Книга: Как не ошибаться. Сила математического мышления - Джордан Элленберг

Мысли: о, это были чудесные перерывы в нещадном поглощении художественной литературы.

С технической стороны книга хороша: язык приличный, стилистика соблюдается, необходимые графики прилагаются [и даже парочка забавных комиксов в стиле: "А как же Майнкрафт? т^т"]. По части воды... Да, повторения имеют место быть, однако, чаще всего играют роль закрепляющего пласта. Ну, а может мне просто так понравилось, что я проигнорировала этот момент. Хм...

В плане внутреннего содержания — это было увлекательное чтение, напомнившее мне о том, что до сомнительного знакомства с вышматом мы с математикой вполне себе дружили. И, пожалуй, мне жаль, что я не могла прочитать эту книгу в годы обучения, ведь тогда теория вероятностей далась бы на порядок проще. Сейчас же было довольно интересно попытаться лучше разобраться в теории вероятности и областях применения математики. Да, иногда у меня возникало лёгкое недоумение, когда автор применял статистику в медчасти. Но это было скорее связано с "Да кто на такое обратит внимание?!" и "В смысле, проигнорировать вот эти факты, это как раз-таки важно!". Но с точки зрения области автора: всё рассказывается весьма доходчиво и с множественными примерами.

Единственное, наверное, мне всё-таки не хватило формул. Как человек, не занимавшийся "стандартной" математикой с учёбных дней, я уже подзабыла те или иные формулы/определения, хотя интуитивно что-то было понятно и так. Зато в вопросах теории вероятностей всё оказалось более чем привычно, ведь статистические данные или процентные соотношения [скидки-скидки х)] преследуют нас по жизни, о чём автор и талдычит на протяжении всей книги.

В книге есть вагон юмора и множественные отсылки к массовой культуре и событиям в Америке, что, имхо, играет положительную роль. Хотя автору не чужды не самые приятные шуточки, но, в целом, всё держится на приличном уровне и скрашивает моменты, когда рассказ затягивается. И уж позвольте мне злую шуточку, не ругайтесь:

Почему в Южной Дакоте самый высокий уровень заболеваемости раком мозга, а в Северной Дакоте почти нет онкологических заболеваний? Почему в Вермонте вы были бы в безопасности, а в штате Мэн оказались бы под угрозой?

Итог: если эта книга подстегнула к скачиванию задачника по математике, чтобы проверить уровень моего академически-математического отупения [спойлер: всё не так плохо, как я боялась х)], могу с уверенностью заявить, что это замечательная книга.

Однако, несмотря на мои личные восторги, могу предположить с высокой долей вероятности, что людям, профессионально занимающимся математикой [смежными областями] эта книга не откроет ничего нового или интересного, за исключением, разве что нескольких дат/имён [и то не факт].

Однако чтобы извлечь максимум пользы от этой книги, как сам автор говорит в начале книги, нужно тренироваться решать математические задачи. Концепты предлагаемые в книге замечательные, но без тренировки – они будут лишь интересными поводами для бесед и размышлений.

Красной нитью проходит мысль, что математика – это интуиция «на стероидах», и с этим трудно не согласиться.

Каждая глава начинается с описания вполне приземлённой проблемы — Стоит ли играть в лотерею? За сколько приезжать в аэропорт? Стоит ли доверять брокеру, верно предсказавшему изменения курсов акций 10 раз подряд? Затем идёт экскурс в историю — когда человечество впервые столкнулось с этой проблемой и что придумало, чтобы её решить. И в конце снова возвращаемся к поставленной в начале проблеме, с уже красиво упакованным решением. Зачитываешься, как хорошим детективом.

Но есть ещё и сквозная структура. Начиная с простых инструментов, автор показывает эволюцию математики от линейного, определённого мира до мира вероятностей и неопределённостей. Отсылки к прошлым главам показывают как именно и на основе чего развивался математический инструментарий.

И всё это в конце завершается эпилогом, отвечающим на главный вопрос книги — Как не ошибаться? Здесь автор берёт за основу речь Рузвельта, превозносящую человека действия, воина и противопоставляющую ему «бесполезного кабинетного философа». И вступается за последних.

И тут снова прослеживается элегантная петля к прологу: «…страны побеждают в войнах не потому, что они храбрее противника или более независимы или им чуть больше благоволит Бог. Как правило, победителем становится тот, у кого сбивают на 5% меньше самолетов, или кто использует на 5% меньше топлива, или кто обеспечивает пехоте на 5% более качественное питание при 95% затрат. О таких вещах не принято говорить в военных фильмах, но именно к ним сводятся сами войны. И на каждом этапе этого пути присутствует математика».

Найти: Какова ценность данной книги для читателя, при условии, что рассматривается частный случай, когда ценность эквивалентна оценке?

Решение. Очевидно, что ценность для читателя данной книги зависит как минимум от двух факторов – от уровня математической подготовки и от готовности приложить усилия для понимания текста. Очевидно, что чем выше математический уровень, тем книгу легче читать и отсюда следует, что ценность, обозначим ее как Z, пропорциональна степени владения математической теорией (X).

В свою очередь легко представить человека, который ортогонален с математикой, но хочет разобраться и готов потратить на это время и силы. Поскольку время и силы сами имеют ценность, то получается, что книгу, которая заставила потрудиться над ней, мы оцениваем выше, чем ту, что далась нам легко (с этим отчасти связан феномен высокой оценки непонятных, мудреных и постмодернистских книг). Таким образом, ценность книги будет возрастать для читателя пропорционально количеству затраченных усилий на ее понимание. Иначе говоря, мы получаем функцию - Z = f (x,y) с двумя переменными, которую легко отобразить в трехмерном пространстве в виде некой поверхности – назовем ее, к примеру, поверхностью истинной ценности. Но не все так просто!

Дело в том, что человек с высоким уровнем математической подготовки априори не сможет приложить много усилий для чтения этой книги, так как для него она тривиальна! То есть Y сам зависит от X, но не определяется им в полной мере, иначе ценность книги оказалась бы для нас Z = f (x, f(x)) или f(x), то есть зависящей исключительно от уровня математической подготовки. Интуитивно мы понимаем, что это не так. (Если вы дошли до этого момента, то с вероятностью 50% вы сможете прочитать более 1/5 данной книги)

Итак, от чего же зависит Y? То есть с чем связано - готовы ли мы приложить усилия для чтения сложного текста или нет? Может быть с тем, что в книге называется ожидаемой ценностью (Q), когда мы заранее ранжируем для себя предстоящую пользу от чтения? И если ожидаемая ценность для меня высока, то я приложу больше усилий для понимания книги, чем в том случае, когда она низка. А если ожидаемая ценность незначительна, то, столкнувшись с трудным текстом, я просто отброшу его в сторону!

(А может нам просто плюнуть на ценность и читать то, что нравится, а не то, что модно? Читать не в «золотых наручниках», когда жалко отбросить дерьмовую книгу из-за того, что половина ее уже прочитана, а все-таки бросать, бросать и еще раз бросать! Не бояться собственного непонимания, не бояться нетолерантного признания, что автор – форменный шизофреник, упаковавший свой модный бред в постмодернистскую оболочку. Его забавно читать, как забавно смотреть на свирепого хищника за решеткой зоопарка, но глупо впускать его в свою квартиру или в собственную душу). … И тут мы должны вернуться к отброшенной ранее переменной Y. Ведь легко спрогнозировать ситуацию, когда ожидаемая ценность высока, но у читателя не хватает воли или времени, чтобы заставить себя вдумчиво прочитать текст. Кроме того! Все три переменные – x,y,q явно коррелируют друг с другом, и эта корреляция носит характер каузальной связи, ведь …

К сожалению, ценность данной рецензии исчерпалась для меня на слове ведь, и оставшейся мотивации хватило только на то, чтобы признаться в том, что книга не произвела на меня магического впечатления, как ей бы того хотелось. В книге довольно много интересного, и она обращает внимание на те характерные манипуляции в опросах и исследованиях, которыми пестрят сейчас материалы в СМИ. Но все же я сомневаюсь, что книга может принести что-то еще, кроме кратковременного упоения, которое может быть выражено восклицанием: «ну теперь-то я знаю, как нас обдуривают разные прохиндеи».

Ответ: В общем, если вы без труда дочитали до этого места, то с вероятностью 50% вы созрели для благожелательного отношения к данной книге. Но с вероятностью не меньше 50% вы все-таки не будете ее читать!

[Да я понимаю, что шутка затянулась и она несмешная – но не выбрасывать же все в корзину )) ] Вот пара настоящих шуток.

"Встречаются как-то физик и математик. Физик и спрашивает: - Слушай, почему у поезда колеса круглые, а когда он едет, они стучат. - Это элементарно. Формула круга – пи эр квадрат, так вот этот квадрат и стучит".

А вот еще одна - она демонстрирует весьма интересное явление в человеческой жизни, переложенное на язык евклидовой геометрии.

Если вам действительно необходимо точное решение, не беспокойтесь – вам поможет формула корней квадратного уравнения. Возможно, когда-то в прошлом вы уже проходили эту формулу, но вряд ли вы сейчас ее вспомните. Правда, может быть, у вас феноменальная память? Или вам только двенадцать лет?

Звучит немного ёрнически, но наша глубина знаний математики вполне заслуживает иронии.

Джордан Элленберг рассматривает много статистических понятий, которые часто ведут к ошибкам в суждениях. Самые известные из них: -- систематическая ошибка выжившего; -- регрессия к среднему значению; -- ошибка Берксона. Он также рассматривает фундаментальные для мировоззрения темы, такие как смысл самого понятия статистической значимости. И даже доходит до обсуждения оснований математики -- да Гильберта, Рассела, Гёделя -- а это вообще одна из интереснейших тем на свете, для меня, по крайней мере. Впрочем, Морис Клайн в книге Математика: Утрата определённости описал основания математики и идейные разногласия среди математиков намного лучше.

С чисто практической точки зрения из книги вы узнаете, например, вот о чём. Как лучше укреплять бронёй самолёты. Известная история, но повторение не всегда раздражает. Это как раз тот случай. Почему иногда бывает не вредно посидеть в концлагере. По крайней мере, южноафриканскому математику Керричу это оказалось полезно. Конрад Лоренц тоже с пользой для себя и для науки посидел в аналогичном "учреждении" по другую сторону линии фронта. Как легендарный балтиморский брокер может заставить вас добровольно отдать ему все свои деньги. Об этом я вколотил историю.

Много места занимает обсуждение выборной системы США. Это любимая тема американцев. Элленберг приходит к выводу, что, поскольку гарантированно мудрый выбор невозможен, пусть он будет хотя бы справедливым. Попутно узнаете кое-что о дрессировке слизевиков. Слизевики, если кто не знает, это животные, которые в хороших условиях живут как одноклеточные, а когда условия не очень, они объединяются в нечто подобное червю и ползут куда-то для достижения неких общих целей. При этом цели эти определяются в некотором смысле демократической процедурой, потому что начальников среди слизевиков нет. Очень интересные животные, надо сказать. Не знаю, насколько это правда, но говорят, в Мексике один из видов слизевиков ловят, жарят и едят, называя блюдо 'caca de luna'. Это в переводе значит "лунная какашка".

Когда я учился математике, все вокруг говорили о том, как группа студентов MIT смогла систематически обыгрывать лотерею. При этом никто не знал подробностей. И вот, свершилось! Прошло всего 40 лет, и Джордан Элленберг мне это объяснил! Сразу скажу, что дело выгорит не в каждой лотерее, большинство из них для этого не годится. Подойдут только те, в которых происходит перераспределение джекпота. Если найдёте такую, сообщите немедленно. Я готов поучаствовать в деле всеми своими небольшими деньгами. И это не то чтобы жульничество, всё в принципе вполне законно. К тому же, без сомнения, предстоит изрядно потрудиться: надо заполнить десятки тысяч карточек по определённой системе, выбрать после тиража выигравшие билеты, получить выигрыши, etc. Это вам не в офисе за компьютером вкалывать и не отзывы на Лайвлибе кропать. Тут думать надо. Целых семь лет главный организатор дела занимался только этим. И насколько же он обогатился? На память о своём неординарном достижении у него остался всего лишь подержанный автомобиль Nissan Altima... Не знаю, что это за машина, но не Lamborghini Diablo, уж это точно. И, как обычно, какой-то борец за справедливость из лучших побуждений прекратил процесс. К чему это привело? Вы угадали: к скорому банкротству лотереи.

Речь идёт в книге и о фундаментальных математических проблемах. Так, превращение гипотезы об ограниченных промежутках в теорему, что удалось сделать Чжану в 2013 году, открывает, я думаю, путь к доказательству гипотезы Гольдбаха. Приведёт этот путь к такой заманчивой цели или нет, это, конечно, вопрос, но до этого момента даже и пути ведь не было.

Отдельно надо упомянуть иглу Бюффона -- это одно из самых красивых рассуждений всех времён и народов! Ценителям красоты рекомендую почитать соответствующую главу книги. И не забудьте потом сравнить с соответствующей статьёй Википедии. Там вместо этого приведено самое уродское рассуждение всех времён и народов.

Некоторые места написаны длинновато и скучновато -- не без этого. Есть у меня и некоторые претензии к автору, переводчику и научному редактору. Но не хочу обо всём этом говорить. Недостатки книги намного мельче достоинств. Приведу лучше напоследок пару свидетельств высокого качества текста. 1. В книге упоминается целый ряд других книг, которые хотелось бы прочитать. 2. Эпилог грянул неожиданно. Я готов был читать и дальше, а история закончилась. Думаю, это серьёзные аргументы "за".

Тем же из лайвлибовцев, кто не побоится двух формул математической логики (и кто дочитал до этого места), рекомендую также статью Владимира Успенского Лермонтов, Колмогоров, женская логика и политкорректность. Это вовсе не о математике, а о делах давно минувших дней.

Еще хочу отметить один важный (по крайней мере, для меня) нюанс. Очень часто книги такого рода, как "математика для всех", "физика для чайников", "квантовая механика для офисного планктона" и т.п. грешат тем, что скатываются до уровня массового читателя и пытаются уж совсем убого объяснять какие-то вещи на пальцах, не прибегая к терминологии и формулам. Ведь говорят же, что каждая формула сокращает количество читателей книги вдвое. Элленберг же не стал идти на поводу у самых закоренелых гуманитариев, несмотря на то что свою книгу он писал именно "для всех", желая показать людям, как прекрасна математика и как всё же она может пригодиться в жизни, и что часто мы прибегаем к ней, даже не подозревая об этом. Поэтому в книге присутствуют и формулы, и графики, и вы будете читать (если всё же возьмётесь за чтение) о логарифмах, теореме о распределении простых чисел, законе регрессии, расходящихся рядах, проективной плоскости, теореме Гёделя о неполноте, нулевой гипотезе и о том, что корреляция не транзитивна. Но не стоит пугаться — автор действительно объясняет всё очень доходчиво, с примерами и, повторюсь, с отличным юмором. Чего только стоят одни названия глав! "Есть ли у дохлой рыбы эмоциональная реакция", "Обезумевший барашек упёрся в парадокс" или "Ошибка Бергсона, или почему красивые мужчины такие кретины".

В данной книге есть место даже для размышлений о Боге (или боге). Как насчет вычисления вероятности существования бога? Не буду спойлерить, лишь скажу, что мне очень понравились рассуждения автора на эту тему, заканчивающиеся словами:

Как бы я ни любил числа, я считаю, что люди должны придерживаться какого-то из принципов: "Я не верю в Бога", "Я верю в Бога" или просто "Я не уверен". Как бы я ни любил байесовский вывод, я считаю, что людям лучше обретать веру (или отбрасывать её), не прибегая к числам. В этом деле математика хранит молчание.

Несмотря на специфику данной книги, автор не уходит "в математические дебри"; все его размышления имеют непосредственное отношение к нашей обыденной жизни. Также здесь можно найти много интересных, познавательных фактов. Гаруспиция, Subaru, балтиморский фондовый брокер, ожирение, разговоры Пифагора с домашним скотом, ортогональность, пересекающиеся железнодорожные рельсы, общественное мнение и еще много чего другого автор приберёг для своих читателей. Раскройте книгу и наслаждайтесь!

Когда вам это пригодится? Вы уже используете математику с самого момента рождения и, по всей вероятности, никогда не прекратите этого делать. Используйте её во благо.