Текст книги "Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие"

1.8. Алгебра множеств и двойственность

Абстрактная алгебра занимается изучением операций, производимых над некоторыми элементами. К настоящему времени идеи абстрактной алгебры используются не только для математических методов, но и позволяют получать практические результаты. Операции объединения, пересечения и дополнения, производимые над множествами, удовлетворят определенным законам (или тождествам) и образуют алгебру множеств. Поскольку числовая алгебра появилась раньше, то возникает вопрос, какая из операций (пересечение или объединение) «похожа» на операцию сложения чисел и какая – на операцию умножения. Ответить на этот вопрос едва ли возможно. Для чисел, например, выполняется только дистрибутивность умножения относительно сложения, а в алгебре множеств рассматривают два закона дистрибутивности: пересечения относительно объединения и объединения относительно пересечения.

Важным при выполнении операций является их приоритет. Сначала выполняется операция дополнения, затем пересечения и затем объединения.

Множества удовлетворяют следующим законам (или тождествам):

Принцип двойственности алгебры множеств

Нетрудно заметить, что тождества в таблице располагаются парами, например первое тождество A ∩ B = B ∩ A имеет парное A ∪ B = B ∪ A, и это выполняется для всех остальных законов алгебры множеств.

Принцип двойственности состоит в том, что если верно какое-либо тождество, то тождество, полученное из него путем замены каждой из операций ∩, ∪, а также U и Ø на операции ∪, ∩, Ø и U, соответственно, будет также верно. Поэтому у любого тождества есть его «двойник», отличающийся тем, что у него каждая операция замена на парную ей (объединение на пересечение, а пересечение на объединение) и при этом пустое множество заменяется на универсальное, а универсальное на пустое. Принцип двойственности очень важен, поскольку если доказана истинность какого-либо выражения, то истинность двойственного ему можно не доказывать – оно будет истинно вследствие данного принципа. Например, для верного тождества

A = (A ∩ BC ∩ CC) ∪ (A ∩ (B ∪ C))

двойственное ему будет также верным тождеством

A = (A ∪ BC ∪ CC) ∩ (A ∪ (B ∩ C)).

Или для верного тождества

A = (A ∩ U) ∪ (A ∩ B ∩ C),

двойственное ему тождество A = (A ∪ Ø) ∩ (A ∪ B ∪ C).

1.9. Доказательство тождеств с множествами

Для доказательства равенства тождеств обычно используются четыре метода:

1) элементный метод;

2) диаграммы Венна;

3) табличный метод;

4) алгебраический метод.

Элементный метод основан на том, что для произвольно выбранного элемента x из множества, заданного в левой части тождества, доказывается, что этот элемент принадлежит и множеству правой части этого тождества. Затем выбирается произвольный элемент из правой части и показывается, что он входит и в левую часть. Вместе это доказывает, что оба множества состоят из одних и тех же элементов.

Докажем далее законы алгебры множеств.

Доказательство коммутативности (или сочетательного свойства) операций объединения и пересечения самоочевидно, поскольку ни в определении пересечения, ни в определении объединения ничего не говорится о порядке подмножеств.

Ассоциативность (или сочетательный закон) также просто доказывается. Покажем, что (A ∩ B) ∩ C ⊆ A ∩ (B ∩ C). Если x ∈ (A ∩ B) ∩ C, то x ∈ (A ∩ B) и x ∈ С, из x ∈ (A ∩ B) следует, что x ∈ А и x ∈ B, т. е. x принадлежит всем трем множествам A, B и C. Следовательно, x ∈ (B ∩ C) и x ∈ A ∩ (B ∩ C). Обратное включение показывается аналогично, поскольку множество в правой части тождества также образовано из элементов (и только из таких), которые входят в каждое из множеств A, B и C. Ассоциативность для операции объединения следует из того, что элементы в множестве левой части тождества и элементы в множестве правой части состоят из таких и только таких элементов, которые принадлежат по крайней мере одному из подмножеств A, B и C.

Идемпотентность означает, что если x ∈ A ∩ A, то, значит, x принадлежит пересечению множества A с самим собой, т. е. x принадлежит самому множеству A. Если элемент x ∈ A ∪ A, то x принадлежит объединению множества A с самим собой, т. е. и в этом случае он принадлежит только множеству A.

Докажем дистрибутивность пересечения относительно объединения.

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Необходимо убедиться, что множества, стоящие в левой и правой частях этого тождества, состоят из одних и тех же элементов. Сначала покажем, что множество левой части включается в множество правой части.

A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Пусть x ∈ A ∩ (B ∪ C). Тогда по определению операции пересечения x ∈ A и x ∈ (B ∪ C). Если x ∈ B, то тогда x принадлежит и A и B и поэтому он принадлежит и их пересечению x ∈ (A ∩ B). Но поскольку x принадлежит объединению B и C, то он может принадлежать не только B, но и С и даже обеим этим множествам. Если x ∈ С, тогда он принадлежит и пересечению А и С, т. е. x ∈ (A ∩ C). Но отсюда можно видеть, что в любом из этих случаев x принадлежит к какому-то из множеств: либо (A ∩ B), либо (A ∩ C), и тогда в соответствии с определением операции объединения x принадлежит и объединению этих множеств x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) и поэтому A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Теперь покажем, что множество из правой части включается в множество левой.

Пусть x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Если x ∈ (A ∩ B), то отсюда x ∈ A и x ∈ В. Но поскольку x ∈ В, то он принадлежит и объединению множества В с любым другим множеством, в частности и с множеством С, т. е. x ∈ (B ∪ C). В связи с тем, что x входит в множество A и в множество (B ∪ C), то он входит и в их пересечение. Если же x ∈ (A ∩ C), то тогда x ∈ A и x ∈ С. Но поскольку x ∈ С, то он принадлежит и объединению В с любым другим множеством, т. е. x ∈ (B ∪ C). Поскольку и в этом случае x входит в оба множества: и в А и в (B ∪ C), то он входит и в их пересечение x ∈ A ∩ (B ∪ C), поэтому(A ∩ B) ∪ (A ∩ ∩ C) ⊆ A ∩ (B ∪ C).

Докажем теперь двойственное тождество, т. е. дистрибутивность объединения относительно пересеченияA ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Для этого надо показать, что всякий элемент x множества A ∪ (B ∩ C) принадлежит и множеству (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Если элемент x принадлежит множеству А, то он принадлежит и множеству A ∪ (B ∩ C), потому что оно содержит множество А. В то же время если x ∈ A, то он входит и в пересечение (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Допустим, x не является элементом множества А. Тогда он должен принадлежать пересечению (B ∩ C), а также каждому из множеств B и C в отдельности. Тогда по определению операции объединения x ∈ (A ∪ B) и x ∈ (A ∪ С). Из этого следует, что x принадлежит и пересечению этих множеств (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). И в том и в другом случае x из левого множества входит и в правое. Пусть x принадлежит правому множеству. Тогда если он принадлежит множеству А, то он принадлежит и множеству A ∪ (B ∩ C) по определению объединения. Если он не принадлежит А, то тогда он принадлежит и В и С в отдельности, а значит, он принадлежит и пересечению (B ∩ C) и поэтому в каждом из этих случаев любой элемент из правого множества входит в левое множество, что и требовалось доказать.

Докажем законы поглощения.

A ∩ (A ∪ B) = A,

A ∪ (A ∩ B) = A.

Доказательство обоих законов очевидно. Пусть, например, x ∈ A ∩ (А ∪ В). Тогда мое x ∈ A и x ∈ (А ∪ В). Если допустить, что поскольку x принадлежит объединению А и В, то он принадлежит множеству В, но не принадлежит множеству А, но это приводит к противоречию, поскольку по определению пересечения x ∈ A. Другими словами, любой элемент левого множества может быть только из множества А.

Для доказательства закона де Моргана (A ∩ B)С = AC ∪ BC покажем сначала, что левое множество включается в правое (A ∩ B) С ⊆ AC ∪ BC. Пусть x∈(A ∩ B)С. Тогда x ∉ A ∩ B. Из этого следует, что х не входит в оба множества одновременно, т. е. он не входит либо в А, либо в В. Если он не входит в А, то тогда он входит в АС, а если он не входит в В, то тогда он входит в ВС. Отсюда следует, что х ∈ AC ∪ BC и поэтому (A ∩ B) С ⊆ AC ∪ BC.

Докажем теперь, что всякий элемент х из множества AC ∪ BC принадлежит и множеству (A ∩ B)С. Если x ∈ AС, то тогда x ∉ A и поэтому х не может принадлежать пересечению x ∉ A ∩ B. Если x ∈ ВС, то тогда x ∉ В и поэтому х также не может принадлежать пересечению x ∉ A ∩ B. В любом из этих случаев x ∉ A ∩ B и потому x ∈ (A ∩ B)С.

Докажем двойственный закон де Моргана (A ∪ B)C= = АC ∩ ВC. Поскольку элемент х принадлежит множеству (A ∪B)C тогда и только тогда, когда он не принадлежит ни множеству А, ни множеству В, то из этого следует, что он должен входить и в множество АC, и в множество ВC, т. е. в их пересечение АC ∩ ВC. С другой стороны, если х входит в пересечение АC ∩ ВC, то он не может входить ни в А, ни в В, потому что в пересечении дополнений множеств ни могут находиться элементы самих этих множеств. Но тогда х входит в дополнение к их объединению, т. е. x ∈ (A ∪ B)С, что и требовалось доказать.

Доказательство закона инволюции (AC)C = A следует из того факта, что любой элемент из U принадлежит либо А, либо AC. Поэтому когда берется дополнение к множеству А, то получается множество АС, а когда берется дополнение к АС, то снова получается множество А.

Законы дополнения и тождества очевидны и не требуют доказательства.

Второй метод доказательства равенства тождеств состоит в использовании диаграмм Венна. Однако здесь иногда приходится рассматривать всевозможные случаи, при которых множества не имеют общих элементов, пересекаются или вкладываются друг в друга.

Докажем, например, закон де Моргана (A ∩ B)С = AC ∪ BC. На рис. 1.9 представлены три случая: (а) когда А и В не пересекаются, (b) когда А включается в В и (с) когда в пересечение входят элементы и из А, и из В (имеется и случай, когда В включается в А, но он аналогичен случаю (b)). На рис. 1.9 (d), (e) и (f) показаны их дополнения. Далее на (а1), (b1) и (с1) показаны множества (AC ∪ BC) для каждого из этих случаев. Можно видеть, что на каждом рисунке области для множества (A ∩ B)С и множества (AC ∪ BC) одинаковые во всех трех случаях и поэтому эти множества равны.

Рис. 1.9

Рассмотрим табличный метод доказательства равенства множеств. Докажем ассоциативность пересечения (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). Пусть имеется диаграмма Венна для трех множеств A, B и С из универсального множества U на рис. 1.10. Три овальные области представляют собой множества A, B и С. Прямоугольная область определяет множество U, и она разбита на восемь областей, которые помечены цифрами от 0 до 7. Можно видеть, что область разбиения 7 определяет множество A ∩ B ∩ C, область 6 – множество A ∩ B ∩ CС и т. д. Чтобы по диаграмме Венна проверить ассоциативность пересечения, можно использовать следующую идею. Заменим множества A, B и С и их пересечения на соответствующие им множества из областей разбиения на этой диаграмме. Множество А заменяется на {4, 5, 6, 7}, В – на {2, 3, 6, 7} и С – на {1, 3, 5, 7}, A ∩ B – на {6, 7}, B ∩ C – на {3, 7}.

Рис. 1.10

Несмотря на то, что множества А, В и С могут быть какими угодно, доказать любое тождество для этих множеств можно, сведя доказательство к проверке этого тождества на уменьшенных множествах разбиения.

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C),

{6, 7} ∩ {1, 3, 5, 7} = {4, 5, 6, 7} ∩ {3, 7}.

Нетрудно увидеть, что и левое, и правое множества этого тождества состоят из одного-единственного элемента 7, что и доказывает ассоциативность пересечения множеств.

Докажем то же самое используя табличный метод. Для этого построим таблицу, столбцы которой соответствуют различным множествам тождества, а каждая строка соответствует одному из множеств разбиения (строк 8, поскольку разбиение состоит из 8 множеств в соответствии с рис. 1.9). Строки содержат ответы на вопрос, входит ли соответствующее данной строке множество разбиения во множество доказываемого тождества или нет. Три первые столбца таблицы дают ответы, входит ли соответствующее множество разбиения во множество А, во множество В и во множество С. Столбец «Левая часть» соответствует левой части доказываемого тождества (A ∩ B) ∩ C, столбец «Правая часть» – правой части A ∩ (B ∩ C).

Поскольку ответы для всех строк «Левой части» те же самые, что и для «Правой части», тождество является доказанным. Табличный метод особенно удобен при построении доказательств с использованием компьютера.

Алгебраический метод основывается на идее разбиения доказательства на шаги, при этом переход от одного шага к следующему осуществляется за счет применения какого-либо закона алгебры множеств (например, закона ассоциативности, дистрибутивности, поглощения и т. д.). Доказательство требует хорошего знания базисных законов алгебры множеств, а также определенный опыт их применения. Рассмотрим метод на следующем примере. Пусть требуется доказать, что

(A ∩ C)(A ∩ B ∩ C) = A ∩ ВС ∩ C.

При переходе от одного шага к другому будем указывать (в правой части соответствующей строки) причины, позволяющие делать такие переходы:

В этом примере левое выражение преобразовано в правое. Это преобразование облегчается тем обстоятельством, что известно, какое выражение должно быть получено. В то же время можно и правое выражение привести к левому. Чтобы понять, как это сделать, достаточно просмотреть первое преобразование от конца к началу. Какой путь легче, не всегда бывает сразу ясно, поэтому иногда необходимо попробовать оба способа, чтобы добиться правильного результата.

1.10. Математическая индукция

Имеется следующее существенное свойство множества натуральных чисел:

N = {1, 2, 3, …}, которое используется при построении различных доказательств.

Принцип математической индукции

Пусть Р – некоторое утверждение, определенное на положительных целых N, т. е. утверждение Р(n) либо истинно, либо ложно для каждого n из N. Если для Р выполняются два следующих свойства:

1) P(1) истинно;

2) P(n+1) истинно, если истинно P(n), тогда Р истинно для каждого положительного целого.

Обычно этот принцип используется как аксиома для доказательства других результатов. Используем его для доказательства следующего результата.

Путь Р будет утверждением, что сумма первых n натуральных чисел, возведенных в куб, равна

, т. е.

Легко видеть, что P(n) истинно при n = 1, т. е. P(1): 13 =

Допустим теперь, что P(n) истинно и докажем, что P(n+1) также будет истинно. Для этого прибавим к обеим частям выражения для P(n) следующее слагаемое (n+1)3:

Преобразуем далее правую часть

Таким образом, P(n+1) истинно, когда истинно P(n). Теперь по принципу математической индукции утверждение Р истинно для всех n. Иногда принцип математической индукции записывают в более удобном для использования виде

1) P (1) истинно.

2) P (n + 1) истинно, если истинно P (k) для всех 1 ≤ k < n.

Тогда Р истинно для каждого положительного целого.

1.11. Представление множеств формулами

При построении дискретной модели часто необходимо разбивать множества на некоторые его части, чтобы исследовать те или иные свойства исходной модели. Подобные задачи возникают как при разработке телекоммуникационных технологий, так и в различных бизнес-приложениях. Рассмотрим такой пример. Пусть элементами множества являются зоны торгового зала большого супермаркета и необходимо разбить это множество на подмножества так, чтобы каждое подмножество представляло собой совокупность зон просматриваемых одной видеокамерой, при условии, что видеокамер должно быть как можно меньше. Если зоны выбраны так, что они покрывают все помещение зала, то при этом выбранные подмножества не должны накладываться друг на друга, поскольку это приведет к неоптимальному использованию видеокамер. Кроме того, возможно, что требуется просматривать не всю площадь зала, а только некоторые ее части. Во всех таких случаях приходится рассматривать некоторое множество, представляющее собой определенную совокупность подмножеств заданного множества.

Для универсального множества U всегда можно построить его разбиение, из множеств которого легко получать требуемые совокупности. Наиболее конструктивным разбиением для этих целей является система множеств, порождаемая фундаментальными произведениями. Из 1.7 следует, что для любых n множеств можно построить разбиение S универсального множества U на 2n подмножеств, называемых фундаментальными произведениями.

Определение

Любое множество или совокупность множеств разбиения S можно представит как объединение пересечений, каждое из которых является фундаментальным произведением. Обратно, каждое непустое выражение из объединения фундаментальных произведений задает некоторое множество или совокупность множеств разбиения и такое задание однозначно определяет это множество.

Если рассматривать операцию объединения как сложение, а операцию пересечения как умножение, то подобные выражения часто называют многочленами. Эти многочлены можно преобразовывать, используя алгебраические методы. Многочлен, образованный из фундаментальных произведений, единственным образом задает любое подмножество разбиения. Будем называть такой многочлен каноническим. Осуществляя эквивалентные преобразования выражения для многочлена в каноническом виде, при котором сохраняется множество, которое он определяет, можно получать более простые выражения для аналитического задания данного множества. Если многочлен для заданного множества не допускает дальнейшего упрощения, то такой многочлен называется минимальным.

Рассмотрим пример использования многочленов.

Пример 1.6

Предположим, что в некотором университете проведена выборочная проверка посещаемости занятий девяти студентов по трем предметам: математике, информатике и английскому языку. Обозначим через А множество тех студентов, которые имеют по крайней мере один пропуск по математике. Тогда АС будет представлять собой множество студентов, которые не имеют ни одного пропуска по математике. Пусть В – множество студентов, которые имеют по крайней мере один пропуск по информатике, и С – по крайней мере один пропуск по английскому языку.

В деканат поступили следующие сведения:

– список студентов, которые не имеют пропусков занятий ни по одному из предметов, AС ∩ BС ∩ CС= Ø;

– список студентов, которые не имеют пропусков ни по математике, ни по информатике, но имеют по английскому языку (в списке вместо фамилий будем для простоты указывать номера студентов), AС ∩ BС ∩ C = {9};

– список студентов, которые не имеют пропусков по математике и английскому языку, но имеют – по информатике, AС ∩ B ∩ CС = {8};

– список студентов, которые не имеют пропусков по математике, но имеют по информатике и английскому языку, AС ∩ B ∩ C = Ø;

– список студентов, которые имеют пропуски по математике, но не имеют по информатике и английскому языку, (A ∩ BС ∩ CС) = {1,6};

– список студентов, которые имеют пропуски по математике и английскому языку, но не имеют по информатике, A ∩ BС ∩ C = {2,7};

– список студентов, которые не имеют пропусков ни по математике, ни по информатике, но имеют по английскому языку, A ∩ B ∩ CС= {3};

– список студентов, которые имеют пропуски по всем трем предметам, A ∩ B ∩ C = {4, 5}.

Получив эти данные, деканат хотел бы составить списки тех студентов, которые:

1) имеют пропуски по математике, но не имеют по информатике;

2) имеют пропуски по математике и информатике;

3) имеют по крайней мере один пропуск по математике.

Для того чтобы ответить на вопрос первого пункта, т. е. найти множество тех студентов, которые имеют пропуски по математике, но не имеют по информатике, надо составить многочлен из тех фундаментальных произведений, которые включают в себя множество A ∩ BС.Таких фундаментальных произведений два. Их объединение и дает искомый многочлен (A ∩ BС ∩ CС) ∪ (A ∩ BС ∩ C) = {1, 6} ∪ {2, 7} = {1, 2, 6, 7}. Это легко доказать, если выполнить упрощение данной формулы:

Аналогичное рассуждение можно применить и для второго пункта:

Для ответа на третий пункт, т. е. для определения множества А, надо составит многочлен из четырех фундаментальных произведений, содержащих множество А. Этот многочлен имеет вид

(A∩BС∩CС) ∪(A∩BС∩C)∪ (A∩B∩C) ∪(A∩B∩CC) = {1, 6}∪{2, 7}∪{3}∪{4, 5 } = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Многочлен можно упростить:

Решение задачи можно получить и при помощи диаграммы Венна, показанной на рис. 1.11.

Рис. 1.11

Поскольку мы имеем все 8 комбинаций из трех исходных множеств и их дополнений, т. е. имеем все 8 фундаментальных произведений для трех множеств, то к решению данной задачи можно подойти и иначе. Допустим, нам надо выполнить первый пункт задачи, т. е. найти множество тех студентов, которые имеют пропуски по математике, но не имеют их по информатике. Фактически нам надо найти пересечение двух множеств: множества А (имеющих пропуски по математике) и множества ВС (не имеющих пропусков по информатике), т. е. множество A ∩ BС. Для того чтобы найти элементы этого множества, нам нужно выразить множества A ∩ BС через фундаментальные произведения. Сделать это можно с помощью искусственного приема, который позволяет вводить в любое пересечение множеств те множества, которые в нем отсутствуют, приводя его тем самым к объединению фундаментальных произведений.

Это решение, по сути дела, представляет собой действия, произведенные при решении задачи в первом случае, но выполненные в обратном порядке. Это же способ позволяет выразить любое множество через фундаментальные произведения.