Текст книги "Время переменных. Математический анализ в безумном мире"

На первых страницах «Жизни на Миссисипи» Марк Твен[10]10
  Здесь и далее цит. по: Твен М. Собр. соч. в 12 т. Т. 4 – Жизнь на Миссисипи / Пер. Р. Райт-Ковалевой – М.: Государственное издательство художественной литературы, 1960. – С. 232.


[Закрыть] показывает читателям то, чего они так страстно желают, – статистику. Длина реки Миссисипи составляет 6920 км. Ее бассейн – 3 237 485 км². Ежегодно она наносит 406 млн тонн ила. «Если бы эту грязь уплотнить, – рассчитывает Твен, – вышел бы массив площадью в квадратную милю (1,6 км². – Здесь и далее прим. ред.) и вышиной в двести сорок один фут (73 м)». Это все чрезвычайно познавательно, хотя, возможно, несколько сухо для писателя, чьи книги то провозглашались самыми забавными, то запрещались как богохульные.

Но не беспокойтесь, фанаты Марка Твена! Этот человек сам сказал: «Вначале дайте ваши факты, а потом можете переиначивать их столько, сколько вам заблагорассудится». Такой виртуозный выдумщик, как Твен, мог рассказывать истории о чем угодно – даже о числах. Для примера:

Все эти сухие подробности важны потому, что дают мне возможность рассказать об одной из характернейших особенностей Миссисипи – о том, как она время от времени сокращает себе путь[11]11
  Там же. – С. 349.


[Закрыть].

Как и во всех старых реках, воды Миссисипи струятся через лениво петляющие повороты. На одном участке своего течения она извивается так, что тянется на 2000 км, тогда как по прямой там всего 1086 км. И время от времени река прорезает узкие перешейки земли, укорачивая свое русло. «Не раз она сокращала свой путь на тридцать миль (48 км) одним прыжком»[12]12
  Твен М. Указ. соч. – С. 351–352.


[Закрыть], – говорит Марк Твен. По сравнению с тем, что было за 200 лет до того, как вышла книга Твена, нижний отрезок реки между Каиром, штат Иллинойс, и Новым Орлеаном, штат Луизиана, сократился с 1955 до 1899 км, а затем до 1688 км и даже 1566 км.

Здесь снова дадим слово рассказчику:

У геологии никогда не было таких точных данных для умозаключений… А тут посмотрите сами!

За сто семьдесят шесть лет Нижняя Миссисипи укоротилась на двести сорок две мили (390 км), то есть в среднем примерно на милю и одну треть (2,15 км) в год. Отсюда всякий спокойно рассуждающий человек, если только он не слепой и не совсем идиот, сможет усмотреть, что в древнюю силурийскую эпоху – а ей в ноябре будущего года минет ровно миллион лет, – Нижняя Миссисипи имела свыше миллиона трехсот тысяч миль (2 092 147 км) в длину и висела над Мексиканским заливом наподобие удочки. Исходя из тех же данных, каждый легко поймет, что через семьсот сорок два года Нижняя Миссисипи будет иметь только одну и три четверти мили в длину (2,82 км), а улицы Каира и Нового Орлеана сольются, и будут эти два города жить да поживать, управляемые одним мэром и выбирая общий городской совет. Все-таки в науке есть что-то захватывающее. Вложишь какое-то пустяковое количество фактов, а берешь колоссальный дивиденд в виде умозаключений. Да еще с процентами[13]13
  Там же. – С. 233.


[Закрыть].

Не играет ли Твен в какую-то глупую арифметическую игру? Вовсе нет! Это выдающаяся геометрическая игра. В основе математического анализа лежит фундаментальная геометрия, которая одновременно делает производные возможными и полезными, – всюду присутствующая геометрия прямой линии.

Посмотрите сами!

Мы можем нарисовать график, показывающий длину Нижней Миссисипи (от Каира до Нового Орлеана) в разные годы за время ее истории.

Да, наши данные несколько скудны, но нисходящее направление графика видно четко. В наши дни у статистиков есть излюбленный метод украшения таких схем. Этот инструмент известен экономистам, эпидемиологам и любителям поспешных обобщений как «линейная регрессия».

Во-первых, мы определяем «центральную точку» графика. Ее координатами является среднее арифметическое координат имеющихся данных.

Затем из всех прямых, проходящих через эту точку, мы выбираем ту, которая больше других совпадает с данными, то есть ближе всего проходит к уже обозначенным точкам.

Вот и все! Сейчас мы совершили переход от нескольких разрозненных точек – неподатливых и статичных – к великолепной непрерывной линии. Она включает в себя бесконечное количество точек и может быть продлена в любом направлении на такую длину, какая нам будет угодна.

Например, мы можем продлить прямую в далекое прошлое:

Подумать только! Миллион лет назад Миссисипи была просто громадной рекой, более миллиона километров длиной. Именно тогда она выглядела как гигантская удочка, висящая над Мексиканским заливом. Та, настоящая Миссисипи простиралась на расстояние в пять раз большее, чем от Земли до Луны, и при каждом обороте каменного спутника вокруг нашей планеты окатывала его, как из пожарного шланга.

Поскольку прямую можно продлить в двух направлениях, мы можем развить нашу линейную модель и вперед во времени:

Вот оно! В начале XXVIII в. Миссисипи будет иметь длину менее 1,6 км. Чтобы приспособиться к этому, североамериканский континент сомнется, как скрученная в шарик бумажка, в результате чего Каир и Новый Орлеан обретут свое долгожданное соседство вдоль реки. Между ними будет маячить расселина глубиной в 800 км, разрывающая земную кору.

Я прямо слышу, как вы жалуетесь. «Никакая серьезная математика, – скажете вы, – не может основываться на таком шатком фундаменте».

Ха! А что такое «серьезная» математика? Математика – это логическая игра, глупая шутка, состоящая из абстракций. И, как и во многих играх, прямые – это то, без чего невозможно обойтись для упрощения. Они помогают обойти медленные извилины математического анализа точно так же, как спрямившееся русло укорачивает путь реки. Именно поэтому прямые используются везде – в статистических моделях, в более многомерных преобразованиях, в экзотических геометрических поверхностях и, больше всего, в самой сущности производных.

Возьмем параболу. Если бы у вас были глаза, как у хорошо накачанного кофеином летчика-аса, едва бросив взгляд на рисунок ниже, вы заметили бы: парабола прямой не является.

Вместо этого она является – прошу прощения за использование математического жаргона – кривой. Но давайте посмотрим на нее поближе. Что вы видите теперь?

Это все еще кривая, да. Но у этой кривой меньше изгибов, эта парабола менее параболическая. А посмотрите, что будет, если мы приблизим ее еще больше:

Искривление является мягким, постепенным. Мы словно напеваем себе под нос, чтобы уснуть. Приблизьте его еще, и кривизна станет такой малозаметной, что невооруженный глаз просто откажется ее воспринимать. Фактически линия остается кривой, но для любых практических целей ее можно считать прямой.

И в бесконечно малом масштабе – меньше всех известных размеров, но все же не равном нулю – кривая достигает того, что мы ищем. Она становится – по крайней мере, в нашем воображении – по-настоящему прямой.

И какое же отношение это имеет к производной? Непосредственное.

Производная, как вы помните, – это уровень изменения в определенный момент. Например, она может сказать нам, как длина Миссисипи изменяется в отдельно взятое мгновение.

Но длина Миссисипи не изменялась с постоянной, устойчивой скоростью. Она какое-то время оставалась одной и той же, затем резко сокращалась, а потом постепенно увеличивалась. Будучи обычными людьми, мы не можем испытывать неудовлетворенность из-за того, что река течет и постоянно движется, но в качестве математиков явно выражаем недовольство. Как мы можем вынести такое беспорядочное поведение береговой линии? Как мы будем говорить о степени изменений, когда река не способна придерживаться какого-либо показателя дольше, чем одно мгновение?

Простой способ: мы можем изменить масштаб, как сделали это с параболой. В бесконечно малом масштабе изгибы графика выпрямятся, позволив нам расшифровать производную.

Таким образом, все дифференциальное исчисление основывается на одном простом наблюдении: приближение выпрямляет.

В большом масштабе Земля не является плоской. В самом деле, все наши безнадежные попытки сгладить ее, такие как проекция Меркатора, вызывают искажения, из-за которых Гренландия (имеющая площадь менее 2,59 млн км²) кажется такой же большой, как Африка (площадью почти 31 млн км²). Но в маленьких масштабах? Эй, да почему бы нет! Подойдите достаточно близко, и вы никогда не заметите кривизну. Если мне нужно проплыть по Миссисипи от Каира, штат Иллинойс, до Колумбуса, штат Кентукки, 32 км, или всего 0,08 % длины окружности земного шара, то плоская карта подходит мне просто идеально.

Твен совершил старую, как мир, ошибку, перепутав местную линейность с глобальной. И то, что он сделал в шутку, другие совершают всерьез. В своей язвительной книге «Как не ошибаться» (How Not to Be Wrong) (из которой я взял многие идеи для этой главы) Джордан Элленберг приводит замечательный пример подобной ошибки. Вышедшая в 2008 г. статья в журнале Obesity утверждала, что к 2048 г. доля взрослого населения США, имеющего лишний вес, достигнет – внимание, барабанная дробь! – 100 %.

Исследователи продлили свою линейную модель слишком далеко, доведя ее до космической пустоты, в то время как в реальности график искривляется.

Еще один случай: в 2004 г. журнал Nature опубликовал короткую заметку, где отмечалось, что у женщин время, которое они показывают в олимпийских забегах на 100 м, сокращается быстрее, чем у мужчин. Таким образом, «если подобная тенденция сохранится», пишут авторы с усмешкой, женщины сравняются с мужчинами к Олимпийским играм 2156 г., когда представители обоих полов будут пробегать стометровку за рекордные 8 секунд.

Увы, к тому времени, когда в Космическом Париже, Лунном Йорке или Народной республике Google состоятся Олимпийские игры 2156 г., я могу голову дать на отсечение: «текущая тенденция» не будет иметь места. Все это потому, что «текущие тенденции» всегда выглядят линейными, но дуга истории таковой никогда не бывает. Если экстраполировать ту же самую модель на Древнюю Грецию, мы узнаем, что воины пробегали то же расстояние за 40 секунд. Этой бодренькой прогулочной скорости недавно достигла пожилая женщина из Луизианы в возрасте 101 года. Будущее же выглядит еще более странным, поскольку скорость золотых медалистов, согласно этой модели, должна будет повышаться до тех пор, пока не достигнет значений, возможных разве что в сериале «Звездный путь».

Жизнь похожа на Миссисипи. Она течет. Она изгибается. Подойдите достаточно близко, и, возможно, вы увидите прямую, но в целом она никогда не останавливается и всегда извилиста.

Под конец я приведу еще один отрывок из «Жизни на Миссисипи» о том, как грязь оседает в дельте реки:

Отложения ила постепенно наращивают сушу, но именно постепенно: за двести лет, прошедшие с тех пор, как река вошла в историю, берега продвинулись в море меньше чем на одну треть мили (540 м).

Ученые думают, что устье находилось прежде у Батон-Руж, там, где кончаются холмы, и что двести миль (322 км) суши между этим местом и заливом были созданы рекой. Простой подсчет дает нам возможность без труда определить возраст этой части страны: ей сто двадцать тысяч лет[14]14
  Твен М. Указ. соч. – С. 232.


[Закрыть].

И снова мы видим линейную модель. Марк Твен берет данные за два последних столетия, за которые суша приросла на 540 м, что составляет около 270 см в год, и, опираясь на эти цифры, приходит к выводу, что 120 000 лет назад дельта реки лежала на 322 км выше по течению.

Увы, Твен совершает ту же ошибку, что и исследователи из журнала Obesity, которую в других местах он высмеивал. Насколько нам известно, появление реки Миссисипи датируется концом последнего ледникового периода, то есть это произошло каких-то 10 000 лет назад. Линейная модель Твена простирается еще на 110 000 лет в прошлое, как река, текущая в глубины космоса. Он потребовал от производной рассказа о вечности, забыв, что она говорит лишь о мгновении.

В английской школе случается беда – так начинается рассказ Конан Дойля «Случай в интернате». Из общежития исчезает десятилетний сын богатого герцога. Также пропали преподаватель немецкого языка, один-единственный велосипед, и отсутствует какая-либо линия, объединяющая все разнородные факты. После того как местная полиция терпит неудачу, отчаявшийся директор школы приходит в квартиру по адресу Бейкер-стрит 221В, чтобы попросить о помощи самого почитаемого из всех вымышленных сыщиков.

– Мистер Холмс, – говорит он, – речь идет о деле чрезвычайной важности, и я умоляю вас применить все свои способности, чтобы раскрыть эту тайну!

Несколько часов спустя Шерлок Холмс и доктор Ватсон крадутся по «бурой торфяной равнине»[15]15
  Здесь и далее цит. по: Дойль, Артур Конан. Приключения Шерлока Холмса. Возвращение Шерлока Холмса / Пер. Н. Волжиной. – М.: АСТ, 2018. – С. 404–441.


[Закрыть] и натыкаются на первую подсказку: «вьющуюся черной лентой тропинку. Посередине, на сырой земле, четко виднелись отпечатки велосипедных колес». Именно в этот момент Холмс пускает в ход классический дедуктивный метод:

Эти следы, как вы сами можете убедиться, ведут от школы.

– Или по направлению к школе.

– Нет, мой дорогой Ватсон. Отпечаток заднего колеса всегда глубже, потому что на него приходится бо́льшая тяжесть. Вот видите? В нескольких местах он совпал с менее ясным отпечатком переднего и продавил его. Нет, велосипедист, несомненно, ехал от школы.

Какие достижения в физике! Какие гениальные способности к геометрии! Есть только одна проблема, которую маскирует сладкоголосая проза и которую показывает самая простая схема.

Здесь мы видим более толстую линию, пересекающую более тонкую. Понятно ли из этого, каким путем ехал велосипед? Увы, нет, потому что Холмс допустил нехарактерную для него ошибку. След заднего колеса всегда пересекает след переднего. Это не дает никакой подсказки по поводу направления, но является простым следствием особенностей конструкции велосипеда, где переднее колесо может поворачиваться, тогда как заднее остается закрепленным.

Как Холмс мог так опростоволоситься? «Возможно, – предполагает профессор математики Эдвард Бендер, – он недавно принял очередную дозу опиума». Кто-то может обвинить сэра Артура Конан Дойля, но я считаю, Холмс должен нести ответственность за свои ошибки, как и любой вымышленный персонаж.

К счастью для герцога, существует точный и элегантный метод выяснить, в каком направлении двигался велосипед, по оставленным им следам. Этот метод основывается на простом, но действенном понятии дифференциального анализа – касательной.

Слово «касательная» происходит от латинского tangere («касаться», «трогать»), как и слова tangible («осязаемый», «ощутимый») и «танго»; все эти слова связаны с проявлениями нежности и прикосновениями. В математике касательная совпадает с кривой в одной точке. Так она на какое-то мимолетное мгновение принимает относящееся к конкретному моменту направление кривой, ее производную.

Например, если кривая изображает путь машины, то касательная будет указывать направление света фар.

Или, для более наглядной демонстрации, привяжите веревку к камню, раскрутите его над головой и подождите, пока веревка порвется. Камень полетит по прямой: касательная – это его путь в момент разрыва.

А что же насчет велосипеда? Поскольку заднее колесо закреплено на раме, в любой отдельно взятый момент оно гонится за передним. Другими словами, его направление в конкретный момент движения указывает туда, где находится переднее колесо.

Давайте проверим этот факт при помощи приведенной ранее загадки. Без каких-либо подсказок о глубине следа можем ли мы определить, где отпечаток переднего колеса?

Элементарно, мой дорогой Холмс! Просто найдите момент вдоль одной из линий, когда касательная указывает в пространство, в направлении, куда велосипед никогда не ехал. Могло ли заднее колесо повернуться туда? Никогда! Оно всегда повторяет поведение переднего колеса. Таким образом, линия с направленными вовне касательными должна принадлежать переднему колесу.

Теперь вопрос на 6000 фунтов – такое вознаграждение назначил герцог в рассказе: в каком же направлении двигается велосипед?

Есть только два возможных варианта. Во-первых, предположим, что велосипед двигается слева направо. Проведем соответствующие касательные для заднего колеса, продлив их до тех пор, пока они не пересекутся со следом переднего.

Расстояние от заднего до переднего колеса вдоль касательной должно соответствовать длине велосипеда. Но здесь это расстояние меняется от точки к точке. Нам остается только заключить, что во время своего путешествия велосипед менял длину, как двухколесная игрушка на пружине. Такой велосипед должен бы принадлежать ездоку, не имеющему себя равных в ловкости и обладающему сомнительным здравомыслием.

В «Случае в интернате» есть подходящий комментарий:

– Холмс! – воскликнул я. – Это неправдоподобно!

– Браво! – сказал он. – Вывод исчерпывающий. В моем изложении событий есть что-то неправдоподобное, следовательно, я допустил ошибку… Где же я ошибаюсь?

В нашем случае ошибка совершенно ясна. Мы не рассмотрели альтернативу – ведь велосипед мог двигаться справа налево.

Ага! Эти касательные, к счастью, одной длины. Они говорят о велосипеде прочной конструкции, вполне правдоподобном. Значит, мы можем прийти к выводу, что велосипед двигался в этом направлении.

Разве это не замечательный ход мысли? Он позволяет увидеть за следами факты и, расшифровав язык геометрии, раскрыть истину. Тщательное изучение улик сочетается здесь с безупречным логическим анализом. Разве не в этом секрет триумфа гениального сыщика – и, в нашем случае, высшей математики?

Отношения Холмса с математикой вполне понятны – это его зеркальное отображение. Именно поэтому, когда Конан Дойлю хочется ввести в повествование антагониста, который станет противостоять наблюдательному сыщику, он придумывает математика профессора Мориарти. «Наполеон преступного мира» описывается как «гений, философ» и «абстрактный мыслитель», кроме того, он – «прославленный автор “Движения астероидов”, книги, затрагивающей такие высоты чистой математики, что, говорят, не нашлось никого, кто мог бы написать о ней критический отзыв»[16]16
  Цит. по: Дойль, Артур Конан. Долина ужаса: Новые приключения Шерлока Холмса / Пер. А. Москвина. – М.: Кооператив АВИС: Прометей, 1990.


[Закрыть].

Поневоле приходишь в уныние, стоит подумать, как быстро Мориарти разобрался бы в следах велосипеда. Соперник Холмса, можно быть уверенными, знал о касательных.

Я сам впервые узнал о загадке с велосипедом из прекрасной биографической книги «Гений играет: пытливый ум Джона Хортона Конвея» Шивон Робертс. В одной запоминающейся сцене команда из трех математиков собирается вести экспериментальный курс в Принстоне. Он представляет собой «подпольную, бунтарскую попытку», направленную на то, чтобы показать, что «математика и поэзия похожи», и называется «Геометрия и воображение». Ожидая, что на занятиях будет не более 20 студентов, преподаватели ошарашены, когда выясняется, что на курс записалось 92 человека. Как рассказывает Робертс, молодые люди не потратили свои деньги зря:

Преподаватели строго соблюдали ритуал и появлялись в классе все разом, иногда с большой помпой и важностью, порой они несли флаг, время от времени надевали велосипедные шлемы, часто тянули за собой детскую тележку, наполненную многогранниками, зеркалами, фонариками и свежими продуктами из продуктового магазина…

Для одного урока преподаватели «отыскали огромные рулоны бумаги, разорванные на полосы размером, по меньшей мере, 1,8 метра на 6 метров» и ездили по ним на велосипедах с вымазанными краской колесами. В результате получились эпические полотна геометрического велосипедного искусства, головоломки в натуральную величину. Студенты, как юные Шерлоки, получили задание определить, в каком направлении ехал каждый велосипедист.

Но преподаватели добавили деталь, которая, возможно, озадачила бы самого Мориарти:

Тем не менее часть из этих следов поставила студентов в тупик. Эту серию линий Питер Дойль [один из преподавателей] оставил на листе бумаги, когда ездил туда-обратно на велосипеде с одним колесом.

Это история о том, как рождаются вирусные сенсации. Решайте сами, что это будет: может быть, хулахупы, кубики Рубика, тамагочи или дешевый вариант последних, который еще называют iPhone. Но это не обязательно должна быть игрушка! Вы можете выбрать лингвистику, технологию, социальную сеть, образование опухолей или популяцию кроликов. Что угодно, что бы ни пришло вам в голову и, как это обычно бывает с повальными увлечениями, что тут же хочется получить всем вокруг.

«Как, – спросите вы, плюясь от возмущения, – как одна глава может годиться на любой случай жизни, как вы можете предлагать каждому выбрать свое собственное приключение?»

Ну, потому что на самом деле это история кривой. Эта кривая:

Эта основная модель, которая называется логистической кривой, – одна из величайших математических моделей, не говоря уж о том, что она является триумфом элементарного математического анализа. И, как и любая классическая пьеса, она разыгрывается в трех актах.

Акт I. Ускорение.

Когда мы что-то начинаем, наше увлечение еще не является модным веянием. Это всего лишь дикая прихоть. «Я буду продавать камень как питомца», – говорит какой-то сумасшедший. «Я поставлю танец с необычными движениями рук, и весь мир будет восторженно кричать: “Эй, макарена!”» Или даже: «Я введу в компьютер странички с фотографиями лиц и стану тем самым Цукербергом, Разрушителем миров».

Звучит как иллюзорная мечта? Возможно. Но вначале рост идет медленно.

Но дела обстоят не так безрадостно, как кажется. Во время неблагоприятного начала рост на самом деле идет по экспоненте.

Слова «экспонента» или «экспоненциальный» проникли в обычный язык, как некоторые другие математические термины. («Внутреннее произведение» и «двудольный граф» все еще пребывают в трагическом забвении.) Тем не менее, как это всегда бывает, когда альтернативная рок-группа добивается успеха, по пути кое-что утрачивается. Об экспоненциальном росте обычно говорят как о синониме «очень быстрого», но его математическое значение гораздо более чудесно и точно: величина растет пропорционально своему размеру.

Другими словами, чем она больше, тем быстрее растет.

При линейном росте за каждый период времени прибавляется одно и то же количество. Это может происходить медленно, как прибавление одного кольца к стволу дерева каждый год. Или это может быть быстро, как рост мутантного дерева в сказке о Джеке и бобовом зернышке, когда каждое новое кольцо прибавлялось за миллисекунду. Важна не скорость, а постоянство. Если темп роста никогда не меняется, то он является линейным.

В противовес этому возьмем, к примеру, стартап, чья прибыль растет на 8 % каждый месяц. Поначалу 8 % от мизерного количества – это сущая безделица. Но со временем компания расширяется, и эти 8 % соответствуют все большим и большим цифрам. За девять месяцев доход удваивается, а за десять лет фирма превращается из гусеницы с выручкой в $1000 в месяц в огромную бабочку с прибылью в $8 млн в месяц. Дайте ей еще десять лет, и она станет громадиной с ежемесячным доходом в $1 трлн – 15 % мирового ВВП. Вот это и есть экспоненциальный рост.

Вы можете уловить суть этого различия по двум коротким уравнениям:

Но медовый месяц с экспонентой не может длиться вечно, иначе любое массовое увлечение захватило бы всю Вселенную. В реальности подобное пока что случалось только дважды: с крупяными куклами[17]17
  Матерчатая кукла, заполненная крупой или пластиковыми шариками. – Прим. пер.


[Закрыть] и деббингом[18]18
  Танцевальное движение, когда человек прячет лицо в согнутом локте и поднимает вторую руку. – Прим. пер.


[Закрыть]. Немного времени спустя нас ждет акт II – Перегиб кривой.

Как и «экспоненциальный рост», выражение «точка перегиба кривой» перекочевало в обычный язык из учебников математики. Я сам всегда аплодирую вирусному распространению математического жаргона, но должен отметить, что фраза: «момент, когда рост неожиданно становится взрывным» – придает точке перегиба кривой почти противоположное значение.

При росте по логистической кривой перегиб происходит не в момент, когда начинается быстрый рост. Он происходит, когда быстрый рост доходит до кульминации, до своего максимума, и, таким образом, начинается долгое, медленное понижение.

Производная, как вы помните, говорит нам об изменениях графика. Положительная производная? Он растет. Отрицательная? Снижается.

Вторая производная говорит нам о том, как меняется первая производная – то есть о самом темпе роста. Положительная вторая производная? Тогда наш рост ускоряется. Отрицательная вторая производная? Он замедляется.

Точка перегиба кривой – это момент перехода, когда вторая производная меняет знак: отрицательный на положительный или (при росте по логистической кривой) положительный на отрицательный. После того как скорость растет и растет, как у потерявшего управление поезда или заигранного хита, ускорение, наконец, останавливается, и рост начинает замедляться.

Это особый момент в истории массовых увлечений – триумф с привкусом горечи, поскольку все вершины достигнуты. В случае, скажем, с Instagram – это месяц, когда к нему присоединилось наибольшее количество пользователей. Социальная сеть еще не получила свое самое широкое распространение, но пик самого быстрого распространения пройден. Она расширялась быстрее, чем когда-либо ранее, и такого роста не будет уже никогда. Согласно графику то, что произойдет дальше, – это зеркальное отражение первоначальной траектории: каждому моменту ускорения теперь соответствует спад.

Это приводит нас к акту III – Насыщение.

В этот момент массовое увлечение перерастает свою крутизну. О нем знают родители. О нем знают даже бабушки и дедушки. Даже те, кто не в курсе модных тенденций популярной культуры – например, учителя математики, – могут решить присоединиться к стороне победителя. Чувство гордости первых адептов этого веяния сменяется теперь пренебрежением. Как подметил король парадокса Йоги Берра, «в этот ресторан больше никто никогда не ходит, потому что он всегда переполнен».

При экспоненциальной модели рост пропорционален размеру. Рост по логистической кривой добавляет еще один очень важный момент: рост пропорционален размеру, а также расстоянию от максимальной величины.

Чем ближе к максимуму, тем медленнее рост.

Лес может вместить только определенное количество кроликов, экономика – определенное количество электромобилей, человеческий глаз может выдержать только определенное количество просмотров «Gangnam Style». Ресурсы каждой системы конечны. Facebook никогда не сможет стать больше, чем население планеты, если только не снимет свой пагубный запрет заводить страницы дельфинам и гориллам.

В качестве иллюстрации обратимся к химии и королевству автокаталитических реакций.

Химия изучает реакции разных видов, такие как «взрывные», «пенящиеся» или «с красивыми цветами». Иногда в дело вступают особые молекулы, которые ускоряют реакции, как услужливые помощники. Их называют «катализаторами».

В некоторых, очень немногих, реакциях катализаторы производятся сами по себе. Это создает положительную обратную связь: чем больше катализаторов получается, тем быстрее и быстрее вещество пенится и/или взрывается… Но такие циклы не могут длиться вечно. Как только первоначальный запас ингредиентов на входе стремится к нулю, мы остаемся со множеством катализаторов, но катализировать теперь нечего. Реакция замедляется.

Повальные увлечения следуют той же логике. Чем больше людей ими интересуется, тем больше людей они могут привлечь. Петля обратной связи растет по экспоненте – по крайней мере, какое-то время. Но раньше или позже количество тех, кого можно привлечь к этому занятию, истощается. Вокруг множество рекрутеров, но привлекать некого. Переизбыток катализаторов, но катализировать нечего.

Если вам нравится пафосный химический жаргон, вы можете сказать, что вирусное массовое увлечение – это автокаталитическая реакция среди людей.

Математические модели делятся на две части. Механистические модели воплощают принципы оригинала, как модель самолета с соответствующим по размеру двигателем. Тогда как феноменологические модели имеют только поверхностное сходство, как модель самолета, которая великолепно выглядит, но летать не может.

До того как протестировать приведенную в этой главе модель, вы имеете право задать совершенно справедливый вопрос: к какому типу она принадлежит?

В Кремниевой долине сказали бы, что к механистическим моделям. Определите «коэффициент вирусности» (для количества новых людей, которых привлекает каждый последователь массового увлечения), оцените размер всего рынка, набросайте презентацию в PowerPoint, и – ба-бах! – вы готовы привлекать инвесторов.

С другой стороны, вот реальная история именитого биолога, который с помощью модели роста по логистической кривой решил предсказать численность населения США. Он взял данные по началу ХХ в., щелкнул пальцами и пришел к выводу, что размер населения страны стабилизируется где-то около отметки в 200 млн человек – цифра, которую мы перекрыли 120 млн человек назад.

Если она не помогает нам предсказать, когда массовое увлечение начнет выравниваться, то какая же тогда польза от логистической модели? Может быть, это просто сказка, всего лишь история в графической форме?

Может быть. Но не преуменьшайте ее ценность. Мы с вами – персонажи этой истории. Структура рассказа определяет наши действия, наши мысли, наши «заказы навынос». Мы с вами – существа, рассказывающие истории. Эти истории определяют наши действия и мысли. И даже если история роста по логистической кривой не помогает делать предсказания, она может, по крайней мере, намекнуть, что ждет нас в будущем, обогатить наше мышление и указать, на что стоит обратить внимание.

То, на что указывают нам математические модели, слишком сложно для восприятия. Небольшое упрощение – здоровая человеческая реакция, по крайней мере до тех пор, пока мы читаем написанное мелким шрифтом прежде, чем поиграть в игрушку.