Текст книги "Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор"

Глава 6
Общая теория относительности

Каждый из магов имеет свой предел… [они] могут, скажем, останавливать время, но только в римановом пространстве и ненадолго.

Аркадий Стругацкий, Борис Стругацкий «Понедельник начинается в субботу»

Предпосылки построения ОТО

Наконец, переходим непосредственно к тяготению. Специальная теория относительности возникла в результате решения проблем, накопившихся в механике Ньютона. Иная ситуация сложилась к концу XIX века с нерелятивистской теорией гравитации. Ее авторитет, как незаменимого инструмента в небесной механике, не вызывал в то время никаких сомнений. Был известен только один случай, когда теория Ньютона давала неточный результат в расчете наблюдаемого эффекта. В 1859 году французский астроном Урбен Леверье (1811–1877) обнаружил, что поведение орбиты Меркурия не объясняется ньютоновским законом тяготения. Небесная механика того времени уже позволяла блестяще рассчитывать влияние соседних планет. Из-за их воздействия орбита Меркурия должна медленно вращаться вокруг Солнца, вследствие чего точка наименьшего удаления планеты от Солнца (перигелий) должна была смещаться на 532″ (угловых секунд) в столетие. Но как показал Леверье, перигелий Меркурия смещается за столетие на величину 575″, то есть большую ожидаемой на 43″. Казалось бы небольшое расхождение, но оно было замечено, поскольку значительно превосходило уровень погрешностей расчетов того времени. Сомнений в самой теории гравитации Ньютона не было. Поэтому возникло предположение, что это расхождение вызвано влиянием неизвестной планеты, расположенной ближе к Солнцу, чем Меркурий. Гипотетическую планету назвали Вулканом и долго пытались ее обнаружить.″

Релятивистская теория гравитации возникла не в результате необходимости объяснить непонятные явления или данные наблюдений. Скорее это результат бурного развития физики того времени, построения электродинамики и СТО. Они как бы «притащили» за собой и общую теорию относительности (ОТО). С построением СТО стало ясно, что релятивистский принцип относительности должен распространяться не только на электромагнитные явления и механику, но и на гравитационные явления. А гравитация Ньютона этому принципу не удовлетворяет, поскольку она представлена нерелятивистским скалярным полем (для теории Ньютона это будет пояснено позже), распространяющимся с бесконечной скоростью, что противоречит релятивистским воззрениям.

Здесь нужно немного отвлечься и пояснить некоторые термины и понятия, без которых дальше не обойтись – это скалярное и векторное поля. Скалярное поле – это функция (величина), заданная в каждой точке пространства. Например, распределение температуры в некотором теле – это скалярное поле, значение которого определено в каждой точке тела. Векторное поле в 3-мерном пространстве задано, если в каждой его точке определена стрелка. В координатном представлении стрелка определяется тремя величинами, заданными для каждой точки этого пространства. Эти три значения функции в каждой точке представляются компонентами вектора. Примером векторного поля может служить распределение скоростей жидкости или газа, или напряженностей электромагнитного поля, о котором мы сейчас говорили. Аналогично скалярные и векторные величины задаются в 4-мерном пространстве-времени. О более формальном определении скалярного, векторного, а также тензорного полей см. Дополнение 1.

Первые попытки построения релятивистской теории гравитации

Сделай первый шаг и ты поймешь, что не всё так страшно.

Сенека

Но вернемся в дорелятивистские времена XIX века, когда не было специальной теории относительности. Несомненно интерес к построению неньютоновских вариантов теории гравитации был вызван успехами электромагнетизма. Сам Максвелл, уже представивший миру уравнения электродинамики и воодушевленный этим успехом, в 1865 году опубликовал работу, где предположил, что гравитация может быть описана уравнениями, подобными уравнениям электромагнетизма. Однако его вариант теории приводил к отрицательной энергии статического гравитационного поля и отрицательному потоку гравитационной энергии. Это его остановило, и он не стал развивать теорию дальше.

Были и другие попытки. Но мы не ошибемся, если скажем, что первым ученым, представившим в 1893 году релятивистскую теорию гравитации, был английский математик и физик Оливер Хевисайд (1850–1925). Это теория векторного поля (похожая на электродинамику), инвариантная к преобразованиям Лоренца, хотя сами преобразования Лоренца еще не были построены. В своей исследовательской деятельности Хевисайд очень много внимания уделял электродинамике. Поэтому его интерес и усилия, направленные на построение аналогичной теории гравитации, вполне объяснимы. Он придал уравнениям Максвелла современный явно лоренц-инвариантный вид – это 4 векторных дифференциальных уравнения (до этого использовались 20 уравнений с 12 неизвестными). А поэтому, тот факт, что он представил лоренц-инвариантные гравитационные уравнения, также не очень удивителен.

Сразу после создания специальной теории относительности, в 1905 году, Пуанкаре представил свои уравнения векторной гравитации, сохраняющиеся при преобразованиях Лоренца и подобные уравнениям Максвелла. Как модель, Пуанкаре рассматривает параллельное движение двух тел, неподвижных друг относительно друга. На основе преобразований Лоренца Пуанкаре выводит ряд инвариантов, сохраняющихся при этих преобразованиях, а затем рассматривает их возможное значение. В теории Пуанкаре получается, что полная сила гравитации имеет два компонента. Один из них, обычный, связан с расстоянием до притягивающего тела, а второй компонент определяется скоростью этого тела и является аналогом магнитной силы в электродинамике. Без второго компонента гравитационной силы нарушилась бы лоренц-инвариантность и известный уже результат о замедлении времени в движущихся системах отсчета.

Позднее появились подобные работы Минковского и Лоренца и других авторов, целью которых было (как и в работе Пуанкаре) представить модифицированный закон Ньютона в лоренц-инвариантной форме. Это были теории векторного поля, распространяющегося в пространстве Минковского, речь об искривлении пространства-времени пока не шла вообще. Но векторные теории, включая и самую раннюю теорию Хевисайда, не могли объяснить сдвиг перигелия Меркурия, некоторые из теорий были внутренне противоречивы. Как и электродинамика, векторные теории предсказывают генерацию и распространение волн (гравитационных векторных), но в отличие от электродинамики эти волны должны переносить отрицательную энергию, что, конечно, недопустимо.

Действительно, простая модель двух связанных тел в пустом пространстве Минковкого, излучая гравитационные волны, будет наращивать полную энергию!? Фактически вечный двигатель!? Такая ситуация возникает из-за того, что тяготеющие заряды (массы) одного знака притягиваются, в отличие от зарядов в электродинамике. После появления ОТО и подтверждения нескольких ее эффектов интерес к векторным теориям пропал. Со временем их перестали активно обсуждать, энтузиазм разрешать их противоречия угас.

Среди релятивистских теорий гравитации, возникших до общей теории относительности, нельзя не упомянуть скалярную теорию Эйнштейна и голландского физика Адриана Фоккера (1887–1972), представленную в 1914 году. Эта теория обобщала аналогичные предшествующие теории. Новаторским было то, что она была первой теорией, инвариантной относительно произвольных преобразований координат и описывала искривленное пространство-время. Правда, она, как и другие релятивистские скалярные теории, не объясняла всех явлений, которые объясняет ОТО.

Принципы построения ОТО

Не природа …сообразуется с принципами, а наоборот, принципы верны лишь постольку, поскольку они соответствуют природе…

Фридрих Энгельс «Диалектика природы»

Пришло время начать рассказ собственно об общей теории относительности, о принципах ее построения. Сначала вспомним факт равенства инертной и тяготеющей масс, установленный еще Галилеем, затем подтвержденный Ньютоном и другими учеными, который мы уже подробно обсудили в главе 2. Сейчас это равенство проверено с относительной точностью 10^–12–10^–13. Этот опытный факт Эйнштейн положил в основу общей теории относительности в качестве одного из ключевых принципов. Обычно его называют слабым принципом эквивалентности. Что из него следует?

Если гравитационная масса точно равна инертной, то они могут быть заменены одна на другую как во втором законе Ньютона, так и в законе всемирного тяготения. Из этого следует, что ускорение тела, на которое действуют лишь гравитационные силы, не зависит от массы (или каких-то других свойств этого тела)! А значит и траектория тела не зависит от его массы. Но тогда, если все тела в одной и той же точке пространства получают одинаковое ускорение, то это ускорение нужно связать не со свойствами тел, а со свойствами самого пространства в этой точке. Поскольку в общем случае траектории тел, движущихся в гравитационном поле других тел, искривлены, то логично предположить, что пространство, в котором есть гравитационное взаимодействие, также искривлено. Далее, СТО убедительно показала, что пространство и время являются единой физической реальностью. Поэтому описание гравитационного взаимодействия между телами нужно сводить к описанию искривленного пространства-времени (рис. 6.1).

Но каково свободное движение тела, если пространство-время искривлено? Здесь разумно снова вернуться к СТО и первому закону Ньютона. В инерциальной системе отсчета такие тела движутся прямолинейно и равномерно. В искривленном пространстве аналогом прямых линий являются геодезические.

Рис. 6.1. Движение искривленном пространстве

Их теория подробно разработана математиками XIX века. Основной вклад внес немецкий математик Бернхард Риман (1826–1866). В искривленном пространстве нет параллельных линий в понимании Евклида, сумма углов треугольника не равна 180°. Для примера рассмотрим поверхность Земли – это сфера, которая является 2-мерным пространством положительной кривизны. Что такое геодезическая на поверхности Земли? Это не прямая линия на карте, а дуга большого круга, который проходит через центр Земли (рис. 6.2). Именно с помощью такой дуги определяется кратчайшее расстояние между двумя точками на Земле. Сумма углов треугольника на поверхности Земли оказывается больше 180°.

Рис. 6.2. Линии кратчайшего расстояния на сфере

Снова вспомним, что в релятивистской теории пространство и время не рассматриваются (не существуют) раздельно. Поэтому разумно рассматривать не траектории тел, а их мировые линии на пространственно-временной диаграмме. Инерциальному движению в плоском пространстве-времени соответствуют мировые линии, которые тоже прямые. А каковы мировые линии в искривленном пространстве-времени? Опираясь на слабый принцип эквивалентности, Эйнштейн предложил принцип движения по геодезическим. Он звучит в одном из определений так: если нет других воздействий, кроме гравитационного, то тело движется свободно, по инерции, его мировая линия в пространстве-времени является геодезической. Геодезические линии, соответствующие мировым линиям физических тел, скорость которых меньше скорости света, оказываются линиями наибольшего собственного времени, то есть времени, измеряемого часами, жестко связанными с телом. Вспомним, что при обсуждении «парадокса близнецов» мы уже установили, что максимальное собственное время, требуемое для перемещения в плоском пространстве из одной мировой точки в другую, соответствует движению по прямой. Современные эксперименты подтверждают движение тел по геодезическим линиям с такой же точностью, как и равенство гравитационной и инертной масс. Отметим, что часто слабый принцип эквивалентности и принцип движения по геодезическим не разделяют.

Обсудим слабый принцип эквивалентности. Свободное движение какого-либо тела по инерции в поле тяготения является обобщением свободного движения в инерциальной системе отсчета в пространстве Минковского. Для такого движения взаимные ускорения всех свободных тел в ближайшей окрестности равны нулю. То есть собственная система отсчета исходного тела локально является инерциальной.

Приведем пример, несколько избитый, но наглядный. Представим закрытую со всех сторон кабину лифта. Если удерживающий ее трос вдруг оборвется, то кабина вместе со всем содержимым начнет свободно падать под действием силы тяжести, все тела в ней будут ускоряться совершенно одинаково. Наблюдатель, находящийся внутри такой кабины, не почувствует веса своего тела, а окружающие его предметы будут свободно «парить» в воздухе или двигаться прямолинейно и равномерно, не испытывая ускорений. Для стороннего взгляда все тела внутри кабины ускоряются точно так же, как и она сама (именно этот факт доказал Галилей). И поэтому всё в лифте для внутреннего наблюдателя окажется невесомым. Какие бы опыты он не проводил внутри кабины, он не сможет с их помощью установить, падает ли лифт на Землю или свободно парит в космическом пространстве.

Итак, внутри лифта (в небольшом объеме) наблюдатель ощущает себя вполне в пространстве Минковского и локально может использовать координаты Лоренца. Его мировая линия в этих координатах – это вертикальная линия вдоль оси ct. Следовательно, ускорение для наблюдателя в лифте отсутствует, а значит, отсутствует и «гравитационная сила». Но во внешней для лифта системе отсчета эта же мировая линия (геодезическая) будет выглядеть как кривая.

Пусть пространство искривлено, как это определить? Если запустить из двух близких точек два тела параллельно друг другу, то, двигаясь по геодезическим, они начнут либо сближаться, либо удаляться друг от друга. Этот эффект называется девиацией геодезических. Как это осознать? Если два путешественника начнут перемещаться по двум близким меридианам, начиная от экватора, то они будут сближаться и встретятся на полюсе. Это как раз говорит о том, что поверхность Земли, имея форму сферы, искривлена. Если бы радиус Земли увеличился, то кривизна уменьшилась бы, ведь поверхность Земли стала бы площе. Аналогично, в пространстве-времени девиация геодезических определяет его кривизну.

Математически кривизна определяется так называемым тензором кривизны Римана, величиной, которую нельзя обратить в нуль никакими преобразованиями координат, если пространство-время искривлено. Это понятие исключительно геометрическое. Пространство-время становится искривленным всегда, когда содержит материю в том или ином состоянии, так или иначе расположенную и движущуюся тем или иным образом. Однако оно может быть искривлено и в отсутствии материи! Для плоского пространства-времени тензор кривизны равен нулю.

Необходимо обсудить еще один принцип, который чаще называют сильным принципом эквивалентности. Существуют разные его формулировки, приведем нечто усредненное.

Малая по размерам локальная система отсчета, находящаяся в гравитационном поле, неотличима от такой же системы, но ускоренной относительно инерциальной системы отсчета, связанной с пространством Минковского.

Обычно этот принцип иллюстрируют следующим образом. Находясь в кабине, стоящей на поверхности Земли, наблюдатель ощущает свой обычный вес и замечает, что все предметы совершенно одинаково ускоряются по направлению к полу. Если же кабина, снабженная реактивным двигателем, вместе с наблюдателем переместится в космическое пространство, где будет двигаться с ускорением, в точности равным гравитационному ускорению у поверхности Земли, то наблюдатель снова обнаружит, что все свободные предметы падают на пол с тем же самым ускорением и опять почувствует свой нормальный вес. В такой закрытой кабине невозможны никакие эксперименты, которые позволили бы наблюдателю отличить явления, связанные с тяготением, от явлений, характерных для ускоренного движения.

Часто считают, что этот принцип тоже лежит в основе общей теории относительности. Однако это не так однозначно. Даже сейчас, почти через 100 лет после создания ОТО, в профессиональной литературе время от времени выходят статьи с обсуждением роли этого принципа. Даже его название является предметом дискуссии.

Приведем один из аргументов, который вносит некое сомнение в само представление об эквивалентности в этом случае. Основным отличием пространства-времени ОТО от пространства-времени СТО является его кривизна, которая (как было сказано) определяется тензором кривизны. В пространстве-времени СТО этот тензор тождественно равен нулю, поэтому пространство Минковского называют плоским. Если применить сильный принцип эквивалентности (а понятию «эквивалентность» придать абсолютный смысл) для описания движения в ускоренной системе в пространстве Минковского, то нужно будет сказать, что от плоского пространства-времени мы перешли к искривленному пространству-времени ОТО. Но это невозможно, поскольку невозможно воссоздать из нулевой кривизны ненулевую лишь переходом между системами отсчета. «Малые размеры системы отсчета» в определении принципа не могут быть оправданием, поскольку кривизна – понятие локальное, она определяется в каждой точке.

Хотя в окончательную форму теории Эйнштейна сильный принцип эквивалентности не вошел, исторически он сыграл большую роль в становлении ОТО. Эйнштейн при разработке теории активно его использовал. Также, если в принципиальном плане нельзя из плоского мира сделать искривленный просто переходом в другую систему отсчета, то многие эффекты теории Эйнштейна действительно имеют место в ускоренных системах отсчета.

В качестве принципов построения теории, конечно, необходимы принципы соответствия. В чем они должны состоять? В случае слабых гравитационных полей (малой кривизны пространства-времени) и малых (по сравнению со световой) скоростей уравнения релятивистской теории гравитации должны перейти в уравнения гравитации Ньютона (их полевую форму мы обсудим несколько ниже). То есть предсказания общей теории относительности должны совпасть с результатами применения закона всемирного тяготения Ньютона с небольшими поправками, которые становятся значительными по мере увеличения напряженности поля и увеличения скоростей. В случае отсутствия гравитации (нулевая кривизна) уравнения новой теории тяготения должны перейти в уравнения СТО.

Наконец, иногда в качестве принципов, на основе которых была построена ОТО, упоминают ковариантность – требование, чтобы уравнения теории имели один и тот же вид во всех координатных системах. Это требование в определенном смысле является обобщением лоренц-инвариантности в СТО.

Построение ОТО

Что может сравниться по красоте с… неизменным правилом закономерности, которое управляет самыми, казалось бы, беспорядочными и сложными из ее [природы] проявлений?

Сэмуэль Майкельсон (отец Альберта Майкельсона)

Фактически все принципиальные предпосылки и необходимые требования для формулировки уравнений гравитационного поля в ОТО мы обсудили. Было осознано, что гравитационное взаимодействие выражается в искривлении пространства-времени, а искривляется пространство-время под воздействием материи. Оказалось также, что и тела, и материя в целом, воздействуют на пространство-время не только своей массой (или, эквивалентно, энергией), но и состоянием движения, напряжениями внутри тел, взаимодействием между разными видами материи. Больше деталей о материальных источниках можно найти в Дополнении 2. С другой стороны, искривляя пространство-время, материя движется (взаимодействует) уже в пространстве-времени искривленном самой собой. То есть пространство-время в общем случае не является безучастной ареной, на которой кипят страсти физических взаимодействий, а само становится динамическим объектом и во всем участвует. Уравнения Эйнштейна как раз устанавливают правила воздействия материи на пространство-время и наоборот.

Эти уравнения были построены и представлены Эйнштейном в работах 1915 и 1916 годов на основании аргументов изложенных выше. Практически одновременно они были представлены немецким математиком Давидом Гильбертом (1862–1943). Научные интересы Гильберта во многом были связаны с математической физикой. С большим интересом он следил за попытками Эйнштейна создать общую теорию относительности, основанными на логике анализа физических явлений. Это вдохновило его на поиски строгого математического подхода к построению уравнений, которые и были выведены из, так называемого, принципа наименьшего действия. В общем, Гильберт имел планы «заковать физику» в рамки аксиоматического подхода. Но несмотря на впечатляющие результаты в построении уравнений гравитации, этот глобальный замысел Гильберта не удался. До сих пор ведутся споры о приоритете, однако мы считаем, что одни исследования дополняют другие. Если можно так сказать, то Эйнштейн проник в самую глубину физических явлений, а Гильберт дал аппарат, позволяющий исследовать их более эффективно.

Логика построения уравнений Эйнштейна и их конкретный формальный вид даны в Дополнении 3, а здесь мы разъясним основные понятия ОТО, к которым будем часто обращаться в основном тексте. Вернемся к понятию интервала, который был введен для пространства Минковского. В отличие от плоского пространства, в искривленном пространстве-времени расстояние между двумя мировыми точками в общем случае невозможно определить как конечную длину отрезка прямой. Необходимо перейти к измерениям в малой окрестности мировой точки (к бесконечно малым величинам). Тогда квадрат интервала пространства Минковского между двумя бесконечно близкими точками перепишется как квадрат элемента интервала (уже бесконечно малой величины) в виде:

ds² = c²dt² – dx² – dy² – dz².

Элемент пространства Минковского имеет такой простой вид еще и потому, что здесь используются координаты Лоренца, то есть декартовы координаты в совокупности с временной координатой. Этот же квадрат элемента интервала (часто его все равно называют «интервал») может быть записан в более формальном виде:

ds² = η_abdx^adx^b.

Здесь a, b = 0, 1, 2, 3; а нулевой координате обычно приписывают смысл временной, умноженной на скорость света: x⁰ = ct. Величина η_ab является диагональной (отличны от нуля только элементы на диагонали) матрицей 4 × 4,

и называется метрикой Минковского. Формальная запись интервала перейдет в уже привычную, если использовать простое правило суммирования по повторяющимся индексам, например: m_an^a = m₀n⁰ + m₁n¹ + m₂n² + m₃n³. Метрика η_ab задает способ измерения расстояний в пространстве Минковского в лоренцевых координатах.

Давайте «искривим» координаты (сделаем их произвольное преобразование), тогда интервал примет вид:

ds² = g_abdx^adx^b.

Величина g_ab также называется метрикой и фактически задает способ измерения расстояний в пространстве Минковского, но в тех координатах, в которых она определена.

Важно отметить, что элемент ds, так же как и сам интервал, инвариантная величина, то есть его значение остается тем же в любых координатах. Метрика g_ab – это тоже матрица 4 × 4, но теперь в общем случае она уже не диагональна, ее компоненты g₀₀, g₀₁, g₁₁, g₁₂ … могут быть какими-либо функциями времени и пространственных координат, см. Дополнение 1.

В искривленном пространстве-времени способ измерения расстояний между мировыми точками такой же, как в плоском в криволинейных координатах – с помощью элемента интервала. Разница в том, что для пространства Минковского возможен переход от g_ab к простому диагональному виду η_ab во всем пространстве-времени, а для искривленного – нет. Однако в малой окрестности отдельного свободно падающего наблюдателя такой переход возможен. Ведь согласно слабому принципу эквивалентности он ощущает себя в инерциальной системе отсчета! Искривление не позволяет связывать мировые точки прямыми, поэтому мировые линии (геодезические или нет), соединяющие события, будут в общем случае кривыми. Их длина вычисляется с помощью бесконечно малых элементов интервала и последующего интегрирования.

Как элемент интервала, так и длина мировых линий (их полный интервал), также являются инвариантными по отношению к преобразованиям координат.

Пространственно-временные измерения и фиксация метрических свойств осуществляются также с помощью света. Скорость света не зависит от скорости излучателей, а для каждого локального наблюдателя, измеренная в его собственной системе отсчета, имеет одно и то же стандартное значение c. При измерениях самым важным является то, что для света элемент интервала ds в силу инвариантности всегда равен нулю.

Если в наше время спросить даже не самого сведущего, но все-таки образованного, человека: уравнения Эйнштейна – это уравнения чего? С большой вероятностью получишь ответ, что это уравнения гравитационного поля. А что такое гравитационное поле мы фактически только что рассказали – это поле метрики g_ab, или метрического тензора.

Именно это поле дает возможность построить величины, определяющие искривление пространства-времени. Тензорное поле определяется аналогично тому, как определяются скалярное и векторное поля. Задать поле метрического тензора означает, что в каждой мировой точке пространства-времени нужно задать набор функций, каждая из которых соответствует одной из компонент матрицы, представляющей этот тензор.

Решить уравнения Эйнштейна – это значит найти коэффициенты g_ab. Но гравитационные уравнения должны решаться вместе с уравнениями для материи, состояние и движение которой также должны стать известными, как результат найденного решения. Также часто решают гравитационные уравнения в вакууме, то есть для областей пространства-времени, где нет материи. Тогда задачей является определить только метрику g_ab, анализ которой даст всю информацию об искривлении пространства-времени, его геодезических и т. д. Решение уравнений ОТО с бо́льшими деталями обсуждается в Дополнении 4.

После того как решение уравнений ОТО найдено, необходимо обратиться к принципам соответствия, которые были определены в конце предыдущего параграфа. Первый из них касается соответствия теории гравитации Ньютона. Принцип звучит четко и довольно жестко. Но так и должно быть, если мы не хотим ошибиться в интерпретации решений новой теории. Теория Ньютона в данном случае играет роль критерия.

Уже сейчас очень полезно для последующего изложения записать простые формулы этого соответствия. Мы уже говорили, что гравитация Ньютона представлена скалярным полем (потенциалом) φ. Для точечной массы M (или сферически распределенного вещества) скалярное поле вне вещества определяется как φ= – GM/r, где r – расстояние до центра тела. Тогда сила, действующая на тело массы m в этом потенциальном поле, определяется стандартной формулой закона всемирного тяготения:

Движение тел в таком поле хорошо изучено. Как найти соответствие с движением тел в ОТО? Для этого нужно найти пространство-время, геодезические которого, в приближении малых скоростей и слабого поля φ, соответствуют движению тел в теории Ньютона. Такое пространство-время легко находится, его метрика в обсуждаемом приближении имеет в сферических координатах простую форму:

В силу сферической симметрии мы опустили угловую часть, оставив только временную и радиальную. Эту метрику иногда называют метрикой «пространства-времени Ньютона». Здесь g₀₀ = 1 + 2j/c² = 1–2GM/rc². Если нет тяготеющего центра, т. е. масса M = 0, то поле φ исчезает и метрика обращается в метрику пространства Минковского.

Этим мы отметили соответствие для движения тел в теории Ньютона и ОТО. Но также необходимо показать, что для слабых гравитационных полей и малых скоростей уравнения релятивистской теории гравитации должны перейти в уравнения гравитации Ньютона. Но что такое уравнения тяготения Ньютона? Очевидно, что это должны быть уравнения для поля φ. Здесь приходится идти обратным путем. Мы знаем, какое поле создается каждой отдельной частицей. Если у нас имеется произвольное распределение плотности вещества ρ в пространстве, то для каждой точки нужно выписать соответствующее значение φ. А общее поле Φ в каждой точке пространства просто сложится из всех отдельных φ. Тогда получится, что поле Φ в каждой точке удовлетворяет уравнению:

Оказывается, что при всех ограничениях соответствия уравнения ОТО, действительно, сводятся к этому единственному уравнению.

Но на проблему связи между теориями можно посмотреть и с другой позиции. Сила Ньютона – это обычная сила, которая растягивает пружину динамометра, давит на поверхность Земли, держит, как на «цепочках» (или «резинках»), планеты в Солнечной системе. В ОТО ситуация другая. Представим, что нас одарили «божественной» способностью воспринимать искривленное пространство-время. При этом мы в состоянии фантастически осознать, где там проходят геодезические (по аналогии с тем, что нашего реального восприятия достаточно, чтобы оценить, что шайба, брошенная по гладкой поверхности катка, движется равномерно и прямолинейно). Тогда для нас понятие гравитационной силы исчезло бы вообще. Все заменилось бы геометрией. Вместо воображаемых «цепочек», на которых Солнце «тащит» планеты, мы увидели бы нечто, похожее на воронку, в которой планеты свободно (по инерции) обращаются вокруг Солнца (рис. 6.3). Если какой-нибудь планете придать достаточно большую скорость, то она «выскочит» из воронки (а на языке гравитации Ньютона – преодолеет солнечное притяжение) и улетит в космос. Проявление же силы тяготения в быту мы интерпретировали бы как препятствие движению по геодезическим. Так, и пружина динамометра, и поверхность Земли, препятствуют такому движению.

Теперь мы можем также пояснить фразу, прозвучавшую значительно ранее: «общая теория относительности не опровергла теорию Ньютона, а дополнила ее для описания режимов (систем), которые во времена Ньютона и вообразить-то было невозможно». Как и самые ранние представления о тяготении, так и теория Ньютона – это все-таки попытки описать известные проявления гравитационного взаимодействия. Да, теория Ньютона позволила открыть новые планеты. Но это результат приложения все того же закона всемирного тяготения, который фактически интерпретируется как известное решение уравнений Ньютона. Уравнения ОТО поставили исследователей совершенно в другую ситуацию. Внешне простые, они оказались весьма сложными для поиска решений, которых оказалось великое множество. Часто не менее сложной оказалась интерпретация новых решений: если одни из решений были некими обобщениями гравитирующих моделей теории Ньютона, то другие «и вообразить-то было невозможно». К последним, например, можно отнести решения для черных дыр, присутствие которых во Вселенной уже доказано. Но об этом немного позже.