Текст книги "Ноль: биография опасной идеи"

Ноль также может хранить секрет того, что создало космос. Как пустота вакуума и энергия нулевых колебаний порождают частицы, так они могли породить и вселенные. Бульканье квантовой пены, спонтанное рождение и смерть частиц и могут объяснять возникновение космоса. Возможно, Вселенная – это просто квантовая флуктуация на высоком уровне, огромная сингулярность, частица, порожденная наивысшим вакуумом. Такое космическое яйцо взрывалось бы, расширялось и создавало пространство-время нашей Вселенной. Возможно, наша Вселенная – лишь одна из многих флуктуаций. Некоторые физики считают, что сингулярности в центре черных дыр – это окна в изначальную квантовую пену до Большого взрыва и что кипение пены в центре черной дыры, где время и пространство не имеют смысла, постоянно создает бесчисленные новые вселенные, которые рождаются, расширяются и создают свои собственные звезды и галактики. Ноль может хранить секрет нашего существования – и существования бесконечного множества других вселенных.

Ноль столь могуществен потому, что он вносит беспорядок в законы физики. Именно в час зеро Большого взрыва и на Граунд-Зиро черной дыры математические уравнения, описывающие наш мир, перестают иметь смысл. Однако ноль нельзя игнорировать. Он не только хранит секрет нашего существования, но и несет ответственность за конец Вселенной.

Глава ∞
Конечная победа ноля

Последнее время

Так вот и кончился мир,

Только не взрывом, а вздрогом.

Т.С. Элиот. «Полые люди»[34]34
  Элиот Т. С. Полые люди / Пер. В. Топорова. СПб.: Изд. дом «Кристалл», 2000.


[Закрыть]

Пока одни физики пытаются истребить ноль в своих уравнениях, другие показывают, что ноль может оказаться тем, кто смеется последним. Хотя ученые могут никогда не раскрыть секрет рождения Вселенной, они на пороге понимания того, как она умрет. Окончательная судьба космоса зависит от ноля.

Эйнштейновские уравнения гравитации не допускают существования статичной, неменяющейся Вселенной. Впрочем, они не исключают нескольких вариантов развития событий, которые зависят от массы космоса. В первом случае надувной шар пространства-времени может расширяться до бесконечности, становясь все больше и больше. Звезды и галактики одна за другой будут гаснуть. Вселенная станет холодной и безжизненной. Впрочем, даже если массы галактик, скоплений галактик, невидимой темной материи будет достаточно, изначального толчка Большого взрыва не хватит для того, чтобы позволить шару расширяться до бесконечности. Галактики будут притягивать друг друга, стягивать ткань пространства-времени, и шар начнет сжиматься. Сжатие будет происходить все быстрее и быстрее, Вселенная становиться все горячее и горячее, наконец все закончится противоположностью Большого взрыва: Большим сжатием. Какая судьба нас ждет – Большое сжатие или Бесконечное расширение? Ответ легко увидеть.

Когда астрономы наблюдают далекую галактику, они смотрят назад во времени. Ближние галактики могут быть удалены на миллионы световых лет. Лучу света, покинувшему галактику сейчас, потребуется миллион лет, чтобы добраться до Земли. Свет который мы видим сегодня, был излучен миллион лет назад. Чем более удалены объекты, наблюдаемые астрономами, тем дальше в прошлое заглядывают ученые.

Судьба нашей Вселенной зависит от того, насколько хорошо расширяется шар пространства-времени. Если расширение быстро замедляется, это хороший знак: энергия Большого взрыва почти истощилась, и наша Вселенная будет двигаться к Большому сжатию. С другой стороны, если расширение Вселенной не особенно замедляется, энергия Большого взрыва могла дать ткани пространства-времени достаточный толчок, чтобы позволить ему расширяться бесконечно.

Астрономы начали измерять изменения в расширении Вселенной. Определенный тип сверхновых (взрывающихся) звезд, названный типом 1А, служит объектом стандартной светимости, как цефеиды Хаббла. Сверхновые 1А взрываются примерно одинаково и имеют одинаковую яркость. Однако в отличие от тусклых цефеид Хаббла сверхновые видны на расстоянии в половину диаметра Вселенной.

В конце 1997 года астрономы объявили, что использовали сверхновые для измерения расстояния до некоторых очень тусклых древних галактик. Расстояние до галактики говорит о ее возрасте, а ее доплеровское смещение говорит о ее скорости. Сравнивая данные о том, как быстро галактики удалялись в разные эры прошлого, астрономы получили возможность определить, как быстро расширяется пространство-время. Полученный ими ответ был странным.

Расширение Вселенной не замедляется, возможно, оно даже ускоряется. Данные, полученные благодаря сверхновым, говорят о том, что Вселенная становится все больше и больше и расширяется все быстрее и быстрее. Если так, то шанс Большого сжатия невелик, поскольку что-то противодействует силе тяготения. Физики снова заговорили о космологической константе – загадочном нечто, добавленном Эйнштейном к своим уравнениям, чтобы уравновесить влияние гравитации. Величайшая ошибка Эйнштейна, возможно, вовсе не ошибка.

Эта таинственная сила может быть силой вакуума. Крошечные частицы, пронизывающие пространство-время, оказывают легкое направленное наружу давление, незаметно растягивая ткань пространства-времени. За миллиарды лет это растяжение накопилось, и в результате Вселенная расширяется все быстрее и быстрее. Участь нашей Вселенной – не Большое сжатие, а вечное расширение и остывание из-за энергии нулевых колебаний и ноля в уравнениях квантовой теории, населяющих вакуум бесконечным множеством частиц.

Астрономы все еще проявляют сдержанность. Данные наблюдений за сверхновыми являются предварительными, но они делаются более основательными. Другие исследования, анализирующие выбросы газа или число гравитационных линз в поле зрения, подтверждают эти данные и предположение, что космос будет расширяться вечно. Вселенную ожидает тепловая смерть.

Ответ на вопрос о будущем Вселенной – лед, а не пламя, благодаря силе ноля.

В бесконечность и за ее пределы

Однако если нам удастся создать полную теорию, со временем она станет понятной каждому, а не только немногим ученым. Тогда все мы – философы, ученые и обычные люди – сможем принять участие в обсуждении того, почему мы и Вселенная существуем. Если мы найдем ответ на этот вопрос, это будет окончательным триумфом человеческого разума, потому что мы узнаем замысел Бога.

Стивен Хокинг

За всеми большими загадками физики кроется ноль. Бесконечная плотность черной дыры порождена делением на ноль. Возникновение Вселенной из ничего вследствие Большого взрыва – результат деления на ноль. Бесконечная энергия вакуума – следствие деления на ноль. Однако деление на ноль разрушает ткань математики и логические схемы и грозит уничтожением самого базиса науки.

Во времена Пифагора, до наступления эры ноля, царила чистая логика. Вселенная была упорядоченной и предсказуемой. Она была построена на рациональных числах и предполагала существование Бога. Внушающие тревогу парадоксы Зенона были объяснены благодаря изгнанию бесконечности и ноля из царства чисел.

С началом научной революции чисто логический мир уступил место эмпирическому, основанному на наблюдениях, а не на философии. Ньютон, чтобы объяснить законы Вселенной, должен был игнорировать нелогичность в дифференциальном исчислении – нелогичность, порожденную делением на ноль.

Как только математики и физики сумели преодолеть проблемы, связанные с делением на ноль в дифференциальном и интегральном исчислении, и ввести его в рамки логики, ноль вернулся в уравнениях квантовой механики и общей теории относительности и снова замарал науку бесконечностью. Перед нолями Вселенной логика пасует. Квантовая теория и теория относительности распадаются на части. Для решения проблемы ученые стараются снова изгнать ноль и унифицировать правила, которым подчиняется космос.

Если им это удастся, они поймут законы Вселенной. Мы познаем физические закономерности, управляющие всем до границ пространства-времени, от возникновения космоса до его конца. Люди поймут космический каприз, вызвавший Большой взрыв. Мы поймем замысел Бога. Однако на этот раз победить ноль может оказаться не так легко.

Теории, объединяющие квантовую теорию и общую теорию относительности, описывающие центр черной дыры и сингулярность Большого взрыва, настолько далеки от эксперимента, что может оказаться невозможным выяснить, какая из них правильна, а какая – нет. Доводы сторонников теории струн и космологов могут быть математически безупречными, но в то же время столь же бесполезными, как философия Пифагора. Математические теории могут быть красивыми, последовательными и как будто объясняющими природу Вселенной – и быть совершенно ошибочными.

Все, что известно ученым, – это что космос родился из ничего и вернется в ничто, из которого возник.

Вселенная начинается с ноля и кончается нолем.

Приложение A
Зверь, овощ или министр?

Пусть числа a и b оба будут равны 1. Поскольку они равны между собой,

b² = ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1).

Поскольку a равно самому себе, очевидно, что

a² = a² . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2).

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2). Это дает

a² – b² = a² – ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3).

Мы можем преобразовать обе части уравнения:

a² – ab = a(a – b); a² – b² = (a + b)(a – b).

Тут нет ничего сомнительного. Эти выкладки совершенно верны. Подставьте в них числа и убедитесь сами. Подставив эти значения в уравнение (3), получаем:

(a + b)(a – b) = a(a – b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4).

Пока все хорошо. Теперь разделим обе части равенства на (a – b) и получим

а + b = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(5).

Вычтем из обоих частей a и получим

b = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6).

Однако в самом начале этого рассуждения мы задали b = 1, и это значит, что

1= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (7).

Это важный результат. Рассуждаем дальше. Нам известно, что Уинстон Черчилль имел одну голову. Но, согласно равенству (7), один равен нолю, значит, Черчилль головы не имел. У него не было набора лиственных побегов, значит, он имел один набор лиственных побегов. Далее умножим обе части равенства (7) на 2 и получим

2 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8).

У Черчилля было две ноги, следовательно, он не имел ног. У Черчилля было две руки, следовательно, он не имел рук. Теперь умножим равенство (7) на размер талии Черчилля в дюймах. Значит,

размер талии Черчилля = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (9).

Это значит, что Черчилль сужался до ноля. А теперь посмотрим, какого цвета был Уинстон Черчилль? Возьмем любой световой луч, отраженный от него, и выберем фотон. Умножим равенство (7) на длину волны и получим:

длина волны фотона Черчилля = 0 . . . . . . . . . . (10).

Однако умножив равенство (7) на 640 нанометров, мы видим, что

640 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(11).

Соединив равенства (10) и (11), мы получим, что длина волны фотона Черчилля = 640 нанометров.

Это означает, что данный фотон, как и любой другой, исходящий от мистера Черчилля, – оранжевый. Таким образом, Уинстон Черчилль имеет ярко-оранжевый цвет.

Суммируя полученные результаты, можно сказать, что мы математически доказали, что Уинстон Черчилль не имеет рук и ног, вместо головы у него пучок зелени, он сужается до точки и имеет оранжевый цвет. Ясно, что Уинстон Черчилль – морковка. (Есть и более простой способ доказать это. Добавление 1 к обеим частям уравнения (7) дает равенство 2 = 1. Уинстон Черчилль и морковка – разные вещи, поэтому они – одно и то же. Однако такое заключение менее удовлетворительно.)

Что не так в этом доказательстве? Только один шаг имеет порок – тот, благодаря которому мы переходим от уравнения (4) к уравнению (5). Мы делим на (a – b). Однако осторожно! Поскольку и a, и b равны 1, a – b = 1 – 1 = 0. Мы делили на ноль и в результате получили смешное равенство 1 = 0. Отсюда следует, что мы можем доказать любое утверждение, независимо от того, верно оно или ложно. Вся система математики развалилась.

Неосмотрительное использование ноля обладает властью уничтожить логику.

Приложение B
Золотое сечение

Разделите отрезок прямой на две части, так, чтобы отношение меньшей части к большей было бы равно отношению большей части ко всему отрезку. Для простоты будем считать, что меньшая часть имеет в длину 1 фут, а большая – x футов. Очевидно, что длина всего отрезка в этом случае x + 1. Придав отношению алгебраический вид, получим, что отношение меньшей части к большей равно 1 / x, а отношение большей части ко всему отрезку – x / (1 + x).

Поскольку отношение меньшей части к большей равно отношению большей части к целому отрезку, мы можем приравнять отношения друг другу, что дает уравнение:

x / (1 + x) = 1 / x.

Мы стремимся решить это уравнение в отношении x, что и есть золотое сечение. Первый шаг – умножить обе части уравнения на x, что дает

x² / (1 + x) = 1.

Умножив потом обе части на (1 + x), получаем

x² = 1 + x.

Вычтя 1 + x из обеих частей уравнения, получаем

x² – x – 1 = 0.

Теперь можно решить квадратное уравнение:

х = 1±√(1 + 4) / 2.

Мы имеем два решения, однако только первое из них, примерно равное 1,618, является положительным числом, только оно имело смысл для греков. Таким образом, золотое сечение приблизительно равно 1,618.

Приложение С
Современное определение производной

В настоящее время понятие производной опирается на надежный логический базис, поскольку мы определяем ее в терминах пределов. Формальное определение производной от функции f(x) в точке x₀, обозначаемой как f '(x), таково:

f '(x) = lim f(x + ε) – f(x) / ε при ε → 0.

Чтобы увидеть, как это помогает избавиться от грязной уловки Ньютона, рассмотрим ту функцию, которая использовалась для демонстрации флюксий Ньютона: f '(x) = x² + x + 1. Производная этой функции равна

f '(x) = lim (x² + 2εx + ε² + x + ε+ 1 – x² – x – 1) / ε при ε → 0..

Теперь x² взаимно уничтожается с –x², x аннигилирует с –x, а 1 – с –1. Остается

f '(x) = lim (2εx + ε + ε²) / ε при при ε → 0.

Разделив на ε, мы помним, что ε всегда отлично от 0, потому что мы еще не вычислили предел. Получаем

f '(x) = lim (2x + 1 + ε) при ε → 0.

Теперь мы находим предел и позволяем ε приблизиться к 0. Получаем

f '(x) = 2x + 1 + 0 = 2x +1

Это и есть ответ, который мы ищем. Всего лишь небольшой сдвиг в мышлении, но он и составляет всю разницу.

Приложение D
Кантор пересчитывает рациональные числа

Чтобы показать, что рациональных чисел столько же, сколько натуральных, Кантор должен был всего лишь предложить разумный способ «рассадки». Именно это он и проделал.

Как вы можете вспомнить, рациональные числа – это набор чисел, которые могут быть выражены как a / b, где a и b – целые числа (при b, конечно, отличном от ноля). Для начала рассмотрим положительные рациональные числа.

Представьте себе числовую решетку – две числовые оси, пересекающиеся в нулевой точке, совсем как декартовы координаты. Поставим ноль в начало и любой другой точке решетки соотнесем рациональное число x / y, где x – координата точки по оси X, а y – координата по оси Y. Поскольку числовые оси уходят в бесконечность, каждое положительное сочетание x и y имеет точку на решетке (рис. 58).

Рис. 58. Нумерация рациональных чисел

Теперь давайте составим схему рассадки положительных рациональных чисел. В качестве места 1 начнем с точки 0 на решетке. Затем перейдем к точке 1 / 1 – это место 2, затем к точке 1 / 2 – это место 3, затем – к 2 / 1 (что, конечно, то же самое, что число 2) – это место 4, затем к 3 / 1 – это место 5. Мы можем путешествовать туда и сюда по решетке, пересчитывая по дороге числа. Это дает такую схему рассадки (место – рациональное число):

1 . . . . . . . . . . 0

2 . . . . . . . . . . 1

3 . . . . . . . . . . ¹/₂

4 . . . . . . . . . . 2

5 . . . . . . . . . . 3

6 . . . . . . . . . . 1

7 . . . . . . . . . . ¹/₃

8 . . . . . . . . . . ¹/₄

9 . . . . . . . . . . ²/₃

И так далее, и так далее.

Со временем все числа получат места, некоторые – даже два. Удалить дубликаты легко – просто пропустить их при составлении схемы.

Следующий шаг – удвоить список, добавив отрицательные после соответствующих положительных рациональных чисел. Это даст нам схему рассадки:

Место – рациональное число

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

3 . . . . . . . . . . . . . . . . .–1

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¹/₂

5 . . . . . . . . . . . . . . . – ¹/₂

6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

7 . . . . . . . . . . . . . . . . .–2

8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

9 . . . . . . . . . . . . . . . . .–3

И так далее, и так далее.

Теперь все рациональные числа – положительные, отрицательные и ноль – имеют места. Поскольку никто не остался стоять и все места заняты, рациональных чисел столько же, сколько счетных.

Приложение E
Сделайте собственную машину времени для кротовой норы

Это легко – просто следуйте этим несложным инструкциям.

Шаг 1. Создайте небольшую кротовую нору. Оба ее конца будут в одной и той же точке времени.

Шаг 2. Прикрепите один конец кротовой норы к чему-нибудь очень тяжелому, а другой – к космическому кораблю, двигающемуся с 90% скорости света. Каждый год на корабле эквивалентен 2,3 года на Земле, часы на обоих концах кротовой норы будут идти с разной скоростью.

Шаг 3. Подождите немного. Через 46 лет по земному времени направьте кротовую нору к дружественной планете. Путешествие по кротовой норе приведет вас из 2046 года на Земле в 2020 год на Зилоксе или наоборот.

Шаг 4. Если вы достаточно сообразительны, вы могли начать планировать эту миссию заранее. Вы могли отправить на Зилокс послание задолго до того, как отправились в путь, организовав полет корабля с Зилокса навстречу, начавшийся в 1974 году (по летоисчислению Зилокса). Тогда в 2020 году по времени Зилокса другая кротовая нора могла бы переправить вас на Землю в 1994 год (по земному времени). Если вы будете пользоваться обеими кротовыми норами, то сможете перепрыгнуть из 2046 года (по Земле) в 2020-й (по Зилоксу) и далее в 1994-й (по Земле): вы вернетесь обратно во времени более чем на полстолетия!