Текст книги "Величайшие математические задачи"

В последующих главах вы не раз увидите эту схему в действии. Но если рассказывать обо всем этом подробно, то может получиться довольно скучно, поэтому я не буду перечислять всех, кому удалось более точно определить экспоненту в гипотезе Джекила – Хайда, выяснив, что это не 1,773, а 1,771 + e для любого положительного e (как бы ни гордились Баггинс и Крумм своим последним достижением на этой ниве). Я опишу несколько значимых вкладов, оставив все другие за скобками. И дело не в том, что работа Баггинса и Крумма кажется мне незначительной. Может быть, она даже вымостила дорогу к прорывному открытию Чизбургера – Чипса. Но, по правде говоря, только специалисты, внимательно следящие за развитием событий, могут затаив дыхание ждать следующего крошечного шажка.

Поэтому в будущем я буду опускать некоторые подробности, но сейчас давайте посмотрим, как развивался процесс в случае с проблемой Гольдбаха.

Уже доказаны некоторые теоремы, помогающие продвинуться по пути решения проблемы Гольдбаха. Первый серьезный прорыв произошел в 1923 г., когда Харди и Литлвуд при помощи своих аналитических методов доказали тернарную гипотезу Гольдбаха для всех достаточно больших нечетных чисел. Однако их доказательство опиралось на другую великую проблему – обобщенную гипотезу Римана, о которой мы поговорим в главе 9. Эта проблема до сих пор остается нерешенной, так что в доказательстве Харди и Литлвуда есть существенный пробел. В 1930 г. Лев Шнирельман сумел заполнить этот пробел при помощи замысловатого варианта их собственных рассуждений, основанных на методах решета. Он доказал, что ненулевая доля всех чисел может быть представлена в виде суммы двух простых. Добавив к этому результату некоторые общие рассуждения о сложении последовательностей, он доказал, что существует такое целое число С, что любое натуральное число есть сумма не более С простых чисел. Это число получило известность как постоянная Шнирельмана. В 1937 г. аналогичные результаты получил Иван Виноградов, но его метод также не позволял сказать конкретно, насколько велики «достаточно большие» числа. В 1939 г. Константин Бороздин доказал, что они начинаются не позже чем с числа 3^14 348 907. К 2002 г. Лю Минчит и Ван Тяньцзэ снизили границу «достаточно больших чисел» до e³¹⁰⁰, что равняется примерно 2 × 10¹³⁴⁶. Это число гораздо меньше, но все же слишком велико для того, чтобы все нижележащие числа можно было проверить перебором на компьютере.

В 1969 г. Николай Климов сумел установить, что постоянная Шнирельмана не превышает 6 млрд. Другим математикам удалось сделать более точную оценку, и в 1982 г. Ханс Ризель и Роберт Воган снизили эту цифру до 19. Хотя 19, разумеется, многим лучше 6 млрд, все признаки указывают на то, что на самом деле постоянная Шнирельмана равняется всего лишь 3. В 1995 г. Лешек Каницкий снизил верхний предел до 6 в общем случае и до 5 для нечетных чисел, но ему тоже пришлось предположить истинность гипотезы Римана. Его результаты вместе с численной проверкой гипотезы Римана вплоть до 4 × 10¹⁴, которую осуществил Йорг Рихштейн, доказали бы, что постоянная Шнирельмана не превосходит 4, но опять же при условии истинности гипотезы Римана. В 1997 г. Жан-Марк Дезуйе, Гоув Эффингер, Херман те Риле и Дмитрий Зиновьев показали, что из обобщенной гипотезы Римана (см. главу 9) следует тернарная гипотеза Гольдбаха. Иными словами, каждое нечетное число, за исключением 1, 3 и 5, является суммой трех простых чисел.

Поскольку на данный момент гипотеза Римана не доказана, имеет смысл постараться снять это условие. В 1995 г. французский математик Оливье Рамаре снизил верхнюю оценку для представления нечетных чисел до 7 без использования гипотезы Римана. Более того, он доказал более сильное утверждение: каждое четное число является суммой не более чем шести простых чисел. (Чтобы разобраться с нечетными числами, вычтем из любого нечетного 3: результат четный, поэтому он является суммой шести или менее простых. Первоначально взятое нечетное есть эта сумма плюс простое число 3, т. е. для его получения требуется не более семи простых.) Главным прорывом стало уточнение существующих оценок для некоторой части чисел определенного диапазона до двух: эти числа являются суммой двух простых. Ключевой результат Рамаре состоит в том, что для любого числа n больше e⁶⁷ (это примерно 1,25 × 10²⁹) по крайней мере пятая часть чисел, лежащих между n и 2n, является суммой двух простых. Далее при помощи методов решета и теоремы Ганса-Генриха Остманна о суммах последовательностей, доработанной Дезуйе, можно доказать, что каждое четное число, большее 10³⁰, есть сумма максимум шести простых чисел.

Остается разобраться лишь с промежутком между 4 × 10¹⁴, до которого Йорг Рихштейн проверил теорему численно при помощи компьютера, и 10³⁰. Как часто бывает, эти числа слишком велики для непосредственной компьютерной проверки, поэтому Рамаре доказал целую серию специализированных теорем о количестве простых чисел в небольших интервалах. Эти теоремы опираются на истинность гипотезы Римана в определенных пределах, что можно проверить при помощи компьютера. Так что доказательство состоит преимущественно из концептуальных теоретических рассуждений с привлечением компьютера для решения этой узкой задачи. Рамаре закончил свою статью указанием на то, что при помощи аналогичного подхода в принципе можно было бы снизить число простых с 7 до 5. Однако на этом пути возникают очень серьезные практические препятствия, и он написал, что такое доказательство «невозможно провести при помощи современных компьютеров».

В 2012 г. Теренс Тао преодолел эти препятствия, используя в корне другой подход. Он разместил в Интернете статью, которая в настоящий момент (когда я пишу все это) рассматривается для публикации. Основу работы составляет следующая теорема: каждое нечетное число можно представить в виде суммы не более чем 5 простых чисел. Это снижает постоянную Шнирельмана до 6. Тао получил известность благодаря своей способности решать сложные проблемы в самых разных областях математики. Его доказательство использует для решения проблемы несколько мощных методик и требует привлечения компьютеров. Если число 5 в теореме Тао удалось бы снизить до 3, то тернарная гипотеза Гольдбаха была бы доказана, а верхняя граница для постоянной Шнирельмана снижена до 4. Тао подозревает, что сделать это возможно, но нужны новые идеи.

Бинарная гипотеза Гольдбаха представляется еще сложнее. В 1998 г. Дезуйе, Саутер и те Риле проверили ее для всех четных чисел вплоть до 10¹⁴. К 2007 г. Томаш Оливейра-и-Сильва улучшил этот результат до 10¹⁸ и продолжает расчеты. Мы знаем, что каждое четное целое число можно представить в виде суммы не более чем шести простых чисел – это доказал Рамаре в 1995 г. В 1973 г. Чэнь Цзинжунь доказал, что каждое достаточно большое четное целое может быть представлено в виде суммы простого и полупростого (это либо простое число, либо произведение двух простых) чисел. Близко, но не то. Тао заявил, что бинарную гипотезу Гольдбаха невозможно доказать при помощи его методов. Сложение трех простых чисел дает гораздо большее перекрытие результатов в том смысле, в каком мы говорили о перекрытии при обсуждении рис. 3, чем сложение двух простых, фигурирующих в бинарной гипотезе Гольдбаха, а методы и Тао, и Рамаре неоднократно используют это свойство.

Итак, через несколько лет мы, возможно, получим полное доказательство тернарной гипотезы Гольдбаха, из которой, в частности, следует, что каждое четное число можно представить в виде суммы не более чем четырех простых[3]3
  Тернарная гипотеза Гольдбаха была окончательно доказана перуанским математиком Харальдом Гельфготтом в 2013 г. – Прим. ред.


[Закрыть]. Но бинарная гипотеза Гольдбаха, вероятно, будет по-прежнему ставить математиков в тупик.

За 2300 лет, прошедших с момента, когда Евклид доказал несколько базовых теорем о простых числах, мы узнали о них немало. Однако остается еще очень много того, чего мы по-прежнему не знаем.

К примеру, мы знаем, что существует бесконечно много простых чисел вида 4k + 1 и 4k + 3. В более общем виде это утверждение выглядит так: любая арифметическая прогрессия ak + b с постоянными параметрами a и b содержит бесконечно много простых чисел, если a и b не имеют общих делителей. К примеру, пусть a = 18. Тогда b = 1, 5, 7, 11, 13 или 17. Следовательно, существует бесконечно много простых чисел видов 18k + 1, 18k + 5, 18k + 7, 18k + 11, 18k + 13 или 18k + 17. Но это неверно для 18k + 6, например, потому что 18 кратно 6. Ни одна арифметическая прогрессия не может состоять только из простых чисел, но недавний серьезный прорыв – теорема Грина – Тао – показывает, что последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии произвольной длины. В 2004 г. Бен Грин и Теренс Тао разработали очень глубокое и сложное доказательство этого утверждения, что внушает надежду: на самые сложные вопросы, какими бы неприступными они ни выглядели, в конце концов может быть получен ответ.

Снимаем шляпу, а потом надеваем ее – и вновь за работу: мы немедленно задаемся вопросом о более сложных формулах с k. Не существует простых чисел вида k²; не существует и простых вида k²−1, за исключением 3, поскольку подобные выражения раскладываются на множители. Однако выражение k² + 1 не имеет очевидных делителей, и простых чисел такого вида можно найти множество:

2 = 1² + 1,5 = 2² + 1,17 = 4² + 1,37 = 6² + 1 и т. д.

Можно привести пример и с бо́льшими цифрами, хотя особого смысла в этом нет:

18 672 907 718 657 = (4 321 216)² + 1.

Предполагается, что таких простых чисел тоже бесконечно много, но до сих пор не доказано ни одного подобного утверждения ни для одного конкретного многочлена, в котором k стояло бы в степени выше единицы. Очень правдоподобное предположение сделал в 1857 г. Виктор Буняковский: любой многочлен от k, не имеющий очевидных делителей, представляет бесконечное множество простых чисел. Исключение составляют не только разложимые многочлены, но и такие многочлены, как k² + k + 2 (этот многочлен всегда делится на 2, хотя и не имеет алгебраических делителей).

Некоторые многочлены, судя по всему, обладают особыми свойствами. Классический пример: k² + k + 41. Этот простое число, если k = 0, 1, 2, …, 40 и, строго говоря, если k = −1, −2, …, – 40 тоже. Длинные цепочки простых чисел при последовательных значениях k попадаются редко, и о них мы кое-что знаем. Но в целом вся эта область весьма загадочна.

Гипотеза о парах простых чисел почти так же знаменита, как гипотеза Гольдбаха, и, судя по всему, столь же неприступна. Вот ее суть: существует бесконечно много пар простых чисел с разницей в 2. Приведем несколько примеров:

3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19.

На сегодняшний день (на январь 2012 г.) наибольшими известными парными простыми являются числа 3 756 801 695 685 × ^2666 669 ± 1, содержащие по 200 700 десятичных знаков. Они были найдены в 2011 г. в рамках проекта распределенных вычислений PrimeGrid. В 1915 г. Вигго Брун при помощи одного из вариантов решета Эратосфена доказал, что сумма чисел, обратных всем парным простым, сходится, в отличие от суммы чисел, обратных всем простым. В этом смысле парные простые встречаются относительно редко. При помощи аналогичных методов он доказал также, что существует бесконечно много целых n, таких, что n и n + 2 имеют не больше девяти простых делителей. Харди и Литлвуд при помощи своих эвристических методов пришли к выводу, что количество пар простых, меньших x, асимптотически приближается к

где a – константа, равная приблизительно 0,660161. Идея в том, что в данном случае можно считать простые числа возникающими случайно с частотой, которая делает общее число простых вплоть до x приблизительно равным x/log x. Аналогичных гипотез и эвристических формул существует множество, но строгих доказательств для них опять же не существует.

Да, в математике есть сотни открытых вопросов, имеющих отношение к простым числам. Одни из них просто любопытны, другие глубоки и имеют большую важность. С некоторыми вопросами из последней категории нам еще предстоит встретиться в главе 9. Ведь несмотря на все успехи математики за последние 2500 лет, скромные простые числа не потеряли ни своей притягательности, ни загадочности.

3. Тайна числа π. Квадратура круга

Простые числа известны давно, но круг – еще более древнее понятие. И именно он породил великую задачу, на решение которой ушло больше 2000 лет. Речь идет об одной из взаимосвязанных геометрических задач, корни которых уходят глубоко в античные времена. Главное действующее лицо этой истории – число π (греческая буква «пи»), знакомое нам по школьной программе в связи с окружностями и сферами. Численно это число равно 3,14159 и еще чуть-чуть; нередко также используется приблизительное значение 22/7. Десятичные знаки в записи π никогда не заканчиваются и не повторяются в одной и той же последовательности снова и снова. Нынешний рекорд вычисления точного значения числа π составляет 10 трлн знаков после запятой. Этот результат Александр Йи и Шигеру Кондо опубликовали в октябре 2011 г. Расчеты такого рода важны как способ испытания быстрых компьютеров или новых, еще более хитроумных методик вычисления числа π, но от численного результата как такового почти ничего не зависит. Причина интереса к числу π не в том, что без него невозможно вычислить длину окружности. Это странное число то и дело мелькает в самых разных областях математики, причем не только в формулах, имеющих отношение к кругам и сферам, и заводит в невероятные дебри. Тем не менее школьные формулы тоже важны, к тому же они отражают древнегреческое происхождение π.

Там одной из величайших проблем считалась нерешенная задача о квадратуре круга. В современном языке эта фраза часто используется иносказательно и означает безнадежное, бессмысленное или тщетное предприятие. Как многие общеупотребительные фразы, берущие начало в научной терминологии, эта с течением времени не раз меняла значение{5}5
  Можно упомянуть в этом контексте выражение «квантовый скачок». В повседневной речи оно обычно означает какой-то гигантский шаг вперед или резкую перемену, как, например, открытие европейцами Америки. Однако в квантовой теории квантовый скачок настолько мал, что ни один известный инструмент не способен зарегистрировать его непосредственно; изменение при этом выражается 0,000…01 примерно с 40 нулями.


[Закрыть]. В греческие времена попытка найти квадратуру круга представлялась вполне разумным начинанием. Разница формы этих фигур – прямые или изогнутые границы – никакого значения не имеет: многие аналогичные задачи решаются{6}6
  Нахождение конечного разбиения квадрата и собирания из этих частей круга известно как квадратура круга Тарского. Миклош Лацкович решил эту задачу в 1990 г. Его метод неконструктивен и использует теорему выбора, при этом число частей, на которые нужно делить квадрат, огромно – около 10⁵⁰.


[Закрыть]. Однако со временем выяснилось, что эта конкретная задача не может быть решена заданными методами. Чтобы это доказать, пришлось проявить изобретательность и сделать серьезные теоретические выкладки, но общую идею доказательства понять все же можно.

В математике под квадратурой круга понимают построение квадрата, равного по площади данному кругу, при помощи традиционных евклидовых методов. Вообще говоря, греческая геометрия допускала и другие методы, поэтому важно сразу определить, какие из них следует использовать. Но тогда неразрешимость задачи говорит только об ограниченности выбранных методов; из нее не следует, что мы не в состоянии определить площадь круга. Просто делать это придется иначе. Доказательство неразрешимости задачи о квадратуре круга помогает понять, почему греческие геометры не смогли найти требуемое построение: его просто не существует. Если разобраться, то именно поэтому им пришлось прибегать к довольно странным, чуть ли не эзотерическим методам. Так что окончательное решение этой задачи, хотя и отрицательное, помогло ученым прояснить довольно серьезную историческую загадку. Оно позволило также больше не терять времени на поиски несуществующего построения – хотя, к сожалению, всегда найдутся те, кто не сможет или не захочет принять окончательный результат, как бы тщательно его ни разжевывали{7}7
  Квадратриса Гиппия – это кривая, описываемая точкой пересечения вертикальной прямой, движущейся равномерно через прямоугольник, и прямой, которая равномерно поворачивается вокруг середины нижней стороны прямоугольника (см. рис. 52). Такое соотношение превращает любой вопрос о делении угла в вопрос о соответствующем делении отрезка. К примеру, чтобы разделить угол натрое, нужно всего лишь разделить натрое соответствующий отрезок прямой. См.: http://www.geom.uiuc.edu/~huberty/math5337/groupe/quadratrix.html.


[Закрыть].

В «Началах» Евклида для геометрических построений используются идеальные версии двух математических инструментов: линейки и циркуля. (Поскольку у циркуля две ножки, про него, вероятно, следовало бы говорить циркули, – ведь бумагу мы режем ножницами, а не одним ножницем, но я буду пользоваться традиционной терминологией.) При помощи этих инструментов геометры «чертят» на умозрительном листе бумаги – евклидовой плоскости.

Форма инструментов определяет их возможности. Циркуль представляет собой два прямых жестких стержня, соединенных шарниром. Конец одного стержня заострен, на конце другого закреплен заостренный грифель. При помощи циркуля можно нарисовать круг или часть круга определенного радиуса с центром в определенной точке. Линейка еще проще: у нее есть прямой край, по которому можно провести прямую линию. В отличие от линеек, которые сегодня можно купить в любом канцелярском магазине, линейка Евклида не имеет разметки, и это важное ограничение для математического анализа ее возможностей.

Почему речь идет об идеальных версиях инструментов, понятно: считается, что с их помощью проводятся бесконечно тонкие линии. Более того, все прямые получаются идеально прямыми, а окружности – идеально круглыми. Бумага также идеально плоская и ровная. Еще один ключевой элемент евклидовой геометрии – представление об идеальной точке. Точка ставится на бумаге, но физически такая точка невозможна: она не имеет размера. «Точка, – говорит Евклид в первой фразе своих “Начал”, – это то, что не имеет частей». По описанию она немного напоминает атом или, если вы немного в курсе современной физики, элементарную частицу, но в сравнении с геометрической точкой и атом, и частица – гигантские объекты. Однако в рамках обыденных представлений идеальная точка Евклида, атом и карандашная точка на бумаге одинаково хорошо годятся для геометрических построений.

В реальном мире идеал недостижим, как бы мы ни старались заточить карандаш и какой бы гладкой ни делали бумагу. Но в данном случае идеализм – достоинство, поскольку идеализация значительно упрощает математику. К примеру, пересечение двух реальных карандашных линий представляет собой небольшую размытую область в виде параллелограмма, но математические линии пересекаются исключительно в точке. Откровения, полученные из идеальных окружностей и линий, нередко можно перенести в реальный мир и применить к реальным несовершенным фигурам. Именно так работает волшебство математики.

Две точки определяют единственную прямую, которая через них проходит. Чтобы построить эту прямую, прикладываем нашу идеальную линейку так, чтобы ее сторона проходила через обе точки, и проводим вдоль нее идеальным карандашом. Две точки также определяют круг: выберите одну из точек – она станет центром окружности – и поставьте в нее острие циркуля; затем разведите ножки циркуля так, чтобы кончик грифеля встал на вторую точку. А теперь ведите грифель по дуге, аккуратно удерживая острие в центре. Две прямые определяют единственную точку пересечения – если, конечно, они не параллельны; в этом случае прямые не пересекаются, зато широко распахивается логический ящик Пандоры. Прямая и окружность определяют две точки, если пересекаются, и одну, если прямая лишь касается окружности; если окружность слишком мала, чтобы дотянуться до прямой, пересечения не будет. Точно так же две окружности могут пересекаться в двух точках, в одной или не пересекаться вовсе.

Расстояние – фундаментальная концепция, без которой немыслимо современное прочтение евклидовой геометрии. Расстояние между двумя точками измеряется по прямой, их соединяющей. Евклид, разрабатывая свою геометрию, обходился без явно выраженной концепции расстояния, но он и без этого мог определить, когда два отрезка прямой имеют одинаковую длину. Это очень просто: достаточно поставить ножки циркуля на концы одного отрезка, перенести инструмент ко второму отрезку и посмотреть, встанут ли ножки на его концы. Если встанут, то длины этих отрезков одинаковы; если нет – нет. Эта процедура вовсе не требует измерения реальных длин.

Из этих базовых составляющих геометры могут построить более интересные формы и конфигурации. Три точки определяют треугольник, если только не лежат на одной прямой. Две прямые, пересекаясь, образуют угол. Особенно важен прямой угол, а развернутый угол соответствует двум составленным вместе прямым углам. И так далее и тому подобное, до бесконечности. «Начала» Евклида включают в себя 13 книг и с каждой книгой все глубже зарываются в следствия этих простых начал.

Основное содержание «Начал» – теоремы, строительный материал геометрии. Кроме того, Евклид объясняет, как решать геометрические задачи при помощи «построений», сделанных с применением линейки и циркуля. Как, имея две точки, соединенные отрезком прямой, получить среднюю точку отрезка? Как разделить отрезок на три равные части? Как, имея угол, построить другой угол, равный в точности половине первого? Но некоторые простые построения неожиданно оказались неуловимыми. К примеру, трисекция угла: постройте угол, который ровно втрое меньше заданного. С отрезками такое проходит, но для углов никому так и не удалось отыскать соответствующий метод. С любой степенью приблизительности – да, пожалуйста. Построить точно при помощи циркуля и линейки – нет, увольте. Однако в реальной жизни никому обычно не надо делить угол ровно натрое, так что этот конкретный вопрос не вызвал особых проблем.

Куда больше шума наделало построение, обойтись без которого было никак нельзя: имея заданный круг, построить квадрат той же площади. Это и есть задача о квадратуре круга. С точки зрения греков, если невозможно решить эту задачу, то нельзя и утверждать, что круг вообще имеет площадь. Ну и что, что он очевидно заключает в себе определенное пространство – площадь-то интуитивно определяется по тому, сколько пространства заключает в себе фигура. Евклид и его последователи, в частности Архимед, сошлись на прагматическом решении: они считали, что круг имеет площадь, но построить квадрат той же площади невозможно. О площади круга, конечно, тоже можно кое-что сказать. К примеру, можно доказать со всей логической строгостью, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. А вот что невозможно сделать, не решив задачу квадратуры круга, так это начертить отрезок, длина которого будет представлять собой коэффициент этой пропорциональности.

Греки не смогли решить задачу квадратуры круга при помощи линейки и циркуля, им пришлось удовлетвориться другими методами. Один из них воспользовался для этого кривой, получившей название квадратрисы. Судя по всему, позднейшие комментаторы сильно преувеличили значение, которое греческие геометры придавали тому, что всякое построение должно делаться только при помощи линейки и циркуля. По сути, мы даже не можем сказать наверняка, действительно ли греки считали квадратуру круга такой важной задачей. К XIX в., однако, эта проблема приобрела поистине вселенские масштабы. Математика, не способная ответить на такой простой и понятный вопрос, – все равно что повар, не способный сварить яйцо вкрутую.

Формулировка задачи – квадратура круга – звучит очень по-геометрически. Так и есть, это действительно геометрическая задача. А вот решение ее, как оказалось, лежит в области вовсе не геометрии, а алгебры. Дело в том, что решение великих задач часто основывается на выявлении неожиданных связей между разными, на первый взгляд, разделами математики. Связь геометрии и алгебры сама по себе не является чем-то беспрецедентным, но тот факт, что она имеет какое-то отношение к квадратуре круга, был замечен далеко не сразу. А потом, когда связь уже была установлена, возникли чисто технические сложности, и для их разрешения потребовалось привлечь еще один раздел математики – математический анализ. По иронии судьбы первый шаг к прорыву был сделан в четвертой области математики – в теории чисел. В результате была решена геометрическая задача, в решаемость которой греки не поверили бы даже в самых смелых своих мечтах и о которой, насколько нам известно, никогда не думали: задача о построении при помощи циркуля и линейки правильного многоугольника с 17 сторонами.

Звучит дико, особенно если добавить, что для правильных многоугольников с 7, 9, 11, 13 или 14 сторонами ничего подобного не существует, зато многоугольник с 3, 4, 5, 6, 8, 10 и 12 сторонами построить можно. Однако в данном случае за безумием скрывается система, причем такая, что ее выявление заметно обогатило математику.

Начнем с начала: что такое правильный многоугольник? Многоугольник вообще – это фигура, ограниченная прямыми линиями. Многоугольник называется правильным, если все отрезки прямых имеют одинаковую длину и пересекаются под одинаковыми углами. Самый известный пример – квадрат: все четыре его стороны имеют одинаковую длину, а все четыре угла являются прямыми. Существуют и другие фигуры – с четырьмя равными сторонами или с четырьмя равными углами: это, соответственно, ромб и прямоугольник. Только квадрат обладает обоими свойствами одновременно. Правильный трехсторонний многоугольник – это равносторонний треугольник; существуют также правильный пятиугольник, правильный шестиугольник и т. д. (рис. 4). Евклид приводит методы построения при помощи циркуля и линейки правильных многоугольников с 3, 4 и 5 сторонами. Кроме того, греки умели последовательно удваивать число сторон, выстраивая многоугольники с 6, 8, 10, 12, 16, 20 и более сторонами. Объединив методы построения правильных многоугольников с 3 и 5 сторонами, они получили правильный 15-угольник. Но на этом продвижение остановилось, и далее, на протяжении 2000 лет, на этом направлении ничего не менялось. Никто не думал, что в этом списке могут появиться многоугольники с еще каким-то числом сторон. Никто даже не задавался этим вопросом: всем казалось, что ничего больше сделать не удастся.

Понадобилось вмешательство одного из величайших математиков всех времен, чтобы обдумать немыслимое, задаться вопросами, задавать которые бесполезно, и получить поистине поразительный ответ. Имя этого математика – Карл Гаусс.

Родился Гаусс в бедной семье в городе Брауншвейге в Германии. Его мать Доротея была неграмотной и не смогла даже записать дату рождения ребенка. Однако она помнила, что было это в 1777 г., за восемь дней до праздника Вознесения. Позже Гаусс сам вычислил точную дату своего рождения при помощи разработанной им формулы расчета дат Пасхи. Отец ученого Гебхард происходил из крестьянской семьи, но зарабатывал на жизнь разной работой: копал канавы, был садовником, уличным мясником, счетоводом похоронной конторы. А их сын оказался вундеркиндом: рассказывали, что уже в трехлетнем возрасте он исправлял отцовские ошибки в арифметике. Его способности, распространявшиеся помимо математики и на языки, побудили герцога Брауншвейгского оплатить обучение мальчика в Брауншвейгском университете. Будучи студентом, Гаусс самостоятельно открыл для себя несколько важных математических теорем, доказанных знаменитыми учеными, такими как Эйлер. Однако его теорема о правильном 17-угольнике грянула как гром среди ясного неба.

К тому времени прошло уже 140 лет с тех пор, как была установлена тесная связь между геометрией и алгеброй. В приложении к «Рассуждению о методе…» Рене Декарт формализовал идею, давно витавшую в воздухе: представление о системе координат. По существу, он взял евклидову девственно чистую плоскость – пустой лист бумаги – и превратил его в лист, расчерченный на квадраты (инженеры и ученые называют такую бумагу миллиметровкой). Для начала нарисуйте на бумаге две прямые линии, горизонтальную и вертикальную. Эти линии называются осями координат. Теперь можно определить положение любой точки на плоскости, задавшись вопросом: как далеко лежит эта точка в направлении вдоль горизонтальной оси и как далеко – вдоль вертикальной (см. рис. 5 слева). Эти два числа – а они могут быть как положительными, так и отрицательными, – дают исчерпывающее описание точки и называются ее координатами.

Все геометрические свойства точек, прямых, окружностей и т. д. можно перевести в алгебраические утверждения, связанные с соответствующими координатами. Очень трудно осмысленно говорить об этих связях без использования алгебры – точно так же, как трудно говорить о футболе без использования слова «гол». Поэтому на следующих страницах мне придется привести несколько формул. Они нужны для того, чтобы показать: у главных действующих лиц этой драмы есть имена, и отношения между ними прозрачны. Согласитесь, «Ромео» – это гораздо понятнее, чем «сын итальянского патриция, полюбивший красавицу-дочь заклятого врага своего отца». Наш Ромео будет носить прозаическое имя x, а его Джульетту будут звать y.

В качестве примера того, как геометрия превращается в алгебру, рис. 5 (справа) показывает, как найти уравнение окружности единичного радиуса с центром в начале координат, где пересекаются наши две оси. Отмеченная точка имеет координаты (x, y), так что у прямоугольного треугольника на рисунке длина горизонтальной стороны равна x, а вертикальной – y. Самая длинная сторона треугольника представляет собой радиус окружности и, соответственно, равняется единице. Теорема Пифагора гласит, что сумма квадратов двух координат равняется 1. В символьном виде это звучит так: точка с координатами x и y лежит на окружности тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют условию x² + y² = 1. Символьная характеристика окружности получилась краткой и точной; она наглядно показывает, что речь в данном случае действительно идет об алгебре. И наоборот, любая алгебраическая характеристика пары чисел, любое уравнение с участием x и y можно интерпретировать как геометрическое утверждение о точках, прямых, окружностях или более сложных кривых{8}8
  Вот красноречивый пример. Геометрически если прямая пересекается с окружностью и не является касательной, то она имеет с окружностью ровно две общие точки. Возьмем прямую, параллельную горизонтальной оси, на расстоянии 1/2 над ней (см. рис. 53). Эта прямая описывается очень простым уравнением: y = 1/2. (При любом x мы имеем одно и то же значение y.) Если y = 1/2, то уравнение x² + y² = 1 превращается в x² + 1/4 = 1. Отсюда x² = 3/4, а Алгебра говорит, что прямая пересекает единичную окружность ровно в двух точках Это вполне согласуется с рис. 53 и чисто геометрическими соображениями.


[Закрыть].

Фундаментальные алгебраические уравнения включают, в частности, многочлены – комбинации различных степеней неизвестной величины x, где каждая степень x умножается на некое число, называемое коэффициентом. Наибольшая степень x есть степень многочлена. К примеру, уравнение

x⁴ − 3x³ − 3x² + 15x − 10 = 0

содержит многочлен, начинающийся с x⁴, т. е. четвертой степени. Коэффициенты здесь равны 1, −3, −3, 15 и −10. У этого уравнения четыре различных решения: x = 1, 2, √5 и √5. Для этих чисел левая часть уравнения равняется нулю, т. е. правой части. Многочлены первой степени, такие как 7x + 2, называются линейными и содержат только первую степень неизвестного. Уравнения второй степени, такие как x² − 3x + 2 = 0, называются квадратными и содержат вторую степень неизвестного – квадрат. Уравнение окружности содержит вторую переменную y. Однако, если у нас есть второе уравнение, связывающее x и y, к примеру уравнение какой-нибудь прямой, мы можем выразить в нем y через x и преобразовать уравнение окружности так, чтобы оно содержало только x. Это новое уравнение говорит нам о том, где прямая пересекается с окружностью. В данном случае новое уравнение является квадратным и имеет два решения. Так алгебра отражает геометрию, в которой прямая пересекает окружность в двух вполне конкретных точках.