Текст книги "Психодинамика"

Мы уже ввели понятие пары объектов. Рассмотрим теперь следующее множество пар. Пусть имеется два множества А и В. Рассмотрим множество таких пар объектов, где первый элемент всегда выбирается из множества А, а второй – из B. Все множество таких пар образует множество А и B. Ограничим теперь указанное соответствие следующим условием. Пусть каждый элемент из А имеет только единственную пару из множества B. Такое ограниченное соответствие называется отображением множества A в множество B, и обозначается f: A → B т. е. (а, b) ∈ f или в другой записи f (а) = b.

Рассмотрим некоторые важные свойства отображений. Будем называть элемент b = f(а) образом элемента а, а сам элемент а – прообразом элемента b. Соответственно все множество А всегда является прообразом при отображении f, а множество В содержит в себе некоторое подмножество, которое является образом множества А. Если образ множества А совпадает со всем множеством В, т. е. каждый элемент из В имеет хотя бы один прообраз, то отображение называется сюръективным или обладает свойством сюръективности. В множестве В могут, однако, быть элементы, которые не являются образами никаких элементов из А, если а при этом еще каждый из тех элементов, которые являются образами элементов из А, имеет единственный прообраз, то такое отображение называется инъективным или обладает свойством инъективности. Если отображение одновременно обладает двумя указанными свойствами, т. е. является сюръективным и инъективном, то такое отображение называют биективным или взаимно однозначным.

В качестве примера сюръективного отображения модно привести соответствие множества психических образов (восприятии и представлений) и множества мыслей, выраженных в законченной фазе.

В начале нынешнего века остро обсуждался вопрос, является ли отображение множества мыслей в множество образов сюръективным или нет (само обсуждение велось, конечно, в других терминах). В своей известной статье «Мышление без образов» А. Бине оспорил мнение, что каждая мысль обязательно сопровождается образными представлениями. Вопрос этот не может считаться решенным и сегодня. Современная психология, однако, склоняется к мнению, что существует образный эквивалент каждой мысли, и с помощью специальной процедуры (так называемой методики пиктограмм) он может быть восстановлен. Подчеркнем здесь тот факт, что обратного отображения именно в силу сюръективности данного отображения определить нельзя, т. е. не существует отображения множества образов в множество мыслей, так как всегда найдутся образы, которые по тем или иным причинам проходят мимо сознания человека или могут быть им отражены в виде законченной мысли и т. д. Точно так же не существует отображения множества объектов внешнего мира в множестве образов, так как всегда существуют объекты, которых человек никогда не видел. Уяснение свойств психического отражения в рамках этой простой модели подготавливает понимание более глубокого тезиса, сформулированного А. Н. Леонтьевым, – деятельность всегда богаче опережающего ее сознания.

В данных примерах мы невольно затронули вопрос о той проблеме, как быть, если отображение нельзя определить для всего того множества, которое мы хотим отобразить в другое. Как, например, отобразить множество внешних объектов во множество образов, при этом исследовательская задача требует именно такой модели. В этом случае используется другое понятие – понятие функции.

Пусть у нас имеется два множества А и В, а также определено некоторое подмножество A: A'∈A. Задание функции означает, что определено отображение подмножества А в В, а для остальных элементов из АA' данное отображение, а значит, и соответствующая функция не определены, иногда также говорят, что В является функцией А, не забывая при этом, что функция определена только для некоторого подмножества А, равного A'. Таким образом, множество психических образов будет являться функцией множества объектов внешнего мира в том и только в том случае, если для различных объектов будут существовать различные образы. Такое утверждение наталкивает исследователя на мысль установить экспериментально способ задания этой функции. Мы помним, что функция по определению также является некоторым множеством пар. Рассмотрим два способа задания функции – табличный и аналитический. В первом случае составляется таблица, где каждому элементу области определения функции (отображаемого пространства или множества начала) сопоставляется элемент отображающего множества (или множества конца).

При аналитическом способе задается некоторое выражение, позволяющее посредством подстановки в него элементов множества начала получать соответствующие элементы множества конца. Оба эти способа не могут быть непосредственно применены в интересующем нас случае, по той простой причине, что психический образ не может быть извлечен из человеческого мозга и вообще не является непосредственно наблюдаемым объектом. Он присущ только конкретному человеку. Как подчеркивал С. Л. Рубинштейн, если что-то дано человеку непосредственно, то никаким иным способом оно уже дано быть не может. Попытки преодолеть это препятствие делались посредством построения процедур отображения множества физических объектов и множества образов в некоторое третье множество – чаще всего множество действительных чисел, с последующим рассмотрением функций, заданных на декартовом квадрате множества действительных чисел. При этом указанные процедуры строятся так, чтобы обеспечить биекцию отображения f: f → f', где f ⊂ А × B, a f' ⊂ R × R. Приведем некоторые примеры функций, выступающих в качестве моделей психических явлений. Одной из наиболее известных моделей такого рода является закон Г. Фехнера, связывающий функциональной зависимостью физическую интенсивность стимула (воспринимаемого внешнего объекта) и субъективную интенсивность ощущения

S = k log R + C, (6)

где S – интенсивность стимульного воздействия, R – интенсивность ощущения или воспринимаемая интенсивность. При этом, конечно, на физическую интенсивность стимула как множества начала отображения накладываются ограничения. Это, прежде всего, пороговые ограничения как при любом психофизическом отображении, но, кроме того, закон Г. Фехнера действует только в средних диапазонах интенсивности раздражителей (стимулов) и не действует в околопороговых областях. Таким образом, можно сказать, что данная функция представляет собой модель трансформации физической энергии в субъективное восприятие в обычных условиях (при средних интенсивностях стимулов). С. С. Стивенс разработал иную процедуру оценки субъективной величины ощущения и предложил в качестве модели степенную функцию

S = k Rⁿ. (7)

Однако эта модель тоже требует существенного ограничения области задания функции. Отечественными учеными Ю. М. Забродиным и А. Н. Лебедевым был предложен обобщенный психофизический закон, позволяющий описывать восприятие физической интенсивности в более широкой диапазоне условий (см.):

dS/S=dR/R^z, (8)

Параметр z в предложенной авторами формуле является различным для различных условий. Здесь, таким образом, в качестве модели выступает уже некоторое множество или семейство функций, различных при различных z.

До сих пор мы рассматривали функций как отображение одного множества (область определения) в другое, т. е. как некоторое множество пар объектов. Такие функции называются функциями одного аргумента, но, однако, рассматривать функции двух и более аргументов как множества троек, четверок и т. д. Линейные функции нескольких аргументов широко используются в психологии личности, Личность в этом случае представляется как линейная функция некоторого конечного множества признаков. Введенные на данный момент понятия позволяют дать точное определение того, что мы будем в дальнейшем понимать под термином модель. Моделью мы будем называть пару множеств, причем первым членом пары выступает множество реальных или идеальных объектов (в качестве последних чаще всего используются числа или буквы), а вторым членом пары является множество отношений, заданных над множеством объектов. При этом, конечно, мы не ограничиваемся рассмотрением только бинарных отношений (хотя часто этого бывает достаточно), в множество отношений могут входить отношения любого порядка арности. Максимальный порядок арности отношений, входящих в модель, будем называть размерностью модели.

Примером модели может служить множество букв русского языка, множеством отношений является множество слов в словаре русского языка.

Из данного нами определения модели можно заключить, что любой объект действительности, прежде всего, является моделью самого себя. Для того чтобы некоторый объект мог выступать моделью другого объекта, должно существовать инъективное отображение пары множеств, представляющих – первая объект, на пару множеств – представляющих второй объект. Таким образом, модель представляет собой некоторое множество объектов и их комбинаций (отношений), при этом максимальная длина комбинации (порядок арности отношения) называется размерностью модели. Каждый объект действительности является моделью самого себя, это, по существу, означает то, что отношение «быть моделью» является рефлексивный. Некоторый объект (как множество своих элементов и их комбинаций) является моделью другого объекта тогда и только тогда, когда существует инъективное отображение первого объекта на второй, инъективность этого отображения показывает нам, что модель не полно отражает объект, а лишь некоторую его часть в зависимости от того, как задано отображение.

В нашем примере словарь русского языка является моделью реального мира, так как существует сюръективное отображение множества слов на множество объектов и отношений внешнего мира.

Обратим теперь внимание на то, что модель, прежде всего, является множеством более простых и более сложных объектов (отношений). Следовательно, над этим множеством вновь можно определить отношение, т. е. построить комбинации уже скомбинированных определенным образом объектов (в нашем примере слов – комбинаций букв). А, следовательно, можно вновь определить пару множеств, первым членом которой выступает исходная модель, а вторая – множество отношений, заданных уже над этой моделью. Такую пару множеств мы будем называть модель второго порядка. Очевидно, что таким образом можно определить модель любого порядка. В нашем примере моделью второго порядка будет некоторое множество комбинаций слов, т. е. текстов на русском языке.

В заключение исследуем само отношение «быть моделью». Мы ухе видели, что это отношение является рефлексивным, так как каждый объект является моделью самого себя. Очевидно также, что если один объект является моделью другого, то в силу сюръективности отображения первого объекта на второй, этот второй совсем не обязательно будет моделью первого объекта. Следовательно, это отношение не является симметричным. Ясно также, что если этот второй объект является моделью некоторого третьего, то и первый будет являться моделью третьего. Таким образом, отношение «быть моделью» является рефлексивным и транзитивным. Такие отношения называются отношениями нестрогого порядка.

Введем понятие бинарной операции. Говорят, что на множестве А задана бинарная операция, если задано отображение f: А² → А, которое каждой паре элементов из А² ставит в соответствие единственный элемент из А. Бинарную операцию называют также двухместной. Ясно, что можно определить n-местную операцию, если задать отображение, которое набору (a₁… а) ∈ A ставит в соответствие единственный элемент a ∈ А. Нас, однако, в дальнейшем будут интересовать только бинарные операции, которые мы будет называть просто операциями. На множестве А можно задать несколько операций, множество которых в этом случае называется сигнатурой множества А. Множество А вместе с его сигнатурой называется алгеброй. Легко видеть, что задание n-местной операции совпадает с заданием некоторого n+1-арного отношения. Таким образом, всякая алгебра является моделью.

Рассмотрим теперь множество А с заданной на нем операцией, которую мы будет обозначать Т. Нас сейчас не интересует, какова эта операция – она может быть любой, удовлетворяющей приведенному выше условию. Алгебра (А, Т) называется группоидом. Если в группоиде действует закон ассоциативности, который означает, что для любых трех элементов имеет место равенство

(aTb)Tc = aT (bTc), (9)

то такой группоид называется полугруппой. Закон ассоциативности означает, что в полугруппе можно любым способом расставлять скобки при записи действия операции на некоторое множество элементов из А. Поэтому если задана полугруппа, то скобки в записи могут быть опущены. Полугруппа, в которой существует нейтральный элемент, определяемый следующим свойством:

еТa = а, ∀ a ∈ А, (10)

а также для каждого элемента а принадлежащего А существует обратный элемент a^-1 ОА, такой, что

aTa^-1 = е, (11)

называется группой. Итак, непустое множество элементов произвольной природы называется группой, если: 1) над этим множеством задана бинарная операция, 2) выполняются условия (9)-(11).

Отметим, что в определении фигурирует множество элементов произвольной природы, значит таким множеством может быть и множество самих операций. Над таким множеством можно определить новую бинарную операции, ставящую в соответствие любой паре операций некоторую третью. Обычно в качестве такой операции рассматривают последовательное выполнение двух операций из исходного множества, для этого необходимо, чтобы всякая композиция двух операций вновь давала операцию из заданного множества. Если при этом также выполняются условия (9)-(11), то заданное множество операций является группой. Еще раз отметим, что сами операции могут быть совершенно произвольной природы.

Исследуя закономерности формирования детского интеллекта, Ж. Пиаже показал, что развитие операциональных способностей детей идет в направлении формирования структур операций, удовлетворяющих условиям группы. Действительно, с началом овладения ребенком речью (после первого года жизни) он уже способен осмысленно выполнять некоторые операции с объектами окружающего мира. Через некоторое время ребенок уже способен комбинировать операции, например, он способен положить несколько формочек одну в другую, затем ребенка можно научить выполнять операции в определенном порядке, например, складыванию пирамидки. Однако эти операции еще не являются ассоциативными: ребенок может их выполнять только в одном усвоенном порядке. Несколько позже множество операций уже удовлетворяет закону ассоциативности; так как формируются обратные операции и тождественная операция, выступающая в качестве нейтрального элемента (надеть это колечко, снять то колечко, оставить это колечко на месте). Таким образом, относительно наиболее простых из окружающих предметов у ребенка довольно рано формируются структуры операций, являющиеся группами. Операции с другими более сложными объектами формируются несколько позже, многочисленные примеры того можно найти в трудах Ж. Пиаже. Здесь, однако, надо отметить, что сами объекты внешнего мира не всегда позволяют совершать с ними все те операции, которые должны входить в множество, называемое группой. Так, например, если смешать две жидкости, то их обычно уже невозможно вновь отделить одну от другой. Из этого, однако, не следует, что интеллект человека не владеет такой обратной операцией. Действительно, представьте себе, что хозяйка смешала две жидкости в неправильной пропорции. Для установления и исправления этого факта ей необходимо вновь представить жидкости несмешанными, что она с легкостью делает. Таким образом, приобретение множеством усвоенных человеком операций свойств группы (в смысле матиматико-психодинамического моделирования его поведения) может выступать в качестве критерия зрелости человеческого интеллекта, как, впрочем и личности в целом. Г. Гельмгольц писал, что прежде чем сделать какое-либо обобщение он всегда переживал стадию, когда объект его изысканий был целиком представлен в уме без опоры на записи и выкладки. Эту стадию сопровождало переживание свободы комбинаций и перекомбинаций мыслей, их соединения и разъединения, совместного рассмотрения утверждений и отрицаний. Таким образом, легко видеть, что приобретение множеством интеллектуальных операций свойств алгебраической группы означает, одновременно, и структурирование психологического времени (его настоящего), в котором и развивается дальнейшая познавательная деятельность. Мы видели, что объект, с которым совершаются операции, не всегда позволяет совершать все те операции, которые, входят в структуру групп. При этом человек, естественно, располагает знанием о том, какие операции он не может совершить, какие являются необратимыми и т. д., следовательно, некоторые элементы группы операций являются как бы помеченными. Такие структуры знания Ж. Пиаже назвал группировками, а Б. Гриз в специальной работе формализовал понятие группировки, дополнив множество условий, определяющих группу.

Пусть теперь элементами исходного множества являются взаимно однозначные (биективные) отображения некоторого множества A в себя. Такие отображения называются подстановками. Например, пусть имеется множество A = {1, 2, 3, 4}, тогда смена:

1 2 3 4

2 4 1 3

изображает подстановку элементов множества А, в которой 1 переходит в 2, 2 в 4, 3 в 1, 4 в 3. В силу биективности отображения мы легко можем построить обратное к нему, где 2 переходит в 1, 4 в 2, 1 в 3, 3 в 4. Точно так же можно определить нейтральное, или, как говорят, тождественное отображение, которое переводит каждый элемент в себя. Определим теперь операцию произведения подстановок как последовательное их выполнение. Обозначим вышеприведенную подстановку буквой «с» и выберем еще некоторую подстановку «р» элементов множества А:

1 2 3 4

3 4 1 2

Для того чтобы построить произведение двух подстановок мы должны к результату подстановки «c» применить подстановку «р», которая переводит: 1 → 3, 2 → 1, 3 → 4, 4 → 2. Мы получим новую подстановку:

1234

2413 = 1234

1234   1234

В итоге мы получили тождественную подстановку, следовательно, р = с^-1, a с = p^-1. Легко видеть, что заданная на множестве подстановок операция подчиняется закону ассоциативности, а, следовательно, множество подстановок, заданных над множеством А, является группой. Заметим также, что множество подстановок некоторого конечного множества, состоящего из К элементов, называют также симметрической группой порядка к.

Приведем пример симметрической группы подстановок как модели психических явлений эмоциональной сферы личности. В отечественной психологии распространено представление о существовании четырех базовых эмоциональных состояний: радости, гнева, страха и печали. Будем считать, что в любой момент времени человек находится в одном из указанных состояний, интенсивность переживания эмоций может быть, конечно, различной: от сильного гнева до едва осознаваемой раздражительности, от сильной радости до удовлетворенности – нас это сейчас не интересует. Важно, что с течением времени человек переходит из одного эмоционального состояния в другое. Таким образом, динамика эмоциональной жизни человека представляет собой подстановку, а множество возможных эмоциональных состояний есть симметрическая группа порядка 4. Эта группа является конечной и содержит 24 различных подстановки. Это число, однако, слишком велико для того, чтобы использовать эту группу для типологии эмоциональности личности. Действительно, в экспериментальном исследовании, проведенном с помощью специально разработанной нами методики на основе нижеописанной модели, выяснилось, что число типов (подстановок), которые с большей частотой встречаются среди людей, гораздо меньше. В дальнейшем анализе выяснилось, что чаще всего встречаются три следующих подстановки (обозначим эмоции начальными буквами):

Г П Р С Г Р П С Г С П Р

П Г С Р Р Г С П С Г Р П

Мы видим, что в каждой из этих подстановок пары эмоций образуют как бы независимые подстановки или циклы. Так, например, в первом случае гнев сменяет печаль, а печаль – гнев, точно так же, как радость – страх, а страх – радость. В таких случаях говорят, что подстановка допускает разложение на независимые циклы, цикл из двух элементов называется транспозицией. Для обозначения циклов используют запись: (ГП), (PC), а вся подстановка рассматривается как произведение циклов – (ГП)(РС). Отметим, что если подстановка не может быть разложена на независимые циклы, то она сама может рассматриваться как цикл. Этот факт используют для сокращенной записи подстановок. Так, например, уже использованная нами подстановка с может быть записана в виде цикла (1243), а подстановка «р» – как (3421). Здесь уже легко видеть, что подстановка «р» является обратной «с» и наоборот. Работа в области эмоциональной сферы позволила нам в дальнейшем распространить вышеописанный подход и на другие личностные составляющие, а именно волю и познание, а также высший личностный синтез, направляемый читательским поведением (см. выше). Кроме того такая модель позволяет изучать психическую (в данном случае эмоциональную) жизнь человека, представляя ее как циклическую смену состояний, т. е. психодинамически.

Рассмотрим теперь некоторое подмножество множества А, над которым задана операция, и которое вместе с этой операцией является группой. Подмножество В множества А вместе с той же самой операцией может вновь уже само по себе образовывать группу. Если некоторое подмножество множества элементов группы вновь образует группу относительно той же самой операции, то такое подмножество вместе с заданной операцией называется подгруппой исходной группы. Итак, для того чтобы непустое подмножество В данной группы А было подгруппой, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 1) множество В вместе с любыми двумя своими элементами содержит и результат применения к ним заданной операции; 2) множество В содержит вместе с каждым своим элементом в обратный к нему B^-1.

Возвращаясь теперь к нашему примеру, предлагаем читателю показать, что если к трем указанным подстановкам: (ГП)(РС), (ГР)(ПС), (ГС)(ПР) добавить тождественную подстановку, то мы получим подгруппу симметрической группы порядка 4. Эта подгруппа называется четверной подгруппой Клейна. Кроме того, эта подгруппа является, так называемой, нормальной подгруппой. Для того чтобы ввести понятие нормальной подгруппы, нам необходимо предварительно определить понятие смежного класса. Пусть A' есть некоторая подгруппа группы А, а – некоторый элемент из А. Тогда множество всех произведений аA' называется левым смежным классом группы А по подгруппе A'. Соответственно множество всех произведений вида – A'a называется правый снежным классом. Очевидно, что заданная в группе операция совсем не всегда является коммутативной, т. е. для любых двух элементов a и b из группы А совсем не всегда верно

ab = ba, (12)

следовательно, правый смежный класс совсем не всегда будет равен левому смежному классу по одной к той же подгруппе.

Если равенство (12) верно для любых двух элементов группы, то такая группа называется коммутативной или абелевой. Однако даже если сама группа А и не является абелевой, возможна такая ситуация, что существует подгруппа группы А – A', такая, что

aA' = A'a, (13)

верно для любого элемента a ∈ A. В этом случае подгруппу A' называют нормальной или инвариантной подгруппой группы A. Ясно, что в коммутативной группе всякая ее подгруппа, включая и ее саму, является нормальной. Два смежных класса могут быть равными и тогда, когда элементы a и b не равны. Это происходит в том случае, если элемент a^-1 лежит в подгруппе А:

bA' = aa^-1 bA' = a(a^-1 b)A' = aA', (14)

Ясно, что произведение a^-1 b на подгруппу, которая содержит этот элемент, равно самой этой подгруппе, из чего следует последнее равенство в выражении (14). Покажем далее, что два различных смежных класса не имеют ни одного общего элемента. Если бы два смежных класса содержали общий элемент, например, ac₁ = bc₂, где c₁ и c₂ элементы из A', то из этого следовало бы, что

c₁c₂^-1 = a^-1 b, (15)

а из этого в силу (14) следует, что классы aA' и bA' совпадают. Таким образом, множество смежных классов по данной подгруппе образует разбиение исходной группы на классы эквивалентности. Исходя из этого, можно вывести важное соотношение между порядком группы (напомним, что порядок группы равен числу ее элементов, если группа конечна), порядком подгруппы и числом смежных классов по данной подгруппе. Ясно, что если группа А распадается на к классов, в каждом из которых содержится ровно столько элементов, сколько в подгруппе, то можно записать равенство

Х = kх, (16)

где Х – порядок группы А, а х – порядок группы A'. Возвращаясь к нашему примеру группы подстановок эмоциональных состояний человека, можно сказать, что множество подстановок, входящее в нормальную подгруппу (четверную подгруппу Клейна), представляет собой множество типичных эмоциональных состояний человека, в то время как все остальные возможные эмоциональные состояния входят в те или иные смежные классы, определенные по данной нормальной подгруппе. Аппарат теории групп позволяет, таким образом, существенно усовершенствовать подход к определению психологических типов (по тем или иным признакам) как набора непересекающихся множеств людей.

Ранее мы показали: для того чтобы один объект можно было рассматривать в качестве модели другого, должно существовать сюръективное отображение множества элементов модели на множество элементов моделируемого объекта. В этом параграфе мы ввели понятие алгебры как модели, состоящей из абстрактных элементов (т. е. абстрактной модели). Оперирование с такими абстрактными моделями, как было показано на примере групп, является гораздо более экономичным, чем оперирование с реальными объектами, кроме того, математическая теория абстрактных моделей ограждает исследователя от ошибок. Следовательно, необходимо ввести правило, позволяющее заменять любые имеющиеся модели на абстрактные. Для этого необходимо построить отображение одной модели в другую, причем это отображение должно быть биективным или взаимно однозначным. Важно, однако, сохранить не только взаимную однозначность перехода элементов одной модели в элементы другой, но также и однозначность действия операции или, в общем случае, сохранение отношений между элементами. Следовательно, отображение одной модели в другую (абстрактную) должно удовлетворять следующим двум условиям:

1. f: A → B есть биекция;

2. ∀ а₁a₂ ∈ A f (a₁ a₂) = f (a₁) × f (a₂), (17)

Такое отображение называется изоморфизмом. Если, однако, отображение f не биективно, а сюръективно, то оно называется гомоморфизмом. В этом последнем случае абстрактная модель уже не полно отражает модель-объект. Тем не менее, чаще всего с этим приходится мириться, так как добиться изоморфизма моделей бывает очень трудно или невозможно.

Среди алгебр крайне важными являются такие структуры с двумя заданными внутренними операциями. Пусть на множестве определены операции сложения и умножения, которые ставят в соответствие любой паре элементов множества соответственно их сумму и произведение, это множество называется кольцом, если: 1) относительно операции сложения исходное множество образует абелеву группу; 2) действие операции умножения над исходным множеством удовлетворяет закону ассоциативности: а × bс = ab × c; 3) две операции связаны между собой законом дистрибутивности:

a×(b×c) = ab + a×c,

(b×c)×a = ba + ca, (18)