Текст книги "Идеальная ставка"

Чтобы понять, какие факторы можно использовать для прогнозов, Болтон и Чэпмен применили свою модель к результатам двух сотен забегов. Обработка информации стала поистине актом героизма, потому что данные хранились на десятках компьютерных перфокарт. «Это была огромная коробка, – рассказывала Болтон, – и я годами таскала ее с собой». Перенос данных на компьютер тоже был непростой задачей: на ввод информации по одному забегу уходило около часа.

Из девяти факторов, протестированных Болтон и Чэпменом, наиболее важной для принятия решения о ставке оказалась средняя скорость. А вот вес животного, судя по всему, не играл никакой роли. Либо этот фактор был нерелевантным, либо перекрывался другим, более значимым фактором, так же как фактор воздействия дедушки на внешность внука перекрывается влиянием отцовских генов.

То, какие факторы оказались самыми важными, удивило даже самих исследователей. В ранней версии модели Билла Бентера отмечалось существенное влияние на размер ставки количества предыдущих забегов, в которых участвовала лошадь. Внятного объяснения, почему этот фактор столь значим, не было. Некоторые игроки ссылались на то, что каждый раз имел место «особый случай», но Бентер избегал спекуляций подобного рода. Он знал, что разные факторы могут накладываться друг на друга. Вместо того чтобы анализировать значение каждого из них, он сосредоточился на разработке модели, которая воспроизводила бы результат реального, задокументированного забега. Так же как игроки, выискивавшие рулетку с дефектом, он надеялся получить действенный инструмент прогнозирования без скрупулезного разбора факторов, лежащих в его основе.

Знать, как каждый отдельный фактор влияет на результат, важно не только в тотализаторе. Пока Гальтон и Пирсон изучали механизм наследования, пивоварня «Гиннесс» работала над увеличением срока годности своего стаута. Эту задачу поручили Уильяму Госсету – талантливому молодому статистику, зимой 1906 года прошедшему стажировку в лаборатории Пирсона.

Если игровые синдикаты не имели возможности повлиять на такие факторы, как, например, вес лошади, то «Гиннессу» ничто не мешало изменить состав пива. В 1908 году Госсет при помощи метода регрессии рассчитал количество хмеля, непосредственно влияющее на срок годности пива. Пиво без добавления хмеля могло храниться 12–17 дней, с добавлением оптимального количества хмеля – до нескольких недель.

Бетторы не слишком интересуются тем, какие факторы влияют на результат игры, – им гораздо важнее знать, насколько верны их предсказания. Казалось бы, проще всего проверить эффективность системы прогнозирования по итогам уже состоявшихся забегов. Но здесь возникают свои сложности.

Во время Второй мировой войны будущий исследователь теории хаоса Эдвард Лоренц работал в метеослужбе Воздушного корпуса армии США в Тихоокеанском регионе. Осенью 1944 года его команда выдала серию идеально точных прогнозов о погодных условиях для полетов между Сибирью и островом Гуам. Во всяком случае, по сообщениям летчиков, совершавших рейсы в указанных областях, прогнозы оправдались на все 100 %. Вскоре Лоренц выяснил истинную причину столь невероятной точности: поглощенные выполнением других задач, пилоты вообще не вели наблюдение за погодой и просто повторяли прогноз метеослужбы.

Та же проблема возникает, когда игровые синдикаты проверяют свои прогнозы при помощи данных, которые использовались для калибровки системы. Создать видимость идеальной модели легко. Достаточно выделить для каждого забега некий показатель, характеризующий победителя, а затем обобщить эти показатели в полном соответствии с данными выигравших лошадей. Вам кажется, что вы создали безупречную модель, но на самом деле вы лишь подогнали свой прогноз под заранее известные результаты.

Если игроки хотят узнать, сработают ли их стратегии в будущем, они должны проверять их на свежих данных. Поэтому синдикаты, собирая информацию о состоявшихся забегах, игнорируют часть результатов, строят систему прогнозов на оставшихся, а затем тестируют ее на прежде не использовавшихся данных. Это позволяет проверить, как модель ведет себя в реальных условиях.

Тестирование на свежих данных помогает убедиться, что модель удовлетворяет научному принципу «бритвы Оккама», суть которого состоит в следующем: если перед вами стоит выбор между несколькими объяснениями наблюдаемого события, лучше всего взять самое простое. Другими словами, если вы хотите построить модель реального процесса, вы должны отсечь от нее все, чему нет объяснения.

Проверка прогнозов на свежих данных позволяет бетторам не перегружать модель информацией, но этого мало: необходимо также определить степень ее точности. Это можно сделать при помощи статистического показателя под названием коэффициент детерминации. Коэффициент может иметь величину от 0 до 1 и применяется для измерения аналитического потенциала регрессионной модели. Показатель «0» говорит о том, что модель не работает вообще (игроки могли бы с тем же успехом выбирать победителя наугад); показатель «1» означает, что прогнозы точно совпадают с полученными результатами. Модель Болтон и Чэпмена имела показатель 0,09. Это было, конечно, лучше, чем выбор лошади наугад, однако множество факторов все же остались за рамками модели.

Ряд трудностей возник и с самими данными, которые использовали исследователи. Информация о 200 забегах поступала к ним с пяти американских ипподромов и содержала массу скрытых факторов: менялись условия скачек, у лошадей менялись соперники и жокеи. Будь у Болтон и Чэпмена больше данных, эту проблему можно было бы решить, но они располагали весьма ограниченной информацией – две сотни заездов, и все. Впрочем, в менее изменчивых условиях их система потенциально могла работать.

Если вы ищете экспериментальную площадку для изучения лошадиных скачек, Гонконг – это то, что вам нужно. Забеги здесь проводятся на одной-двух дорожках, так что комфортные лабораторные условия вам обеспечены. Объект вашего исследования также будет относительно стабилен: в США по всей стране соревнуются десятки тысяч лошадей, тогда как в Гонконге существует закрытый пул примерно из тысячи животных. В год проводится не более 600 соревнований, и одни и те же лошади соревнуются друг с другом снова и снова, а значит, вы сможете наблюдать похожие события по нескольку раз, к чему всегда стремился Пирсон. В Гонконге, в отличие от Монте-Карло с его лентяями-журналистами, достаточно доступной информации о лошадях и результатах их выступлений.

Начав анализировать гонконгские данные, Бентер понял, что для прогноза надо проанализировать от 500 до 1000 забегов. Если взять меньше, не удастся учесть влияние на итог разных факторов, и модель будет нерелевантной. С другой стороны, дальнейшее расширение выборки не скажется на улучшении прогноза.

В 1994 году Бентер опубликовал статью с изложением своей базовой модели ставок. Он включил в статью таблицу, в которой сопоставил свои прогнозы с исходом реальных скачек. Его результаты выглядели впечатляюще. Модель, за исключением нескольких мелких недочетов, казалась на редкость реалистичной. Тем не менее Бентер предупредил, что у нее есть один существенный недостаток: если кто-то попытается сделать ставку на основании его прогноза, результаты могут оказаться катастрофическими.

Предположим, на вас нежданно-негаданно свалилось богатое наследство, и вы решили потратить деньги на приобретение книжного магазина. С чего вам начать? Можно составить список магазинов, которые вы хотели бы купить, посетить каждый из них – посмотреть ассортимент, пообщаться с сотрудниками, провести аудит. А можно обойтись без всех этих сложностей и просто сесть у дверей магазина и подсчитать, сколько посетителей в него входит и сколько из них выходит с покупкой. Эти две противоположные стратегии отражают два основных способа инвестирования. Если вы досконально изучаете состояние компании, это значит, что вы проводите фундаментальный анализ; если вы наблюдаете, как компанию оценивают другие, значит, вы проводите технический анализ.

В прогнозах Болтон и Чэпмена был использован фундаментальный анализ. Этот метод основан на владении качественной информацией и максимально тщательной ее обработке. Мнения и взгляды знатоков скачек в анализе не учитываются. Здесь не имеет значения, как поступают другие игроки и на каких лошадей они ставят. Фундаментальный анализ игнорирует рынок азартных игр. С тем же успехом можно делать прогнозы в вакууме.

Предсказывать результат скачек из вакуума можно, но делать ставки – нет. Если синдикаты хотят заработать на ипподроме, они должны перехитрить других игроков. И тут фундаментального анализа мало. Бентер сравнил прогнозы, полученные при помощи фундаментального анализа, со ставками обычных игроков, и заметил кое-что, что его встревожило. Бентер искал оверлеи – лошадей, имевших, согласно его расчетам, больший шанс на выигрыш, чем тот, что подразумевают сделанные на них ставки. Именно на таких лошадей он ставил бы, если бы надеялся переиграть других бетторов. Но, ознакомившись с результатами забегов, Бентер обнаружил, что лошади в ситуации оверлея приходили к финишу первыми не так часто, как согласно его выкладкам должны были. Иначе говоря, их истинные шансы на выигрыш лежали где-то в промежутке между вероятностью, которую давала модель Бентера, и вероятностью, которая вытекала из сделанных ставок. В фундаментальном подходе определенно зиял пробел.

Даже если у группы бетторов есть своя система, не стоит игнорировать и мнение публики о шансах лошадей на выигрыш (его нетрудно увидеть на табло тотализатора), так как не все игроки делают ставки, основываясь лишь на информации из открытых источников. Кто-то может знать подробности стратегии, выбранной жокеем для забега, или обладать сведениями о режиме питания и тренировок лошади. Когда игрок пытается капитализировать эксклюзивную информацию, его действия влияют на ситуацию на табло.

Разумным решением было бы комбинировать два доступных источника экспертной информации – собственные расчеты и мнения других игроков, то есть коэффициенты ставок на тотализаторе. Именно такой подход выбрал Бентер. Изначально его система игнорирует ставки, сделанные другими игроками, – на первой стадии прогноз строится так, будто тотализатора вообще не существует. Но затем этот прогноз объединяется с мнениями других игроков. Шансы лошади на победу находятся между вероятностью, диктуемой моделью, и вероятностью, вытекающей из сделанных ставок. Весы могут крениться в ту или в другую сторону, в зависимости от того, какой прогноз окажется ближе к реальному результату. Стоит найти золотую середину – и удачный прогноз обернется денежным выигрышем.

Успех к Вудсу и Бентеру в Гонконге пришел не сразу. Первый год Бентер потратил на разработку статистической модели; Вудс в это время пытался заработать на эффекте предвзятости при оценке фаворитов и аутсайдеров. Игроки прибыли в Азию с капиталом в 150 тысяч долларов и за два года потеряли все. Потенциальных инвесторов их стратегия не заинтересовала. «Люди настолько не верили в систему, что не вложились бы в нее, даже пообещай мы им сто процентов дохода», – рассказывал Вудс.

В 1986 году дела пошли на поправку: модель Бентера, состоявшая из сотен тысяч строк программного кода, была готова к запуску. Вудс и Бентер собрали достаточно информации о результатах скачек, чтобы генерировать качественные прогнозы. За год, делая ставки согласно системе, они заработали 100 тысяч долларов.

Однако после первого успешного сезона у партнеров появились разногласия, и их сотрудничество прекратилось. В скором времени Вудс и Бентер сформировали конкурирующие синдикаты и принялись играть в Гонконге друг против друга. Позже Вудс признал, что у команды Бентера модель была лучше, но в последующие несколько лет обе группы сумели существенно увеличить прибыль.

В настоящее время в Гонконге действует несколько синдикатов, применяющих для вычисления результатов забега математические модели. Но просто угадать победителя сегодня недостаточно, так как это не приносит большой прибыли, и синдикаты предлагают более сложные ставки – например, на трех первых лошадей, которые придут к финишу в определенном порядке (так называемый «тройной экспресс» или трифекта). Кроме того, есть «три тройки» – ставка, предполагающая угадывание трех трифект подряд. Эти экзотические ставки могут принести огромный выигрыш, но и поле допустимой ошибки у игрока существенно снижается.

Один из недостатков оригинальной модели Болтон и Чэпмена заключается в том, что она рассматривает всех лошадей как в равной степени предсказуемых. Это предположение облегчает расчеты, но грешит против реальности. Для примера представим себе двух лошадей. Первая – образец надежности, она всегда приходит к финишу, показывая одно и то же время. Вторая лошадь непредсказуема, иногда она приходит гораздо раньше первой, иногда – сильно от нее отстает. В среднем обе лошади прибывают к финишу за одинаковое время. Если соревнуются только эти две лошади, шансы у них равны, и угадывать победителя – все равно что подбрасывать монету. Но что делать, если в соревнованиях принимает участие несколько лошадей с разным «уровнем надежности»? Если команда игроков хочет определить трех фаворитов, которые последовательно придут первыми к финишу, им необходимо учитывать все различия в предсказуемости между участниками забега. Долгие годы определить это не удавалось даже в лучших моделях прогнозирования лошадиных скачек. В последнее десятилетие, однако, синдикаты нашли способ справиться с проблемой. И произошло это не только благодаря развитию компьютерных технологий. Игрокам помогла одна старая теория, первоначально выдвинутая группой математиков, работавших над созданием водородной бомбы.

Январским вечером 1946 года Станислав Улам отправился спать с ужасной головной болью. На следующий день, проснувшись, он не мог говорить, и его срочно направили в больницу Лос-Анджелеса, и хирурги сделали ему операцию по вскрытию черепной коробки. Обнаружилось, что у Улама воспаление оболочек мозга, вызванное инфекционным заболеванием. Больному ввели пенициллин.

Улам родился в Польше, но в 1939 году, буквально за несколько недель до вторжения нацистов, был вынужден покинуть Европу и перебраться в США. Математик по образованию, в военное время он работал над проектом атомной бомбы в Лос-Аламосской национальной лаборатории, а затем преподавал математику в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе. Нельзя сказать, что это был его сознательный выбор: после войны пронесся слух, что лабораторию в Лос-Аламосе закроют, и Улам разослал свои документы в несколько престижных университетов, но не получил ни одного приглашения.

К середине весны 1946 года Улам полностью оправился от болезни. Время, проведенное в госпитале, не прошло для него даром: по зрелом размышлении он решил вернуться в лабораторию в Лос-Аламосе, которую никто и не думал закрывать – напротив, правительство выделило ей деньги на создание водородной «супербомбы». Улам присоединился к проекту, когда перед разработчиками стоял целый ряд вопросов. В частности, исследователи бились над проблемой прогнозирования цепной реакции в процессе детонации. Для этого требовалось вычислить частоту столкновения нейтронов и выяснить количество выделяемой бомбой энергии. К разочарованию Улама, при помощи обычных математических формул процесс не поддавался расчету.

В отличие от своих коллег-математиков Улам не относился к числу любителей проводить долгие часы за письменным столом. Коллега Улама как-то застал его за решением квадратного уравнения: «Наморщив от напряжения лоб, он своим мелким почерком строчил на доске формулы. Получив наконец ответ, он обернулся и с облегчением сказал: „Думаю, на сегодня я свое отработал“».

Ученый предпочитал генерировать новые идеи, а их реализацию оставлял другим. Находчивость он проявлял не только при решении математических головоломок. Зимой 1943 года Улам, работавший тогда в Висконсинском университете, заметил, что несколько его коллег перестали появляться на работе. Вскоре он получил письмо с приглашением присоединиться к некоему проекту в Нью-Мехико, однако никаких подробностей не сообщалось. Заинтригованный, Улам отправился в университетскую библиотеку – поискать информацию о Нью-Мехико. Он нашел всего одну книгу об этом штате. Улам проверил, кто брал издание до него, – и понял, куда пропали все его друзья. Зная об их научных интересах, он догадался, над чем они работают в пустыне.

Расчеты реакции ядерного синтеза в водородной бомбе в очередной раз зашли в тупик, когда Улам вспомнил о задачке, над которой размышлял в больнице. Восстанавливаясь после операции, ученый коротал время за пасьянсом «солитер» и однажды решил попробовать предугадать вероятность выпадения определенных комбинаций карт. Вместо того чтобы моделировать невероятное количество возможных комбинаций – Улам терпеть не мог подобной тягомотины, – он решил просто снова и снова раскладывать карты и смотреть, что получается. Если повторить эксперимент достаточное количество раз, полагал он, то можно получить ответ и без предварительных расчетов.

Годится ли этот прием для работы с нейтронами? Улам поделился своей идеей с ближайшим соратником – математиком Джоном фон Нейманом. Знакомство их продолжалось уже более десяти лет. Именно Нейман в 1930-х предложил Уламу уехать в США, а в 1943 году организовал приглашение Улама в Лос-Аламос. Вместе они выглядели весьма колоритно – солидный фон Нейман в безупречно строгом костюме и темпераментный Улам – типичный «рассеянный профессор» со сверкающим взглядом зеленых глаз.

Фон Нейман был человеком проницательным, а его привычка находить во всем логическую закономерность порой доходила до откровенной бестактности. Однажды во время поездки в поезде он проголодался и попросил кондуктора прислать к нему продавца сэндвичей. Кондуктор оказался не слишком вежливым и проворчал: «Пришлю, если увижу». На что фон Нейман ответил: «Разве мы движемся не в евклидовом пространстве?»

Когда Улам поделился с ним своими идеями по поводу пасьянса, фон Нейман сразу понял, что у них есть потенциал. Заручившись поддержкой еще одного коллеги, физика по имени Николас Метрополис, математики разработали метод прогнозирования цепной реакции при помощи многократного моделирования столкновения нейтронов. Это стало возможным благодаря недавнему появлению в Лос-Аламосе компьютера с программным управлением. Согласно требованиям организации, в которой работали ученые, для обозначения изучаемого метода следовало придумать кодовое слово. Метрополис предложил назвать его «методом Монте-Карло», в честь дяди Улама – завсегдатая казино и заядлого игрока.

Метод заключался в многократной имитации случайных событий. Ученым был необходим надежный способ получения множества случайных чисел. Улам в шутку предложил нанять людей, которые будут днями напролет бросать игральные кости. Впрочем, его шутливое предложение заставляло задуматься о серьезной проблеме: генерирование случайных чисел – задача сложная, а для проведения испытания ученым требовалось очень много таких чисел. Даже если бы журналисты из Монте-Карло относились к своим обязанностям более ответственно, данных Карла Пирсона для лос-аламосских исследований все равно не хватило бы.

Находчивый фон Нейман предложил создавать «псевдослучайные» числа, используя простую арифметику. Впрочем, он понимал, что при всем удобстве этот метод обладает значительными недостатками, а самое главное – не позволяет генерировать по-настоящему случайные числа. «Любой, кто рассматривает арифметические методы для создания случайных чисел, повинен в грехе», – шутил он позже.

С развитием компьютерных технологий качественная выборка случайных чисел стала доступнее, и метод Монте-Карло превратился в ценный инструмент для ученых. Эдвард Торп даже использовал его для разработки стратегий, описанных в книге «Обыграй дилера». Однако с лошадиными скачками все еще сложнее.

В блек-джеке не так уж много возможных комбинаций карт – человек за ними не уследит, но компьютер вполне способен справиться с этой задачей. А вот на исход скачек оказывают влияние более сотни факторов. При изменении любого из них меняется и прогноз, причем число вариантов изменений с трудом поддается подсчету. Просто перебирая отдельные факторы, рабочую модель оптимальной стратегии не построишь. Каждое новое предположение может с одинаковой долей вероятности оказаться наилучшим, тогда как в идеале оно должно быть лучше предыдущего. Следовало найти метод, обладающий некой формой памяти.

Пуанкаре и Борель были не единственными учеными, которые в начале ХХ века интересовались расположением карт в колоде. Этот вопрос занимал и Андрея Маркова – русского математика, известного своим ярким талантом и кипучим темпераментом, за что в молодости он даже получил прозвище Андрей Неистовый.

В 1907 году Марков опубликовал работу о случайных событиях, в которых задействован фактор запоминания. Одним из примеров было тасование карт. Как десятилетия спустя заметил Торп, порядок карт в колоде после тасования зависит от их предыдущего расположения, причем память эта кратковременна. Чтобы спрогнозировать расклад после очередного тасования, вам необходимо знать лишь текущий порядок карт, а информация об их расположении несколько шаффлов назад уже не имеет значения. Благодаря работам Маркова эта одноступенчатая память получила название «марковского свойства»; когда случайные события повторяются несколько раз подряд, говорят о «цепи Маркова». Ее можно встретить в самых разных азартных играх – от карточных до «змеек» и «лесенок». Также это явление может помочь при поиске скрытой информации.

Помнит ли читатель, что необходимо сделать по меньшей мере шесть «ласточкиных хвостов», чтобы как следует перемешать карты в колоде? Мы знаем об этом не в последнюю очередь благодаря математику и профессору Стэнфордского университета Перси Диаконису. Спустя несколько лет после публикации его статьи, посвященной тасованию карт, в Стэнфорд обратился психолог из местной тюрьмы с просьбой решить математическую головоломку. С собой он принес закодированные письма заключенных, каждое из которых состояло из кружочков, черточек и точек. Диаконис поручил разгадку кода одному из своих студентов – Марку Кораму. Тот предположил, что заключенные используют подстановочный шифр, и каждый символ – это отдельная буква. Трудность заключалась в том, чтобы понять, какая буква скрыта за каким символом. Задачу можно было попробовать решить методом проб и ошибок. При помощи компьютера Корам мог пробовать разные комбинации букв и проверять полученный текст до тех пор, пока в нем не появится смысл. В этом и заключается метод Монте-Карло. Рано или поздно Корам расшифровал бы письма, но потратил бы на это невероятно много времени.

Он решил не угадывать наобум, а использовать марковское свойство, чтобы предположения раз за разом становились все более точными. Для начала требовалось оценить качество каждого предположения. Корам загрузил в компьютер роман «Война и мир» и проанализировал, как часто в тексте встречаются различные пары букв. Это помогло ему понять, с какой вероятностью эти сочетания букв должны появляться в зашифрованных письмах.

Корам раз за разом случайным образом включал в шифр пару букв и проверял, улучшилась ли его догадка. Если полученное буквосочетание больше, чем предыдущее, походило на фрагмент осмысленного текста, Корам двигался дальше, если нет – возвращался к предыдущему предположению. Иногда его ставили в тупик невероятные сочетания. Стоявшая перед Корамом задача напоминала сборку кубика Рубика, где самый быстрый путь к решению иногда включает шаг, который на первый взгляд ведет в неправильном направлении. Как и в случае с кубиком Рубика, этот шифр невозможно было разгадать, предпринимая шаги лишь «в сторону улучшения».

Идея комбинирования метода Монте-Карло с марковскими свойствами впервые зародилась в лабораториях Лос-Аламоса. Когда в 1943 году Ник Метрополис присоединился к команде, он работал над проблемой, которая занимала еще Пуанкаре и Бореля: Метрополис пытался понять механизм взаимодействия между отдельными молекулами. Для этого необходимо было решать уравнения, описывающие столкновение частиц, – почти невыполнимая задача, учитывая уровень вычислительной техники тех времен.

Метрополис и его коллеги мучились над этой проблемой годами, прежде чем осознали: соединив метод перебора Монте-Карло с цепью Маркова, они смогут сделать заключение о свойствах вещества, исходя из взаимодействия его частиц. Путем последовательных и продуманных предположений можно будет постепенно получить представление о величинах, которые невозможно наблюдать напрямую. Прием, получивший название «марковской цепи Монте-Карло», по сути, основывался на том же подходе, который использовал Корам для расшифровки тюремных сообщений.

Для взлома тюремного кода Кораму потребовалось проверить несколько тысяч вариантов буквосочетаний, что заняло намного меньше времени, чем расшифровка сообщения путем обычного перебора. Одна из тюремных записок повествовала о драке: «Тот парень орал как ненормальный а я говорю por favor[1] 1
  Пожалуйста (исп.).


[Закрыть]чувак завали дупло я тут в шахматы играю».

Чтобы расшифровать тюремные письма, Кораму необходимо было рассмотреть набор ненаблюдаемых величин (букв, каждая из которых соответствовала определенному символу) и проанализировать их в составе буквосочетаний – той единицы, которую он мог выделить. В лошадиных скачках игроки в тотализатор сталкиваются с похожей проблемой. Они не знают ни того, насколько непредсказуем каждый участник забега, ни того, как каждый возможный фактор повлияет на прогноз. Но для отдельно взятого уровня неопределенности и ограниченной комбинации факторов можно вычислить степень совпадения прогнозируемого результата с реальными итогами забега. Этот метод отражает классический подход Улама: вместо того чтобы решать набор сверхсложных уравнений, игроки поручают эту работу компьютеру.

Сегодня марковская цепь Монте-Карло позволяет синдикатам составлять более качественные прогнозы и даже получать значительные выигрыши по экзотическим ставкам вроде «трех троек». Но успешным игрокам недостаточно просто найти брешь в системе тотализатора. Необходимо знать, как правильно ею воспользоваться.

Если вы играете в «орла или решку» и ставите один доллар на решку, то в случае выигрыша получаете в качестве вознаграждения заслуженный доллар. Тот, кто предложит вам снова поставить уже два доллара, окажет вам услугу: теперь с вероятностью 50 % вы можете выиграть два доллара и с такой же вероятностью – проиграть один доллар, то есть ожидаемая прибыль составит 50 центов.

Какой суммой вы отважились бы рискнуть, если бы вам позволили увеличить ставку? Всеми своими деньгами? Половиной? Если поставите слишком много, можете потерять все свои сбережения при шансе на успех 50 на 50; поставите слишком мало – и упустите шанс разбогатеть.

Закончив работу над системой для блек-джека, Торп заинтересовался проблемой управления игровыми финансовыми ресурсами. Какую сумму лучше всего ставить, если понимаешь, что у тебя есть перед казино некоторое преимущество? Ответ ученый нашел в стратегии под названием «критерий Келли». Названа она в честь Джона Келли, рискового техасского физика, который в 1950-х работал с Клодом Шенноном. Келли утверждал, что при продолжительной игре процентный размер ставки (РС) должен быть равен прогнозируемому игроком коэффициенту (ПК), поделенному на реальный коэффициент (РК):

РС % = (РК × ПК – 1) / (РК – 1).

В приведенном выше примере с «орлом и решкой» критерий Келли составит ожидаемый выигрыш (полдоллара), поделенный на потенциальный выигрыш (два доллара). В этом случае величина равна 0,25, что означает, что вы должны поставить четверть от имеющейся у вас суммы. В теории ставка с этой суммой гарантирует хорошую прибыль без риска разориться. Подобные расчеты могут применяться и для игры на ипподроме. Участники тотализатора могут узнать вероятность победы определенной лошади согласно применяемой ими модели, видя на табло, как оценивает ее шансы публика. И если, по мнению публики, шансы на победу у лошади ниже, чем предсказывает модель, появляется возможность выиграть хорошие деньги.

Несмотря на то что критерий Келли отлично зарекомендовал себя в блек-джеке, у него есть определенные недостатки, особенно заметные при использовании формулы на скачках. Во-первых, критерий Келли предполагает, что вы точно просчитали вероятность события. Вычислить вероятность выпадения орла или решки нетрудно, но на ипподроме все не так однозначно: модель лишь приблизительно оценивает шанс лошади на победу. Если игроки переоценивают возможности лошади, то, следуя критерию Келли, они могут сделать слишком большую ставку, увеличив тем самым риск проигрыша. Соответственно, если переоценить шансы в два раза – например, предположить, что у лошади 50 % шансов на победу, в то время как в реальности они составляют 25 %, такая ошибка способна привести к банкротству. По этой причине ставки синдикатов обычно вполовину или даже на две трети меньше, чем предполагает критерий Келли. Это уменьшает риск потери больших (если не всех) денег.

Меньшие ставки также помогают командам преодолеть одну хитрость гонконгского тотализатора. Если вы полагаете, что ставка на определенную лошадь принесет вам большой выигрыш, то, согласно критерию Келли, вы должны сделать крупную ставку. Если вы абсолютно уверены в результате, то должны поставить всю имеющуюся у вас сумму. Но при игре в тотализатор это не всегда хорошая идея. Шансы лошади зависят от поставленной на нее суммы, соответственно, чем больше игроков ставит на одну и ту же лошадь, тем меньше денег причитается каждому из них в случае ее победы.

Даже одна большая ставка может кардинально изменить ситуацию. Например, вы можете сравнить свой прогноз, сделанный при помощи модели, с данными на табло тотализатора и заключить, что вероятный выигрыш составляет 20 %. Если вы сделаете ставку в один доллар, то общей картины не измените и получите свои 20 %. Если у вас водятся лишние деньги, вы можете сделать более крупную ставку – в соответствии с критерием Келли это будет разумный шаг. Однако при ставке 100 долларов выигрыш немного снизится и составит уже 19 %. Впрочем, вы все же получите положенные вам 19 долларов.