Текст книги "Время переменных. Математический анализ в безумном мире"

Давным-давно, 29 или 30 столетий назад, жила-была принцесса по имени Элисса. Согласно сохранившимся текстам, ее брат Пигмалион был «тем еще парнем». Это вежливый способ рассказать о том, что он убил мужа Элиссы из желания поживиться золотом.

Прихватив с собой свои мозги, хитрость и, без сомнения, недавно возникшие проблемы с доверием, Элисса бежала через Средиземное море на побережье Африки. Она прибыла туда с большим количеством последователей, но у них не было ничего, что можно продать. Даже жульничая, Элисса сумела выторговать только «кусок земли, который она могла покрыть бычьей шкурой».

Выглядит не очень. Но Элисса была хитроумной леди. Как написано в одном из источников, она велела разрезать шкуру «на самые тонкие полосы», а затем, подойдя к прописанному в договоре с поистине вызывающей восторг ловкостью, она представила слова «участок, который можно покрыть» как «часть земли, которую можно охватить».

Такими были условия самой известной античной задачи на максимизацию. Какой участок земли вы можете отгородить с помощью некоторого количества длинных полосок кожи?

Эта загадка сегодня известна как изопериметрическая задача: приставка изо- здесь означает «тот же самый», а периметр – «подлая леди». По этимологическому совпадению периметр также означает «длина границы плоской фигуры».

Вопрос состоит в том, как можно захватить наибольшую площадь из всех возможных форм.

Не знаю, какими единицами длины пользовалась Элисса. Вероятнее всего, не метрами, если только она не была одной из первых, кто их применял. Поэтому, скажем, ее полоски соответствовали 60 «бычьим футам» (каждый из которых равен «1/60 общей длины, имевшейся у Элиссы»).

Теперь упорядоченная система геометрии предоставляет бесконечное разнообразие форм для города Элиссы.

Чтобы избежать такого разброса (и сложных расчетов площади), давайте возьмем самый простой класс фигур – прямоугольники.

Имея шкуру быка определенного размера, Элиссе предстояло пойти на сделку. Чем больше она будет расширять основание прямоугольника, тем меньше будет высота, и наоборот. Увеличьте одно из измерений с 17 до 18, и другое тут же понизится с 13 до 12.

Мы можем иначе сформулировать формулу площади прямоугольника: не «ширина × высота», а «основание × (30 – основание)».

На графике сверху каждая точка обозначает возможный прямоугольник, зарождающуюся империю Элиссы. На левом краю находятся глупые планы, такие как 1 × 29, на правом – их зеркальные отражения, скажем 29 × 1. Благодаря каждому из них получается очень узкая территория площадью 29 квадратных единиц, зауженная до такой степени, что даже Бостон покажется просторным.

Почему получаются такие нежизнеспособные результаты? Просто рассмотрите производные. Отношение скажет нам о том, как площадь реагирует на изменение основания.

Тем временем скажет нам, как площадь реагирует на изменение высоты.

Увеличьте основание, и площадь чуть-чуть изменится. Увеличьте высоту, и она взлетит ввысь. Если пользоваться другими терминами, ничтожно мало, в то время как огромно. Это порок всех подобных прямоугольников, напоминающих по форме спагетти, с удлиненным основанием и хилой высотой. По такому замыслу почти вся драгоценная бычья шкура уйдет на прижимистую производную, не оставив ничего щедрой.

Более умный план? Тратить, пока производные не станут равны. Это произойдет, как показывает график, когда стороны станут равны, в квадрате 15 × 15.

Решили ли мы проблему Элиссы? Не пора ли перерезать красную ленточку и начать занимать места на парковке? Не так быстро – у принцессы в запасе есть еще один трюк. Вместо того чтобы раскладывать полоски из бычьей кожи по открытой равнине, что, если ей отгородить участок на побережье Средиземного моря? Таким образом, вместо того чтобы выкладывать четыре стороны, ей понадобятся только три.

Ранее Элисса могла позволить себе квадрат 15 × 15. Сейчас она может отгородить область 20 × 20. Площадь увеличивается с 225 единиц до 400, город обрастает пригородами. Теперь-то мы уже можем выбирать мэра и, наконец, начинать жаловаться на строительство?

Однако, чтобы проверить, вернемся к производным. Вот что говорит нам самое маленькое увеличение высоты дает увеличение площади на 10 таких единиц.

Не так уж плохо! И можно предположить, что то же самое происходит с

Черт возьми! Дополнительное приращение основания увеличит площадь на 20 таких единиц. Производные не равны!

По результатам проверки это имеет смысл. Каждый маленький участок высоты тянет за собой две стены, тогда как каждый участок основания – только одну. Таким образом, ширина «дешевле» в два раза. Квадратная форма перераспределяет ресурсы: мы ищем форму, при которой обе производные равны.

Теперь пора перейти к другому графику:

Оказывается, максимальную площадь займет прямоугольник 15 × 30, охватывающий 450 квадратных единиц.

Триумф, как ни крути! Элисса превратила свой перенаселенный Манхэттен из бычьей шкуры в просторный Хьюстон. Но, использовав кое-что под названием «вариационное исчисление», подразумевающее различные виды кривых, Элисса может получить больше площади от своих ничего не подозревающих партнеров по торговле. Это дает нам в действительности самое оптимальное решение – полукруг, диаметром которого является береговая линия.

Приблизительная площадь этой фигуры – 573 квадратные единицы. Совсем неплохо для оптимизации за один день.

Все это, как утверждают римские историки, произошло в конце IX в. до н. э. В последующие годы на полукруглом участке земли появился процветающий и сильный портовый город-государство под названием Карфаген. Он был могущественной державой, пока Рим не повел против него войны и, в конце концов, с трех попыток, не одолел его. Многие годы Катон Старший заканчивал каждую свою речь словами: «Карфаген должен быть разрушен» («Delenda est Carthago»), что, должно быть, звучало несколько странно, скажем, на открытии нового парка.

В эпической поэме Вергилия «Энеида» Элисса выступает как любовница титулованного Энея, основателя Рима. Вергилий называет ее Дидоной. Под этим именем она вошла в основной состав канона западной культуры: 11 раз ее упоминал Шекспир, она стала героиней 14 опер, а также появилась в компьютерной игре «Цивилизация». Как говорил Дидоне Эней, «твоя честь, твое имя, твои заслуги будут жить вечно».

В наши дни город Элиссы с периметром из бычьей шкуры является прибрежным пригородом Туниса.

Предупреждаю заранее: я собираюсь закончить эту главу длинной, укрепляющей серией обязательных упражнений. Вот такую книгу для чтения на пляже вы купили. Если только – здесь я просто немного подтруниваю – вы не обменяете эту домашнюю работу на книгу апокалиптических комиксов.

Правда? Ну, делайте, как вам нравится.

В качестве компромисса давайте начнем эту главу, как мне нравится: с классической проблемы оптимизации, которую можно найти в любой книге по математическому анализу, начиная с «железного века» учебников по этой науке. Задача звучит примерно так: «Два положительных числа при умножении дают 100. Какой может быть их наименьшая сумма?»

Для начала мы можем попробовать различные пары чисел и посмотреть, что они дают в сумме.

Если первое число обозначить как A, то второе всегда равно 100, деленное на А (иначе говоря, 100/А). В результате получается следующий график:

Минимум находится там, где производная точно равна нулю, что происходит, когда А = 10. Это означает, что второе число также 10, и, таким образом, минимальная сумма – 20. Выпейте безалкогольного шипящего сидра – задача решена!

Эта задача приятна и аккуратно подстрижена, как придомовая лужайка в пригороде. Вы исследуете возможности. Вы взвешиваете варианты. И в конце вы приходите к единственному решению – триумф равновесия и эффективности. Почему авторы книг по самосовершенствованию и IT-компании так активно призывают нас к «оптимизации». Если понимать ее буквально, оптимизация призвана делать вещи лучше. Кто, за исключением поклонников сериала «Звездный путь: Вояджер», предпочтет худшее лучшему?

Но это только одно понимание оптимизации. Сразу за углом скрывается дикий мир. Позвольте себе нечто простое и безрассудное – сделайте наоборот. Вместо того чтобы искать минимальную сумму, найдите максимальную.

Если подбирать правильные пары множителей, сумма может расти и расти, так, что мы потеряем над ней контроль, и раздуется до бесконечности, как обещания политика или вопли младенца. Как может понять любой избиратель или родитель, мы попали в кошмар оптимизатора. Никакого максимума здесь нет, только беспредельный, бесконечный подъем.

В 2003 г. философ Ник Бостром написал эссе об этических последствиях применения искусственного интеллекта, существенно превосходящего человеческий. Он включил в работу краткое описание того, как даже самая возвышенная цель при не испытывающем колебаний руководстве может привести к варварскому уничтожению всего, подобно графику, устремленному в бесконечность. Этот замысел в стиле фильма ужасов с тех пор вошел в обиход и воображение людей.

Я даю вам… Умножитель скрепок для бумаги.

Как в басне Эзопа «Черепаха и технологическая сингулярность[25]25
  Гипотетический момент в развитии технологий искусственного интеллекта, когда человечество теряет над ними контроль. – Прим. ред.


[Закрыть]», мораль этой сказки совершенно ясна: никогда не создавайте силу, которой безразлично ваше выживание и которую вы не можете остановить. «Искусственный интеллект не испытывает к вам ненависти, – говорит философ Элиезер Юдковский, – не ощущает и любви, но вы сделаны из атомов, которые он может использовать для своих нужд».

Действительно ли существует эта угроза? Не сойдут ли через несколько секунд поезда с рельсов или это всего лишь зарисовка на ноутбуке градостроителя? Математик Ханна Фрай склонна придерживаться последней точки зрения. «Возможно, было бы куда более полезно подумать о том, как мы пройдем через революции в вычислительной статистике, чем через революцию в искусственном интеллекте, – пишет она в своей книге «Привет, мир! Оставаясь человеком в эпоху алгоритмов» (Hello World: Being Human in the Age of Algorithms). – Честно говоря, мы очень далеки от создания интеллекта даже на уровне ежика. Никто пока что не продвинулся дальше червя». Другие настроены менее оптимистично. «Часто случается, – пишет Юдковский, – что от ключевого технического изобретения, которое, казалось, появится только через несколько десятилетий, нас отделяет всего пять лет».

Стоит спросить: почему мы с вами не ведем себя как Умножитель скрепок? Я встречал людей – черт, да я сам бывал таким! – чьи цели были сомнительными или даже хуже. Мы способны на моральную слепоту, эгоистичную жадность и, когда стоим в медленно двигающейся очереди в магазине, на внезапный порыв кого-нибудь убить. Если Умножитель скрепок уничтожает мир ради глупой цели, почему мы с вами не уничтожаем мир, принимая во внимание, что наши цели являются далеко не возвышенными?

Отчасти дело в том, что нам просто не хватает сил. Но, кроме того – и это звучит более утешительно, – мы устроены сложнее и потому не способны так несгибаемо, не зная сомнений, идти к подобной цели.

Испытывали ли вы ничем не замутненную радость, когда играли в ладушки с карапузом? Необыкновенное умиротворение от созерцания многоцветного заката? Сладость идеального молочного коктейля? Ощущали ли вы состояние потока, выполняя значительную работу, чувство гордости от неожиданных перепостов, тепло на душе от дружеского общения с леопардовым гекконом? Если да, то вы знаете, что счастье – это не нечто, существующее отдельно. Для человечества нет одной-единственной переменной, чтобы ее оптимизировать. Как писал Уолт Уитмен:

По-твоему, я противоречу себе?

Ну что же, значит, я противоречу себе.

(Я широк, я вмещаю в себе множество разных людей.)[26]26
  Уитмен, Уолт. Листья травы / Пер. К. Чуковского. – М.: Текст, 2016. – С. 143.


[Закрыть]

Просто возьмите наш мозг, который не сделан по единому, унифицированному стандарту. Он представляет собой мягкое розоватое вещество, появившееся из запасных частей за тысячелетия эволюции. Он похож на архисложные компьютерные программы, организацию которых не может понять ни один программист. Именно поэтому жизнь так богата и бывает такой странной.

Математики могут дать нам инструкции о том, как оптимизировать. Но решать, что оптимизировать, остается задачей людей. И я голосую против скрепок.

Однажды вечером беспокойной осенью 1974 г. в роскошном ресторане отеля в столице США собралось пять человек, чтобы пообедать стейками, а на десерт заняться математическим анализом. Среди них было трое государственных чиновников (Дональд Рамсфелд, Дик Чейни и Грейс-Мари Арнетт), один редактор The Wall Street Journal (Джуд Ванниски) и один экономист из Университета Чикаго, Артур Лаффер, чье имя вскоре войдет в анналы истории экономики – а все благодаря исписанным чернильной ручкой салфеткам.

Неопытная администрация Форда столкнулась с дефицитом бюджета. Президент предложил общепринятое консервативное решение – повысить налоги. Возможно, сердца избирателей это не согрело бы, но ведь такое решение срабатывало столько раз! Если средств не хватает, нужно брать больше. Если только не спросить Артура Лаффера. Он считал, что правительство может наполнить свои сундуки, не повышая налоги, а понижая их. Я получаю больше денег, вы получаете больше денег, правительство получает больше денег. Эй, загляните под свои стулья – все получают больше денег!

Чтобы объяснить свою идею, Лаффер схватил салфетку и нарисовал производную, которая изменила мир.

Вначале представьте мир, где ставка подоходного налога равнялась бы нулю. В нем проблема Форда с дефицитом только усугубилась бы, потому что правительство никогда не получало бы никаких денег.

Другая крайность – ставка налога в 100 % – едва ли намного лучше. Когда служба по внутреннему налогообложению забирает каждый грош, который вы зарабатываете, зачем тогда вообще зарабатывать деньги? Вместо этого вы можете трудиться по бартеру, или работать подпольно, или распевать язвительные антиправительственные песенки на городских площадях. Пытаясь заграбастать весь экономический пирог, правительство только раздавливает его.

А теперь переходим к математическому анализу. Как доход правительства (обозначим его G) отвечает на изменения ставки налога (обозначим ее T)?

Иногда положительна, то есть повышение налога приводит к стремительному росту дохода, к примеру от 0 % до 1 %. В других случаях отрицательна, иначе говоря, повышение налога ведет к понижению дохода – скажем, от 99 % до 100 %.

Если предположить, что не будет никаких внезапных скачков или разворотов, мы можем применить небольшой, но прославленный шедевр математического анализа – теорему Ролля. Она гласит, что где-то между 0 % и 100 % есть особая точка, магическая налоговая ставка, повышающая доход до максимума, где равна нулю, и правительство получает от экономики столько, сколько может.

Где же именно находится эта точка? Неясно. Теорема Ролля – это то, что математики называют «теоремой существования»: она утверждает, что объект существует, но не указывает, где и как его найти.

Не важно. Лаффер не утверждает, что мы должны найти максимум. По его мнению, вам просто не надо оказываться справа от него, там, где понижение налогов приводит к тому, что все теряют свою прибыль. Только держащий в страхе всю экономику злодей из бондианы или не разбирающийся в математике круглый дурак могли бы возразить против этого.

Лаффер приводит пример президента Кеннеди, который понизил верхнюю границу предельной ставки с 91 % до 70 %. Результат был до странности асимметричным. Тогда как доля правительства в каждом маржинальном долларе упала более чем на четверть (с $0,91 до $0,70), доля работника увеличилась более чем в три раза (с $0,09 до $0,30). Это, как утверждает Лаффер, дало богатым людям стимул работать. Они с ревом бросились в свои офисные здания, как футбольные болельщики на игру. Уровень заработной платы взлетает вверх, налогооблагаемая база растет, музыка гремит, и даже правительство получает доход.

Логику здесь определяет простой математический анализ, ничего нового. Джон Мейнард Кейнс, Эндрю Меллон, мусульманский философ XIV в. Ибн Хальдун – Лаффер цитировал их всех как своих предшественников, отрицая какую-либо свою заслугу. Так что, думаю, вы уже догадались, в честь кого назвали график.

За это наименование мы можем благодарить Джуда Ванниски.

Кем он был, кроме того что являлся редактором The Wall Street Journal и фанатичным сторонником Лаффера? Согласно комментатору-консерватору Роберту Новаку, «гением», «адвокатом, который изменил мир» и «самым умным человеком, какого мне приходилось встречать»; согласно The New York Sun, «портящим факсы, ищущим публичности мозговым трестом в лице одного человека», а по версии внутреннего источника Джуда Ванниски – «самым влиятельным политическим экономистом последнего поколения».

«Хотел бы я быть настолько же компетентным хоть в чем-то, – сказал его соперник Джордж Уилл, – насколько он компетентен во всем».

Взглянув на кривую Лаффера, Ванниски увидел исторический поворот. Можно забыть о консервативном пристальном внимании к борьбе против дефицита. Можно забыть о старом выражении противников налогов «держать правительство на голодном пайке». Во время этого обеда, который, как он заявил, был срежиссирован заранее, Ванниски увидел организацию нового мира. Теперь снижение налогов становилось выгодным для всех или даже для всех-всех-всех-всех-всех-всех-всех…

Свое видение он изложил в фундаментальном труде, вышедшем в 1978 г. и скромно озаглавленном: «Как устроен мир» (The Way the World Works). Эта книга быстро стала библией новой экономики «с приоритетом предложения». В 1999 г. в своем ретроспективном собрании National Review включил ее в сотню самых великих документальных произведений столетия. «Я иду сразу за кулинарной книгой “Радость приготовления пищи”», – шутил Ванниски, хотя, если быть точным, «Радость приготовления пищи» занимает 41-е место, а Ванниски – 94-е.

Кривой Лаффера в книге отведена основная роль. На самом деле это ее главный герой, графическое представление самой цивилизации. «Тем или иным образом, – писал Ванниски, – все сделки, даже самые простые, проходят в соответствии с ней». Он предрекал, что «ее использование будет распространяться… Избиратели во всем мире узнают…»

У меня есть только одно замечание: кажется, Джуд Ванниски не понимал смысла кривой.

Вновь и вновь он говорит о пике кривой как о «точке, в которой избиратели желают, чтобы их облагали налогом». Не уверен, с какими именно избирателями встречался Ванниски, но я никогда не встречал ни одного, добивающегося максимальной выгоды для правительства. Никто не любит налоговую службу до такой степени.

Ванниски пишет:

В этой формулировке косвенным образом подразумевается существование в каком-то месте идеальной налоговой ставки, не слишком высокой и не слишком низкой, но способной поощрять максимальную налоговую активность и дающей самый высокий и наименее болезненный уровень дохода от налогов.

Не нужно иметь докторскую степень, чтобы понять: «самый высокий» и «наименее болезненный» уровень дохода от налогов – это далеко не синонимы и даже несопоставимые понятия. Ванниски пишет так, как будто ось y одновременно представляет две переменные – доход от налогов и общую производительность. Но график работает не так.

Вскоре после дерзкого и таинственного скачка воображения Ванниски начинает представлять кривую Лаффера как метафору всего – например, отца, воспитывающего сына. «Суровые наказания за нарушения крупных и мелких правил» сравниваются с высокой налоговой ставкой. Они могут «вызвать только угрюмые бунты, хитрость и ложь (уклонение от налогов по всей стране)». Тем временем отец, который является сторонником вседозволенности, напоминает низкую налоговую ставку и «подталкивает к открытым, бесшабашным бунтам»: «раскрепощенное взросление его сына происходит за счет остальной семьи».

Если воспринимать эту аналогию буквально, то ее автор заменяет «доходы правительства» «общим количеством наказаний». Он утверждает, что отцы должны стремиться извлечь максимум пользы из своих наказаний. Не наказывайте слишком сурово, иначе сведете на нет весь смысл наказаний.

В ничем не ограниченной прозе Ванниски кривая Лаффера перестает быть экономическим или даже математическим понятием. Он превращает ее в призрачный символ новой эры, нечто едва ли действующее по правилам, не мысль, а, скорее, эмоцию.

Как бы то ни было, благодаря неутомимой и несколько несуразной защите Ванниски кривая Лаффера завоевала популярность. Через несколько недель после вышеупомянутого обеда в 1974 г. президент Форд начал проводить новую политику, отказавшись от повышения налогов. В 1976 г. только что переизбранный конгрессмен Джек Кемп согласился на 15-минутную встречу с Лаффером, в итоге они проговорили весь вечер, как лучшие подружки, собравшиеся на пижамную вечеринку. «Наконец я отыскал избранного представителя народа, который был таким же фанатиком, как я», – сказал Ванниски. Еще один сторонник экономики предложения писал позднее: «Именно Джек Кемп практически в одиночку заставил Рональда Рейгана обратиться к экономике предложения». В 1981 г. Рейган подписал закон о значительном снижении налогов, соавтором которого был Кемп.

Менее чем за десятилетие закорючки на бумажной салфетке стали законом страны.

В тот же самый год, после четверти века составления колонки математических игр для Scientific American, писатель Мартин Гарднер посвятил свой последний выпуск этой рубрики острой критике сторонников экономики предложения. Цитируя Джеймса Джойса – «самый странный сон, который можно увидеть в полусне», – он устраивает разнос кривой Лаффера как чрезмерно упрощенной и граничащей с бессмыслицей.

Возьмем ось х: «ставка налогообложения». Что это вообще может значить в такой системе, как наша? Среднюю маржинальную ставку? Верхнюю? Не должно ли быть разницы между суммами выплат тех, кого можно отнести к низшей категории по величине дохода, и тех, кого можно отнести к высшей категории? Чтобы компенсировать утраченную сложность, Гарднер выдвинул контраргумент: «новую кривую Лаффера». Здесь «одна и та же» налоговая ставка может привести к множеству различных результатов, в зависимости от особых обстоятельств.

«Как и старая кривая Лаффера, – ерничал Гарднер, – новая также является метафорической, хотя явно представляет собой лучшую модель реального мира».

В конце концов, это вопрос эмпирический: может ли понижение налогов привести к повышению доходов? Находятся ли Соединенные Штаты сейчас – или находились тогда – с правой стороны (которая на самом деле является неправильной стороной) кривой?

Короткий ответ: возможно, нет. Экономисты пытались точно определить пик, но оценки очень разнятся. Ткните пальцем в середину графика, и вы попадете примерно в 70 %, именно такого уровня удалось достичь Рейгану. К тому времени, когда он покинул свой пост, этот показатель достигал 28 %, что определенно находится на левой стороне кривой.

В опросе 2012 г. приняли участие 40 ведущих экономистов, которых спрашивали, не можем ли мы находиться на правой стороне кривой Лаффера. Ни один не сказал в ответ «да». Несогласие колебалось от осторожных замечаний («Это кажется неправдоподобным, но невозможным не является») до категоричных заявлений («Такого никогда не случалось в прошлом. Нет никаких причин думать, что так произойдет в будущем») и даже до насмешек («Мы действительно побывали на Луне. Эволюция существует. Понижение налогов ведет к уменьшению дохода. Исследования показывали это тысячу раз. Хватит уже!») Один экономист отметил: «Это же Лаффер!»

Коллеги Лаффера по экономическому цеху, кажется, готовы выбросить его исписанную салфетку в мусорную корзину.

Тем не менее кривая по-прежнему остается мощным орудием политической пропаганды. «Эту идею вы можете объяснить любому конгрессмену за шесть минут, – отмечает экономист Хэл Вариан, – и он будет говорить о ней целых шесть месяцев». График показывает рынок труда как живой организм, меняющий размер и форму в качестве реакции на схемы налогообложения, используемые правительством. Эта точка зрения прижилась: сегодня «динамическая оценка» понижения налогов является обычной процедурой, а мысль о том, что «снижение налогов стимулирует рост», стала широко распространенным клише.

Смитсоновский институт сейчас хранит клочок салфетки, обнаруженный среди бумаг Ванниски после его смерти. «Если вы облагаете продукт налогом, результат хуже, – написано на ней. – [Если вы] субсидируете [продукт], [результат] выше. У нас работает налогообложение… и не работает субсидирование, и мы имеем праздную жизнь и безработицу. Последствия очевидны!» Салфетка адресована «Дону Рамсфелду», датируется 13/09/74 и подписана «Артур Б. Лаффер».

Лаффер говорит, что эта салфетка не настоящая, она была воссоздана позднее. Это запоздалый сувенир, сделанный по просьбе Ванниски много лет спустя. Оригиналом, по словам Лаффера, должна была быть бумага, он никогда не портил узорчатые салфетки. Кроме того, запись выглядит слишком аккуратной. «Смотрите, как тщательно она сделана! – сказал Лаффер журналистам из The New York Times. – И объясните, как поздно вечером за стаканом вина вы сможете писать так ровно!»

Я верю Лафферу. Конечно, Ванниски умел рассказывать отличные истории, но реальность всегда немного сложнее.