Текст книги "Магия физики. Как управлять тайными силами материи, создавать вещества из квантового мира и вызывать кристаллы из хаоса"

Кристаллическая решетка – источник способностей кристалла. Чтобы понять, как появляются эти способности, нужно понять самое заметное свойство кристаллов – симметрию.

Грозная симметрия[33]33
  Отсылка к «Тигру» У. Блейка (What immortal hand or eye / Could frame thy fearful symmetry). – Примеч. перев.


[Закрыть]

В обиходной речи, когда вы называете нечто симметричным, вы, вероятно, имеете в виду, что этот объект обладает зеркальной симметрией: его отражение в зеркале выглядит так же, как он сам. Что я вижу, полную луну или ее отражение в неподвижном озере? Тот же принцип действует и в более общем случае; можно сказать, что…

…объект обладает симметрией, если преобразование не изменяет его вида.

Если объект обладает зеркальной симметрией, он выглядит таким же, когда отражается в зеркале. Многие вещи выглядят в зеркале почти такими же, что, несомненно, способствует потусторонней атмосфере, окружающей зеркала и делающей их непременным атрибутом волшебных сказок и страшных историй. Я помню, как в семилетнем возрасте меня (умеренно) ужаснула книга «Давай станем невидимыми!» (Let’s Get Invisible!) из серии «Ужастики» (Goosebumps), в которой мальчика постепенно затягивает в зеркало его злой зеркальный двойник. С тех пор зеркала всегда казались мне интересными. Например, задумывались ли вы когда-нибудь, какого цвета зеркало? Над другой зеркальной головоломкой, которую популяризовал Ричард Фейнман, я бился несколько недель, когда был студентом: почему в зеркале меняются местами право и лево, но не меняются верх и низ? Вот вам подсказка: чтобы объект обладал зеркальной симметрией, через него должна проходить такая прямая, что изображение в помещенном на нее зеркале точно воспроизводит закрытую зеркалом часть. Мне эти недели непонимания принесли много пользы, но если вы хотите узнать мой ответ на этот вопрос, он записан здесь так, чтобы его смог прочитать ваш зеркальный двойник.

Причина, по которой вам кажется, что у вашего зеркального отражения меняются местами левая и правая стороны, состоит в том, что вы обладаете приблизительной зеркальной горизонтальной (слева направо) симметрией (ваша левая половина похожа на зеркальное отражение правой), но не обладаете такой вертикальной (сверху вниз) симметрией (голова не похожа на зеркальное отражение ног). Чтобы понять это, представьте себе существо, состоящее из четырех квадратов – трех синих и одного красного, – которые образуют квадрат большего размера. Это существо смотрится в зеркало. Если ему кажется, что изображение в зеркале – это оно само, обошедшее вокруг зеркала и оказавшееся за ним, значит, оно думает, что зеркало переворачивает изображение, меняя местами правое и левое. Но с тем же основанием оно может предположить, что изображение попало в зеркальный мир, взобравшись на зеркало и спрыгнув головой вниз; в таком случае оно думает, что зеркало перевернуло его вверх ногами[34]34
  Следует отметить, что, если красный квадрат расположен, например, в одном из верхних углов, он останется вверху и в зеркале. – Примеч. перев.


[Закрыть]. Мы не думаем о втором сценарии, потому что, стоя на голове, выглядели бы совершенно иначе. На самом же деле не происходит вообще никаких переворачиваний: ваша левая сторона остается левой и в зеркале. Вы просто воспринимаете зеркальное изображение как перевернутое.

Зеркальные симметрии накладывают на способности кристаллов важные ограничения. Например, за исключением горстки процессов, которые происходят с некоторыми элементарными частицами, наша Вселенная, по-видимому, обладает хиральной[35]35
  Хиральность (от др. – греч. χειρ – рука) – различие правого и левого. – Примеч. перев.


[Закрыть] симметрией: насколько нам известно, ей не свойственна ни праворукость, ни леворукость[36]36
  Известно, что хиральная симметрия нарушается в слабом взаимодействии. В некоторых отношениях частицы, принимающие участие в этом взаимодействии (например, электроны), отличаются от своих зеркальных отражений. Но при одновременном зеркальном отражении, изменении знака заряда и обращении времени они выглядят одинаково. Тот факт, что такая, более сильная симметрия сохраняется для всех законов физики, известен под названием CPT-теоремы. – Примеч. автора.


[Закрыть]. Как однажды сказал мне мой друг, профессор философии Джеймс Лейдимен, было бы очень странно собрать зеркально отраженный автомобильный двигатель и обнаружить, что он работает хуже исходного. Резьба на его болтах была бы закручена в другую сторону (их нужно было бы отвинчивать по часовой стрелке, а не против нее), но такой же была бы и резьба на гайках. Все, что выглядит в зеркале иначе, было бы перевернуто, но в целом можно предположить, что такой двигатель работал бы точно так же. Однако если отправиться в кристаллический мир кварца, там дело обстоит по-другому. Кристаллы кварца бывают правой или левой формы. Это придает им способность, которую называют «естественной оптической активностью»: когда сквозь кварц проходит поляризованный свет, плоскость его поляризации поворачивается. Чтобы увидеть этот эффект, можно использовать поляризационный фильтр – устройство, пропускающее только свет с определенной поляризацией. Если вернуться к аналогии с раскачиваемой веревкой, такой фильтр можно представить себе в виде участка ограды: колеблющаяся веревка может пройти между прутьями ограды, только если она колеблется параллельно им. Предположим, вы пропустили свет, входящий в кристалл, через фильтр и знаете, что он полностью поляризован в вертикальном направлении. Тогда вы обнаружите, что второй поляризационный фильтр, через который проходит свет, выходящий из кристалла, придется повернуть на некоторый угол – иначе свет сквозь него не пройдет. Чем большее расстояние преодолевает свет внутри кварца, тем сильнее нужно будет повернуть второй фильтр.

Чтобы кристалл был оптически активным, он должен выглядеть иначе, чем его зеркальное отражение, на атомном масштабе. Атомы кварца образуют либо левосторонние, либо правосторонние структуры, которые поворачивают поляризацию в соответствующие стороны. Естественную оптическую активность открыл в 1811 году Франсуа Араго (физик и франкмасон, поддерживавший тайные революционные общества – он упоминается в «Коде да Винчи»). Теперь на ней основан принцип работы жидкокристаллических кристаллов, а также промышленный способ определения содержания сахара в сиропах: молекулы глюкозы и фруктозы являются зеркальным отражением друг друга и поворачивают поляризацию света в противоположных направлениях.

Вы можете спросить, почему у кальцита бывают левая и правая формы. Если отвечать коротко, раз у кристаллов могут быть такие варианты строения, значит, они и возникают. Если посмотреть на это с другой стороны, было бы еще более странно, если бы нечто, не противоречащее законам физики, никогда не встречалось. Если вернуться к представлению кристаллической решетки в виде сложенных ящиков, вполне возможно идеально сложить ящики, выглядящие иначе, чем их зеркальные отражения. Все эти ящики должны быть одного и того же рода (скажем, все левосторонние), в результате чего и возникающая из них структура будет обладать той же хиральностью, что и ее микроскопические составляющие.

Не все способности кристаллов имеют отношение к свету. Кристаллы кварца также обладают пьезоэлектрическим эффектом: при их сжатии возникает электрический потенциал – напряжение. Если представить себе, что электрический ток – это течение реки, то напряжение подобно перепаду высот, который заставляет воду течь. Пьезоэлектричество используется для получения искр в некоторых кухонных плитах и зажигалках, но у него есть и множество других применений: на мировом рынке пьезоэлектрических устройств ежегодно обращаются десятки миллиардов долларов. В одном из еще разрабатывающихся подобных приложений предлагается устанавливать пьезоэлектрические устройства под полом общественных мест – например железнодорожных станций: это позволит преобразовывать часть энергии, которая расходуется при движении людских потоков, в электричество.

Пьезоэлектрическими свойствами обладают только кристаллы, у которых нет «инверсионной симметрии»[37]37
  В русской терминологии такую симметрию чаще называют центральной. – Примеч. перев.


[Закрыть]. Инверсионно-симметричный кристалл сохраняет неизменный вид, когда все его атомы переносят через некоторую точку и на противоположную сторону от нее, подобно тому как выворачивают наизнанку перчатку (отчего левая перчатка становится правой). Пьезоэлектрический эффект возникает оттого, что у молекул кристалла есть положительно и отрицательно заряженные концы. Сжатие кристалла приводит к изменению их ориентаций и распределения, что вызывает дисбаланс электрического заряда. Инверсионная симметрия не допускает этого, потому что на каждую молекулу, поворачивающуюся в одну сторону, приходится другая, совершающая в точности противоположный переворот, что сводит эффект к нулю. Это дает нам ощутимую связь между микроскопическим и макроскопическим масштабами: если мы сжимаем кристалл и видим вылетающую из него искру, мы немедленно понимаем, что на атомном масштабе этот кристалл не обладает инверсионной симметрией.

Тот факт, что при взгляде на любой ящик кристаллической решетки мы видим в точности одну и ту же структуру, определяет еще один вид симметрии – трансляционную симметрию[38]38
  То же самое, что симметрия переноса. – Примеч. перев.


[Закрыть]. В математике и физике слово «трансляция» означает перенос объекта без его вращения или каких-либо других преобразований. Таким образом, нечто обладает трансляционной симметрией, если после переноса результат выглядит так же, как до него. Полная классификация симметрии кристаллов учитывает их поведение при отражении, вращении, инверсии и трансляции. Все возможные симметрии кристаллов были впервые подсчитаны в 1892 году, и оказалось, что существует в точности 230 возможных вариантов. Эти варианты называются пространственными группами. Число 230 кажется на удивление несимметричным; пространственные группы образуют исчерпывающий перечень всех возможных симметрий всех возможных периодических структур, какие только могут существовать в нашем трехмерном мире. Казалось бы, их количество должно выражаться каким-нибудь более приятным числом – например тремя, – но это не так.

Хотя способности кристаллов происходят от микромасштабных симметрий, эти симметрии часто проявляются и на макроскопическом масштабе. Хорошо знакомый (или незнакомый – смотря где вы живете) пример дают снежинки. Каждая снежинка – это индивидуальный кристалл льда. Поскольку у снежинок по шесть лучей, можно с первого же взгляда понять, что микромасштабная структура льда обладает шестиугольной симметрией вращения. Здорово, правда? Однако привычность воды и в этом случае скрывает от нас ее хитрости. Например, меня долгое время ставил в тупик следующий вопрос: почему все шесть лучей снежинки выглядят одинаково? Оказывается, тут идет речь о чрезвычайно искусном обмане.

Письма с небес

Магия льда не нуждается в представлении. Мультфильм «Холодное сердце» был настолько популярным, что привел к 37-процентному увеличению потока американских туристов в Норвегию – хотя его действие происходит вовсе не там. В путешествии внутрь мира ледяного кристалла обнаруживается одно из моих любимых проявлений кристаллической магии.

Два нерушимых закона мироздания гласят, что скорость света в вакууме постоянна и ничто не может двигаться быстрее ее. Но, если вы окажетесь внутри кристалла льда, вы обнаружите, что скорость света в нем составляет всего лишь около трех четвертых обычной. Она по-прежнему постоянна, но имеет другое постоянное значение. А знаете, что по-настоящему холодит кровь (оцените игру слов)? То, что в этом ледяном мире другие частицы могут двигаться быстрее света! Никакой закон не запрещает превышать скорость света во льду – только в вакууме. Элементарные частицы, которые называются мюонами, постоянно прилетают в виде космических лучей (каждую секунду сквозь вас проходит около 30 таких частиц, не причиняя вам никакого вреда) и то и дело пролетают сквозь лед быстрее света. Когда при взмахе кнутом его кончик переходит звуковой барьер, раздается резкий щелчок; точно так же мюоны, пролетающие сквозь лед, создают ударную волну синего света, который называют черенковским излучением. Это свойство использует и нейтринная обсерватория IceCube[39]39
  От англ. ice cube – «кубик льда». – Примеч. перев.


[Закрыть], находящаяся глубоко подо льдами Антарктиды. В этом эксперименте ищут нейтрино – призрачные элементарные частицы, известные тем, как трудно их обнаружить. Экспериментальная установка регистрирует вспышки черенковского излучения, возникающие при рождении мюонов в результате взаимодействия нейтрино с молекулами воды, из которых состоит лед. Проект IceCube играет ключевую роль в поисках темной материи, потому что предполагается, что нейтрино являются измеримым продуктом распада некоторых частиц, которые могут составлять темную материю.

Я заинтересовался симметрией снежинок, когда увидел, как они растут, в документальном сериале «Замерзшая планета» (Frozen Planet) производства Би-би-си. Откуда один луч узнает, что происходит с остальными? Я попытался поспрашивать об этом на физическом факультете, но, к моему удивлению, ответа на этот вопрос, по-видимому, никто не знал. Тогда я организовал проект, в котором студент магистратуры должен был написать программу, моделирующую рост снежинки. В начале всякого исследовательского проекта нужно выяснить, что уже было сделано. Мы узнали, что специалистом мирового уровня по снежинкам считается профессор Кеннет Либбрехт, бывший глава факультета астрофизики Калифорнийского технологического института. В титрах «Холодного сердца» он назван «консультантом по снежинкам», а кроме того, он участвовал в создании той серии «Замерзшей планеты», которая и вдохновила меня на эту работу. У самого Либбрехта интерес к снежинкам возник, когда он приезжал в свой родной промерзший город в штате Северная Дакота. Стремясь как можно глубже понять источники их красоты, он установил у себя в гараже камеру, в которой можно было растить и фотографировать снежинки.

Мы со студентом связались с Либбрехтом. Он не только помог нам разработать компьютерную модель, но и дал простой ответ на вопрос о том, почему все шесть лучей снежинки выглядят одинаково. Они растут в облаках, начиная с мельчайших сгустков порядка половины миллиметра в поперечнике. В каждый момент на рост кристалла влияют две вещи: температура и «перенасыщение» в ближайшей окрестности снежинки. Когда воздух перенасыщен водой, в нем содержится больше водяного пара, чем могло бы содержаться в присутствии твердой поверхности. Например, если бы рядом оказалась трава, вода осаждалась бы на ней в виде росы. В облаке единственные твердые объекты – это сами снежинки, и поэтому перенасыщение совершенно необходимо для роста снежинок.

Летая по облаку, снежинка попадает в разные условия, и ее рост то и дело изменяется. Поскольку никакие две снежинки не следуют в точности по одному и тому же маршруту, не может получиться двух одинаковых снежинок. Но все шесть лучей каждой снежинки в каждый момент оказываются приблизительно в одних и тех же условиях и потому выглядят одинаково. Однако Либбрехт рассказал нам, что этим дело не ограничивается.

Важные для роста снежинок факторы впервые выявил профессор Укисиро Накайя (1900–1962), создатель первых искусственных снежинок. Когда Накайя начинал работать профессором физики в университете Хоккайдо, у него было мало оборудования, но сколько угодно снега. Им-то он и занялся и создал первый в мире снежный кристалл, выращенный в лаборатории (на кончике кроличьей шерстинки). Тщательно контролируя условия роста, Накайя составил так называемую диаграмму Накайи, которая показывает, какого типа снежинки вырастают при тех или иных температурах и уровнях перенасыщения.

Хотя общей теории, объясняющей все особенности этой диаграммы, у нас пока нет, некоторые тенденции понятны. При низком перенасыщении воды мало, и снежинке приходится дожидаться появления очередной молекулы. Это приводит к образованию плоских поверхностей, потому что молекулы предпочитают иметь как можно больше соседей, а это достигается посреди граней, а не на ребрах или вершинах. При высоком перенасыщении вся вода, окружающая кристалл, идет на рост кристалла, но если какой-нибудь выступ на поверхности сможет пройти через эту обедненную область, он попадает туда, где воды имеется в достатке, и начинает расти быстрее. По мере разветвления мелких выступов на всех масштабах это приводит к образованию кустистых, папоротникообразных наростов.

Диаграмма роста снежинок Накайи

Накайя называл снежинки «письмами с небес»: в них содержится информация о всей последовательности условий, которые встречались на пути этих снежинок[40]40
  Дочь Накайи, художница Фудзика Накайя, продолжает дело отца, создавая скульптуры из нежидкой воды. Однако ее скульптуры сделаны не изо льда, а из тумана. – Примеч. автора.


[Закрыть]. Кроме того, Либбрехт рассказал нам о более фундаментальной причине, по которой снежинки симметричны: они вовсе не симметричны! Это классический пример отвлечения внимания. На каждую снежинку, изображение которой вы видите, приходится от 1000 до 10 000 снежинок менее симметричных. Миф о совершенной симметрии снежинок был подкреплен вышедшей в 1864 году книгой Фрэнсис Чикеринг «Облачные кристаллы – Альбом снежинок» (Cloud Crystals – A Snow-Flake Album). Чикеринг создавала иллюстрации для своей книги, быстро вырезая из бумаги снежинки, которые она видела на своем подоконнике. Для этого она применяла изобретенную ею же особую технику – заранее складывала бумагу вшестеро. Это позволяет вырезать быстрее и обеспечивает совершенную симметрию. Мне в конце концов удалось найти немного снега, который я мог исследовать, и найти по-настоящему симметричные образцы действительно оказалось трудно. Но на мой взгляд, несовершенство снежинок только добавляет им красоты.

То, как Чикеринг использовала приблизительную симметрию снежинок, выводит на первый план большую практическую пользу симметрии в более широком смысле: она позволяет экономить время, опираясь на выявленные закономерности. Предположив, что снежинки обладают шестиугольной симметрией, она могла вырезать форму лишь одного луча, а не всех шести. Эта фундаментальная идея играет важную роль в современном мире. Взять хотя бы сжатие данных, используемое при кодировании видеозаписей: файл сообщает компьютеру, какого цвета в каждый момент должен быть каждый пиксель. Но если бы видеофайл содержал данные по каждому пикселю для каждого кадра, он был бы таким большим, что его невозможно было бы обрабатывать. В каждом кадре соседние пиксели часто бывают одинакового цвета, и это создает своего рода симметрию, которую можно использовать: при переходе от одного пикселя к соседнему цвет не меняется. Точно так же пиксели по большей части сохраняют цвет при переходе от кадра к кадру. Это тоже своего рода симметрия: мы переходим к следующему кадру, а цвет пикселя остается тем же. Поэтому один из способов сжатия видеофайлов состоит в том, что записывают только изменения, а во всех остальных случаях полагаются на симметрию. Это похоже на то, как в текстах песен пишут слово «припев»: одно слово заменяет сразу несколько.

Снежинки занимают важное место в истории кристаллографии и математики. Первое задокументированное объяснение того, как макроскопическую симметрию кристаллов можно объяснить микроскопическим расположением атомов, появилось в 1611 году, в работе Иоганна Кеплера под названием «Новогодний подарок, или О шестиугольном снеге» (Strena seu de Nive Sexangula). Кеплер предположил, что шестиугольная форма возникает в результате наиболее плотной из возможных упаковок шаров на микромасштабе и что такая упаковка должна быть похожа на слой пчелиных сот. Интересно отметить, что эта гипотеза была доказана лишь в 1998 году. На размышления на эту тему Кеплера навела переписка с английским математиком Томасом Хэрриотом, которому задал эту задачу энергичный флибустьер сэр Уолтер Рэли: ему нужно было знать, как лучше всего складывать пушечные ядра на корабле.

Рисунок Кеплера, изображающий самую плотную упаковку шаров

Хотя рассуждения Кеплера о льде были не вполне правильными (у молекул воды не сферическая форма), его предположение о том, что симметрия кристаллов определяется микроскопическим расположением их атомов, далеко обогнало свое время. Дополнительное подтверждение его справедливости было получено, когда заметили, что углы между гранями всех известных кристаллов соответствуют углам между поверхностями таких ящиков, которые можно составлять в штабели. Но, хотя рассуждения Кеплера казались интуитивно понятными, казалось, что проверить их невозможно. Можно ли даже надеяться рассмотреть расположение атомов? Только в XX веке был найден способ, позволяющий это сделать: способ перемещения между мирами, от большого к малому и обратно.

Зазеркалье

Когда рентгеновские лучи проходят сквозь ваше тело и попадают на фотопластинку, на ней получается изображение ваших костей, потому что кости не пропускают лучи. А что получится, если пропускать рентгеновские лучи сквозь кристаллы?

Получится загадочный процесс, который называют рентгеновской дифракцией. Дифракция – это эффект, создающий прекрасные радужные узоры на мыльных пузырях, кристаллах висмута и крыльях некоторых бабочек и жуков. Когда белый свет (смесь всех цветов видимого света) падает на мыльный пузырь, часть его отражается от верхней поверхности пленки, а часть – от нижней, расположенной чуть ниже. Сочетание световых лучей, отраженных от этих двух поверхностей, усиливает одни цвета и ослабляет другие. Этот эффект особенно силен, когда длина волны – расстояние между двумя соседними пиками световой волны – приблизительно равна толщине пленки: поскольку разные длины волн соответствуют разным цветам, малейшие изменения толщины приводят к разной дифракции разных цветов, что и создает радугу.

Интересно отметить, что дифракцию цвета можно контролировать и обнаруживать без какого бы то ни было оборудования. Просто прижмите большой палец к указательному в нескольких сантиметрах от глаз, установив за рукой источник яркого белого света. Раздвиньте пальцы на минимально возможное расстояние, и между ними появится темная перемычка. Раздвиньте их еще чуть-чуть, и вы увидите, как соединяющая пальцы перемычка разделится на десять-двадцать полосок, между которыми будет виден свет: как деревянные планки на подвесном мосту в фильме «Индиана Джонс и Храм судьбы». Ваши пальцы образуют узкий проход, в котором свет дифрагирует подобно волне воды в узком проливе.

Я помню аналогичное замешательство, в которое меня привели специальные «радужные» очки, которые мне подарили на каком-то празднике, когда мне было лет восемь. Когда я их надевал, они показывали раскрашенные в цвета радуги копии всего, что я видел. Как очкам удавалось узнавать, на что я смотрю, и копировать эти изображения? Много лет спустя я узнал, что на их стеклах были дифракционные решетки – множество мельчайших бороздок, устроенных так, что световые лучи, отраженные от разных бороздок, взаимно складывались и вычитались, как на своего рода усиленной мыльной пленке.

Одну из самых ясных демонстраций дифракции дает «огонь» опала – яркие вспышки цветного света, которые можно увидеть, вращая этот драгоценный камень в руке. Опалы содержат множество мельчайших шариков из кремнезема, каждый диаметром порядка 1000 атомов. Они образуют плоскости, отражающие свет подобно поверхности мыльной пленки. Чем плотнее расположены такие плоскости, тем более синий свет может дифрагировать на них. Бывают опалы, дающие только красные вспышки, но если в опале может вспыхивать фиолетовый огонь (этот цвет соответствует самым коротким волнам видимого спектра), то в нем могут появляться вспышки и любого другого цвета. У. Т. Ферни сообщал в 1907 году в книге «Драгоценные камни» (Precious Stones), что некогда считалось, будто опалы, «самые завораживающие, самые таинственные из всех самоцветов», обладают магическими свойствами всех тех драгоценных камней, цвет которых в них содержится: например, рубина, который обесцвечивается при приближении опасности, аметиста – камня трезвости, который удерживает своего владельца от злоупотребления алкоголем, или изумруда, который «избавляет от глупых страхов, например боязни бесов или домовых». Сам опал якобы давал невидимость, если его держать завернутым в свежий лавровый лист.

Дифракция света в опалах возвращает нас к вопросу о рентгене и кристаллах. Рентгеновские лучи – это в некотором смысле одна из форм света, хотя они не видны человеческому глазу, потому что имеют слишком короткую длину волны и находятся далеко за ультрафиолетовым краем спектра. Однако, как бы ни были малы расстояния между их волнами, промежутки между отдельными атомами кристалла еще меньше, и поэтому при прохождении рентгеновских лучей сквозь кристалл они дифрагируют.

Методика эксперимента достаточно проста: нужно всего лишь пропустить сквозь кристалл рентгеновские лучи и зарегистрировать их интенсивность при помощи фотопленки (или детектора). В результате получается набор регулярно распределенных ярких точек, как если бы сквозь центр каждой клетки шахматной доски светил лазер. Мой сотрудник по экспериментам профессор Аншуль Когар из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе любезно предоставил эту рентгеновскую дифракционную картину диселенида титана.

Рентгеновская дифракционная картина диселенида титана. Изображение предоставил профессор Аншуль Когар

На этом изображении виден набор резко выделяющихся точек. Кроме того, можно увидеть несколько колец; Аншуль объясняет, что они, вероятно, порождены вкраплениями йода. Вообще говоря, кольца должны появляться в отсутствие кристаллического порядка: например, кольца бывают на дифракционных рентгенограммах жидкостей. В общем случае изучение распределения этих точек позволяет определить, как расположены атомы в кристалле. Фокус тут в том, что точки не прямо соответствуют положению атомов. Вместо этого короткие расстояния на дифракционной картине соответствуют длинным расстояниям в кристалле и наоборот. Математическое описание такого переворота большого и малого называется преобразованием Фурье.

Жозеф Фурье (1768–1830) прославился многими достижениями в физике и математике; в частности, именно он первым предположил существование парникового эффекта из-за происходящего на всей планете удержания тепла. Его имя вошло в число семидесяти двух, записанных на Эйфелевой башне во время ее сооружения. Известен он и тем, что смерть его была чуть ли не рекордно нелепой. После того как Фурье внес вклад в создание теории теплоты, он вбил себе в голову, что постоянное нахождение в тепле обеспечивает бессмертие. Поэтому он все время заворачивался в одеяла. В возрасте шестидесяти двух лет он запутался ногами в своем одеяле, упал с лестницы и вскоре после этого умер.

Но помимо этой современной басни Эзопа Фурье оставил миру операцию, которую теперь называют преобразованием Фурье. Ее действие очень похоже на действие волшебного музыкального инструмента. Представьте себе нечто вроде фортепиано, но способное воспроизводить не фиксированное количество нот, как обычное фортепиано, а любые ноты, какими бы они ни были. Пусть это будет фортепиано с бесконечным количеством клавиш (но представим себе, что все они по-прежнему помещаются на клавиатуре той же длины – в этом нет ничего безумного, если между 0 и 1 помещается бесконечное количество дробных чисел). Этот инструмент уже получается довольно волшебным, но его истинное могущество состоит вот в чем: нажав на правильно выбранные клавиши с правильно подобранным усилием, на нем можно воспроизвести любой звук, какой только можно себе представить. Уханье совы, кваканье жабы, радиосериал «Автостопом по галактике» 1978 года – все что угодно. На клавиши нужно нажимать непрерывно. Самое удивительное, что такие музыкальные инструменты вполне существуют – например, так может работать ваш компьютер. И дело тут не в магических свойствах самого инструмента, а в том поразительном обстоятельстве, что любой звук может быть в точности воспроизведен соответствующей комбинацией постоянных чистых тонов.

Вы можете иметь некоторое представление о том, как это работает, если вам когда-нибудь случалось настраивать струнный музыкальный инструмент: если заставить звучать две струны близкого, но не одинакового тона, вы услышите «бит» – совместный звук ритмически становится громче или тише. Сложение сразу нескольких тонов позволяет воспроизводить более сложные звуковые последовательности. Преобразование Фурье – это математический процесс переключения между двумя явлениями: исходным звуком, который изменяется во времени, и набором тонов, каждый из которых сам по себе остается неизменным. Время измеряется в секундах, высота тона – в количестве колебаний в секунду. Вообще говоря, преобразование Фурье переводит единицы одного типа в обратные им (обратная величина – это единица, разделенная на эту величину; поэтому если величина растет, то обратная величина уменьшается). Вы, возможно, замечали, что у крупных собак бывает более басовитый лай (в этом звуке больше представлены низкие частоты), а мелкие собаки тявкают более визгливо: чем крупнее собака, тем ниже типичный тон ее лая, а крошечные животные – например комары – издают очень высокие звуки.

Преобразование Фурье работает и с волнами других типов. Представьте себе волны на воде, складывающиеся в разные формы: длинные волны (соответствующие низким звукам) формируют общие очертания формы, а короткие определяют мелкие подробности. Предположим, например, что вы смотрите на озеро Лох-Несс. Вы играете на очередном магическом инструменте – дудочке из чертополоха, которая, как сказали вам местные дети, способна вызывать лох-несское чудовище. Вдалеке вы замечаете появившийся на воде ряд гребней. Что это – волна с длиной волны около метра или горбы на спине Несси? Допустим, вы подобрались чуть ближе, и вам кажется, что вы можете различить на одной из волн нечто похожее на маленькие уши. Если это волны, а не Несси, значит, поверх волн, которые вы видели раньше, должна быть какая-то коротковолновая рябь. При наличии достаточно количества разных волн можно построить полный, совершенно реалистичный профиль Несси[41]41
  Ну, хорошо, строго говоря, в классическом профиле Несси есть зазор под ее головой и шеей, что невозможно. Но любую форму, состоящую из набора выпуклостей, построить можно. – Примеч. автора.


[Закрыть]. А вот как это работает с рентгеном. Кристаллическая решетка – это всего лишь набор регулярно распределенных точек. Результат ее преобразования Фурье – тоже набор регулярно распределенных точек (тех пятен, которые вы видите на дифракционной рентгенограмме). Вполне логично думать об обоих наборах точек одинаково: регулярно распределенные атомы кристалла называют кристаллической решеткой, а точки на дифракционной картине – «обратной решеткой». Чтобы понять, почему это так, заметим, что при увеличении расстояний между атомами кристалла – скажем, при нагревании кристалла, которое заставляет его расширяться, – точки обратной решетки приближаются друг к другу, точно так же, как при увеличении числа уменьшается число, обратное ему.

Говоря о структурах более общего рода, физики называют «реальным пространством» тот привычный мир, в котором мы живем, и «обратным пространством» мир, который получают преобразованием Фурье, где пространственные и временные величины превращаются в соответствующие им обратные величины. Концепция обратного пространства сложна, но важно помнить основное правило: малое превращается в большое и наоборот.

Чтобы обосновать идею о том, что это действительно отдельное пространство, вернемся к фортепиано, на котором можно сыграть любую из возможных нот. Предположим, вы услышали некий особенно удачный звук – скажем, вой очень одинокого волка – и хотите написать партитуру, которая расскажет вашим коллегам-волшебникам, как его воспроизводить. Поскольку при игре на нашем инструменте нужно удерживать клавиши непрерывно нажатыми, хочется подумать, что в партитуре нужно всего лишь указать, какие клавиши нажимать и с каким усилием. В общем-то, так оно и есть. Можно представить себе партитуру следующего вида: поставим за клавишами лист бумаги и проведем на нем линию, высота которой над каждой клавишей соответствует усилию, с которым на эту клавишу нужно нажать (а если клавиша вообще не используется, линия оказывается на нижнем краю листа). Тогда можно вообразить, что вы уменьшились в размерах и ходите вдоль клавиш: если вы хотите узнать, как участвует в смешанном звуке тот или иной тон, вы просто подходите к соответствующей клавише и измеряете высоту линии. Эта линия похожа на контур горного хребта в обратном пространстве. Если волчий вой был низким, то в области нижних нот горы будут выше.