Текст книги "Квантовые миры и возникновение пространства-времени"

4
Что не может быть познано, поскольку не существует
Неопределенность и дополнительность

Как-то раз останавливает постовой Вернера Гейзенберга за превышение скорости.

«Вы знаете, с какой скоростью ехали?» – спрашивает офицер.

«Нет, – отвечает Гейзенберг, – но я точно знаю, где нахожусь!»

Думаю, все согласятся, что шутки физиков – самые смешные. Но физическую суть они передают не слишком точно. Этот бородатый анекдот предполагает знакомство со знаменитым принципом неопределенности Гейзенберга, который обычно объясняется так: невозможно одновременно с точностью определить и скорость объекта, и его положение в пространстве. Но реальность гораздо глубже.

Дело не в том, что мы не можем знать координату и импульс, а в том, что одновременно они даже не существуют. Лишь в крайне специфических обстоятельствах можно утверждать, что у объекта есть конкретное местоположение – когда его волновая функция полностью сконцентрирована в одной точке пространства и является нулевой где бы то ни было еще, и ровно то же самое со скоростью. А когда одна из этих величин определена, другая, если мы ее измерим, может быть абсолютно любой. Чаще волновая функция описывает разброс обеих величин – так что ни у одной из них нет одного конкретного значения.

Тогда, в 1920-х, все это было далеко не столь очевидно. Тогда было естественно полагать, что вероятностная природа квантовой механики просто указывает на неполноту теории и что более детерминистическую, напоминающую классическую картину еще только предстоит разработать. Иными словами, считалось, что волновая функция характеризует степень нашего неведения о происходящем, а не является, как мы здесь утверждаем, его истинным отражением. Узнав о принципе неопределенности, многие первым делом пытаются найти в нем лазейки. Все эти попытки провалились, но при этом мы узнали много нового о том, в чем квантовая реальность принципиально отличается от привычного нам классического мира.

Отсутствие конкретных значений физических величин в самом сердце реальности, таких, которые более или менее прямо соотносятся с тем, что мы можем наблюдать, – одна из глубинных особенностей квантовой механики, которую непросто принять при первом знакомстве. Есть физические величины, которые не просто неизвестны, но даже не существуют, хотя нам кажется, что мы можем их измерить.

Квантовая механика вплотную подводит нас к зияющей пропасти между тем, что мы видим, и тем, что есть на самом деле. В этой главе мы рассмотрим, как этот разрыв проявляется в принципе неопределенности, а в следующей еще более ярко увидим его в феномене квантовой запутанности.

⚪ ⚪ ⚪

Принцип неопределенности обязан своему существованию тому факту, что отношение между координатой и импульсом (который равен произведению массы на скорость) в квантовой механике фундаментально отличается от такого же отношения в классической.

В классической механике можно представить, что мы измерим импульс частицы, отследив ее координату во времени и пронаблюдав, как быстро она движется. Но если мы имеем доступ только к одной из характеристик, то координата и импульс в данный момент времени полностью независимы друг от друга. Если я скажу вам, что в конкретный момент времени частица имеет определенную координату и более ничего, вы не будете знать, какова ее скорость, и наоборот.

Числа, которые необходимы для описания системы, физики называют степенями свободы данной системы. В ньютоновской механике, чтобы сообщить мне полную информацию о состоянии набора частиц, вы должны указать мне координату и импульс каждой из них; в данном случае степени свободы – это координаты и импульсы. Ускорение не является степенью свободы, поскольку оно может быть вычислено, когда известны все силы, воздействующие на систему. Суть степени свободы в том, что сама она не зависит ни от чего другого.

Когда мы переходим к квантовой механике и размышляем о шрёдингеровских волновых функциях, ситуация несколько меняется. Чтобы получить волновую функцию для единственной частицы, необходимо учесть все точки, в которых потенциально может находиться эта частица, когда мы ее наблюдаем. Затем каждому из этих местоположений присвоим амплитуду, комплексное число с таким свойством: квадрат каждого такого числа равен вероятности обнаружить частицу в данной точке. Существует ограничение: сумма квадратов всех этих чисел в точности равна единице, поскольку общая вероятность найти частицу в любом конкретном месте равна единице. (Иногда вероятности выражаются в процентах, каждый процент составляет одну сотую от общей вероятности; вероятность 20 % эквивалентна вероятности 0,2.)

Обратите внимание: здесь мы не упоминаем ни скорость, ни импульс. Дело в том, что в квантовой механике нам не приходится отдельно указывать импульс, как это делалось в классической механике. Вероятность получить при измерении определенную скорость полностью определяется волновой функцией, заданной для всех возможных координат. Скорость не является отдельной степенью свободы, не зависимой от координаты. Основная причина кроется в том, что волновая функция – это, как известно, волна. В отличие от классической частицы, здесь у нас нет единственной координаты и единственного импульса, а есть функция всех возможных координат, и эта функция обычно колеблется вверх-вниз. От темпа этих колебаний зависит, что мы увидим, если попробуем измерить скорость или импульс.

Рассмотрим простую волну-синусоиду, колеблющуюся вверх и вниз регулярным образом и распространяющуюся в пространстве. Подставим такую волновую функцию в уравнение Шрёдингера и зададимся вопросом, как она будет изменяться со временем. Мы увидим, что у синусоиды есть четко определенный импульс и что чем меньше длина волны – тем выше ее скорость. Но синусоидальная волна не имеет определенного положения; напротив, она находится повсюду. Более типичная форма волны представляет собой некую смесь волнового пакета, локализованного в одной точке, и идеальной синусоиды с четкой длиной волны, распределенной по всему пространству, и не будет соответствовать конкретной координате или конкретному импульсу, а будет представлять некую смесь обеих величин.

В этом и заключается суть дилеммы. Если мы попытаемся локализовать волновую функцию в пространстве, то ее импульс станет все более и более неопределен, а если захотим ограничить ее определенной длиной волны (и соответственно, импульсом), ее местоположение будет становиться все более размытым. Это и есть принцип неопределенности. Дело не в том, что мы не можем знать обе величины одновременно; это просто факт устройства волновых функций: если координата частицы сосредоточена вблизи конкретного значения, то ее импульс оказывается совершенно неопределен, и наоборот. Старые добрые классические свойства под названием «координата» и «импульс» – это не величины с реальными значениями, а возможные результаты измерений.

Иногда люди ссылаются на принцип неопределенности за пределами нашпигованных уравнениями книг по физике. Поэтому здесь важно подчеркнуть, о чем не говорит этот принцип. Речь не идет о том, что «вообще все неопределенно». В конкретном квантовом состоянии определенной может быть либо координата, либо импульс; а вот быть определенными одновременно они не могут.

Кроме того, принцип неопределенности не говорит, что мы непременно нарушим систему, когда проведем измерение. Если у частицы есть определенный импульс, то мы вполне можем измерить его и ничего не изменится. Суть в том, что не бывает состояний, в которых и координата, и импульс одновременно были бы определенными. Принцип неопределенности – это утверждение о природе квантовых состояний и их связи с наблюдаемыми величинами, а не о физическом акте измерения.

Наконец, этот принцип никак не характеризует ограниченность наших знаний о системе. Мы можем точно знать квантовое состояние, и это будет все, что нам нужно знать о нем, и все равно мы не сможем с абсолютной точностью предсказать результаты всех возможных будущих наблюдений. Идея о том, что «мы чего-то не знаем» при рассмотрении конкретной волновой функции, – пережиток нашей интуитивной привычки считать, что реальность действительно такова, какой мы ее наблюдаем. Квантовая механика приучает нас к иному.

⚪ ⚪ ⚪

Иногда высказывается следующая идея, навеянная принципом неопределенности: якобы квантовая механика противоречит логике. Это глупо. Логика выводит теоремы из аксиом, и полученные теоремы просто истинны. Аксиомы могут быть применимы или неприменимы в конкретной физической ситуации. Теорема Пифагора – квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов – корректна как формальный вывод из аксиом евклидовой геометрии, хотя эти аксиомы и не соблюдаются, если говорить об искривленной поверхности, а не о плоской поверхности стола.

Идея о том, что квантовая механика противоречит логике – из того же разряда, что и мысль, будто атомы состоят в основном из пустоты (плохое соседство). Оба этих тезиса проистекают из внутреннего убеждения, что, несмотря на все, что нам удалось узнать, частицы – это все-таки точечные объекты, каждый из которых обладает некоторыми координатой и импульсом, а не распределенные волновые функции.

Рассмотрим частицу в коробке, в которой мы провели линию, разделяющую коробку на правую и левую части. У частицы есть волновая функция, распределенная по этой коробке. Сделаем предположение P – «частица находится в левой части коробки» и предположение Q – «частица находится в правой части коробки». Соблазнительно сразу признать оба этих предположения ложными, поскольку волновая функция распределена по всей коробке, от края до края. Но предположение «P или Q» обязательно будет верным, так как частица находится в коробке. Классическая логика не допускает, чтобы при одновременной ложности P и Q предположение «P или Q» оказалось верным. А значит, здесь что-то нечисто.

Проблема здесь не в логике и не в квантовой механике, а в нашем обычном невнимании к природе квантовых состояний при присвоении значений истинности утверждениям P и Q. Эти утверждения ни истинны, ни ложны; они просто плохо сформулированы. Нет такой вещи, как «та сторона коробки, в которой находится частица». Если бы волновая функция была полностью сконцентрирована с одной стороны коробки, а с другой стороны полностью исчезала, мы могли бы определить истинность P и Q. В таком случае одно из этих значений было бы истинно, а второе ложно и классическая логика работала бы на ура.

Несмотря на то что классическая логика совершенно справедлива во всех случаях, когда она правильно применяется, квантовая механика заложила основы более общих подходов, известных под названием «квантовая логика». Пионерами квантовой логики стали Джон фон Нейман и его коллега Гаррет Биркгоф. Исходя из логических аксиом, немного отличающихся от стандартных, можно вывести систему правил, которым подчиняются вероятности; эти правила подразумеваются квантовомеханическим правилом Борна. В этом смысле квантовая логика интересна и полезна, но ее существование не отменяет верности традиционной логики в соответствующих обстоятельствах.

⚪ ⚪ ⚪

Нильс Бор, в попытке подчеркнуть уникальность квантовой теории, предложил концепцию дополнительности. Идея заключается в том, что может быть более двух способов рассмотрения квантовой системы, и все эти способы в равной степени правомерны, но с оговоркой, что их нельзя применять одновременно. Волновую функцию частицы можно описать в терминах координаты или импульса, но не координаты и импульса одновременно. Аналогично можно считать, что электроны проявляют либо корпускулярные, либо волновые свойства, но не те и другие одновременно.

Нигде это свойство не проявляется столь ярко, как в знаменитом эксперименте с двумя щелями. На практике этот эксперимент был осуществлен лишь в 1970-е, но предложен гораздо раньше. Изначально это был не один из тех поразительных экспериментальных результатов, для понимания которых теоретикам приходится изобретать новые методы мышления, а просто мысленный эксперимент (в исходном виде сформулированный Эйнштейном во время дебатов с Бором, а позже популяризованный Ричардом Фейнманом в его курсе лекций для студентов Калифорнийского технологического института), призванный проиллюстрировать поразительные следствия квантовой теории.

Смысл эксперимента в том, чтобы указать на разницу между частицами и волнами. Начнем с источника классических частиц – здесь подойдет обычный дробовик, дробь из которого разлетается в несколько непредсказуемом направлении. Выстрелим из дробовика сквозь узкую щель и отметим попадания дроби на экране, расположенном за щелью. Большинство частиц пролетит сквозь щель, за исключением тех немногих, которые слегка изменят направление, ударившись о края. Таким образом на экране-детекторе мы увидим узор из отдельных точек, более или менее соответствующий очертаниям щели.

То же самое можно проделать и с волнами, например поместив мембрану с щелью в ванну с водой и создав волны, проходящие сквозь нее. Пройдя через щель, волны распространяются полукругом, прежде чем достичь экрана. Конечно, мы не увидим точек, подобных частицам, когда волна попадает на экран, но давайте представим, что у нас есть специальный экран, который загорается с яркостью, зависящей от амплитуды, которой волны достигают в любой конкретной точке. Подсветка будет наиболее яркой в той точке на экране, которая расположена ближе всего к щели, и постепенно угаснет при удалении в стороны.

Теперь давайте проделаем похожий эксперимент, но уже с двумя щелями, а не с одной. Случай с частицей здесь будет почти как в первом опыте: если наш источник частиц дает достаточный разброс, а частицы пролетают через обе щели, то на экране мы увидим две линии точек, по одной напротив каждой из щелей (или одну толстую линию, если щели расположены достаточно близко друг к другу). Но случай с волнами интересным образом изменится. Волны могут колебаться как вверх, так и вниз, и две волны, колеблющиеся в противоположных направлениях, будут гасить друг друга – этот феномен называется «интерференция». Итак, волны проходят через обе щели сразу, расходятся в стороны полукругами, но затем образуют интерференционную картину за мембраной. Таким образом, наблюдая на экране за щелями амплитуду результирующей волны, мы увидим не просто две линии, а яркую линию по центру (ровно посередине между щелями) с перемежающимися темными и светлыми участками, расходящимися в обе стороны и постепенно тускнеющими.

Пока речь идет о старом любимом классическом мире, где частицы и волны – это разные объекты, то и отличить их не составляет труда. А теперь давайте заменим наш дробовик или волновую машину источником электронов во всей их квантовомеханической красе. В этой установке есть несколько любопытных «наворотов», каждый из которых имеет провокационные последствия.

Сначала рассмотрим случай с единственной щелью. В данном случае электроны ведут себя в точности как классические частицы. Они пролетают через щель, затем фиксируются на экране с другой стороны: каждый электрон оставляет одну частицеподобную точку. Если пропустить через щель множество электронов, то они образуют на экране рассеянный узор напротив щели. Пока ничего интересного.

Теперь перейдем к случаю с двумя щелями (щели должны располагаться очень близко друг к другу – и это одна из причин, почему прошло так много времени, прежде чем эксперимент был проведен на практике). И снова электроны проходят сквозь щели и оставляют отдельные метки на экране с другой стороны. Но при этом они не образуют двух линий, как в случае с классической дробью. Вместо этого появляется ряд линий: одна жирная в середине, а в стороны от нее расходятся параллельные линии с постепенно уменьшающимся количеством отметин. Между этими линиями остаются темные области, в которых отметин почти нет.

Иными словами, проходя через две щели, электроны оставляют безошибочно узнаваемый интерференционный узор, подобно волнам, и одновременно отдельные метки, подобно частицам. Этот феномен породил массу бесплодных дискуссий о том, чем же «на самом деле» являются электроны – частицами или волнами или же иногда они подобны частицам, а в другое время – волнам. Так или иначе, что-то, бесспорно, проходило через обе щели, когда электроны летели к экрану.

В данный момент нас это уже не удивляет. Электроны, проходящие сквозь щели, описываются волновой функцией, которая очень похожа на классическую волну, проходящую через обе щели и колеблющуюся вверх и вниз. Поэтому логично, что мы наблюдаем интерференционную картину. Затем, когда электроны достигают экрана, мы можем наблюдать их в виде точечных частиц.

Теперь добавим еще один нюанс. Допустим, что рядом с каждой из щелей мы установили маленькие детекторы, с помощью которых сумеем определить, прошел ли электрон через щель. Так мы разберемся с безумной идеей, будто электрон может пройти через обе щели сразу.

Должно быть, вы догадываетесь, что мы увидим. Детекторы не покажут, что половина электрона прошла через одну щель, а вторая половина – через другую; каждый раз детектор у одной из щелей зафиксирует целый электрон, а детектор у второй не зафиксирует ничего. Дело в том, что детектор действует как измерительный прибор, а при измерении электронов мы наблюдаем их как частицы.

Но это не единственное следствие наблюдения за тем, как электрон проходит через щели. Интерференционный узор на экране исчезнет, и мы вновь увидим две полосы отметок, оставленных обнаруженными электронами, – по одной напротив каждой из щелей. Когда детектор работает, волновая функция коллапсирует в момент прохода электрона сквозь щели, и поэтому мы не видим интерференционной картины от волны, проходящей через обе щели сразу. Когда на электроны смотрят, они ведут себя как частицы.

Эксперимент с двумя щелями мешает цепляться за убеждение, что электрон подобен отдельной классической точке, а волновая функция просто отражает наше незнание о том, где эта точка находится. Из-за незнания не возникает интерференционных картин. Волновая функция реальна.

⚪ ⚪ ⚪

Возможно, волновые функции и реальны, но весьма абстрактны, и как только мы пытаемся рассмотреть более одной частицы одномоментно, визуализировать их становится сложно. По мере того как мы будем продвигаться вперед, рассматривая на практике все более тонкие квантовые явления, нам очень пригодится простой, легко усваиваемый пример, к которому мы сможем обращаться снова и снова. Спин частицы – еще одна степень свободы наряду с ее координатой и импульсом – именно то, что нам надо. Давайте ненадолго поломаем голову над тем, что означает спин в квантовой механике, но, когда мы с ним разберемся, станет гораздо проще.

Сам феномен спина понять не сложно – это всего лишь вращение вокруг оси, подобно вращению Земли или балерины, выполняющей пируэт. Но как и в случае с энергиями электрона, вращающегося вокруг атомного ядра, в квантовой механике при измерении спина частицы мы можем получить лишь определенные дискретные значения.

Например, для электрона существует всего два возможных результата измерения спина. Сначала выберем ось, вдоль которой будем измерять спин. При взгляде вдоль этой оси мы в любом случае обнаружим, что электрон вращается либо по часовой стрелке, либо против нее, причем всегда с одинаковой скоростью. Такие спины принято называть «верхним» и «нижним». Помните о «правиле правой руки» (правиле буравчика): если сжать четыре пальца правой руки в направлении вращения, то отставленный большой палец будет направлен вдоль соответствующей вращению вертикальной оси.

Вращающийся электрон подобен крошечному магниту, у которого, как и у Земли, есть северный и южный магнитные полюса; ось спина указывает на северный полюс. Один из способов измерить спин конкретного электрона – пропустить его через магнитное поле, которое немного отклонит электрон в зависимости от того, как ориентирован его спин. (Техническая деталь: чтобы это сработало, магнитное поле должно быть правильным образом сфокусировано: в одних местах напряженность поля должна быть более высокой, а в других – более низкой[10]10
  В физике такие поля называются сильно неоднородными. – Примеч. науч. ред.


[Закрыть].)

Если я скажу вам, что электрон имеет определенный суммарный спин, то для данного эксперимента вы можете сделать следующий прогноз: электрон будет отклоняться вверх, если ось его спина ориентирована строго по внешнему полю, и отклоняться вниз, если ось спина ориентирована строго в противоположном направлении, а также отклоняться на некоторый промежуточный угол, если его спин будет ориентирован как-то иначе. Но в реальности мы наблюдаем другое.

Такой эксперимент был впервые проведен в 1922 году немецкими физиками Отто Штерном (ассистентом Макса Борна) и Вальтером Герлахом еще до того как идея спина была четко сформулирована. То, что они увидели, было поразительно. Электроны действительно отклоняются, проходя через магнитное поле, но либо строго вверх, либо строго вниз, без всяких промежуточных вариантов. Если вращать магнитное поле, то электроны по-прежнему отклоняются в направлении того поля, через которое проходят, либо против него, но по-прежнему никаких промежуточных значений. Как и энергия электрона, вращающегося вокруг атомного ядра, измеренный спин оказывается квантованным[11]11
  То есть принимает только дискретный набор значений. – Примеч. науч. ред.


[Закрыть].

Это кажется удивительным. Даже если мы привыкли к мысли, что энергия электрона, вращающегося вокруг ядра, может иметь лишь определенные дискретные значения, по крайней мере эта энергия кажется объективным свойством электрона. Но то, что мы называем спином электрона, дает нам разные ответы в зависимости от того, как мы его измеряем. И независимо от того, в каком именно направлении мы измеряем спин, мы можем получить лишь один из двух возможных результатов.

Чтобы убедиться, что мы не сошли с ума, давайте сумничаем и пропустим электрон мимо двух магнитов подряд. Как вы помните, правила учебника квантовой механики говорят нам, что если мы получим определенный результат измерения и немедленно измерим ту же самую систему снова, то снова получим точно такой же результат. Действительно, так и происходит: если электрон отклоняется вверх одним магнитом (и следовательно, имеет верхний спин), он всегда будет отклоняться вверх и следующим магнитом, ориентированным таким же образом.

А что если повернуть один из магнитов на 90 градусов? Так мы расщепим исходный пучок электронов на два, один с верхним спином, другой – с нижним (если взять за отправную точку для измерения вертикально ориентированный магнит), затем возьмем электроны с верхним спином и пропустим их сквозь магнитное поле, которое ориентировано горизонтально. Что произойдет тогда? Может, они затаят дыхание и откажутся лететь, поскольку они вертикально ориентированные электроны с верхним спином, а мы пытаемся измерять их спин в направлении горизонтальной оси?

Нет. На самом деле второй магнит разделит электроны с верхним спином на два пучка. Половина из них будет отклоняться вправо (по направлению, заданному вторым магнитом), а половина – влево.

Чистой воды безумие. Наша интуиция, основанная на классической картине мира, подсказывает, что существует некая «ось, вокруг которой вращается электрон», и кажется логичным, что спин, характеризующий вращение вокруг именно этой оси, и будет квантован. Но эксперименты наглядно показывают, что ось, вокруг которой квантован спин, не зависит от самой частицы: можно выбрать любую ось, какую вам заблагорассудится, повернув магнит соответствующим образом, и спин будет квантоваться относительно этой оси.

В данном случае мы сталкиваемся с еще одним проявлением принципа неопределенности. Как мы уже знаем, «координата» и «импульс» не являются свойствами электрона – это просто связанные с ним феномены, которые мы можем измерить. В частности, ни одна частица не может одновременно обладать определенными значениями координаты и импульса. Как только мы определяем точную волновую функцию для координаты, вероятность наблюдения любого конкретного значения импульса полностью фиксируется, и наоборот.

То же касается «вертикального спина» и «горизонтального спина»[12]12
  Есть и третье, перпендикулярное, направление, которое можно назвать продольным спином, хотя мы его и не измеряем.


[Закрыть]. Это не отдельные свойства, которыми может обладать электрон: это просто разные величины, которые мы можем измерить. Если выразить квантовое состояние в терминах вертикального спина, то вероятность наблюдения левого или правого горизонтального спина будет полностью фиксированной. Результаты измерений, которые мы можем получить, зависят от базового квантового состояния, которое можно выразить различными, но эквивалентными способами. Принцип неопределенности отражает тот факт, что в любом квантовом состоянии мы можем провести различные измерения, не совместимые друг с другом.

⚪ ⚪ ⚪

Системы с двумя возможными результатами измерений настолько распространены и полезны в квантовой механике, что для них придумали милое название: кубиты. Идея в том, что классический «бит» может иметь всего одно из двух значений: 0 или 1. Кубит (квантовый бит) – это система, которая допускает два возможных результата измерения, скажем верхний и нижний спины вдоль некоторой оси. Состояние типичного кубита – это суперпозиция обеих возможностей, каждая из которых характеризуется некоторым комплексным числом, амплитудой вероятности каждой из альтернатив.

Квантовые компьютеры оперируют кубитами по такому же принципу, по которому обычные компьютеры работают с классическими битами.

Волновую функцию кубита можно записать так:

Символы a и b обозначают комплексные числа, представляющие, соответственно, амплитуды вероятности верхнего и нижнего спинов. Отдельные слагаемые волновой функции, представляющие различные возможные результаты измерения, в данном случае – верхний и нижний спины, называются «компоненты». В этом состоянии вероятность наблюдать частицу с верхним спином будет равна |a|², а вероятность наблюдать частицу с нижним спином – |b|². Если, например, и a, и b были бы равны квадратному корню из 1/2, то вероятность наблюдать верхний или нижний спин составила бы 1/2.

Кубиты помогают понять критически важное свойство волновых функций: каждая из них подобна гипотенузе прямоугольного треугольника, а катеты этого треугольника соответствуют амплитудам каждого возможного результата измерения. Иными словами, волновая функция похожа на вектор, то есть на стрелку, обладающую длиной и направлением.

Вектор, о котором мы говорим, не указывает направление в реальном физическом пространстве, например «вверх» или «на север». Нет, скорее он направлен в пространстве всех возможных результатов измерений. Если речь идет о кубите одного спина, то это будет верхний или нижний спин (если мы выберем какую-либо ось, вдоль которой будем его измерять). Когда мы говорим, что «кубит находится в суперпозиции верхнего и нижнего спинов», мы фактически имеем в виду: «вектор, представляющий квантовое состояние, имеет одну компоненту, описывающую верхний спин, и другую компоненту, описывающую нижний спин».

Естественно полагать, что верхний и нижний спины указывают на противоположные направления: просто посмотрите на стрелки. Однако как квантовые состояния они перпендикулярны друг другу: кубит, полностью соответствующий верхнему спину, не имеет компоненты, которая соответствовала бы нижнему спину, и наоборот. Даже волновая функция для координаты частицы является вектором, хотя обычно мы представляем ее как гладкую функцию, распределенную в пространстве. Фокус в том, чтобы считать каждую точку пространства определяющей отдельную компоненту, а волновую функцию – суперпозицией всех этих компонент. Существует бесконечное количество таких векторов, поэтому пространство всех возможных квантовых состояний, именуемое гильбертовым пространством, является бесконечномерным для координаты любой отдельной частицы. Вот почему гораздо удобнее рассуждать о кубитах. Два измерения представить проще, чем бесконечное количество измерений.

Когда в нашем квантовом состоянии всего две компоненты, а не бесконечное множество, непросто представить состояние как «волновую функцию». Она не слишком волнистая и не похожа на гладкую функцию в пространстве. Но на самом деле думать об этом нужно совершенно иначе. Квантовое состояние – это не функция в обычном пространстве, а функция в абстрактном «пространстве результатов измерений», которое в случае кубита предусматривает всего две возможности. Если наблюдаемый нами феномен – это координата отдельной частицы, то квантовое состояние присваивает амплитуду каждой возможной координате, и это напоминает волну в обычном пространстве. Однако это необычный случай; по своей природе волновая функция более абстрактна, и, когда в ней участвует более одной частицы, ее становится трудно визуализировать. И тогда терминология «волновой функции» нам уже мешает. Кубиты – отличная вещь хотя бы потому, что у такой волновой функции всего две компоненты.

⚪ ⚪ ⚪

Может показаться, что данное математическое отступление было излишним, но есть непосредственная польза в том, что мы стали мыслить о волновых функциях как о векторах. Во-первых, становится понятно правило Борна, согласно которому вероятность получить любой конкретный результат измерения равна квадрату его амплитуды. Подробнее мы обсудим этот момент позже, однако легко увидеть, какой смысл заключен в этой идее. Если волновая функция – это вектор, то у нее есть длина. Логично предположить, что со временем длина этого вектора может уменьшаться или увеличиваться, но это не так; согласно уравнению Шрёдингера, меняется лишь «направление» волновой функции, а длина ее остается постоянной. Длину волновой функции можно вычислить по теореме Пифагора, для этого достаточно знать геометрию на уровне старших классов.

Числовое значение длины вектора несущественно, мы просто можем выбрать удобное число, зная, что оно останется постоянным. Пусть это будет единица, то есть будем считать, что любая волновая функция это вектор, длина которого равна единице. Сам этот вектор подобен гипотенузе прямоугольного треугольника, а его компоненты – катетам. Тогда теорема Пифагора подсказывает нам простое отношение: сумма квадратов амплитуд дает единицу, |a|² + |b|² = 1.

На этом простом геометрическом факте основано правило Борна для расчета квантовых вероятностей. Сами амплитуды в сумме не дают единицу, а их квадраты – дают. Все это напоминает важную особенность теории вероятности: сумма вероятностей различных исходов должна быть строго равна единице. (Что-то должно произойти, и общая вероятность всех возможных исходов в сумме дает единицу.) Еще одно правило заключается в том, что вероятности обязательно выражаются неотрицательными числами. Опять же, амплитуды в квадрате соответствуют этому требованию: амплитуды могут быть отрицательными (или комплексными), но их квадраты являются неотрицательными вещественными числами.