Автор книги: Дэвид Самптер
Жанр: Математика, Наука и Образование
Возрастные ограничения: +16
сообщить о неприемлемом содержимом
Текущая страница: 4 (всего у книги 17 страниц) [доступный отрывок для чтения: 5 страниц]
После окончания презентации Иэн и комиссия задают Бьорну вопросы. Иэн и другие математики желают знать технические детали того, как Бьорн сравнивал модели и данные. Экономистка Линь Лерпольд, коллега Ранжулы и член комиссии, указывает на некоторые важные ограничения этого исследования. Бьорн не до конца разобрался в причинах антииммиграционных настроений. Он изучил закономерности изменений в местных сообществах, но не понял мышление их представителей. Чтобы ответить на вопросы Линь, нужны подробные беседы и анкеты.
Расспросы комиссии были дотошными, но справедливыми, а решение единогласным. Бьорн защитил диссертацию. Он присоединился к спецназу байесовских ученых.
* * *
Байесовское мышление изменило принципы науки в последние десятилетия. Оно идеально соответствует научному взгляду на мир. Экспериментаторы собирают данные (Д), а теоретики разрабатывают гипотезы или модели (М). Формула Байеса объединяет оба эти компонента.
Рассмотрим следующую научную гипотезу: использование мобильного телефона плохо влияет на психическое здоровье подростков. В моей семье этот вопрос горячо обсуждается – два подростка (и, если честно, два взрослых) целый день приклеены к экранам. В годы моей юности родители беспокоились, где я и чем занимаюсь. У нас с женой другие проблемы: дети слишком много времени проводят дома, уставившись в телефоны. Чего бы мы только не отдали за старые добрые разборки «Почему не пришел домой вовремя», «С кем встречалась?»…
Доктор Кристина Картер, социолог и автор нескольких книг о воспитании детей и производительности, категорически против чрезмерного использования мобильных телефонов, говоря, что «время за экраном – вероятная причина волны депрессии, тревог и суицида среди подростков». Ее статья в журнале Greater Good Magazine, выпускающемся в Калифорнийском университете в Беркли, излагает аргументы в два этапа[36]36
Carter C. Is screen time toxic for teenagers? // Greater Good Magazine, 27 August 2018 // greatergood.berkeley.edu/article/item/is_screen_time_toxic_for_teenagers.
[Закрыть]. Во-первых, Картер ссылается на опрос родителей, почти половина которых считают, что их дети-тинейджеры зависимы от своих мобильных устройств, и 50 % озабочены, что это негативно скажется на их психическом здоровье. Во-вторых, она ссылается на данные, полученные при исследовании 120 115 подростков в Великобритании, которые отвечали на 14 вопросов о том, как они чувствуют себя с точки зрения счастья и удовлетворенности жизнью, и об их социальной жизни. Это исследование показало, что при превышении порога в один час в день дети отличались пониженным психическим благополучием, что измерялось с помощью опросника. Иными словами, чем больше дети используют свои телефоны, тем они несчастнее.
Звучит весомо, не так ли? Должен признаться, когда я прочитал эту статью в первый раз, она меня убедила. Написана специалистом со степенью, опубликована в рецензируемом журнале, который связан с университетом с мировым именем, в статье есть данные качественно проведенного опроса, поддерживающие точку зрения автора. Но есть одна проблема, и серьезная.
Кристина Картер заполнила только верхнюю часть уравнения суждений. Ее первый шаг – описание родительских страхов – аналогичен вероятности модели P{M}: это вероятность того, что родители верят, будто время у экрана влияет на психическое состояние детей. Ее второй шаг – демонстрация, что имеющиеся данные согласуются с гипотезой встревоженных родителей, то есть рассматривается величина P{Д|M}, и она действительно оказывается большой. Но Картер не учла того, что другие модели тоже могли бы объяснить проблемы подростков. Она определила числитель дроби в уравнении 2, но пренебрегла знаменателем. Доктор не сообщает нам P{Д|M–} для альтернативных гипотез, и мы не знаем P{M|Д} – вероятность того, что мобильный телефон объясняет подростковую депрессию, то есть именно то, что мы хотим знать.
Кэндис Оджерс, профессор психологии из Калифорнийского университета в Ирвайне, заполнила пробелы, оставленные Картер. В комментарии, опубликованном в журнале Nature, она пришла к совершенно другому заключению[37]37
Odgers C. L. Smartphones are bad for some adolescents, not all // Nature. 2018. February. Vol. 554. No. 7693. Pp. 432–434.
[Закрыть]. Она начинает свою статью с признания проблемы. В США доля девочек в возрасте от 12 до 17, сообщавших о случаях депрессии, за период с 2005 по 2014 год выросла с 13,3 до 17,3 %; у мальчиков того же возраста тоже наблюдался рост, хотя несколько меньший. Нет сомнений, что использование мобильных телефонов за этот период увеличилось, здесь нам не нужны статистические данные. Оджерс также не оспаривает данные по британским подросткам, на которые ссылается Кристина Картер и которые указывают на рост случаев депрессии у тех, кто активно пользуется телефоном.
Однако Оджерс указывает, что депрессию у тинейджеров можно объяснить и другими причинами. Например, и отсутствие регулярного завтрака, и сон в разное время оказались втрое более важными факторами для прогнозирования психического состояния подростков, чем пользование телефонами[38]38
Этот результат исходно был получен при исследовании британских подростков, см.: Przybylski A. K., Weinstein N. A large-scale test of the Goldilocks hypothesis: quantifying the relations between digital-screen use and the mental well-being of adolescents // Psychological Science. 2017. January. Vol. 28. No. 2. Pp. 204–215.
[Закрыть]. На языке теоремы Байеса завтрак и сон – альтернативные гипотезы, которые могут объяснить депрессию, и для них вероятность P{Д|M–} велика. Если их учесть в знаменателе формулы Байеса, это перевесит числитель, и искомая вероятность P{M|Д} того, что пользование мобильными телефонами связано с депрессией, становится меньше – не пренебрежимо малой, но достаточно маленькой, чтобы не считать ее важным фактором при объяснении психического здоровья подростков.
Более того, есть документально подтвержденная польза телефонов для тинейджеров. Во многих работах показано, что дети используют гаджеты, чтобы поддерживать друг друга и создавать долговременные социальные структуры. У большинства ребят среднего класса – группы, на которую ориентируются советчики по поводу экранного времени, – мобильные телефоны улучшают способность заводить настоящие, прочные дружеские отношения; и не только в интернете, но и в реальной жизни. Как говорит Кэндис Оджерс в своей статье, с проблемами сталкиваются дети из неблагополучных семей. Менее благополучные подростки скорее начнут драться из-за того, что происходило в соцсетях. Те, кого травили в жизни, позже с большей вероятностью станут жертвами и в интернете.
Мои дети общаются с детьми по всему миру и часто узнают в Сети что-то новое. Я слышал, как на прошлой неделе Элиза и Генри обсуждали барабаны бонго и культурную апроприацию.
Элиза сказала:
– Это базовое уважение: если кто-то говорит, что его оскорбляет исполнение вами музыки его культуры, то лучше остановиться.
– Тогда Эминем – это культурная апроприация? – возразил Генри.
Я точно не мог вести такие разговоры с сестрой, когда нам было тринадцать и пятнадцать. Я не уверен даже, что мы могли бы вести их сейчас. Дети, рожденные в 2000-х, имеют доступ к важным идеям и информации, которые находились вне рамок восприятия тех, кто рос в 1970-е, 1980-е и даже 1990-е.
* * *
Вернемся к Эми и Рэйчел, поскольку я пропустил кое-что важное.
Числа, которые я использовал в том примере (один человек из 20 стервозный; эти люди тратят на гадости половину времени; даже хорошие люди ведут себя так один день из десяти), не просто произвольны, но и субъективны – свои для каждого человека. В зависимости от вашего жизненного опыта вы будете доверять людям больше или меньше, чем Эми. Это как с авиакатастрофами: ужасная и объективная реальность. Выбор Эми, как смотреть на новых соучеников, или мой способ классифицировать коллег, полностью основан на нашем субъективном опыте общения с людьми, которых мы встречали ранее. Нет никаких объективных способов измерить «стервозность», «сучность» или «козлиность».
Да, числа в истории Эми субъективны. Однако дело вот в чем. Формула Байеса работает не только с объективными вероятностями, но и с субъективными. Она дает нам возможность рассуждать о числах, даже если они не абсолютно точные. Мы можем поменять их и получить другие результаты, но нельзя изменить логику, которую нам рекомендует байесовский подход.
Сделанные предположения называются априорными. В уравнении 2 P{M} – априорная вероятность того, что наша модель верна. Часто такие вероятности можно получить из субъективного опыта. Но не может быть субъективной P{M|Д}, вероятность истинности нашей модели после того, как мы увидели какие-то данные. Пересчет вероятностей должен производиться с помощью формулы Байеса.
Многие полагают, что математика обязательно имеет дело с объективными вещами. Это не так. Это способ представления мира и рассуждений о нем; и иногда то, о чем мы спорим, известно только нам. В конце концов, никто другой, возможно, никогда не узнает, считает Эми Рэйчел стервой или нет. Этот процесс может быть навсегда сокрыт в ее мозге.
Вспомните о моем кинематографическом представлении мира – фильмах, которые я проигрываю себе день за днем, порой очень личных. Это могут быть опасения по поводу того, что чувствует моя жена; мысли о будущем дочери; фантазии о том, как я веду мини-футбольную команду сына к победе в турнире; мечта о том, как в один прекрасный день я стану автором бестселлера. Мне не надо рассказывать вам о них, поскольку они принадлежат исключительно мне. Уравнение суждений не говорит нам, какие фильмы нужно иметь в коллекции или о чем мечтать. Оно просто говорит, как нужно рассуждать об этих мечтах, поскольку каждый из таких «фильмов» – модель мира. Уравнение суждений позволяет нам обновлять вероятности, которые мы связываем с каждой мечтой, но не говорит, какие мечты нужно иметь.
После защиты Бьорна Иэн Вернон за бокалом шампанского сказал мне: «Многие, даже математики и другие ученые, не осознают, что настоящая сила байесовского подхода в том, как он заставляет вас определить, что вы думали до эксперимента и после него. Байесовский анализ требует, чтобы вы разбили свои рассуждения на модели и по очереди искали свидетельства для них. Вы можете считать, что данные подтверждают ваше предположение, но нужно быть честным в отношении того, насколько сильно вы поддерживали свою гипотезу до этого эксперимента».
Я согласился. Иэн говорил в целом, думая при этом о защите Бьорна и использовании байесовской теории для объяснения подъема крайне правых сил в шведской политике. В этом проекте я проработал с Бьорном все детали, изучив факторы, которые заставляют людей голосовать за националистические партии. Теперь пытался применить тот же подход к вопросу из собственной семейной жизни. Я не специалист по психическому здоровью или мобильным телефонам, но уравнение суждений дает мне способ интерпретировать результаты, полученные другими, – способ оценить относительную ценность аргументов, выдвинутых учеными. Я использовал теорему Байеса, чтобы проверить, соблюдали ли они критерии для правильного суждения. Посмотрели ли они на собственную и альтернативную модель мира? Кэндис Оджерс представила в своих рассуждениях все стороны; Кристина Картер – только одну.
Иногда я крайне разочарован, когда вижу, как некритично воспринимают люди советы так называемых экспертов по воспитанию, образу жизни или здоровью. Как неопытные игроки, которые просят у меня совета только о предстоящем серьезном матче, так и потребители таких советов смотрят не дальше последнего исследования. Они не понимают, что обеспечение здорового и сбалансированного образа жизни требует долгосрочной позиции, как успешная азартная игра – долгосрочной стратегии.
Но не только Кристина Картер ответственна за представление всех аспектов рассматриваемого вопроса. Вам может показаться странной такая моя позиция, поскольку я счел ее работу вводящей в заблуждение; но я также понимаю, что она отражает беспокойство многих родителей, включая меня. Данные, описанные ею, реальны, и она считает, что они подтверждают ее модель. Описывать поддержку альтернативных моделей не совсем ее дело.
Проверять достоверность ее модели – большей частью наше дело. Когда я читаю авторские колонки, то стараюсь убедиться, что их создатели – независимо от квалификации – разобрались во всех частях нашего уравнения. Мне как родителю оказалось нетрудно получить более полное представление о роли экранов в нашей жизни. Все статьи, что я использовал, есть в свободном доступе в интернете; и мне понадобилось несколько вечеров собственного времени у экрана, чтобы скачать и прочитать их. Как только разобрался в вопросе, обсудил результаты с детьми. Я сказал им, что и хороший сон, и правильный завтрак втрое важнее для их психического состояния, чем время в телефонах. Я рассказал, что телефоны отчасти полезны, подчеркнув: это вовсе не подразумевает, что они должны проводить все вечера на диване за просмотром YouTube. Физические нагрузки и социальное общение необходимы, и уж точно не стоит брать телефоны в спальню. Мне кажется, Элиза и Генри всё поняли.
Можно услышать, как те же люди, которые некритично потребляют информацию о воспитании детей, выражают скептицизм, когда слышат более сбалансированную точку зрения от ученых, подобных Кэндису Оджерсу. Когда ученые излагают все стороны проблемы, такие люди считают, что это говорит о неуверенности специалистов. В научном сообществе активно обсуждаются такие темы, как изменение климата, достоинства разных диет или причины преступности. Но обсуждения и сравнение всех возможных гипотез вовсе не признак слабости или нерешительности участников дискуссии. Скорее, это признак силы и основательности. Это знак преимущества, того, что вы рассмотрели все возможности.
* * *
В мире полно людей, дающих советы. Как быть организованными на работе и дома. Как оставаться спокойными и сосредоточенными. Как стать лучше. Выберите идеальную работу. Идеального партнера. Идеальную жизнь. Десять главных вещей, которые нужно сразу сделать на новой работе. Десять вещей, которых нужно избегать. Десять главных уравнений.
Спокойствие, как у йогов. Самоосознание. Глубокое мышление и медленное дыхание. Тигры. Кошки и собаки. Популярная психология и эволюционное поведение. Будьте пещерным человеком, охотником-собирателем или греческим философом. Отключитесь. Подсоединитесь. Расслабьтесь. Зарядитесь. Выпрямитесь и никогда не лгите. Плюйте на всё, и вы всегда будете счастливы. Не откладывайте, делайте сейчас, и быстрее.
Всем таким советам не хватает структуризации. Важная информация перемешана с мнениями и ерундой. Уравнение суждений позволяет организовывать и оценивать. Оно превращает любой совет, желательный или нежелательный, в модель, которую можно проверить, используя данные. Внимательно прислушивайтесь к мнению других, записывайте альтернативы, собирайте данные и выносите суждение. Корректируйте свое мнение по мере медленного накопления свидетельств за и против той или иной идеи. С помощью того же процесса судите о действиях других. Всегда давайте им второй и даже третий шанс – гарантируя, что ваши решения определяются фактами, а не эмоциями. Используя формулу Байеса, вы не только будете делать оптимальный выбор, но и обнаружите, что завоюете доверие других. Вы прославитесь своими здравыми суждениями.
Глава 3. Уравнение уверенности
Не вся «Десятка» родилась из христианской морали. Если бы нас попросили отправиться в ту точку пространства и времени, где ей было положено начало, то это оказалось бы не смертное ложе Томаса Байеса. Мы очутились бы в Лондоне, но почти на тридцать лет раньше – на собрании друзей 12 ноября 1733 года, где слушали бы, как Абрахам де Муавр раскрывает секреты азартных игр.
Де Муавр был «нестандартным» математиком. Его изгнали из Франции как протестанта, а в Лондоне к нему относились с подозрением из-за его национальности. Его современники – Исаак Ньютон и Даниил Бернулли – стали профессорами в своих областях, а де Муавру приходилось зарабатывать другими способами. Он давал частные уроки для детей среднего класса в Лондоне (предполагается, хотя это и не доказано, что одним из его учеников был юный Томас Байес), занимался «консультациями». Его можно было найти в кофейне Old Slaughter’s на Сент-Мартинс-Лейн, где он давал советы всем – от игроков и финансистов до самого сэра Исаака Ньютона.
Работа де Муавра, появившаяся в 1733 году, была более изощренной по сравнению с его ранними трудами. Он показал, как новая математика – анализ, недавно разработанный Исааком Ньютоном, – помогает определить уровень уверенности в долгосрочной прибыльности в играх, опирающихся на случай. В итоге представленное им уравнение станет основой того, как специалисты в естественных и социальных науках определяют уровень доверия к их исследовательским результатам. Но чтобы понять, откуда взялось уравнение уверенности, нужно начать оттуда же, что и де Муавр. Нужно войти в сомнительный мир азартных игр.
* * *
Сегодня требуется всего несколько минут, чтобы открыть счет для ставок в онлайн-казино. Имя, адрес и (главное) данные карточки – и готово. Игры разные. Есть онлайн-покер, где вы играете против других, а казино получает свою долю. Есть игровые автоматы, похожие на те, что когда-то ставили в пабах; у них свои имена – например, Cleopatra’s Tomb, Fruit vs Candy и Age of the Gods, а также торговые марки вроде Batman v Superman и Top Trumps Football Stars. Вы нажимаете на кнопку, вращаете колесо и, если боги выстраиваются в ряд или в ряду достаточно Бэтменов, выигрываете. Наконец, есть традиционные для казино игры – например, блек-джек и рулетка, – которые транслируются в прямом эфире: элегантно одетые юноши раздают карты, а женщины в вечерних платьях с низким вырезом крутят колесо рулетки.
Я открыл счет на одном популярном сайте онлайн-игр. Положил 10 фунтов стерлингов и получил бонус в 10 фунтов за новый счет, что дало мне стартовый капитал в 20 фунтов. Я решил начать с «Века богов» – только по той причине, что там разрешались самые маленькие ставки. Соответственно, при цене 10 пенсов за вращение у меня было больше попыток.
Через двенадцать попыток у меня оказалось на 70 пенсов меньше и не было ощущения, что что-то происходит. Боги мне наскучили, и я отправился на Top Trumps крутить Криштиану Роналду, Месси и Неймара. Это было дороже, по 20 пенсов за вращение, но через шесть попыток я выиграл (1,5 фунта!) и почти вернулся к своему начальному капиталу. Я попробовал «Бэтмен против Супермена» и несколько других игр. Затем нашел кнопку автоматического запуска и теперь мог крутить постоянно без необходимости нажимать на кнопку. Впрочем, это была плохая идея. Спустя двести попыток у меня осталось 13 фунтов.
Мне показалось, что игровые автоматы не оптимальны по соотношению цены и качества, и я решил попробовать живое казино. За столом распоряжалась Керри, женщина двадцати с небольшим в черном платье. Она приветствовала меня и заговорила с другим клиентом. Это был странный опыт. Я мог набирать сообщения, а она отвечала.
– Как погода у вас? – спросил я.
– Хорошая, – ответила она, посмотрев прямо на меня. – Кажется, весна на подходе. Сейчас последние ставки. Удачи!
Она жила в Латвии и уже четыре раза бывала в Швеции. Немного поболтав, я спросил ее, были ли сегодня крупные выигрыши.
– Мы не видим, сколько вы ставите, – сообщила она.
Я чувствовал себя несколько глупо; старался ставить 1 фунт при каждом вращении колеса, так что она не думала, будто я дешевка.
Керри мне нравилась, но я ощущал, что мне нужно лучше осмотреться. Не знаю, как это выразить, но была какая-то причина, по которой она и большинство ее коллег-мужчин работали в зале с низкими ставками. Керри было слегка неловко и некомфортно в обтягивающем платье, и она не казалась сексуальной.
Залы с более высокими ставками выглядели иначе. Вырез на платьях был глубже, а улыбки завлекательнее. Перед каждым вращением Люси, работавшая в помещении, где я находился, осознанно смотрела в камеру, словно говоря, что мой выбор верный. Мне пришлось заставить себя вспомнить, что она смотрела не только на меня, но и на 163 других игроков со всего мира.
Люси отвечала на вопросы клиентов.
– Да, у меня есть партнер. Но все сложно, – говорила она одному.
– О, я люблю путешествовать, – сообщала другому. – Я бы с радостью поехала в Париж, Мадрид, Лондон…
Камера переключилась на вид сверху, давая возможность увидеть ее ноги перед тем, как колесо пришло во вращение.
Мне стало очень некомфортно. Приходилось напоминать себе, зачем я здесь в первую очередь. Вернулся в помещение с более низкими ставками – там работал Макс, вежливый молодой человек, который давал статистические советы по выигрышным цветам и номерам. Похоже, на его рулетке хорошо шли большие числа.
Посмотрел на свой баланс. Я наугад ставил на красное и черное, особо не раздумывая, и с удивлением увидел, что после нескольких часов в казино у меня имелось 28 фунтов. Прибыль 8 фунтов за вечер. Дела шли хорошо.
* * *
Как узнать, почему мы выигрываем: потому что умело играем или потому что нам повезло? Я знал, что в онлайн-казино шансы против меня, пусть даже я после двух-трех часов и пополнил немного свой счет.
В других играх я не знаю, есть у меня преимущество или нет. Если я играю в покер с друзьями, то вижу, как моя стопка фишек растет и уменьшается. Но сколько времени пройдет, прежде чем я смогу сказать: я – лучший игрок? Если я установил стратегию спортивных ставок, как для чемпионата мира, – когда я узнаю, что она окупается?
Такие вопросы не ограничиваются азартными играми и спортом; они могут быть и политическими. Сколько избирателей нужно опросить, чтобы надежно оценить, кто выиграет президентские выборы в США? Они могут быть связаны с обществом: как узнать, проявляет ли компания расовую дискриминацию при найме людей? И даже личными: сколько времени вы должны отдать работе или отношениям с другим человеком, прежде чем решиться что-то поменять?
Удивительно, но существует формула, которая отвечает на все эти вопросы: назовем ее уравнением уверенности[39]39
Если быть точнее, это формула 95 %-го доверительного интервала для числа успехов в схеме Бернулли.
[Закрыть]. Вот оно:
Понятие степени уверенности отражается центральным символом ± (плюс-минус). Представьте, что вы спрашиваете меня, сколько чашек кофе в день я выпиваю. Я не знаю наверняка, поэтому могу сказать что-то вроде «четыре плюс-минус парочка», или 4 ± 2. Это – доверительный интервал, удобное обозначение и среднего значения, и отклонения от него. Это не значит, что я никогда не могу выпить 7 чашек (или только одну), но я вполне уверен, что в большинстве случаев выпиваю от 2 до 6 чашек.
Уравнение 3 позволяет нам делать более точные утверждения о нашей уверенности в каком-либо событии. Представьте, что я прошу всех читателей этой книги запустить 400 раз колесо рулетки, ставя по 1 фунту на красное или черное. На рулетке 37 номеров: от 1 до 36, раскрашенные поочередно в красный и черный цвета, и особый зеленый 0 (зеро). Он обеспечивает преимущество казино. Например, если какой-то игрок ставит на красное, то вероятность попадания шарика на красный номер составляет 18/37, и в случае этого события игрок возвращает свою ставку и получает еще такую же сумму. Вероятность потери денег (непопадания шарика на красный цвет) составляет 1 – 18/37 = 19/37. Ожидаемый (средний) выигрыш игрока при ставке в 1 фунт составляет 1 ∙ 18/37 – 1 ∙ 19/37 = –1/37; поэтому при каждом повороте колеса игрок в среднем проигрывает 2,7 пенса. В уравнении 3 средний проигрыш обозначен буквой h, и в нашем случае h = –0,027 (фунтов). За 400 попыток каждый из читателей проиграет в среднем h ∙ n = 0,027 ∙ 400 = 10,8 фунта.
Следующий шаг – определить степень отклонения от среднего. Не каждый читатель проиграет (или выиграет) одну и ту же сумму. Даже без арифметических подсчетов понятно, что при одном обороте рулетки можно наблюдать большую разницу в результатах: если я ставлю 1 фунт, то либо удвою свои деньги, либо потеряю их. Отклонение имеет такую же величину, как инвестируемая сумма, и гораздо больше, чем средняя потеря в 2,7 пенса.
Определим отклонение количественно. Для этого найдем средний квадрат разности между результатом одного вращения и средним значением. Среднее значение равно –0,027 фунта, и если мы выиграли фунт, то квадрат разности равен (1 – (–0,027))2 = 1,0547, а если проиграли 1 фунт, то (–1 – (–0,027))2 = 0,9467. Всего есть 18 удачных исходов и 19 неудачных, поэтому средний квадрат разности, который обозначают σ2, равен:
Такой средний квадрат разности σ2 называют дисперсией. У рулетки она очень близка к единице, но не равна ей. Если бы на рулетке было только 36 номеров, половина красных и половина черных, дисперсия была бы в точности единица.
Дисперсия увеличивается пропорционально количеству вращений колеса. Если я запускаю колесо рулетки дважды, она удваивается; если три раза – утраивается и т. д. Дисперсия при n попытках равна n ∙ σ2.
Обратите внимание, что при вычислении дисперсии мы возводим разность в квадрат, поэтому ее размерность – фунты в квадрате, а не фунты. Чтобы получить снова фунты, можно извлечь из дисперсии квадратный корень и получить так называемое среднеквадратичное (стандартное) отклонение σ; в нашем случае σ = 0,9996. Соответственно, за 400 оборотов мы получим среднеквадратичное отклонение
Теперь у нас есть большая часть компонентов для уравнения уверенности. Единственный элемент, который мы еще не объяснили, – число 1,96. Оно появляется из математической формулы, которая описывает кривую нормального (гауссовского) распределения; эта колоколообразная кривая используется для представления роста людей или их IQ. Вы можете вообразить нормальное распределение в виде колокола с точкой максимума в среднем значении (например, при запуске рулетки 400 раз средний выигрыш будет 10,8 фунта; если мы станем измерять рост мужчин в Великобритании, то среднее значение будет 175 сантиметров)[40]40
Уравнение для кривой нормального распределения, которое де Муавр написал (в логарифмической форме) во втором издании своей книги по вероятности в 1738 году, таково:
где μ – среднее, а σ – стандартное отклонение.
[Закрыть]. На рисунке 3 показана кривая нормального распределения для 400 запусков рулетки и ставок по 1 фунту.
Теперь представьте, что мы хотим найти интервал, который содержит 95 % площади этой колоколообразной фигуры.
Рис. 3. Нормальное распределение
Для 400 запусков рулетки это интервал, куда попадут 95 % прибылей или убытков читателей. Величина 1,96 берется именно отсюда. Чтобы интервал содержал 95 % наблюдений, его граничные значения должны в 1,96 раза превосходить среднеквадратичное отклонение. Иными словами, в нашем случае 95 %-й доверительный интервал для нашей прибыли после 400 запусков рулетки определяется уравнением 3:
После 400 запусков рулетки читатель в среднем потеряет 10,8 фунта. Печально. С другой стороны, ±39,2 определяет довольно широкий доверительный интервал, поэтому некоторые читатели преуспеют. Получившие прибыль игроки будут в явном меньшинстве – их всего 31,2 % от общего количества тех, кто крутил рулетку 400 раз. Я обращал на это внимание, когда ходил в казино или на скачки с небольшой группой людей. Обычно находится один человек, который выигрывает и остается в плюсе. Это ощущается как общая победа, особенно когда он покупает всем выпивку.
Итак, вот первый урок из уравнения уверенности. Победитель может считать, что у него была умная стратегия, а в реальности почти треть людей покидают казино победителями. Но случайность не должна их одурачивать. Они счастливчики, а не умельцы.
* * *
Я упустил важную деталь: сказал вам, что распределение результатов игры соответствует нормальному закону, но не объяснил почему. Объяснение восходит к работе Абрахама де Муавра 1733 года.
В своей первой книге «Доктрина шансов», посвященной азартным играм и опубликованной в 1718 году[41]41
Третью, последнюю версию работы можно найти на Google Books. De Moivre A. The Doctrine of Chances: Or, A Method of Calculating the Probabilities of Events in Play. The Third Edition. London: A. Millar, 1756.
[Закрыть], де Муавр определял вероятность получения конкретных рук в карточных играх и выигрышных исходов при бросании костей – например, прихода двух тузов в пятикарточной руке или выпадения двух шестерок при бросании двух костей[42]42
Найдем вероятность двух тузов в пятикарточной руке. Вероятность того, что первой картой вам сдали туза, равна 4/52. Вероятность того, что после этого второй картой тоже сдали туза, равна 3/51 (в колоде осталась 51 карта, из которых три – тузы). Следующие три карты должны оказаться не тузами, вероятности чего равны 48/50, 47/49 и 46/48. Эти события должны произойти одновременно, поэтому их вероятности нужно перемножить. Однако мы учли пока всего лишь одно размещение двух тузов среди пяти карт (когда они находятся на первом и втором месте). Всего таких комбинаций 10, поэтому общая вероятность равна:
[Закрыть]. Он вел читателя через вычисления, предлагая упражнения для улучшения понимания. Советы именно такого рода просили у него игроки, искавшие его в кофейне Old Slaughter’s.
В работе 1733 года де Муавр спрашивал своих читателей, как вычислить результат подбрасывания симметричной монеты 3600 раз. Для двух бросков монеты вероятность получить подряд два орла нетрудно найти прямым умножением: 
Вероятность получить три орла при пяти бросках можно найти, если выписать все возможные варианты, когда выпадает три орла (и, соответственно, две решки):
ГГГРР, ГГРГР, ГГРРГ, ГРГРГ, ГРГГР, ГРРГГ, РГРГГ, РГГРГ, РГГГР, РРГГГ,
что дает нам 10 различных вариантов. Еще в 1653 году Блез Паскаль показал, что число способов взять k предметов из n (которое обозначается Cnk) определяется формулой:
Выражение k! которое называют факториалом, определяется так: k! = k ∙ (k – 1) ∙ (k – 2) ∙ … ∙ 2 ∙ 1. В нашем примере n = 5 (пять бросков монеты и их результатов), а k = 3 (три орла, которые должны оказаться среди этих результатов). Следовательно,
Получился тот же результат, что и при прямом переборе всех возможных вариантов. Поскольку вероятность выпадения орла на симметричной монете равна 1/2, то вероятность получить k орлов при n бросаниях монеты равна
Для n = 5 и k = 3 получаем
Следовательно, шансы на выпадение трех орлов при пяти бросках монеты равны 31,25 %.
Де Муавр знал о таком распределении вероятностей (сейчас оно называется биномиальным распределением), но он также понимал, насколько непрактично применять этот способ, когда n – большое число. Чтобы решить аналогичную задачу для n = 3600 подбрасываний монеты, понадобится возвести двойку в степень 3600 и вычислить 3600 ∙ 3599 ∙ … ∙ 2 ∙ 1. Попробуйте это посчитать. Такое невозможно осуществить вручную и трудно даже на компьютере.
Трюк, который проделал де Муавр, – отказ от непосредственного умножения и изучение математической формы биномиального распределения. Он вывел формулу для приближения факториалов больших чисел, а его друг, шотландский математик Джеймс Стирлинг, нашел точное значение константы в ней[43]43
Формула по де Муавру выглядит как 
где константа B была вычислена приблизительно как 2,5074. Стирлинг нашел точное значение константы 
В итоге эта формула обычно называется формулой Стирлинга, хотя по справедливости ее нужно называть формулой Муавра или хотя бы формулой Муавра – Стирлинга.
[Закрыть], и де Муавр доказал, что при достаточно больших n вышеприведенное выражение для вероятности получить k орлов при n бросках монеты приблизительно равно
На первый взгляд кажется, что это выражение сложнее, чем исходная формула вероятности для биномиального распределения, поскольку тут есть квадратные корни, константа π = 3,14… и экспонента. Но здесь нет многочисленных умножений, необходимых для вычисления факториалов, и это главное в результате де Муавра. Можно вычислять значения для 3600 или даже миллиона бросаний, просто подставляя нужные значения k и n. Теперь де Муавр мог для вычисления использовать таблицы логарифмов или логарифмическую линейку. Технологии XVIII века способны были вести расчеты для миллиона бросаний.
Де Муавр построил первый доверительный интервал для такого события. Он показал, что шансы получить при 3600 бросаниях меньше 1740 или больше 1860 орлов составляют примерно 21 к 1, то есть вероятность получить от 1740 до 1860 орлов примерно равна 95,4 %[44]44
Walker H. M. De Moivre on the law of normal probability, 2006 // semanticscholar.org/paper/DE-MOIVRE-ON-THE-LAW-OF-NORMAL-PROBABILITY-Walker/d40c10d50e86f0ceed1a059d81080a3bd9b56ffd#citing-papers>.
[Закрыть].
Правообладателям!
Данное произведение размещено по согласованию с ООО "ЛитРес" (20% исходного текста). Если размещение книги нарушает чьи-либо права, то сообщите об этом.Читателям!
Оплатили, но не знаете что делать дальше?
