Текст книги "Белые карлики. Будущее Вселенной"

11
Вмешательство теории относительности

Очень скоро теория Фаулера подверглась серьезной коррекции. В 1929 г. астрофизик из Тартусского университета Вильгельм Андерсон показал, что фаулеровская политропа имеет ограниченную применимость. Если масса карлика приблизительно соответствует массе Солнца, то электроны у верхней границы энергий приобретают субсветовые скорости, и для вычисления уравнения состояния необходимо использовать механику специальной теории относительности. Это относится только к электронам, поскольку ионная компонента газа остается по-прежнему нерелятивистской. В предельном случае ультрарелятивистских электронов, чьи скорости мало отличаются от скорости света, давление пропорционально плотности в степени 4/3 (формально – как у Эддингтона, но физика тут совершенно другая). Одновременно с Андерсоном аналогичное уравнение состояния (но с другим численным коэффициентом) вывел лектор Лидского университета Эдмунд Клифтон Стоунер. В результате они пришли к заключению о невозможности стабильного существования звездных ядер, заполненных вырожденным (но теперь уже релятивистским!) электронным газом, если порядок величины их масс близок к массе Солнца[18]18
  Anderson, W. Gewöhnliche Materie und Strahlende Energie als Verschiedene ‘Phasen’ eines und Desselben Grundstoffes // Zeitschrift für Physik (1929), 54: 433–444; Stoner, E. C. The Limiting Density in White Dwarf Stars // Philosophical Magazine (1929), 7: 63–70.


[Закрыть]. В позднейших публикациях они привели приближенные оценки предельной массы белого карлика (0,69 солнечных масс у Андерсона и 1,12 – у Стоунера).

В своих выкладках Андерсон и Стоунер опирались на ряд упрощающих допущений – так, оба они предполагали, что плотность вещества белого карлика одинакова по всему его объему. Этот дефект вскоре исправил совсем молодой индийский физик, будущий нобелевский лауреат Субраманьян Чандрасекар. Отказавшись от гипотезы о постоянстве плотности, он произвел более адекватный анализ величины верхней границы массы белого карлика. Его путь к открытию был, мягко говоря, нестандартным. Семнадцатилетним студентом Президентского колледжа Мадрасского университета он узнал о статистике Ферми – Дирака из лекций известного немецкого физика Арнольда Зоммерфельда, который в 1928 г. посетил Индию. Вскоре Чандрасекар нашел в университетской библиотеке статью Фаулера и настолько ею заинтересовался, что вступил в переписку с автором. Именно Фаулер и помог Чандрасекару получить место в Кембридже, когда тому по окончании колледжа была выделена аспирантская стипендия от английской администрации Индии. 31 июля 1930 г. Чандрасекар взошел на борт плывущего в Венецию корабля, где и выполнил свою замечательную работу. По прибытии в Кембриджский Тринити-колледж он показал ее Фаулеру. Тот, судя по всему, не смог ее понять и отправил на суд оксфордского астрофизика Артура Милна – с аналогичным результатом. В конце концов Чандрасекар послал свою статью в США, где она и была опубликована[19]19
  Chandrasekar, S. The Maximum Mass of Ideal White Dwarfs // Astrophysical Journal (1931), 74: 81–82.


[Закрыть]. Его вторая статья на эту тему вышла в свет в том же году, но уже в Англии.

Чандрасекар вывел общую формулу предельной массы идеального белого карлика, которая сейчас носит его имя. Правда, в явном виде в его первой статье она не приведена – возможно, в силу краткости текста. Подставив численные значения фигурирующих в ней физических величин, Чандрасекар заключил, что масса белого карлика не может превышать 0,91 массы Солнца.

Модель Чандрасекара (которая впоследствии не раз уточнялась) была в теоретическом контексте своего времени совершенно правильной, однако определенное им значение предельной массы оказалось чересчур низким. Случилось это из-за того, что он пользовался завышенной величиной средней массы звездного вещества, приходящейся на один электрон. Сейчас принято считать, что этот предел составляет приблизительно 1,4 массы Солнца, однако его точная величина зависит от состава белого карлика.

Причину физического явления, описанного Андерсоном, Стоунером и Чандрасекаром, нетрудно объяснить и без формул. Гравитационная энергия звездного ядра в ньютоновском приближении обратно пропорциональна его радиусу, а в ультрарелятивистском пределе такая же зависимость существует и для внутренней энергии. В то же время гравитационный потенциал пропорционален квадрату массы ядра, а внутренняя энергия – самой массе. Поэтому при увеличении массы сила тяготения превалирует, что ведет к гравитационному коллапсу. Поскольку оба вида энергии одинаково зависят от радиуса, этот коллапс не может быть остановлен давлением звездного вещества. Отсюда следует, что он будет продолжаться, пока материя ядра не перейдет в форму с иным уравнением состояния или пока не возникнет гравитационная сингулярность. Конечно, это объяснение представляется очевидным лишь в контексте современного знания, но не с позиций физики и астрофизики 1930-х гг.

Стоит еще раз отметить, что нуклоны (нейтроны и протоны) белых карликов находятся в нерелятивистских состояниях, однако именно они обеспечивают практически всю плотность энергии вещества этих звезд. В то же время электроны (не важно, нерелятивистские или релятивистские) дают почти стопроцентный вклад в его давление. К тому же, если электроны находятся в нерелятивистском состоянии (режим Фаулера!), масса белого карлика оказывается возрастающей функцией плотности вещества в его центре, а радиус, напротив, – убывающей; радиус также убывает и с увеличением полной массы карлика (он обратно пропорционален корню третьей степени из массы). Такая зависимость радиуса от массы является общим свойством звезд, у которых давление вещества обеспечивается вырожденной нерелятивистской материей (в данном случае электронным ферми-газом). Другими словами, увеличение гравитационного притяжения, сопутствующее возрастанию массы, вызывает прогрессирующую компактификацию звезды.

Политропный показатель приближается к 4/3 лишь при условии, что все электроны стали ультрарелятивистскими, поэтому к пределу Чандрасекара можно приблизиться лишь асимптотически. В этом пределе радиус звезды уменьшается до нуля, а плотность становится бесконечной (то есть наступает гравитационный коллапс). Это частный случай общего (математически доказанного) правила, согласно которому звезды с политропным уравнением состояния при показателе степени, меньшем 4/3, никогда не бывают динамически устойчивыми.

Первые теоретические модели белых карликов строились в рамках ньютоновской теории тяготения, которая позволяет наглядно понять механизм появления предельной массы. Рассмотрим семейство уравнений состояния звездного вещества с разными степенями зависимости давления от плотности. Расположим в левом конце ряда модели, где давление незначительно растет с увеличением плотности, а в правом – модели с очень быстрым ростом. Очевидно, что в первом случае неизбежно появление пределов чандрасекаровского типа, поскольку тяготение звездного вещества при увеличении массы звезды рано или поздно справится с противостоящим ему давлением, и звезда начнет необратимо сжиматься. В правом конце ряда получаем другую картину – давление растет быстрее силы тяготения, так что звезда способна сопротивляться гравитационному сжатию при любой массе. Именно такой результат и дают политропные модели: при показателе степени 4/3 массовый предел существует, а при показателе 5/3 он отсутствует.

Переход к ОТО полностью изменяет эту картину. Согласно ОТО, давление искривляет метрику пространства-времени и тем самым увеличивает силу гравитации. Поэтому звезды из правой части ряда обязаны схлопнуться в гравитационный коллапс. Если в ньютоновской системе давление всегда противостоит сжатию звезды, то, по Эйнштейну, для достаточно больших масс давление делает сжатие неизбежным. Поэтому компактная звезда, чье тяготение подчиняется ОТО, всегда имеет верхний предел массы, достигаемый при конечной плотности вещества в ее центре. Конкретное значение предела определяется уравнением состояния, однако само его существование от этого уравнения не зависит.

Коль скоро мы дошли до ОТО, стоит задуматься, в какой мере ее необходимо учитывать при обсчете моделей белых карликов. Короткий ответ: в весьма умеренной. Существует простой критерий, который позволяет определить, насколько существенна ОТО для понимания свойств космического объекта массы M и радиуса R. Для этого нужно вычислить численное значение очень простого выражения GM/Rc², где G – гравитационная постоянная, а с – скорость света. Если эта величина (легко проверить, что она не зависит от выбора системы единиц) лишь немногим больше нуля, можно с успехом пользоваться ньютоновской теорией тяготения (по крайней мере, в первом приближении). Если она, напротив, не меньше сотой, без ОТО не обойтись.

Этот подсчет элементарен – алгебра для седьмого класса. И что получаем? Для Солнца формула дает приблизительно одну миллионную – почти чистый нуль. Поэтому для моделирования свойств нашего дневного светила вполне достаточно ньютоновского закона всемирного тяготения. Эффекты ОТО можно обнаружить в пространстве неподалеку от Солнца – это небольшая поправка к вычисленному на основе ньютоновской небесной механики вековому вращению орбиты Меркурия и отклонению звездных лучей в солнечном поле тяготения. Однако эти эффекты чрезвычайно малы, и, чтобы их заметить, требуются весьма точные наблюдения. Для типичного белого карлика формула дает одну десятитысячную – больше, но все равно немного. Поэтому учет ОТО вносит в моделирование свойств белых карликов весьма скромные поправки. А вот для нейтронных звезд GM/Rc² примерно равно одной десятой, тут царствует и правит эйнштейновская теория тяготения.

Физический смысл этого критерия вполне прозрачен. Рассмотрим пробную частицу с массой m, расположив ее вблизи поверхности звезды, а затем умножим на m числитель и знаменатель нашей формулы. В результате она запишется как отношение GmM/R к mc². Но GmM/R – это ньютоновская потенциальная энергия пробной частицы в поле тяготения звезды, а mc², как всякий знает, есть ее энергия покоя, которая появляется в специальной теории относительности. Если это отношение очень мало, превалирует Ньютон, а если им нельзя пренебречь, лавры первенства переходят к Эйнштейну. Конечно, это демонстрация «на пальцах», но она вполне показательна.

Современные модели белых карликов тоже описывают их вещество как газ (точнее, кулоновскую плазму) из ионов и вырожденных электронов, однако принимают в расчет силовое взаимодействие между частицами (следовательно, газы уже не считаются строго идеальными). Кроме того, эти модели учитывают различия в элементном составе кулоновской плазмы, которая, напомню, может содержать гелий, углерод, кислород и даже магний и неон. Главное их отличие от модели Чандрасекара состоит в том, что у реальных белых карликов предельная масса достигается при конечной плотности. Максимальные массы тех или иных белых карликов, вычисленные на основе этих моделей, тоже (по традиции и из уважения) называется пределом Чандрасекара.

Конечно, есть и другие отличия. Чандрасекар выполнил свою великую работу до того, как Джеймс Чедвик в 1932 г. открыл нейтрон, а Вернер Гейзенберг и Дмитрий Иваненко создали протонно-нейтронную модель атомного ядра. Протоны (свободные или в составе атомных ядер) могут вступать в реакции с электронами и порождать нейтроны и нейтрино – это так называемый обратный бета-распад. Поскольку нейтроны массивней протонов, то процесс возможен только с участием электронов, чья полная энергия примерно в два с половиной раза превышает их энергию покоя mc². Нетрудно посчитать, что скорости электронов должны составлять не меньше 80 % скорости света. Этот эффект необходимо учитывать для анализа поведения вещества белого карлика при возрастании его массы.

Что дает такой анализ? Достаточно быстрые электроны поглощаются протонами атомных ядер и превращаются в нейтроны – этот процесс так и называется нейтронизацией. Поэтому плотность электронного газа падает, а его давление снижается. В этих реакциях рождаются нейтрино, которые не задерживаются в белом карлике, а быстро мигрируют к поверхности и рассеиваются в пространстве. В результате они не компенсируют своим давлением снижение давления электронного газа. Возникает парадоксальная ситуация – рост плотности ведет к снижению давления. Вещество с такими свойствами нестабильно и в реальности существовать не может. Вычисления показывают, что предел стабильности достигается, если плотность в центре карлика составляет 10⁹ г/см³–10¹⁰ г/см³. Это и есть теоретический верхний диапазон значений предельной плотности материи белого карлика (он довольно широк, поскольку зависит от ее атомного состава). Плотность вещества в центральных зонах известных белых карликов гораздо меньше и лежит в интервале 10⁶ г/см^3–10⁷ г/см³. При этом, как уже было отмечено, электроны не приобретают ультрарелятивистских скоростей, которые требуются для вывода предела Чандрасекара. Это типичная ситуация в физике, когда продвижение к предельному состоянию, вычисленному на основании теоретической модели, оказывается невозможным из-за включения неучтенных ранее эффектов, лежащих за ее рамками.

Любопытно, что и это не полная картина. Еще до достижения порога нейтронизации, когда кинетическая энергия электронов просто превышает их энергию покоя, начинается процесс порождения гамма-квантов и электронно-позитронных пар, что опять-таки лежит за рамками модели Чандрасекара и провоцирует нестабильность вещества белого карлика. В общем, опять напрашивается вывод, что свойства вещества реальных белых карликов много сложнее этой модели.

Светила с начальными массами более 10–11 солнечных могут закончить активную жизнь, превратившись в нейтронные звезды (но есть и другие сценарии). Средняя плотность вещества нейтронных звезд лежит в диапазоне 10¹⁴ г/см³–10¹⁵ г/см³. Стабильность новорожденной нейтронной звезды, как и стабильность белых карликов, обеспечивает давление вырожденного газа, но не электронного, а нейтронного. По вышеназванной причине между белыми карликами и нейтронными звездами не существует никаких промежуточных космических объектов. Теоретическая максимальная масса нейтронной звезды составляет 3,2 солнечной массы, однако у всех известных нейтронных звезд она значительно меньше. Пересечение этой границы (которую иногда называют пределом Оппенгеймера – Волкова) приводит к необратимому гравитационному коллапсу с образованием черной дыры.

12
Справедливость и ирония истории

Вычисления Чандрасекара (до него Андерсона и Стоунера, а потом и Льва Ландау) впервые показали, что у звезд могут быть максимальные массы. Это был очень серьезный прорыв в астрофизике. Много позже, после предсказания существования, а затем и открытия коричневых карликов, стало ясно, что массы звезд ограничены и снизу. Еще раз стоит подчеркнуть, что предел Чандрасекара и аналогичный, хотя и более высокий, предел для звезд из нейтронной материи выводится с допущением, что звезда состоит из вырожденного вещества, а это становится возможным лишь после полного выгорания ядерного топлива. Поэтому молодые звезды могут иметь массы в десятки и сотни солнечных.

Артур Эддингтон с самого начала критически отнесся к идеям Чандрасекара, и в 1935 г. на обсуждении новой работы Чандрасекара в Королевском астрономическом обществе даже заявил, что релятивистского вырождения не существует в природе. Эддингтон догадался[20]20
  Observatory (1935), 58: 37.


[Закрыть], что из существования предела Чандрасекара фактически следует возможность гравитационного коллапса к черной дыре (точнее, к состоянию материи, которое позже стали называть черной дырой). Однако он убоялся этого заключения и счел его лишенным физического смысла. Вот его собственные слова: «Я думаю, что должен быть какой-то закон природы, который не позволит звезде вести себя столь абсурдным образом». В общем, и короли ошибаются!

Чандрасекар продолжал заниматься белыми карликами и в 1930-е гг. Так, в 1934 г. он рассчитал первые модели белых карликов произвольной массы. В 1937 г. он перебрался в Чикагский университет, где спустя два года опубликовал монографию «Введение в изучение структуры звезд»[21]21
  Chandrasekhar, S. An Introduction to the Study of Stellar Structure, University of Chicago, Chicago, 1939.


[Закрыть], содержащую развернутую теорию белых карликов (кстати, в этой книге он отдал дань уважения и теории Лейна, которого считал одним из своих предшественников). Его книга была написана до объяснения природы звездного тепла в терминах термоядерных реакций и создания теории рождения элементов тяжелее гелия в звездных недрах (теории звездного нуклеосинтеза). Однако Чандрасекар добился, пожалуй, максимально глубокого понимания условий структурной стабильности звезд, возможного в дотермоядерную эпоху. Сейчас эту книгу вполне заслуженно почитают высокой классикой астрофизики XX в. Работы по теории звездных структур в 1983 г. принесли Чандрасекару Нобелевскую премию по физике. По занятному совпадению вторым лауреатом в номинации «физика» стал Фаулер – но не Ральф, а Уильям – один из основоположников теории звездного нуклеосинтеза.

В заключение необходимо сказать, что в решении загадки белых карликов отметились и двое советских физиков-теоретиков. Да еще каких! Это были основатели двух физических школ мирового класса, Яков Ильич Френкель и Лев Давидович Ландау. К сожалению, история распорядилась так, что их работы практически не повлияли на прогресс астрофизики.

Итак, Френкель. Весной 1928 г. он опубликовал в очень престижном немецком журнале Zeitschrift für Physik статью, озаглавленную несколько туманно: «Применение теории электронного газа Паули – Ферми к вопросу о силах сцепления»[22]22
  Френкель Я. И. Собрание избранных трудов. Т 2. – М.-Л: Изд-во АН СССР, 1958. С. 109.


[Закрыть]. Ее последний раздел назывался «Сверхплотные звезды». Белые карлики как таковые там не упоминались, но Френкель фактически имел в виду именно их. Он вывел уравнения состояния вырожденного электронного газа в нерелятивистской и релятивистской версиях и даже рассчитал поправки для сил кулоновского взаимодействия. Френкель пришел также к совершенно правильному заключению, что масса «сверхплотных звезд» с релятивистским электронным газом должна в среднем превышать массу звезд с нерелятивистскими электронами и по порядку величины может достигнуть солнечной массы. Правда, он не сделал вывода о существовании верхнего предела массы «сверхплотных звезд», однако полученные им формулы в принципе предоставляли такую возможность. К сожалению, и астрономы, и астрофизики обратили внимание на замечательную статью Френкеля с большим запозданием, и она уже не могла оказать влияние на прогресс их науки. Возможно, все было бы иначе, если бы Френкель непосредственно упомянул белые карлики, и лучше всего в названии статьи.

То же самое произошло и с работой Ландау «К теории звезд», которую он отправил 7 января 1932 г. в Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion – первый советский физический журнал на иностранных языках (номер с его статьей вышел в свет 29 февраля). В отличие от Френкеля, Ландау вывел очень изящную точную формулу для предельной массы белого карлика, выражавшую ее через три мировые константы (скорость света, постоянную Планка и гравитационную постоянную) и массу вещества карлика, приходящуюся на один электрон. Конечно, можно сказать, что Ландау доказал уже доказанное, но сделал он это куда проще и элегантней, чем его предшественники Андерсон, Стоунер и Чандрасекар. Однако и эта работа как-то проскочила мимо тогдашних астрофизиков.

Коль скоро зашел разговор об иронии, нельзя не вспомнить историю из разряда «нарочно не придумаешь». В 1968 г. исполнительный комитет Международного астрономического союза попросил Виллема Люйтена организовать симпозиум по белым карликам. Зная, что деньги никогда не бывают лишними, Люйтен запросил у Национального научного фонда США грант для финансирования этой встречи. Через несколько недель он получил официальный запрос от генерального хирурга США, который хотел узнать, будут ли там обсуждаться или демонстрироваться эксперименты на людях. В письме также особо сообщалось, что закон запрещает выделять деньги из федеральной казны на организацию расово сегрегированных конференций. Впору процитировать Ильфа и Петрова: «Все рассказанное – не выдумки. Выдумать можно было бы и посмешнее». В общем, бюрократия есть бюрократия.

Впрочем, вмешательство известного педиатра и эпидемиолога Уильяма Стюарта, который занимал тогда пост генерального хирурга, ничему не повредило. Симпозиум состоялся в шотландском Сент-Эндрюсском университете 11–13 августа 1970 г. Он собрал элитный состав участников, и прочитанные там доклады были опубликованы[23]23
  White Dwarfs, edited by Luyten W. J., D. Reidel Publishing Company, Dordrecht – Holland, 1971.


[Закрыть]. Но эта забавная история осталась в анналах астрономии.