х₆ = –δ_2p.

δ₃₁Х₁ + δ₃₂Х₂ + δ₃₃Х₃ + δ₃₄Х₄ + δ₃₅Х₅ + δ₃₆Х₆ = –δ_3p.

δ₄₁Х₁ + δ₄₂Х₂ + δ₄₃Х₃ + δ₄₄Х₄ + δ₄₅Х₅ + δ₄₆Х₆ = –δ_4p.

δ₅₁Х₁ + δ₅₂Х₂ + δ₅₃Х₃ + δ₅₄Х₄ + δ₅₅Х₅ + δ₅₆Х₆ = –δ_5p.

δ₆₁Х₁ + δ₆₂Х₂ + δ₆₃Х₃ + δ₆₄Х₄ + δ₆₅Х₅ + δ₆₆Х₆ = –δ_6p.

Так как при перемножении эпюров трех первых факторов на эпюры трех последних получаем нуль,

δ₁₄= δ₁₅= δ₁₆= δ₂₄= δ₂₅= δ₂₆= δ₃₄= δ₃₅= δ₃₆= δ₄₁= δ₄₂= δ₄₃= δ₅₁= δ₅₂= δ₅₃= δ₆₁= δ₆₂= δ₆₃= 0

система преобразуется к виду:

δ₁₁Х₁ + δ₁₂Х₂ + δ₁₃Х₃ = –δ_1р.

δ₂₁Х₁ + δ₂₂Х₂ + δ₂₃Х₃ = –δ_2р.

δ₃₁Х₁ + δ₃₂Х₂ + δ₃₃Х₃ = –δ_3р.

δ₄₁Х₄ + δ₄₂Х₄ + δ₄₃Х₄ = –δ_4р.

δ₅₁Х₅ + δ₅₂Х₅ + δ₅₃Х₅ = –δ_5р.

δ₆₁Х₆ + δ₆₂Х₆ + δ₆₃Х₆ = –δ_6р.

Если рама плоская, т. е. внешние силы действуют в плоскости этой рамы, то δ_1р, δ_2р, δ_3р обращаются в нуль и внутренние силовые факторы X₁, X₂, X₃ также равны нулю. Следовательно, в случае плоской рамы в ее плоскости возникают только внутренние силовые факторы. Если внешние силы расположены перпендикулярно плоскости рамы, то в нуль обращаются δ_1р, δ_2р, δ_3р и силовые факторы X₄, X₅, X₆. Если внешняя нагрузка смешанная, то ее можно разложить на составляющие и отдельно рассматривать плоскую и плоскопространственную системы.

73. Понятие об устойчивости сжатых стержней

При рассмотрении вопросов о деформации сжатия и растяжения было установлено, что тело теряет свою работоспособность при напряжениях, возникающих под воздействием нагрузки, превышающих допустимые пределы прочности и текучести. Практика показывает, что тело может потерять нормальную работоспособность и вследствие утрачивания первоначальной формы равновесия.

Тело может находиться в трех состояниях равновесия: устойчивом, безразличном и неустойчивом. Рассмотрим это утверждение на примере длинного металлического стержня.

Рис. 33.1

Рис. 33.2

Рис. 33.3

На ось стержня действует небольшая сила (Рис. 33.1). Если наложить на этот стержень небольшую поперечную нагрузку, стержень отклонится от своего первоначального положения (Рис. 33.2), затем вернется к своей первоначальной форме. Положение стержня на Рис. 33.1 определяет неустойчивое положение стрежня, на Рис. 33.2 – устойчивое. Если поперечная нагрузка будет увеличиваться и превысит некую допустимую, стержень изогнется, потеряет свою устойчивую форму равновесия (Рис. 33.3). Изгиб стержня, при котором теряется прямолинейное положение равновесия, называется продольным изгибом.

Сила F_кр, при которой стержень перестает сохранять свою первоначальную форму равновесия, называется критическим.

Экспериментальным путем установлено, что при маленьких по сравнению с критической нагрузках прогибы незначительны, но при приближении нагрузки к критическому значению прогибы быстро возрастают. Условие равновесия для стержня записывается в виде:

где F – действующая внешняя сила;

n_у – допустимый коэффициент запаса устойчивости.

Коэффициент запаса устойчивости подбирается несколько больше допустимого коэффициента запаса прочности.

Потеря равновесия нарушает нормальную работу конструкции, поэтому на практике критическая сила рассматривается как предельная. Потере устойчивой формы могут подвергаться не только гибкие стержни, но и тонкостенные оболочки, а также пластины.

74. Формула Эйлера для критической силы

Определим значение критической силы для сжатого стержня. Рассмотрим стержень, находящийся в критическом состоянии. Для длинного стержня моменты инерции относительно главных осей не равны, продольный изгиб происходит в плоскости наименьшей жесткости. Запишем приближенное дифференциальное уравнение для изогнутой балки:

Elv'' = M,

где v – прогиб балки.

Относительно центра тяжести изгибающий момент:

M = –F_крv.

Знак «–» появляется потому, что прогиб положителен, значит, момент отрицателен.

Elv'' = –F_крv.

Обозначим отношение F_кр / Fl = q² и получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка, из высшей математики его решение имеет вид:

v = C cosqz + D sinqz.

C и D – постоянные интегрирования, их можно найти из известных условий на концах стержня: при z = 0, v = 0; при z = l, v = 0.

При выполнении первого условия

v = D sinqz,

из чего следует, что ось изогнутого стержня представляет собой синусоиду. Из второго условия

D sinql = 0.

Очевидно, что коэффициент D не равен нулю, так как в этом случае при любых значениях z прогиб оставался бы равным нулю, т. е. стержень оставался бы в прямолинейном положении. Следовательно,

sinql = 0,

ql = 0, π, 2π…

При ql = 0 критическая сила также равна нулю, и такое решение задачи не имеет смысла. Так как практический интерес представляет наименьшее значение критической силы, считаем решением задачи ql = π.

Это соотношение носит название формулы Эйлера.