Текст книги "Ноль: биография опасной идеи"

Божественное пари

Да и что же такое, наконец, человек в природе? Ничто в сравнении с бесконечным, все в сравнении с ничтожеством, средина между ничем и всем.

Блез Паскаль. «Мысли о религии»[23]23
  Паскаль Б. Мысли о религии. М.: Типография И.Д. Сытина, 1892. Пер. С. Долгова.


[Закрыть]

Паскаль был не только ученым-естествоиспытателем, но и математиком. Как ученый-естествоиспытатель Паскаль изучал вакуум – природу пустоты. В математике Паскаль помог изобрести целую новую область: теорию вероятности. Когда Паскаль соединил теорию вероятности с нолем и бесконечностью, он нашел Бога.

Теория вероятности была изобретена, чтобы помочь богатым аристократам выигрывать больше денег в карты. Теория Паскаля пользовалась огромным успехом, однако его карьере математика не суждено было оказаться долгой. 23 ноября 1654 года Паскаль испытал сильнейшее духовное переживание. Возможно, сказалась старая янсенистская установка на отрицание науки… Какова бы ни была причина, вновь обретенная набожность привела Паскаля к полному отказу от математики и науки. (На короткое время, четырьмя годами позже, когда он не мог спать из-за болезни, Паскаль сделал исключение, занявшись математикой. Боль ослабла. Паскаль полагал, что это знак: Бог не осуждает его занятий.)

Паскаль сделался теологом, но ему не удавалось забыть свое безбожное прошлое. Даже когда дело дошло до утверждения существования Бога, Паскаль обратился к греховным приемам французов-игроков. Паскаль утверждал, что верить в Бога лучше, потому что это выгодная ставка – в прямом смысле слова.

Как он анализировал цену – или ожидание выигрыша – в игре, так он оценивал веру в Христа. Благодаря математическим понятиям ноля и бесконечности Паскаль пришел к заключению, что следует признать существование Бога.

Прежде чем рассмотреть заключенное им пари, стоит проанализировать несколько иную игру. Представьте себе, что имеется два конверта, помеченные буквами «А» и «Б». Прежде чем вам покажут конверты, бросок монеты определит, в каком из них будут деньги: если выпадет орел, то в конверте «А» окажется новенькая купюра в 100 $; если выпадет решка, то деньги в конверте «Б», только уже не 100 $, а 1 000 000 $. Какой конверт вам следовало бы выбрать?

Очевидно, что конверт «Б»! Его ценность гораздо выше. Нетрудно показать это, используя инструмент из теории вероятности, именуемый математическим ожиданием: это мера того, как мы оцениваем стоимость каждого конверта.

Конверт «А» может содержать или не содержать купюру в 100 $, он имеет некоторую ценность, потому что может содержать деньги, но 100 $ он не стоит, потому что вы не можете быть абсолютно уверены, что деньги в нем. Математик взял бы каждое возможное содержимое конверта «А», а затем умножил бы на вероятность соответствующего исхода: ¹/₂ шанса выиграть 0 $ плюс ¹/₂ шанса выиграть 100 $ / ¹/₂ × 0 = 0 $ плюс ¹/₂ × 100 = 50 $; ожидание – 50 $. Вывод математика был бы – ожидаемая цена конверта «А» – 50 $. В то же время ожидаемая цена конверта «Б» такова: ¹/₂ шанса выиграть 0 $ плюс ¹/₂ шанса выиграть 1 000 000 $ / ¹/₂ × 0 + ¹/₂ × 1 000 000 = 500 000. Ожидание – 500 000 $. Таким образом, ожидаемая цена конверта «Б» – 500 000 $: в 10 000 раз больше, чем ожидаемая цена конверта «А». Ясно, что если вам предлагается выбрать между двумя конвертами, разумно выбрать конверт «Б».

Пари Паскаля было в точности сходно с этой игрой, за тем исключением, что конверты были другими: христианство и атеизм. (На самом деле Паскаль проанализировал только случай христианства, но случай атеизма был его логическим продолжением.) Допустим на мгновение, что шанс существования Бога – 50 на 50. (Паскаль полагал, что это, конечно, христианский Бог.)

Выбор конверта «Христианство» эквивалентен преданности христианской вере. Если вы выбираете этот путь, имеются две возможности: если вы верующий христианин, а Бога нет, вы просто превращаетесь в ничто после смерти; если же Бог есть, вы отправляетесь на небеса и счастливо живете вечно. Таким образом, ожидаемая цена преданности христианству – ¹/₂ шанса превратиться в ничто плюс ¹/₂ шанса попасть на небеса: ¹/₂ × 0 + ¹/₂ × ∞ = ∞. Так каково же ожидание? В конце концов, половина бесконечности – все равно бесконечность. Таким образом, цена преданности христианству бесконечна. А что случится, если вы – атеист? Если вы правы, и Бога нет, вы ничего не выигрываете. В конце концов, раз нет Бога, то нет и небес. Однако если вы ошибаетесь, и Бог есть, вы навечно отправляетесь в ад: перед вами отрицательная бесконечность. Таким образом, ожидаемая цена атеистических взглядов такова: ¹/₂ шанса превратиться в ничто плюс ¹/₂ шанса отправиться в ад – ¹/₂ × 0 + ¹/₂ × –∞ = –∞ Каково же ожидание? Отрицательная бесконечность. Хуже ничего не придумаешь. Разумный человек, несомненно, выберет христианство, а не атеизм. Однако мы сделали допущение: 50 на 50, что Бог существует. Что же будет, если шанс окажется 1 на 1000? Цена преданности христианству составит ⁹⁹⁹/₁₀₀₀ шанса превратиться в ничто плюс ¹/₁₀₀₀ шанса попасть на небеса: ⁹⁹⁹/₁₀₀₀ . . . . .× 0 + ¹/₁₀₀₀ × ∞ = 0 + ¹/₁₀₀₀∞ = ¹/₁₀₀₀∞ . Каково ожидание? Оно то же самое: бесконечность; для атеиста оно тоже отрицательная бесконечность. Все же гораздо лучше быть христианином. Если бы вероятность составляла ¹/₁₀₀₀₀ . . . . . или ¹/_{1 000 000} , результат был бы тем же. Если нет ни одного шанса, что Бог существует, пари Паскаля – каким оно нам известно – теряет смысл. Ожидаемая цена приверженности христианству составила бы 0 × ∞, а это тарабарщина. Никто не был готов утверждать, что шанс существования Бога равен нолю. Каковы бы ни были ваши взгляды, всегда лучше верить в Бога благодаря магии ноля и бесконечности. Паскаль наверняка знал, как заключать пари, хоть и отказался от математики, чтобы выиграть.

Глава 5
Бесконечные ноли и неверующие математики

Ноль и научная революция

Когда в математику были введены переменные величины и когда их изменяемость была распространена до бесконечно малого и бесконечно большого, тогда и математика, вообще столь строго нравственная, совершила грехопадение… Девственное состояние абсолютной значимости, неопровержимой доказанности всего математического навсегда ушло в прошлое; наступила эра разногласий, и мы дошли до того, что большинство людей дифференцирует и интегрирует не потому, что они понимают, что они делают, а просто потому, что верят в это, так как до сих пор результат всегда получался правильный.

Фридрих Энгельс. «Анти-Дюринг»[24]24
  Энгельс Ф. Анти-Дюринг. I, IX.


[Закрыть]

Ноль и бесконечность разрушили аристотелевскую философию, вакуум и бесконечный космос избавили Вселенную от скорлупы и от идеи о том, что природа не терпит пустоты. Древняя мудрость была отброшена, и ученые начали открывать законы, управляющие природными явлениями. Однако перед научной революцией стояла проблема ноля.

В глубине могучего нового инструмента научного мира – дифференциального и интегрального исчисления – таился парадокс. Изобретатели исчисления, Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц, создали мощнейший математический метод благодаря делению на ноль и сложению бесконечного числа нолей. Оба действия были столь же нелогичны, как сложение 1 и 1, чтобы получить 3. Дифференциальное и интегральное исчисление в своих основах отрицали математическую логику. Их принятие было актом веры. Ученые совершили этот прыжок, поскольку дифференциальное и интегральное исчисление есть язык природы. Чтобы в совершенстве понимать этот язык, наука должна была победить бесконечные ноли.

Бесконечные ноли

Когда после тысячелетнего оцепенения европейская мысль стряхнула усыпляющее влияние, с толь мастерски насаждавшееся отцами Церкви, вопрос о бесконечности стал одним из первых, на которые вновь было обращено внимание.

Тобиас Данциг. «Числа – язык науки»

Проклятие Зенона висело над математикой два тысячелетия. Казалось, что Ахиллес обречен вечно преследовать черепаху, никогда ее не догоняя. В простой загадке Зенона скрывалась бесконечность. Греки были остановлены бесчисленными шагами Ахиллеса. Им не приходило в голову сложить вместе бесконечные части, хотя величина шагов Ахиллеса приближалась к нолю. Греки едва ли могли сложить шаги нулевой величины, не имея понятия ноля. Впрочем, когда Запад принял ноль, математики начали приручать бесконечность и закончили гонку Ахиллеса.

Несмотря на то, что последовательность Зенона имеет бесчисленные члены, мы можем сложить их и все же остаться в области конечных чисел: 1 + ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₁₆ +… = 2. Первым человеком, проделавшим такой трюк – сложение бесконечного числа членов для получения конечного результата, – был британский логик XIV века Ричард Суисет. Он взял последовательность ¹/₂ , ²/₄ , ³/₈ , ⁴/₁₆ , …, ⁿ/_2ⁿ, сложил ее члены и получил 2. В конце концов числа, составлявшие последовательность, все больше и больше приближались к нолю; по наивности можно было бы предположить, что это обеспечит конечность их суммы. Увы, бесконечность вовсе не так проста.

Примерно в то же время, когда Суисет получит свой результат, Николя Оресм, французский математик, попробовал сложить другую бесконечную последовательность чисел – так называемую гармоническую серию: ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₄ + ¹/₅ + ¹/₆ + … Как и в случаях последовательностей Зенона и Суисета, все члены данной последовательности все больше и больше приближаются к нолю. Тем не менее когда Оресм попытался сложить их, он обнаружил, что сумма становится все больше и больше. Несмотря на то, что отдельные члены последовательности стремятся к нолю, сумма делается бесконечно большой. Оресм показал это, сгруппировав члены: ¹/₂ + (¹/₃ + ¹/₄) + (¹/₅ + ¹/₆ + ¹/₇ + ¹/₈) +… Первый член новой последовательности очевидно равен ¹/₂ ; второй больше ¹/₂ , так как больше, чем (¹/₄ + ¹/₄); третий тоже больше ¹/₂ , так как больше, чем (¹/₈ + ¹/₈ + ¹/₈ + ¹/₈)… и так далее. Вы продолжаете складывать ¹/₂, ¹/₂, ¹/_2… и сумма становится все больше и больше – до бесконечности. Хотя члены последовательности стремятся к нолю, они стремятся недостаточно быстро. Сумма бесконечной последовательности может быть бесконечно большой, даже если ее члены стремятся к нолю. Однако это еще не самое странное свойство бесконечно большой суммы. Ноль сам не застрахован от странной природы бесконечности.

Представьте себе следующую серию: 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1… Нетрудно увидеть, что сумма этой серии равна нолю: ведь (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1)… – то же самое, что 0 + 0 + 0 + 0 +…, что, несомненно, дает в сумме ноль. Однако внимание! Сгруппируйте члены серии иначе: 1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) + (–1 + 1) +… Это то же самое, что 1 + 0 + 0 + 0 +… и явно равняется 1. Одна и та же сумма бесконечного числа нолей одновременно равна 0 и 1! Итальянский священник отец Гвидо Гранди даже использовал эту серию для доказательства того, что Бог мог создать Вселенную (1) из ничего (0). На самом деле такая серия в сумме может давать что угодно. Чтобы сумма стала равна 5, используйте 5 и –5 вместо 1 и –1, и можно будет доказать, что 0 + 0 + 0 + 0 +… равно 5.

Сложение бесконечного числа объектов друг с другом может приводить к странным и противоречивым результатам. Иногда, когда члены стремятся к нолю, сумма оказывается конечной, прекрасным, нормальным числом вроде 2 или 53. В других случаях сумма делается бесконечно большой. А сумма бесконечной серии нолей может равняться вообще чему угодно. И все это происходило одновременно. Происходило нечто странное, и никто не знал, как же обращаться с бесконечностью.

К счастью, физический мир проявил больше здравого смысла, чем мир математический. Складывать бесконечное число предметов друг с другом удается вполне успешно при условии, что вы имеете дело с чем-то реальным, например, ищете объем бочки вина. 1612 год оказался знаменательным для вина.

Иоганн Кеплер – тот самый, который открыл, что планеты движутся по эллипсам, – провел этот год, заглядывая в винные бочки, потому что понял, что методы виноделов, оценивающих объем бочек, очень грубы. Чтобы помочь торговцам вином, Кеплер расколол – в уме, конечно, – бочку на бесконечное число бесконечно малых кусочков, а потом сложил их, чтобы определить объем. Это может показаться странным способом измерения бочки, но идея оказалась блестящей.

Чтобы несколько упростить проблему, представим себе двумерный, а не трехмерный объект – треугольник. Треугольник на рис. 23 имеет высоту 8 и основание 8. Поскольку площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, она равна 32.

Рис. 23. Оценка площади треугольника

Теперь представьте себе, что вы пытаетесь оценить размер треугольника, вписывая в него маленькие прямоугольники. При первой попытке вы получите площадь в 16 – гораздо меньше действительной площади в 32. Вторая попытка окажется несколько лучше. С помощью трех прямоугольников вы получите площадь в 24. Близко, но вы еще не у цели. Третья попытка дает 28 – еще ближе.

Как вы видите, использование меньших и меньших прямоугольников, ширина которых, обозначенная символом Øx, стремится к нолю, делает результат все более близким к 32, истинной площади треугольника. (Сумма площадей прямоугольников равна ∑f(x)Øx, где греческий символ ∑ означает сумму по соответствующему ряду, а f(x) есть уравнение кривой, к которой стремятся прямоугольники.

В современном написании, при том что x стремится к нолю, мы заменяем ∑ новым символом, ∫, а Øx – dx, что превращает уравнение в ∫f(x)dx – в интеграл.)

В одной из малоизвестных работ Кеплера «Новая стереометрия винных бочек»[25]25
  Кеплер И. Новая стереометрия винных бочек / Пер. Ю. А. Белый. М.; Л., 1935.


[Закрыть] он делает то же самое для трех измерений, рассекая бочку на плоскости и складывая плоскости друг с другом. Кеплер по крайней мере не боялся стоящей перед ним проблемы: по мере того как Øx приближается к нолю, получение суммы становится эквивалентным сложению бесконечного числа нолей – результат, не имеющий смысла. Кеплер игнорировал эту проблему. Хотя сложение бесконечного числа нолей с точки зрения логики – тарабарщина, ответ, который оно давало, был правильным.

Кеплер был не единственным выдающимся ученым, который рассекал объекты на бесконечно тонкие слои. Галилей тоже размышлял о бесконечности и бесконечно малых величинах. Об этих двух идеях – бесконечно больших и бесконечно малых, превосходящих наше конечное понимание, он писал: «Первых (мы не понимаем) по причине их огромности, вторых – их малости». Однако несмотря на глубокую тайну бесконечных нолей, Галилей чувствовал их могущество. «Представьте себе, чем они становятся, объединившись», – поражался он. Ученик Галилея Бонавентура Кавальери отчасти ответил на этот вопрос.

Вместо винных бочек Кавальери рассекал геометрические объекты. Для Кавальери всякая площадь, как, например, площадь треугольника, состояла из бесконечного числа имеющих нулевую ширину отрезков прямых, а всякий объем – из бесконечного числа имеющих нулевую высоту плоскостей. Эти неделимые отрезки и плоскости подобны атомам площади и объема; дальше делить их нельзя. Как Кеплер измерял объем винной бочки с помощью тонких слоев, так Кавальери складывал бесконечное число неделимых нолей для определения площади или объема геометрического объекта.

Утверждения Кавальери весьма беспокоили геометров. Сложение бесконечного числа имеющих нулевую площадь отрезков не могло дать двумерного треугольника, а бесконечного числа имеющих нулевой объем плоскостей – трехмерный объект. Это была та же проблема: нет логического смысла в сумме бесконечного числа нолей. Тем не менее метод Кавальери всегда приносил правильный ответ. Математики стали игнорировать логические и философские нестыковки при сложении бесконечного числа нолей, особенно поскольку неделимые, или бесконечно малые, как их стали называть, величины наконец позволили найти ответ на давно существовавшую проблему касательной.

Касательная – это прямая, лишь слегка целующая кривую. Для любой точки гладкой кривой, существующей в пространстве, имеется прямая, лишь задевающая кривую, касаясь ее только в одной точке. Это и есть касательная, и математики обнаружили, что она чрезвычайно важна при изучении движения. Например, представьте себе, что вы вращаете мяч на веревочке над головой. Он движется по окружности. Однако если вы внезапно перережете веревочку, мяч улетит по касательной к этой окружности; сходным образом рука питчера в бейсболе движется по дуге в момент броска, но как только он выпустит мяч, тот летит по касательной (рис. 24).

Рис. 24. Полет по касательной

Другой пример: если вы захотите узнать, куда упадет мяч у подножия холма, вы будете искать точку, в которой касательная горизонтальна. Крутизна касательной – ее наклон – обладает в физике некоторыми важными свойствами: например, если у вас имеется кривая, представляющая траекторию движения велосипеда, то наклон касательной к этой кривой в каждой данной точке скажет вам, с какой скоростью двигался велосипед в момент, когда он этой точки достиг.

По этой причине несколько математиков XVII века, такие как Эванджелиста Торричелли, Рене Декарт, француз Пьер де Ферма (прославившийся своей последней теоремой) и англичанин Исаак Барроу, разрабатывали различные способы нахождения касательной в каждой точке кривой. Как и Торричелли, все они столкнулись с проблемой бесконечно малых величин.

Чтобы провести касательную к кривой в данной точке, лучше всего сделать так: выбрать другую точку поблизости и соединить две точки. Полученная прямая не будет в точности касательной, но если кривая не слишком ухабиста, две прямые будут довольно близки друг к другу. Можно предположить, что по мере того как уменьшается расстояние между двумя точками, соединяющая их прямая все ближе совпадет с касательной (рис. 25). Когда точки окажутся на нулевом расстоянии друг от друга, такое приближение даст вам касательную. Конечно, тут есть проблема.

Рис. 25. Аппроксимация касательной

Самой важной особенностью прямой является ее наклон, и чтобы измерить его, математики выясняют, насколько прямая поднимается на определенном расстоянии. Например, представьте себе, что вы едете на восток вверх по холму; при этом на каждую милю, которую вы проехали, приходится подъем на полмили. Наклон холма – это просто подъем (полмили) над горизонтальным расстоянием, которое вы проехали (милей). Математики сказали бы, что наклон холма – ¹/₂. Это же верно для прямых: чтобы определить наклон прямой, вы смотрите, насколько она переместилась по вертикали (математики обозначают это символом Øy) при заданном перемещении по горизонтали (которое обозначается Øx); таким образом, наклон равен Øy / Øx.

Когда вы пытаетесь рассчитать наклон касательной, процесс приближения вам портит ноль. По мере того как аппроксимация делается все лучше и лучше, точки на кривой, которые вы для нее используете, оказываются все ближе друг к другу. Это означает, что разница по вертикали, Øy, стремится к нолю, как и расстояние по горизонтали между точками, Øx. В результате, когда аппроксимация касательной делается все лучше, Øy / Øx приближается к 0 / 0. Ноль, деленный на ноль, может равняться любому числу на свете. Имеет ли наклон касательной какое-либо значение?

Каждый раз, когда математики пытались иметь дело с бесконечностью или с нолем, они сталкивались с логическими трудностями. Чтобы вычислить объем бочки или площадь параболы, математики складывали друг с другом бесконечные ноли; чтобы найти касательную к кривой, они делили ноль на самого себя. Ноль и бесконечность заставляли простой акт нахождения касательной или определения площади выглядеть противоречащими самим себе. Эти трудности положили бы конец интересным рассуждениям, если бы не одно обстоятельство: эти бесконечности и ноли служат ключом к пониманию природы.

Ноль и тайна математического анализа

Чем больше ум анализирует и развивает эти неуловимые идеи, тем больше он теряется и заходит в тупик; предметы, вначале мелькающие и крошечные, вскоре вообще исчезают из поля зрения… Это не конечные величины, не бесконечно малые величины, но и не ничто. Не назвать ли нам их призраками исчезнувших величин?

Епископ Беркли, «Аналитик»[26]26
  Беркли Дж. Соч. М.: Мысль, 2000. Пер. Е.С.Лагутина.


[Закрыть]

Проблемы касательной и площади оказываются в запутанном состоянии из-за одних и тех же трудностей с бесконечностью и нолями. Это неудивительно, поскольку проблема касательной и проблема площади на самом деле одно и то же. Они обе – аспекты дифференциального и интегрального исчисления, научного инструмента, много более мощного, чем все, что было известно ранее. Телескоп, например, дал ученым возможность обнаружить луны и звезды, никогда раньше не наблюдавшиеся. Дифференциальное и интегральное исчисление, с другой стороны, дало ученым способ выражать законы, управляющие движением небесных тел, – и законы, со временем позволившие узнать, как эти луны и звезды возникли. Дифференциальное и интегральное исчисление оказалось истинным языком природы, но оно было пронизано нолями и бесконечностью, которые грозили уничтожить новый инструмент.

Его первооткрыватель едва не умер, не успев сделать первый вдох. Исаак Ньютон родился недоношенным на Рождество 1642 года, таким маленьким, что помещался в кружке объемом в кварту. Его отец, фермер, умер за два месяца до рождения сына.

Несмотря на тяжелое детство[27]27
  Когда Ньютону было три года, его мать снова вышла замуж и переехала. Родив второму мужу троих детей, она практически не уделяла внимания Исааку. Даже после смерти отчима Исаак и его мать мало общались, хотя, получив после смерти мужа хозяйство, мать пыталась переложить на плечи юного Ньютона управление фермой (прим. авт.).


[Закрыть] и желание матери, чтобы он стал фермером, Ньютон поступил в 1660 году в Кембриджский университет и преуспел. За несколько лет он создал систематический метод разрешения проблемы касательной: теперь он мог вычислить касательную к любой плавной кривой в любой точке. Этот процесс представляет собой первую часть математического анализа, теперь известную как дифференциальное исчисление. Впрочем, способ Ньютона не особенно похож на тот, которым мы пользуемся сегодня.

Стиль дифференцирования Ньютона основывался на флюксиях (производных) – потоках – математических выражений, которые он называл флюентами (переменными). Как пример флюксий Ньютона рассмотрим уравнение y = x² + x + 1. В этом уравнении флюентами являются x и y; Ньютон полагал, что x и y меняются – текут – с течением времени. Скорость их изменения – их флюксии – он обозначал как x́ и ý соответственно.

Метод дифференцирования Ньютона основывался на одном приеме: он позволял флюксиям изменяться, но изменяться бесконечно мало. По сути, он не давал им времени течь. В обозначениях Ньютона y в этот момент менялся на (y + оý), в то время как x менялся на (x + оx́). (Буква «о» представляла собой количество прошедшего времени; оно было почти нолем, но не совсем, как мы увидим.)

Уравнение тогда принимает вид:

(y + оý) = (x + оx́)² + (x + оx́) +1.

Раскрытие выражения (x + оx́)² дает нам y + оý = x² + 2x(оx́) + (оx́)² + x + оx́ + 1. Приведение членов дает y + оý = (x² + x + 1) + 2x(оx́) + 1(оx́) + (оx́)². Поскольку y = x² + x + 1, мы можем вычесть y из левой части уравнения и x² + x + 1 из правой. Это дает нам оý = 2x(оx́) + 1(оx́) + (оx́)². Дальше следует жульнический прием. Ньютон заявил, что поскольку оx́ на самом деле очень, очень мал, оx́́² еще меньше и исчезает. По сути это был ноль, и его можно было игнорировать. Это дает нам оý = 2x(оx́) + 1(оx́), а это значит, что оý / оx́ = 2x + 1. Это и есть угол наклона касательной в любой точке кривой (рис. 26).

Рис. 26. Чтобы найти угол наклона в любой точке параболы y = x² + x + 1, нужно использовать формулу 2x + 1

Бесконечно малый период времени о выпадает из уравнения, оý / оx́ превращается в ý / x́, и об о больше не нужно думать.

Метод давал правильный ответ, но ньютоновское действие исчезновения очень смущало. Если, как настаивал Ньютон, (оx́)², (оx́)³ и более высокие степени оx были равны нолю, то и само оx́ должно быть равно нолю[28]28
  Если вы перемножаете два числа и получаете ноль, то одно из них должно быть равно нолю. (В математических терминах: если ab = 0, то или a = 0, или b = 0.) Это значит, что если a² = 0, то aa = 0 и тем самым a = 0.


[Закрыть]. С другой стороны, если оx́ – ноль, то деление на оx́, как мы делали в конце, то же самое, что деление на ноль – как и самый последний шаг избавления от о в верхней и нижней части выражения оý / оx́. Деление на ноль запрещено математической логикой.

Ньютоновский метод флюксий был очень сомнителен. Он предполагал незаконную математическую операцию, однако обладал одним огромным преимуществом. Он работал. Метод флюксий не только разрешал проблему касательной, он разрешал и проблему площадей. Нахождение площади под кривой (или прямой, которая является одной из разновидностей кривой) – операция, которую мы теперь называем интегрированием, – всего лишь действие, обратное дифференцированию. Как дифференцирование выражения y = x² + x + 1 дает уравнение для наклона касательной y = 2x + 1, интегрирование уравнения y = 2x + 1 дает формулу для определения площади под кривой. Эта формула – y = x² + x + 1; площадь под кривой, ограниченной точками x = a и x = b просто равна (b² + b + 1) – (a² + a + 1) (рис. 27). (Технически формула имеет вид y = x² + x + c, где c есть любая константа. Процесс дифференцирования уничтожает часть информации, так что процесс интегрирования не дает вам точно тот ответ, который вы ищете, если только вы не добавите недостающие данные.)

Рис. 27. Чтобы узнать площадь под кривой y = 2x + 1, используйте формулу y = x² + x + 1

Математический анализ – это комбинация этих двух инструментов, дифференцирования и интегрирования, в одной упаковке. Хотя Ньютон нарушил некоторые очень важные математические правила, заигрывая с нолем и бесконечностью, математический анализ давал настолько мощные методы вычислений, что ни один математик не смог его отвергнуть.

Природа говорит уравнениями. В этом странное совпадение. Правила математики были выстроены на основании подсчета овец и измерения земельных участков, однако те же самые правила управляют Вселенной. Законы природы описываются уравнениями, а уравнения в определенном смысле – всего лишь инструменты, используя которые, вы вводите числа и получаете другое число. Древние знали несколько этих уравнений-законов, вроде закона рычага, но с началом научной революции уравнения-законы стали появляться отовсюду. Третий закон Кеплера описывал время, которое нужно планетам для обращения по орбите: r³ / t² = k, где t – время, r – расстояние и k – константа. В 1662 году Роберт Бойль показал, что если взять запечатанный сосуд с газом внутри и начать газ сжимать, то давление внутри возрастет: давление, умноженное на объем, есть константа: pυ = k, где p – давление, v – объем, k – константа. В 1676 году Роберт Гук вычислил силу действия пружины. Она равна отрицательной константе, умноженной на расстояние: f = –kx, где f – сила, x – расстояние, на которое растянута пружина, и k – константа. Эти ранние уравнения-законы были очень хороши для выражения простых зависимостей, однако уравнения имели ограничения – их постоянство, что не позволяло им быть универсальными.

Например, возьмем знаменитое уравнение, с которым все мы знакомимся в школе: скорость, умноженная на время, дает расстояние. Оно показывает, как далеко (на сколько миль – x) вы продвинетесь, если будете бежать с постоянной скоростью v в час на протяжении t часов: υt = x. Это уравнение очень полезно, когда вы подсчитываете, сколько времени займет путь от Нью-Йорка до Чикаго на поезде, который едет со скоростью ровно 120 миль в час. Однако сколько предметов на самом деле двигаются с постоянной скоростью, как поезд в этом математическом примере? Уроните мяч, и окажется, что он падает все быстрее и быстрее. В данном случае уравнение x = vt попросту неверно. В случае падающего мяча x = gt² / 2, где g – ускорение, вызванное гравитацией. С другой стороны, если вы приложите к мячу увеличивающуюся силу, может оказаться, что x = at³ / 3. Равенство расстояния скорости, умноженной на время, – это не универсальный закон, он действует не при всех условиях.

Исчисление позволило Ньютону объединить все эти уравнения в один великий свод законов – законов, приложимых во всех случаях, при всех условиях. Впервые наука смогла увидеть универсальные законы, лежащие в основе всех этих мелких полузаконов. Несмотря на то, что математики знали о глубинном пороке анализа, связанном с математикой ноля и бесконечности, они быстро восприняли новые математические инструменты. Дело в том, что природа говорит не обычными уравнениями. Она говорит дифференциальными уравнениями, и математический анализ – инструмент, который нужен, чтобы их создавать и решать.

Дифференциальные уравнения отличаются от обычных, с которыми все мы знакомы. Обычное уравнение подобно машине: вы скармливаете машине числа, и она выбрасывает ответ. Дифференциальное уравнение тоже похоже на машину, но на этот раз вы вводите в машину уравнения, а получаете новые уравнения. Загрузите уравнение, описывающее условия проблемы (движется ли мяч с постоянной скоростью или на мяч действует сила), и в результате получите уравнение, в котором закодирован ответ, который вы ищете: двигается ли мяч по прямой или по параболе. Одно дифференциальное уравнение управляет всем неисчислимым количеством уравнений-законов. И в отличие от мелких уравнений-законов, которые то выполняются, то нет, дифференциальное уравнение верно всегда. Это универсальный закон, возможность заглянуть в механизм природы. Математический анализ Ньютона – его метод флюксий – сделал именно это: связал вместе такие концепции, как позиция, скорость, ускорение. Когда Ньютон обозначил положение функцией времени x, он понял, что скорость – это просто флюксия (современные математики называют ее производной от положения по времени: x́), а ускорение – всего лишь производная от скорости по времени: x˝ Переход от положения к скорости и к ускорению и обратно так же прост, как дифференцирование или интегрирование.

Имея в руках такой инструмент, Ньютон смог создать простое дифференциальное уравнение, описывающее движение всех тел во Вселенной: F = mx˝, где F – сила, действующая на тело, а m – его масса. (На самом деле это не вполне универсальный закон, поскольку уравнение верно, только когда масса объекта постоянна. Более общая версия закона Ньютона[29]29
  Именно так закон формулировался Ньютоном, а более привычная нам формулировка (сила равна массе, умноженной на ускорение) была придумана для школьников, которые начинают изучать механику раньше анализа.


[Закрыть] выглядит так: F = ṕ, где p – количество движения, или импульс тела. Конечно, уравнения Ньютона были со временем усовершенствованы множеством ученых, в том числе Эйнштейном.)

Если у вас имеется уравнение, которое говорит вам о силе, приложенной к телу, дифференциальное уравнение точно сообщит вам, как тело движется. Например, мяч в свободном падении движется по параболе, в то время как пружина без трения вечно раскачивается туда и сюда, а под действием трения медленно останавливается (рис. 28). Какими бы разными ни казались эти исходы, все они описываются одним и тем же дифференциальным уравнением.

Рис. 28. Различные движения, описываемые одним и тем же дифференциальным уравнением

Точно так же, если вам известно, как движется тело – будь это мячик или гигантская планета, – дифференциальное уравнение скажет вам, какого рода сила к нему приложена. (Триумф Ньютона заключался в выведении уравнения, описывавшего силу притяжения и форму орбит планет. Раньше предполагалось, что сила была пропорциональна 1 / r², и когда из дифференциальных уравнений Ньютона были получены эллиптические орбиты, люди стали верить в правоту Ньютона.) Несмотря на возможности анализа, ключевая проблема сохранялась. Работы Ньютона основывались на очень шатком фундаменте – делении ноля на самого себя. Труды его соперника имели тот же недостаток.