Текст книги "Психодинамика"

Пусть имеется множество М, состоящее из элементов произвольной природы. Пусть также над этим множеством задана операция сложения, и относительно этой операции данное множество М образует абелеву группу (группа относительно операции сложения часто также называется аддитивной группой или модулем). Если при этом имеется также некоторое поле К, элементы которого будут называться скалярами или коэффициентами, и определено умножение элементов К на элементы М, удовлетворяющее следующим требованиям:

для любых x, у ∈ М и a, b ∈ K

1) хa лежит в М;

2) (х + у)а = ха + уа;

3) х(а + в) = ха + хb;

4) х1 = х;

5) х(аb) = (ха)b;

то множество М называется линейным пространством. В линейном пространстве операция умножения являемся внешней операцией. Таким образом, каждый элемент пространства может быть представлен уже не только как комбинация каких-то его элементов, но и как результат некоторого внешнего действия на какой-то его элемент. Очевидно, при этом, что результат внешнего действия обязательно лежит в М.

Приведем некоторые важнейшие примеры задания линейных пространств.

Пусть множество векторов задано в трехмерном евклидовом пространстве. Два вектора считаются равными, если равны их длины а сами векторы направлены в одну и ту же сторону. Нулевым вектором является вектор нулевой длины. Сложение векторов производится по правилу параллелограмма, умножению на скаляр соответствует растяжение вектора. В качестве поля скаляров используется поле действительных чисел. Легко проверить, что заданное множество векторов относительно операции сложения образует модуль, а операция умножения на действительное число удовлетворяет перечисленным требованиям.

Пусть множество М состоит из всевозможных упорядоченных наборов действительных чисел по к чисел в каждом. Упорядоченность набора означает, что числа определенным образом занумерованы, при этом они, однако, не обязаны быть различными. Пусть элемент х ∈ М задан набором х = {х₁, х₂, …, х_к}, а элемент у = {у₁, у₂, …, у_к}. Элементы х и у будут равны в том и только в том случае, если х₁ = у₁, х₂= у₂, …, х_к = у_к Определим линейные операции в М следующим образом:

х + у = {х₁ + у₁, …, х_к + у_к}

ах={ах₁, …, ах_к}, (19)

где а – коэффициент из поля действительных чисел. Нулевым элементом в множестве М является набор 0 = {0, …, 0} противоположным элементом элемента х является элемент – x = {-х₁, …, -х_к} Легко видеть, что множество М образует аддитивную группу. Предоставляем читателю проверить, что умножение наборов действительных чисел на действительное число по правилу (19) удовлетворяет требованиям 1)-5). Таким образом, множество М образует линейное пространство. Такое пространство является хорошей моделью психологического теста в его статическом варианте. Пусть имеется некоторое множество заданий (вопросов или утверждений), называемых тестовыми пунктами, и множество людей, называемых испытуемыми, которые, указывая некоторое действительное число, выражают степень своего согласия с утверждением тестового пункта (либо другие люди, называемые экспертами, указывают степень выполнения задания). Обычно для ответов испытуемым предлагается заранее заготовленный набор (целых) чисел, например от единицы до пяти или десяти, иногда также для ответа предлагается отрезок прямой, на котором испытуемый точкой отделяет часть, соответствующую степени его согласия. Тем или иным способом каждому испытуемому в результате тестирования ставится в соответствие набор действительных чисел, упорядоченный в соответствии с порядком предъявления испытуемому тестовых пунктов. Далее наборы, полученные для всех испытуемых, складываю по правилу (19). Полученный в результате сложения набор умножается на коэффициент, равный единице, деленной на количество испытуемых, подвергшихся тестированию. Таким образом, полученный набор называют психологической нормой теста для данной группы испытуемых. Если противоположный норме набор сравнить с набором, полученным в результате ответов конкретного испытуемого, то полученный результат называется характеристикой данного испытуемого в данной группе по данному тесту. Если протестированная группа испытуемых достаточно велика и разнообразна (со статистической точки зрения), т. е. является репрезентативной относительно генеральной совокупности, то можно говорить просто о характеристике испытуемого по тесту.

Итак, результаты психологического тестирования представляют собой векторы (упорядоченные наборы чисел также иногда называют к – мерными векторами) некоторого линейного пространства. Это линейное пространство в свою очередь, рассматривается как пространство того психологического свойства, которое подверглось тестированию. Результаты оформляются в виде таблицы.

Такая таблица называется матрицей. Обычно используют также сокращенную запись

а = ｜｜а_у ｜｜, (20)

При сложении матриц складывается числа с равными индексами (расположенные на одних и тех же местах). При умножении каждое число матрицы умножается на скаляр с из поля действительных чисел. Пространство матриц имеет широкое применение при обработке данных социально-психологического исследования.

Пространство непрерывных функций. Для построения этого пространства на числовой оси выделяется некоторый отрезок. В множестве функций непрерывных на этом отрезке операции сложения и умножения на число задаются так, как это принято в математическом анализе (см. [23]). Это пространство используется в математической теории тестов, а также для моделирования отдельных психологических процессов и явлений [7]. Для нас будут важны следующие два свойства пространства непрерывных функций:

1. Если часть системы функций линейно зависима, то и вся система линейна зависима. Для доказательства нужно записать линейную комбинацию той части системы, которая является линейно зависимой: αа + βb=0. Далее мы хотим приписать к этой нетривиальной линейной комбинации все остальные элементы системы с коэффициентами нуль и получим вновь нетривиальную линейную комбинацию, но уже для всей системы: αа + βb + Сc+…+ Рр = 0.

2. Если вся система линейно независима, то и любая ее часть линейно независима.

В дальнейшем нас будут интересовать только те случаи, когда максимальное число линейно независимых элементов линейного пространства конечно. Такие линейные пространства называются конечномерными. Дадим следующее определение: линейно независимая система элементов, через которые линейно выражается каждый элемент линейного пространства, называется базисом пространства. Число элементов базиса называется размерностью линейного пространства. Размерность пространства М обозначается dim M. Ясно также, что в k-мерном линейном пространстве любая система из k линейно независимых элементов образует базис, а любая система из k + 1 элемента является линейно зависимой. Тогда если элемент базиса обозначить е_i, то любой элемент системы представим как линейная комбинация элементов базиса:

Х = α₁е₁ + α₂е₂ +…+ α_ке_к, (22)

Линейную комбинацию (22) называют разложением элемента X. по базису, а коэффициенты при элементах базиса называются координатами элемента х относительно базиса Е. Легко показать, что разложение элемента a относительно некоторого фиксированного базиса Е единственно. Докажем это утверждение. Пусть имеется два разложения X по базису Е:

X= α₁е₁ + α₂е₂ +…+ α_ке_к,

X = β₁е₁ + β₂е₂ +…+ β_ке_к, (23)

Вычтем из первого равенства второе:

0 = (α₁ – β₁)е₁ + (α₂ – β₂)е₂ +…+ (α_к – β_к)е_к

В силу того, что элементы базиса линейно независимы, то из равенства их линейной комбинации нулю следует равенство нулю всех коэффициентов в равенстве (23), а, следовательно, коэффициенты в разложениях (23) равны, и разложение элемента х по базису Е единственно.

Вернемся к примеру координатного пространства как модели психологического теста в его статическом понимании. Мы можем рассматривать пункты теста как элементы базиса линейного пространства. Ответы испытуемого выступают в этом случае как координаты. Очевидный смысл приобретает в этом случае и сумма координат как интегральный результат тестирования. Зададимся, однако, вопросом всегда ли число тестовых пунктов равно размерности «пространства теста». Представим себе, что на каких-то два тестовых пункта все испытуемые данной группы ответили совершенно одинаково. Составим матрицу первичных данных, где по строкам написаны ответы испытуемых на тот или иной тестовый пункт, а по столбцам – результаты применения тестовых пунктов к тому или иному испытуемому. Ясно, что в указанном случае в матрице первичных данных будут иметь место два совершенно одинаковых столбца. Очевидно, что столбцы матрицы так же, как и строки, могут быть рассмотрены как элементы некоторого (но не одного и того же) линейного пространства. Размерность этого пространства будет равна максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы. Обозначим число столбцов матрицы о, среди них имеется, как уже говорилось, два равных столбца. Ясно, что линейная комбинация этих двух столбцов с коэффициентами разных знаков будет равна нулю, и, следовательно, эти два столбца линейно зависимы. Выше мы доказали, что если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима. Следовательно, все множество столбцов матрицы является линейно зависимым и размерность соответствующего линейного пространства меньше, чем число столбцов. При построении психологических тестов такие «линейно зависимые пункты» (ясно, что для того чтобы тестовые пункты были линейно зависимы, они не обязательно должны быть равны, но могут также отличаться коэффициентом) объединяются в субтесты, которые уже являются линейно независимыми. Таким образом, размерность пространства тестовых пунктов равна числу субтестов в указанном выше смысле.

Подведем теперь итоги рассмотрения линейного пространства как модели психологического теста, а, следовательно, и модели тестируемого свойства. Пусть у вас имеется набор тестовых пунктов, направленных на выявление у испытуемого некоторого психологического свойства. Моделью интересующего нас свойства в данной группе испытуемых будет множество ответов испытуемых, которое, как мы видели, можно рассматривать как линейное пространство. Далее, если тестовые пункты подобраны таким образом, что испытуемые дают на них существенно различные ответы, то размерность линейного пространства, моделирующего интересующее нас свойство (линейное пространство данного свойства), в точности равна числу тестовых пунктов и не зависит от числа испытуемых. Из этого следует, что строение линейного пространства свойства не зависит от размеров выборки испытуемых. Этот факт лежит в основе интерпретации свойства, полученного посредством статического, (а не психодинамического) тестирования группы испытуемых, как модели психологического свойства, присущего данному конкретному испытуемому.

Попробуем теперь с несколько иной точки зрения подойти к изучению пространственных моделей психологических явлений, а именно с точки зрения функциональных отношений между элементами пространства. Говорят, что множество Х наделено структурой метрического пространства или что Х есть метрическое пространство, если определена функция, ставящая в соответствие каждой паре декартова квадрата множества Х число из поля действительных чисел d: X × X → R, удовлетворяющая условиям:

1) d(x₁, x₂) = 0 ⇔ x₁ = x₂;

2) d(x₁, x₂) = d(x₂, x₁) (симметричность);

3) d(x₁, x₃) < d(x₁, x₂) + d(x₂, x₃) (неравенство треугольника),

где х₁, x₂, x₃ – произвольные элементы множества X. (24)

Функцию d называют метрикой или расстоянием в X. Само метрическое пространство есть, таким образом, пара (X, d). Очевидно, что структура метрического пространства полностью определена тем, как задана в нем функция расстояния или метрика. Заметим, что из неравенства треугольника, если положить х₁ = х₃ следует, что d(х₁, х₂) > 0. Таким образом, функция расстояния принимает только неотрицательные значения. Приведем некоторые примеры.

Множество действительных чисел является метрическим пространством, если определить расстояние между двумя числами равным абсолютной величине их разности: d(х₁ х₂) = (х₁ – х₂). На множестве Rⁿ обычно вводят одну из следующих метрик:

d(х₁х₂) = (Σ (хⁱ – хⁱ)^p)^1/p, (25)

где р > 1. Подставляя различные значения р в (25) мы можем получать различные метрики в пространстве Rⁿ, в том числе и метрику плоскостных изображений, в случае, если р = 2. (26)

Метрика (26) называется евклидовой метрикой. Метрическое пространство R³ с евклидовой метрикой является моделью непосредственно окружающей человека физической среды.

Метрические пространства как модели социально-психологических явлений являются весьма мощным аппаратом представления в компактном и наиболее удобном для дальнейшего исследования виде больших массивов экспериментальных данных, а также позволяют учитывать сложные взаимовлияния большого числа элементов изучаемых систем. Важнейшими характеристиками таких моделей являются размерность пространства, его метрика и наличие или отсутствие структуры. Типичными примерами таких моделей в психологии являются пространства образов, пространства мнений или суждений, при этом подразделяют пространства коннотативных и денотативных суждений, факторные пространства личности. Эти последние обычно удовлетворяют требованиям линейности. В последнее время также активно исследуются пространства образов (методы с использованием «Семантического дифференциала» и другие) с привлечением методов многомерного статистического анализа.

Отметим, что в социально-психологических исследованиях расстояния между образами устанавливаются в процессе обработки данных экспериментального шкалирования объектов по каждому из признаков. При этом взаимодействие признаков рассматривается как артефакт. В предлагаемом же в этой книге походе именно это взаимодействие (собственно психодинамика) и является основным предметом исследования.

Очень часто при анализе сложных объектов действительности на первый план выдвигаются не метрические соотношения их элементов, расстояния между элементами, а отношения последовательности, соседства и т. п. Так в уже приведенном примере модели языка возможно, конечно, построение метрического пространства на основе так или иначе определенного расстояния между словами. В психосемантике такие модели имеют широкое распространение. Однако, если предметом анализа будет некоторый текст, написанный на данном языке, то более важным, чем расстояние между словами, моментом является порядок следования слов. Когда в теоретической психодинамики мы указываем на такое свойство психологического настоящего как отсутствие длительности, т. е. отказываем ему в обычной временной метрике, то это не означает, что тем самым мы отказываем ему и в топологии (соседстве событий). Напротив, именно топология настоящего отличает его от физического времени, т. к. может быть разрывной. Учитывая же, что в грамматике естественного языка правила допускают существенные вариации порядка слов, в качестве продуктивного понятия для анализа текста можно выдвинуть понятие окрестности слова в тексте, что и было в свое время сделано Ю. А. Шрейдером. Для того, чтобы точно определить понятие окрестности элемента некоторого множества, это множество необходимо наделить структурой топологического пространства или топологией.

Говорят, что множество X наделено топологией или что множество Х есть топологическое пространство, если указана система Т подмножеств Х, обладающая следующими свойствами:

1) ∅ ∈ T, X ∈ T;

2)∀ ij : τ_i τ_j ∈ T τ_i ∩ τ_j ⊂ T; σ, τ ∈ T ⇒ σ ∩ τ ∈ T; (27)

3) ∀ i ∪ τ ⊂ T.

Семейство подмножеств Т называется топологией пространства Х и, как видно из (31), содержит пустое множество и само Х, а также содержит пересечение любой пары своих подмножеств и объединение любой пары своих подмножеств. Топологическое пространство, таким образом, есть пара (X, Т), при этом подмножества системы Т называют открытыми подмножествами, а все дополнения к ним называют замкнутыми подмножествами пространства X.

Теперь мы можем дать определение окрестности элемента x ∈ X (элементы х топологического пространства обычно называют точками). Окрестностью точки х топологического пространства (X, T) называют открытое множество, содержащее эту точку.

Задание топологии посредством перечисления всех подмножеств системы Т является делом весьма сложным и практически не всегда выполнимым. Обычно ограничиваются заданием некоторого небольшого числа подмножеств Х, объединением которых можно получить любое открытое подмножество X, Если это действительно достижимо, то такое семейство открытых подмножеств называют базой топологии над Х. Число подмножеств минимальной базы называют также весом топологического пространства. Ясно, что система всех окрестностей всевозможных точек Х может служить базой. Обратно, если над Х задана топология, то для каждой точки Х определена система окрестностей.

Всякое метрическое пространство наделено также и структурой топологического пространства. Однако, пространства с различной метрикой могут, вообще говоря, обладать одной и той же топологией. Из этого позже будет сделан вывод, что разные с точки зрения метрических тестов (Кеттел, ММРI…) личности могут обладать одной и той же психодинамикой (топологией настоящего).

Кроме уже приведенного примера из математической лингвистики топологические пространства как модели психологических явлений широко используются в психосемантике и психологии личности. Обычно решаемая задача бывает одна и та же – определение минимальной базы топологии, которая затем рассматривается либо как глубинная семантическая структура, порождающая ее остальное множество значений, либо как глубинная психологическая структура, порождающая затем все многообразие личностей или все многообразие поведения конкретной личности в каких-то фиксированных условиях. Задача психодинамического подхода показать реальную психодинамику на топологическом уровне, которая обеспечивает все многообразие личностных свойств.

Изложение материала в этой главе было построено от простейших моделей (множества с отношениями), пригодных к использованию в теоретической психодинамике, ко все более сложным и дифференцированным. Аккуратное построение модели, видимо, завершает аналитическую стадию исследования объекта. Однако, учитывая сложность объекта психодинамического исследования, следует оговориться, что аналитическая стадия завершается обычно построением некоторого множества моделей одного и того же объекта, либо моделей различных объектов (частей сложного объекта). Но нам здесь могут возразить, что многие исследователи-психологи завершают первую фазу исследования, не вспоминая о математических методах построения моделей и даже о самом понятии модель. На протяжении всей этой главы мы пытались показать, что применение математических методов позволяет исследователю аккуратно формулировать точные высказывания о своем объекте, а также ясно представлять себе, что он делает, что он может еще сделать, а что – нет. Итак, аналитическая фаза исследования завершается построением некоторого множества моделей, и для того чтобы подготовить переход к синтетической фазе, необходимо ознакомиться с методами композиции моделей. Собственно с одним из этих методов композиции моделей мы уже познакомились – это декартово произведение. Определим теперь понятия прямой суммы и прямого произведения. Прямой суммой двух групп называется группа, образованная всеми упорядоченными парами, где первый член пары берется из первой группы, второй – из второй, с умножением, определяемым следующим образом:

(a₁, a₂)(b₁, b₂) = (a₁b₁, a₂b₂)

При этом порядок группы, получаемой в результате произведения, равен произведению порядков групп.

Прямое произведение метрических пространств. Пусть имеется два метрических пространства Х₁ и Х₂. Тогда на множестве упорядоченных пар, где первый член берется из Х₁, а второй – из X₂ (декартовом произведении Х₁ и X₂) можно тем или иным способом задать метрику.

Прямое произведение топологических пространств. Пусть имеется два топологических пространства X₁, T₁ и Х₂, Т₂. На декартовом произведении X₁ и Х₂ определим топологию (как систему) при помощи базиса открытых множеств, каждое из которых есть декартово произведение открытых множеств из Х₁ и Х₂.

Прямая сумма двух линейных пространств. Пусть имеется два линейных пространства L₁ и L₂. Если они заданы над одним и тем же полем, то можно построить линейное пространство пар а₁, а₂ с внутренним сложением и умножением на скаляр, определяемыми следующим образом:

(а₁а₂) + (b₁b₂) = (а₁ + b₁, а₂ + b₂),

a(а₁, а₂) = (aа₁, aа₂)