Текст книги "Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор"

интервал пространственноподобный, если его квадрат отрицательный;

• световой конус в данной мировой точке – совокупность всех светоподобных прямых, проходящих через эту точку;

• причинно связанные события – события, которые могут быть соединены мировой линией, все касательные к таким линиям имеют наклон, не превышающий наклона светоподобных прямых;

• лоренцевы вращения – переход в пространстве Минковского из одной инерциальной системы отсчета в другую;

Теперь, используя представления о пространстве Минковского, продвинемся дальше.

Еще о свойствах СТО

Эквивалентность инвариантной массы и энергии покоя. Знаменитая формула Эйнштейна. Вспомним обычные определения энергии и импульса из школьного курса, которые используются в нерелятивистской механике Ньютона. Энергия обычно разделяется на потенциальную и кинетическую. Потенциальная определяется высотой тела над поверхностью Земли. Ее исключим из рассмотрения, предполагая, что нет гравитационного поля Земли. Кинетическая энергия определяется массой и скоростью тела:

Импульс определяется простой формулой p = mv, m – инвариантная относительно преобразований инерциальная масса тела, масса покоя. Как изменятся эти величины при переходе к другой инерциальной системе? В рамках преобразований Галилея нужно лишь заменить скорость тела v на v′ = v + V, где V – скорость движения одной системы относительно другой.

В специальной теории относительности мы имеем дело с релятивистской механикой. В ее рамках энергия движущегося тела и его импульс выражаются формулами:

Как релятивистские энергия и импульс преобразуются при переходе от одной инерциальной системы к другой? Ответ простой: с помощью преобразований Лоренца. Релятивистские энергию и компоненты импульса (для сохранения размерности – ср) можно мыслить, как компоненты единого 4-х вектора в пространстве Минковского, который называют вектором энергии-импульса. Строим квадрат длины этого 4-мерного вектора точно так же, как был построен квадрат интервала между событиями. Как и интервал, эта величина инвариантна относительно поворотов Лоренца и всегда имеет значение:

E ² – (сp) ² = (mc ²) ².

Знак минус и здесь отражает тот факт, что пространство Минковского – псевдоевклидово. Легко видеть, если частица покоится и p = 0, то ее полная энергия выражается знаменитой формулой: E = mc². Это согласуется с релятивистским выражением для энергии, если там положить v = 0, и приводит к выводу, что вся масса покоя тела может быть превращена в энергию, а энергия может обращаться в массу покоя.

Представим релятивистские энергию и импульс для малых скоростей v: они переходят в нерелятивистские E = mc² + E_k (где второе слагаемое – обычная кинетическая энергия, она определена выше) и p = mv. Как видим, здесь нерелятивистская энергия отличается от кинетической энергии Ньютона на величину, которую мы уже назвали энергией покоя. То есть в СТО у массивных частиц состояний с нулевой энергией не бывает.

Кроме этих выводов, сделаем еще один: в СТО естественным образом описываются частицы с нулевой массой покоя m = 0, такие как фотон, для них E² = (сp)². Очевидно, что в пространстве Минковкого они распространяются со скоростью света. Действительно, длина 4-вектора энергии-импульса для них равна нулю, т. е. их мировые линии лежат на световом конусе.

«Утяжеление релятивистской массы». Иногда в литературе, особенно часто – в популярной, встречается понятие «релятивисткой массы». Откуда оно взялось? В выражениях для релятивистских энергии и импульса инвариантную массу покоя можно заменить выражением:

Эта величина и называется релятивистской массой. Тогда релятивистская энергия приобретает форму формулы Эйнштейна E = m′c², а релятивистский импульс форму обычного импульса p = m′v. Ясно, что с возрастанием скорости v, величина m′ увеличивается, а при v = c обращается в бесконечность. Возможно, это выглядит как яркий пример в популярной литературе. Но исследователи, как правило, этой величиной не оперируют, чтобы не создавать путаницы, ведь релятивистские энергия и импульс ведут себя точно так же. Действительно, они растут с увеличением скорости. Но для реальных тел ни энергия, ни импульс не могут достигать бесконечных значений. Это значит, что объекты с ненулевой массой покоя не могут достичь скорости света, а их траектория всегда находится внутри светового конуса. Куда удобнее использовать массу покоя, которая является инвариантной величиной.

Парадокс близнецов

– Это она стартовала двести восемнадцать лет тому назад, о ней уже все забыли, но благодаря эйнштейновскому сокращению времени, происходящему от движения на субсветовых скоростях, экипаж постарел всего на два года!

– Благодаря чему? Ах, Эйнштейн… Да-да, помню.

Аркадий Стругацкий, Борис Стругацкий «Понедельник начинается в субботу»

Представления о пространстве Минковского помогают разобраться и с так называемым парадоксом близнецов. Он связан с эффектом относительного замедления времени. Это мысленный эксперимент, в котором рассматривают двух близнецов, один из которых решил отправиться в космическое путешествие. В соответствии с релятивистским замедлением времени каждый из близнецов считает (и это подтверждается его наблюдениями), что часы другого близнеца идут медленнее, чем его собственные. Но тогда, когда путешественник вернется, окажется, что каждый из них должен обнаружить своего брата моложе, чем он сам! Это и есть парадокс. Так кто из них будет моложе при встрече после путешествия?

На самом деле парадокс сформулирован точно так же, как многие детские загадки, когда важные детали замалчиваются. Об их существовании нужно догадаться.

Парадокс был бы, действительно, парадоксом, если бы положение близнецов было симметричным. Но так ли это? Путешественник, прежде чем полететь к звездам, должен разогнаться до высоких скоростей, потом, где-то там далеко, развернуться, а вернувшись к Земле, замедлиться, чтобы встретиться со своим братом. Ничего этого не происходит с братом-домоседом. Как минимум, во время трех периодов своего путешествия космонавт будет испытывать ускорения. Поэтому, строго говоря, на пространственно-временной диаграмме мировая линия брата-путешественника будет кривая.

Рис. 5.5. Решение парадокса близнецов

Качественно проблему можно решить, представив мировую линию путешественника в виде ломаной, состоящей из двух отрезков, как показано на рис. 5.5, ускорения «скрыты» в изломах этой ломаной. Мировая линия брата-домоседа совпадает с осью времени. Сравним интервал отрезка прямой на оси времени между событиями a (расставания) и w (встречи) с суммой интервалов отрезков ломаной. Прежде всего, отметим, что наклонные отрезки ломаной линии времениподобные, поскольку описывают движение материального тела. Но тогда из наших рассуждений о сравнении интервалов на рис. 5.4 следует, что интервал каждого из наклонных отрезков меньше половины интервала отрезка aw, то есть интервал всей ломаной меньше, чем весь интервал aw. Но интервал отрезка мировой линии наблюдателя равен промежутку его собственного времени. Поэтому брат-путешественник при встрече будет моложе.

Тот же вывод можно сделать по-другому. Нанесем на наклонных мировых значения собственного времени путешественника и соединим их с точно такими же значениями для времени на мировой линии домоседа. Получим два набора параллельных линий, как на рис. 5.5, первый набор синхронизован на момент их разлуки и в будущее, второй набор синхронизован от момента встречи и в прошлое. Эти наборы параллельных линий всегда про-странственноподобны, они не имеют никакого отношения ни к световым конусам, ни к реальным наблюдателям. Очевидно, домосед проживет больше времени, см. рис 5.5. Отрезок на временной оси, не получивший своих точек-двойников на ломаной линии, определяет – насколько домосед будет старше путешественника при встрече.

Ситуация на рис. 5.5 несколько утрирована. Получается, что брат-путешественник стартовал с бесконечным ускорением, затем развернулся с бесконечным ускорением, и т. д. Реальная мировая линия брата-путешественника конечно плавная, соответствующая конечным ускорениям. Однако выводы не изменятся. Мы можем кривую аппроксимировать ломаной, причем с любой точностью. А анализ ломаной мировой линии, имеет она два отрезка, как на рис. 5.5, или любое другое количество отрезков, принципиально не отличается. Другими словами, парадокса не возникает, если не нарушаются правила вычисления интервалов. Тогда результат всегда таков: интервал отрезка aw на рис. 5.5 больше интервала, измеренного вдоль любой другой мировой линии, соединяющей события a и w. То есть собственное время домоседа всегда больше собственного времени любого путешественника из a в w.

Некоторые особенности ускоренных наблюдателей обсуждаются в Дополнении 6, которое лучше читать после главы 8 (о черных дырах).

Пуанкаре и Эйнштейн

В исторической литературе о науке много внимания уделяется взаимоотношениям создателей СТО в начале прошлого века. Иногда оценки разнятся чрезвычайно. К сожалению, часто доходят до крайностей, ничем не обоснованных. Можно было бы об этом просто не писать, но великие создатели великой теории тоже были людьми. Взаимоотношения были частью их жизни и, так или иначе, были связаны и с их творчеством.

Поскольку основными создателями СТО по праву считаются Пуанкаре и Эйнштейн, то на их взаимные отношения и отношение к ним научного сообщества обратим особое внимание. Весьма взвешанная оценка тех событий дана в послесловии (которое называется «Истоки релятивизма») в книге А. А. Тяпкина и А. С. Шабанова «Пуанкаре», вышедшей в 1979 году в серии «Жизнь замечательных людей». Поэтому, в основном, будем следовать изложению этого послесловия, иногда вставляя собственные комментарии. Но прежде, совсем немного об Анри Пуанкаре.

Математические таланты Пуанкаре проявились уже в престижной Политехнической школе. Там он опубликовал свою первую научную работу по дифференциальной геометрии. В 1875 году его приняли в еще более авторитетное заведение – Горную школу, где в 1879 году он защитил докторскую диссертацию, которая была оценена как «заслуживающая многих хороших диссертаций».

После этого Пуанкаре преподавал в нескольких университетах, иногда одновременно. Опубликовал несколько важных статей, фактически создавая новые разделы математики. Его исследования тесно связаны с небесной механикой и астрономией.

В 1887 году король Швеции Оскар II объявил математический конкурс и предложил участникам на выбор четыре темы. Самой сложной была первая: рассчитать совместное движение тел Солнечной системы. За нее и взялся Пуанкаре. Для решения этой проблемы, как минимум, необходимо было решить задачу совместного движения трех тел. Пуанкаре показал, что задача трех тел не имеет аналитического решения, но предложил эффективные методы приближенного решения. Эта работа и последовавшие за ней содержат идеи, ставшие базовыми для «теории хаоса».

Рис. 5.6. Анри Пуанкаре

Позднее Пуанкаре реализует замысел создания качественной геометрии, или топологии. С начала XX века он много занимается философией математики, ролью интуиции в науке. Однако основной сферой интересов в это время становятся физика.

О Пуанкаре как о человеке современники отзывались исключительно хорошо. Он никогда не участвовал в скандалах, всегда был доброжелательным. В научных спорах был тверд, но вежлив.

Теперь перейдем к событиям великой эпохи.

Начнем с того момента, когда преобразования Лоренца стали известны его современникам, пытающимся распутать клубок противоречий. Пуанкаре одним из первых понял, что необходима инвариантная относительно этих преобразований механика. И он впервые представляет уравнения классической механики в групповых переменных (инвариантной форме). Но в трудах ученых, развивавших это направление, не найдешь ссылок на новаторскую работу французского математика и механика. Возможно, она была слишком математезирована, возможно, его коллеги в то время «были не в теме» – статья была опубликована в 1901 году. Цитировать стали опубликованные только в 1904 году две статьи немецкого механика Георга Гамеля (1877–1954), в которых он тоже приходит к инвариантной записи уравнений движения.

В специальной теории относительности инвариантный подход получил дальнейшее развитие. И здесь первый шаг был сделан Пуанкаре, четко сформулировавшим требование инвариантности законов всей физики относительно преобразований Лоренца. Замечательный немецкий математик Феликс Клейн (1849–1925) писал впоследствии: «То, что современные физики называют теорией относительности, является теорией инвариантов четырехмерной области пространства-времени… относительно… «лоренцевой группы».

Рис. 5.7. Альберт Эйнштейн

Долгие годы инвариантное представление теории относительности целиком приписывалось Минковскому, развившему его несколько лет спустя. Но надо сказать, что в позднее время, когда требование инвариантности стало в физике нормой теоретического знания, ученые отдают должное Пуанкаре в становлении этого фундаментального подхода. Сейчас релятивистская инвариантность любой физической теории в плоском пространстве-времени формулируется как инвариантность относительно группы Пуанкаре. Введенные им преобразования более общие, чем преобразования Лоренца. К этому позднему признанию научная общественность пришла после длительного замалчивания вклада французского ученого в новую величайшую теорию физики.

Необходимо, конечно, отметить, что кроме отношений ученых между собой было противостояние научных школ, и это сказывалось с самого начала построения СТО. Тенденциозность представителей немецкой физической школы не исчезла после смерти Пуанкаре. В 1913 году в Германии вышел сборник работ классиков релятивизма под редакцией видного физика-теоретика Арнольда Зоммерфельда (1868–1951). В нем были опубликованы статьи Лоренца, Эйнштейна и Минковского. Работы Пуанкаре не были включены ни в это первое, ни в последующие издания сборника. Умалчивая о его достижениях, немецкие физики упорно представляли Эйнштейна единственным создателем теории относительности, Лоренца – его предшественником, а Минковского – последователем.

Французская школа физики оказалась слишком слабой и несамостоятельной, чтобы предпринять какие-либо серьезные шаги для защиты приоритета своего знаменитого соотечественника. Поль Ланжевен (1872–1946), наиболее авторитетный из французских физиков, не проявил настойчивости в своих попытках изменить уже сложившееся мнение. В своем докладе 1913 года, обсуждая различные аспекты новой теории, он неоднократно отмечает вклад Пуанкаре. В том же году Ланжевен публикует статью, посвященную достижениям Пуанкаре в физике, в которой подчеркивает, что французский ученый в то же самое время пришел к тем же самым результатам, что и Эйнштейн. Но в последующем Ланжевен уже не вспоминает об этом. Таким образом, даже во Франции Пуанкаре не снискал популярности как один из создателей теории относительности.

Было бы, наверное, правильно кому-то из виднейших ученых заявить о неоспоримости заслуг Пуанкаре в создании новой теории, и факты неминуемо привели бы научную общественность к необходимости дополнить родившуюся в Германии версию происшедшего в физике переворота. Это произошло, но далеко не в полной мере. В 1914 году крупнейший физик Лоренц выступил в журнале «Акта математика» с яркой статьей о двух работах Пуанкаре. Отмечая, что страницы его статьи «не могут дать хоть сколько-нибудь полного представления о том, чем теоретическая физика обязана Пуанкаре», Лоренц совершенно по-новому освещает значение работ французского ученого, подчеркивая его приоритет в развитии теории, построением которой занимался и он сам. «…Я должен, прежде всего, сказать, что меня весьма ободрил благосклонный интерес, который неизменно проявлял Пуанкаре к моим исследованиям, – пишет голландский физик. – Впрочем, вскоре будет видно, насколько он меня превзошел».

Говоря о преобразованиях, которым Пуанкаре дал его имя, Лоренц признается, что он «не извлек из этого преобразования все возможное… Это было сделано самим Пуанкаре, а затем Эйнштейном и Минковским». Далее Лоренц отмечает, что он не смог достигнуть полной инвариантности уравнений. «…Я не установил принципа относительности как строгую и универсальную истину. Напротив, Пуанкаре получил полную инвариантность уравнений электродинамики и сформулировал «постулат относительности» – термин, впервые введенный им… Добавим, что, исправляя, таким образом, недостатки моей работы, он никогда в них меня не упрекнул». В конце статьи Лоренц обращается к четырехмерному математическому представлению, введенному Пуанкаре в новую теорию. «Напоминаю об этих идеях Пуанкаре потому, что они близки к тем методам, которыми пользовались позже Минковский и другие ученые для облегчения математических действий, встречающихся в теории».

Какие причины того, что бесспорные достижения Пуанкаре в то время оставались в тени? Одна из них в том, что сформировавшееся мнение трудно разрушить. Поэтому предпринятые отдельными учеными попытки более полного и объективного описания истории рождения СТО наталкивались на сопротивление сторонников широко распространившегося уже мнения о том, что Эйнштейн является ее творцом. Именно поэтому без внимания остались цитированные выше высказывания Лоренца о решающем вкладе Пуанкаре в эту теорию. Кроме того, нужно не забывать о противостоянии научных школ, а вместе с тем, и о политическом противостоянии перед Первой мировой войной и во время нее. Пуанкаре был французом, а это враждебная Германии страна – ученые тоже люди и разные.

Возможно, некоторые оценки появлялись и без ведома ученых. Вернемся к оценкам Лоренца. В 1912 году он обсуждает свои собственные результаты 1904 года: «Можно заметить, что в этой статье мне не удалось в полной мере получить формулы преобразования теории относительности Эйнштейна… Заслуга Эйнштейна состоит в том, что он первый высказал принцип относительности в виде всеобщего, строгого и точно действующего закона». Неизвестно, откуда был взят издателями сборника этот текст, но в публикациях Лоренца таких утверждений не появлялось. Возможно, примечание было получено специально к данному сборнику или добавлено редактором (?).

Очень интересно и важно мнение молодого швейцарского физика Вольфганга Паули (1900–1958), будущего великого ученого. В 1921 году он написал для «Математической энциклопедии» обширную статью «Принцип относительности». Его краткий исторический обзор, изложенный всего на пяти страницах, в течение нескольких десятилетий является самым точным и непредвзятым освещением истории нового физического учения. В своей статье Паули ссылается на многие ранние исследования, способствовавшие возникновению этой теории. Для более подробного рассмотрения он выделяет три основные работы – Лоренца, Пуанкаре и Эйнштейна, «в которых были установлены положения и развиты соображения, образующие фундамент теории относительности». Затем Паули перечисляет все основные результаты, полученные впервые Пуанкаре. «В работе Пуанкаре были заполнены формальные пробелы, оставшиеся у Лоренца, – пишет он. – Принцип относительности был им высказан в качестве всеобщего и строгого положения». Что же касается работы Эйнштейна, то она была выделена, прежде всего, как «изложение совершенно нового и глубокого понимания всей проблемы». Далее шло подробное изложение этого понимания теории, в котором центральное место отводилось формулировке принципа относительности, распространенного на электромагнитные явления, и относительному характеру одновременности. Но Паули не знал, что именно эти важные для понимания вопросы были впервые рассмотрены в ранних работах Пуанкаре.

Написанное Паули историческое введение вносило существенное уточнение в картину создания теории относительности. Казалось бы, оно должно быть учтено во всех последующих изложениях и исторических изысканиях по этому вопросу. Но этого не случилось, несмотря на то, что в целом замечательная работа Паули заслужила признание как одно из лучших изложений теории относительности. При этом никто не опровергал и не оспаривал приводимые в ней исторические факты и выводы, к ним старались не привлекать внимания. Сам Эйнштейн с восторгом отзывался о книге Паули (а значит и соглашался с оценкой вклада Пуанкаре), но при этом ни разу явно не высказал своего отношения к оценке фундаментальной работы Пуанкаре.

Один из примеров спора в отношении приоритета связан со знаменитым соотношением между массой и энергией. Его обычно называют именем Эйнштейна. Однако еще в 1900 году Пуанкаре пришел к результатам, из которых это выражение непосредственно следовало для электромагнитного излучения. По-видимому, Эйнштейн, получивший эту связь в статье 1905 года также лишь для электромагнитного излучения, опирался на его идеи. И это подтверждается ссылкой на работу Пуанкаре в следующей статье Эйнштейна 1906 года – в ее вводной части Эйнштейн фактически признает приоритет Пуанкаре. Заслуга Эйнштейна заключается в том, что закон, полученный первоначально лишь для лучистой энергии, он обосновал для всех форм энергии, что, конечно, более важно. А это дает полное основание называть знаменитую формулу его именем. Однако многие авторы умалчивают (не знают?) о решающем значении предшествующих работ, безусловно оказавших влияние на молодого Эйнштейна Нет никакой необходимости принижать их роль.

Преемственность идей – общий закон развития научного познания. Достигнуть новых вершин можно лишь опираясь на результаты предыдущих исследователей. Конечно, воспринять и развить ранее высказанные новаторские идеи может только проницательный ум, обладающий большой смелостью суждений. И работы Эйнштейна сразу же выдвинули его на видное место среди знаменитостей того времени. Его понимание и изложение всей проблемы оказали огромное влияние на современников, способствовали признанию теории, которую не принимали или не понимали многие даже выдающиеся ученые. Однако для доказательства несомненных заслуг Эйнштейна не требуется преуменьшать значение других исследований по теории относительности.