Текст книги "Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов"

54. Теорема о взаимности работ

Рассмотрим теорему о взаимности работ (теорему Бетти) на примере простейшей деформируемой линейно системы. Балка вначале нагружается сосредоточенной силой F₁, затем сосредоточенной силой F₂. Перемещение по направлению нагрузки при воздействии первой силы обозначим как z₁₁, перемещение по направлению нагрузки второй силы z₂₁ (см. Рис. 24.1). Перемещение по направлению нагрузки при воздействии второй силы в таком случае обозначим как z₂₂, перемещение по направлению нагрузки первой силы – z₁₂ (см. Рис. 24.2).

Рис. 24.1

Рис. 24.2

Рис. 24.3

Перемещения z₁₁ и z₂₂ называют главными перемещениями, перемещения z₁₂ z₂₁ – побочными. Теорема формулируется следующим образом: работа внешних сил первого состояния на перемещениях второго состояния равна работе сил второго состояния на перемещениях, вызванных силами первого состояния.

Доказательство: нагрузим балку сначала силой F₁, затем силой F₂ (Рис. 24.3). При этом работа первой силы на собственное перемещение определяется как A₁₁ = F₁z₁₁ / 2, работа второй силы на собственном перемещении A₂₂ = F₂z₂₂ / 2, дополнительная работа первой силы на перемещение z₁₂ A₁₂ = F₁z₁₂. Так как первая сила в этом случае остается постоянной, множитель 1/2 отсутствует. Дополнительная работа первой силы на перемещения, вызванные другими силами, называется виртуальной работой (рассматривается как возможная в случае двойного нагружения бруса). Полная работа определяется как сумма работ:

A₁ = A₁₁ + A₂₂ + A₁₂.

Теперь рассмотрим случай, когда тело подвергается воздействию силы F_2,, затем силы F₁. Работа первой силы на собственное перемещение определяется как A₁₁ = F₁z₁₁ / 2, работа второй силы на собственном перемещении A₂₂ = F₂z₂₂ / 2, дополнительная работа второй силы на перемещение z₂₁ A₂₁ = F₂z₂₁. Полная работа представляет собой сумму работ:

A₂ = A₁₁ + A₂₂ + A₂₁.

Так как работа сил не зависит от порядка их приложения, A₂₁ = A_12. Отсюда следует, что работа:

A₁ = A₂

или

F₁z₁₂ = F₂z₂₁.

Это и есть доказательство теоремы. Следует отметить, что теорема справедлива для случаев любых внешних нагрузок: сосредоточенных, распределенных, а также для внешних моментов (работа моментов вычисляется на угловых перемещениях).

Аналогично доказывается теорема для внутренних сил.

55. Теорема Максвелла – Мора

Частным случаем теоремы о взаимности работ является теорема о взаимности перемещений (теорема Максвелла): перемещение точки приложения единичной силы по направлению этой силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению точки приложения второй единичной силы по направлению этой силы, вызванному действием первой единичной силы.

Рассмотрим прогиб балки в некотором сечении. Для этого нагрузим сечение, прогиб которого будет определяться, некоторой единичной силой (эта сила используется только для возникновения перемещения и в дальнейшем рассматриваться не будет), при этом балка переместится на некоторое расстояние z₁₁ (Рис. 25.1 и 25.2). Теперь к нагруженной балке приложим силу F (Рис. 25.3). Для простоты считаем, что сила только одна, но вывод справедлив для любой нагрузки. Перемещение сечения, к которому приложена эта сила, составит z_FF, а перемещение сечения, к которому приложена единичная сила, изменится на величину z_1F.

Рис. 25.1

Рис. 25.2

Рис. 25.3

Рассмотрим работу внешних приложенных к балке сил. Статическая работа единичной силы равна A₁ = 0,5 × 1 × z₁₁. Работа статической силы A_F = 0,5 × F × z_FF. Единичная сила является постоянной при приложении силы F, и поэтому работа силы F на перемещение в направлении единичной силы A_1F = 1 × z_1F. Полная работа представляет собой сумму:

A = A₁ + A_F + A_1F = 0,5z₁₁ + 0,5Fz_FF + z_1F.

Потенциальная энергия, накопленная в балке, при действии двух сил запишется в виде:

где M_xF и M₁ – моменты от нагрузки единичной силы и силы F.

На основании закона сохранения энергии:

В этом уравнении первые и вторые слагаемые почленно равны, следовательно, и третьи слагаемые также будут равны.

Полученное выражение носит название интеграла Мора. Рассматривая балку, состоящую из нескольких участков, для каждого из которых можно определить изгибающие моменты, интеграл Мора определяется как сумма:

56. Способ Верещагина

При определении перемещений для тел постоянной жесткости интеграл Мора можно рассчитать графоаналитическим способом. Определим прогиб некоторой балки под действием нагрузки. К сечению, прогиб которого будет определяться, приложим единичную силу и построим эпюры изгибающих моментов от действующей нагрузки и единичной силы (Рис. 26.1 и 26.2).

Рассмотрим участок длиной l, для которого изгибающий момент описывается одной функцией. Границами этого участка являются сечения, имеющие изменения угла наклона. Интеграл Мора

На грузовом эпюре выделим нем элементарную площадку с площадью dw = M_Fxdz. На единичном эпюре момент можно записать как M_xF = ztgα. В интеграле Мора вынесем за знак интеграла жесткость и рассмотрим подинтегральное выражение.

Этот интеграл представляет статический момент площади w относительно оси y, который равен произведению:

Таким образом, для участка l, как видно из рисунка и последнего выражения:

Отыскав подобные выражения для каждого участка, составляющего тело, можно записать выражение для отыскания перемещений.

Такой способ вычисления интеграла Мора носит название правила Верещагина.

57. Гипотезы прочности

В каждой точке нагруженного тела действуют три главных напряжения (в общем случае). От соотношения этих напряжений зависит состояние тела. В случае сложного напряжения необходимо знать, какое сочетание из бесконечного множества сочетаний главных напряжений создает опасное состояние в точке тела. При составлении условий прочности сложного напряженного состояния используются допускаемые напряжения, рассчитанные в результате опытов на растяжение (сжатие). Необходимо найти так называемую эквивалентную комбинацию главных напряжений для сложного напряжения, при условии, что известны максимально допустимые безопасные напряжения для простого напряжения.

Для нахождения такой комбинации были установлены общие критерии разрушения, носящие название гипотез прочности. Эти гипотезы (или теории) представляют собой предположения о влиянии на прочность материала таких факторов, как напряжения (нормальные и касательные) и деформации. Невозможно установить фактор, являющийся главной причиной разрушения, так как все они действуют совокупно.

При сложном напряженном состоянии принято говорить не о предельном напряжении, а о предельном напряженном состоянии. В качестве предельного состояния в опасной точке детали принимается переход материала в окрестности данной точки из упругого состояния в пластическое или разрушение детали, выражающееся в образовании трещин.

При сложном напряженном состоянии вводится понятие коэффициента запаса прочности, который представляет собой число, на которое нужно умножить все компоненты тензора напряжений, чтобы получить предельное напряженное состояние (Рис. 27.1). Состояния, для которых все коэффициенты запаса прочности равны, называются равноопасными. Это позволяет сравнивать напряженные состояния, заменяя их равноопасным одноосным напряженным состоянием (Рис. 27.2). Напряжение, которое нужно создать в растянутом образце, чтобы его состояние стало равноопасным заданному напряженному состоянию, называется эквивалентным.

Рис. 27.1

Рис. 27.2

Заменив сложное напряженное состояние эквивалентным растяжением, можно использовать при сложном напряженном состоянии условие прочности для простого растяжения.

σ_экв ≤ [σ].

Для предельного состояния:

σ_экв = σ_т,

σ_экв = σ_в.

58. Статически неопределимые системы. Общие понятия и метод расчета

Статически неопределимыми называются системы, при расчете усилий которых недостаточно уравнений статики и которые требуют составления дополнительных уравнений деформации, которые вместе с обычными уравнениями равновесия дают возможность определить все опорные реакции.

Рис. 28.1

Рассмотрим опорные реакции для балки с одним жестко закрепленным концом А и вторым шарнирно закрепленным В, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки P: вертикальная А, горизонтальная H_A и опорный момент M_A, на опоре В возможно появление лишь одной реакции В (Рис. 28.1). Таким образом, число опорных реакций на одну больше, чем уравнений статики.

Теперь составим уравнения статики для рассматриваемой балки путем приравниванию к нулю сумму проекций всех сил на направление оси балки, на перпендикуляр к ней, и сумму моментов относительно точки А:

H_A = 0;

A + B – Pl = 0;

– M_A + Pl² / 2 – Bl = 0.

Примем за лишнюю реакцию опоры В. Будем считать, что эта балка получена из статически определимой балки АВ с жестко закрепленным концом А, к которой была добавлена дополнительная опора в точке В (Рис. 28.2).

Рис. 28.2

Эта статически определимая балка называется основной системой. Наложим на эту балку равномерную нагрузку Р и приложим избыточную реакцию В. Вследствие этого основная система станет эквивалентной заданной, статически неопределимой. Для полного совпадения поставим условие: прогиб точки В статически определимой балки под воздействием нагрузки равен нулю.

f_B = 0.

Это соотношение представляет собой добавочное уравнение, определяющее реакцию В, которое является условием совместности. Это уравнение можно решить несколькими способами, например способом сравнения деформаций.

59. Способ сравнения деформаций

Для расчета статически неопределимых систем используется метод расчета, который заключается в следующем: составляются все необходимые уравнения статики, статически неопределимое уравнение приводится к виду статически определимого, отбрасывают лишние связи и составляют уравнения деформации.

В качестве примера рассмотрим балку с одним жестко закрепленным концом А и вторым шарнирно закрепленным концом В, находящуюся под действием равномерно распределенной нагрузки P, приведенную к виду статически определимой системы (Рис. 29). Для этой балки составлено уравнение деформации f_B = 0. Решим его методом сравнения деформаций.

Рис. 29

Способ деформаций заключается в том, что сначала система деформируется под действием внешней нагрузки Р, затем подбирается некоторая величина, обозначаемая в нашем примере В, которая возвращает точку прогиба в первоначальное положение. Составим уравнения статики:

H_A = 0;

A + B – Pl = 0;

– M_A + Pl² / 2 – Bl = 0.

Прогиб точки В основной системы под действием нагрузок Р и В складывается из двух прогибов: f_BP, вызванного нагрузкой P, и f_BB, вызванного реакцией В.

f_B = f_BB + f_BP

Для определения прогибов нагрузим основную систему одной нагрузкой Р и одной реакцией В, тогда соответственно будут равны:

f_BP = –Pl⁴ / 8EI;

f_BB = Bl³ / 3EI.

Тогда прогиб точки В определяется как:

f_B = Bl³ / 3EI – Pl⁴ / 8EI = 0.

Отсюда находим В:

B = 3Pl / 8.

Подставим найденное значение в уравнение статики:

A + 3Pl / 8 – Pl = 0 => A = 5Pl / 8;

M_A = Pl² – 3Pl / 8 => M_A = Pl³ / 8.

Изгибающий момент М и поперечная сила Q определяются следующим образом:

M = Px / 2(3l / 4 – x);

Q = –P(3l / 8 – x).

60. Расчет неразрезных балок

Статически неопределимыми называются системы, при расчете усилий которых недостаточно уравнений статики и которые требуют составления дополнительных уравнений деформации. Статически неопределимые балки называют неразрезными балками. Их расчет обычно проводится при помощи уравнения трех моментов, которое выглядит следующим образом:

где M – изгибающие (опорные) моменты;

l – длины пролетов балки;

I – моменты инерции;

w – площади эпюров изгибающих моментов, возникающих от заданной внешней нагрузки в пролетах балки;

a и b – расстояния от центров тяжести указанных эпюров до опор.

Расчет неразрезных балок проводится по следующему алгоритму:

1) статически неопределимая система преобразуется в статически определимую путем отбрасывания избыточных связей;

2) составляется расчетная схема неразрезной балки; если один из концов балки защемлен, то со стороны этого конца к балке добавляется пролет с нулевой длиной;

3) слева направо нумеруются опоры и пролеты балок;

4) каждый пролет неразрезной балки рассматривается как обычная балка с двумя опорами, для каждого из них строятся эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки;

5) для каждой промежуточной опоры балки составляется уравнение трех моментов;

6) совместным решением системы уравнений для каждого пролета определяются значения опорных моментов;

7) для каждого пролета строятся эпюры Q, M как для однопролетной простой балки под действием заданной нагрузки, при этом можно воспользоваться следующими уравнениями:

Здесь M⁰ и Q⁰ – изгибающий момент и поперечная сила от заданной нагрузки в простой балке;

 – изгибающий момент от опорных моментов M_n M_n-1;

 – поперечная сила от опорных моментов M_n M_n-1.

8) определяются опорные реакции неразрезной балки по формуле D_n = Q_n,n+1 – Q_n,n.

61. Уравнение трех моментов

Статически неопределимые балки часто называют неразрезными балками. Расчет для них, как и других статически неопределимых систем, проводится при помощи метода сил:

– определяется степень статической неопределенности системы методом подсчета лишних связей;

– лишние связи отбрасываются и заменяются неизвестными усилиями (определяется основная система);

– составляются дополнительные уравнения деформации, основанные на положении, что перемещения в основной системе от внешних нагрузок и лишних неизвестных должны быть такими же, как и в заданной системе;

– определяются внутренние усилия в элементах статически неопределимой системы (по методу сечений) путем решения полученных уравнений.

Для неразрезных балок существует другой способ расчета, называемый способ уравнения трех моментов, позволяющий получить дополнительные уравнения не более чем с тремя неизвестными в каждом уравнении. При высокой степени статической неопределимости этот способ значительно упрощает расчет. Уравнение трех моментов устанавливает зависимость между тремя опорными моментами для двух смежных пролетов. Для неразрезной балки число таких уравнений равно числу промежуточных опор балки.

Приведем пример: многопролетную неразрезную балку. Опоры балки обозначаются слева направо 1, 2, 3, …, n – 2, n – 1, n, n + 1, n + 2, …. Рассмотрим два пролета балки, прилегающих к опоре n. Составляется уравнение, называемое уравнением трех моментов для опоры n.

где M – изгибающие (опорные) моменты;

l – длины пролетов балки;

I – моменты инерции;

w – площади эпюров изгибающих моментов, возникающих от заданной внешней нагрузки в пролетах балки;

a и b – расстояния от центров тяжести указанных эпюров до опор.

Уравнение трех моментов показывает, что взаимный угол поворота двух смежных поперечных сечений над опорой n равен нулю. В это уравнение входят три момента: M_n-1, M_n, M_n+1, которые являются неизвестными. Если при решении задачи эпюры изгибающих моментов представляют собой сложные фигуры, их следует рассматривать как составляющие простых фигур, тогда в уравнении трех моментов правая часть вместо произведений wa, wb представится в виде Σwa, Σwb.

Для балки постоянного сечения, уравнение о трех моментах записывается в виде:

62. Сложное сопротивление. Основные понятия

В случаях простого нагружения в поперечных сечениях стержня под действием нагрузки возникает только одно внутреннее усилие (продольная или поперечная сила, крутящий или изгибающий момент). Исключением является лишь общий случай плоского изгиба (поперечный изгиб), при котором в поперечных сечениях стержня возникают одновременно два внутренних усилия: изгибающий момент и поперечная сила. Часто встречаются и более сложные случаи, когда в поперечных сечениях стержня действует несколько внутренних силовых факторов (внутренних усилий), одновременно учитываемых при расчетах на прочность (например, продольная сила и крутящий момент), либо сочетание из трех (и более) внутренних усилий. Эти случаи называют сложным сопротивлением.

При сложной нагрузке рекомендуется строить эпюры внутренних усилий, позволяющие определить положение опасного сечения. В некоторых случаях по эпюрам внутренних усилий не представляется возможным с полной уверенностью установить, какое сечение является опасным, при этом по эпюрам устанавливают два (а иногда и более) предположительно опасных сечения и для каждого из них производят расчет. После этого на основании принципа независимости действия сил определяют нормальные и касательные напряжения от каждого внутреннего усилия отдельно. Исследуя распределения напряжений по сечению, устанавливают опасную (или предположительно опасную) точку, для которой и составляют условие прочности. При этом если окажется, что в опасной точке имеет место одноосное напряженное состояние (одноосное растяжение или сжатие), то для расчета на прочность достаточно сопоставить возникающее в этой точке суммарное (т. е. от всех внутренних усилий) нормальное напряжение с допускаемым растягивающим или сжимающим. В случае же, если напряжение в опасной точке является двуосным, расчет следует выполнить, применяя ту или иную гипотезу прочности. Выбор гипотезы прочности определяется в первую очередь состоянием материала (пластичное или хрупкое состояние).

При необходимости определения того или иного перемещения также используется принцип независимости действия сил (перемещения складывают геометрически).

К случаям сложного сопротивления относятся изгиб в двух плоскостях (косой изгиб), изгиб с растяжением (сжатием), внецентровое растяжение (сжатие).

При изгибе в двух плоскостях внешние силы, перпендикулярные оси стержня, не лежат в плоскости, проходящей через главную ось его поперечного сечения. В этом случае возникающий в поперечном сечении изгибающий момент можно разложить на два изгибающих момента, действующих в плоскостях, проходящих через главные оси сечения. Таким образом, изгиб в двух плоскостях можно рассматривать как сочетание двух плоских изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях.

63. Вычисление напряжений при косом изгибе

Если плоскость действия изгибающего момента, возникающего в поперечном сечении бруса, не совпадает ни с одной из его главных плоскостей то изгиб называют косым Различают плоский косой изгиб и пространственный косой изгиб.

При плоском косом изгибе все нагрузки расположены в одной плоскости, т. е. существует общая для всего бруса силовая плоскость. В рассматриваемом случае упругая линия бруса – плоская кривая, которая, в отличие от прямого изгиба, расположена в плоскости, не совпадающей с силовой плоскостью. Именно эта особенность характера деформации обуславливает наименование «косой изгиб».

При пространственном косом изгибе нагрузки, вызывающие косой изгиб, расположены в разных продольных плоскостях бруса. Упругая линия бруса в этом случае – пространственная кривая.

При поперечном косом изгибе (как при плоском и пространственном) в поперечных сечениях бруса возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы Q_x и Q_y и изгибающие моменты М_x и М_y. При чистом косом изгибе поперечные силы отсутствуют.

Для расчетов на прочность и жесткость практически безразлично, будет ли изгиб чистым или поперечным, так как влияние поперечных сил, как правило, не учитывают.

Косой изгиб можно рассматривать как совокупность двух прямых изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Расчет на прочность при косом изгибе ведется только при нормальном напряжении.

При косом изгибе напряжения определяются, основываясь на принципе независимости сил. Рассмотрим пример – консольную балку, нагруженную силой F, расположенной под углом φ к главной плоскости сечения. Нагрузку F можно разложить по координатам, совпадающим с главными плоскостями бруса: F_x F_y. Эти силы вызывают прямые изгибы бруса в плоскостях, в которых они расположены.

Q_x = F_x = F sinφ.

Q_y = F_y = F cosφ.

М_x = F_yz = Fz cosφ = M cosφ.

М_y = F_xz = Fz sinφ = M sinφ.

Нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения бруса определяется на основе принципа независимости действия сил как алгебраическая сумма нормальных напряжений σ_мх и σ_мy, каждое из которых обусловлено одним из прямых изгибов:

σ = σ_Мх + σ_Му = M_xy / I_х + M_yx / I_y.

Для имеющих две оси симметрии осей условие прочности в случае косого изгиба имеет вид:

где W_x W_y – осевые моменты сечения.

Для всех остальных сечений определяется положение опасной точки, наиболее удаленной от нейтральной оси сечения. Уравнение нейтральной линии выглядит следующим образом:

M_xy₀ / I_x + M_yx₀ / I_y = 0.

x₀, y₀ определяют положение нейтральной оси, которая проходит через центр тяжести сечения.

Определив положение нейтральной линии, можно найти наиболее удаленную от нее точку и определить максимальное значение напряжения в брусе.