Текст книги "Логика для всех. От пиратов до мудрецов"

Занятие 3
Вдоль по Африке, или Примеры для некоторых и контрпримеры для всех

 
Но папочка и мамочка уснули вечерком,
А Танечка и Ванечка – в Африку бегом, —
В Африку!
В Африку!
 

К. И. Чуковский

Школьники часто начинают решение задачи с поиска подходящего примера. Но тут встают три вопроса. Как такой пример подобрать? В каких случаях достаточно привести один пример для полного решения задачи? Что делать в остальных случаях? На этом занятии мы постараемся научиться отвечать на самый простой вопрос, но от этого не менее важный: на второй. Умение отличать решенную задачу от нерешенной – основа математической культуры. Отвечать на первый вопрос помогут другие выпуски нашей серии, а на третий – только годы занятий.

При составлении этого занятия мы вновь постарались учесть интересы разнородного по составу кружка. Вопрос применимости примеров и контрпримеров актуален прежде всего для начинающих, сложность задач для самостоятельного решения на приведение примера разнообразна, а рассуждения про пустое множество и парадоксы про Деда Мороза достаточно сложны. Чисто логические вопросы можно разбавить конструктивами по вкусу.

Во введении обсуждается применимость примеров (в том числе контрпримеров) к доказательству и опровержению частных и общих высказываний. Истинность таких высказываний предлагается определить и в большинстве задач. Но мы сознательно нарушили чистоту жанра, включив в занятие задачи 3.6 и 3.7 с вопросом «можно или нельзя?», в которых фактически требуется определить, что верно: частное высказывание или его отрицание.

Надеемся, что пяти– и шестиклассникам будет интересно разыграть сценку с Танечкой и Ванечкой в начале занятия. Текст четырем «артистам» стоит выдать заранее, но учить его наизусть незачем, пусть подглядывают в шпаргалки. Таблицу рекомендуем изобразить на доске, можно с сокращениями.

Более опытных кружковцев могут заинтересовать два сюжета. Первый связан с гипотезами Гольдбаха (задача 3.2). Это уникальный случай, когда формулировка совсем недавнего выдающегося математического достижения понятна школьнику. Участники кружка могут совместными усилиями проверить гипотезу Гольдбаха для чисел из первой сотни (если каждому поручить свой отрезок числового ряда), осознать необходимость доказательства, а затем узнать историю проблемы и вместе порадоваться успеху Хельфготта.

Второй тонкий вопрос – это истинность любого общего высказывания об элементах пустого множества (задачи 3.3–3.5 и 3.12). В школьной программе он игнорируется из-за несоответствия формального и житейского подхода к нему. Это приводит к неоднозначному толкованию условия некоторых задач (в частности, с параметром). Несложная задача 3.11 служит для повторения материала предыдущего занятия, а ее сюжет связан с гораздо более сложной следующей задачей-парадоксом 3.12.

Задача 3.13 позволяет эффектно завершить занятие. Она не имеет отношения к его теме, содержательно в ней развивается наиболее сложная идея первого занятия, а сюжетно – линия Деда Мороза. Можно в начале занятия не выдавать ее вместе с другими задачами, а дать «на сладкое» двум кружковцам, решившим другие задачи быстрее остальных. В задаче 3.12 обсуждается существование Деда Мороза. После этого самое время выпустить «на сцену» двух «артистов», которые неопровержимо докажут существование Деда Мороза!

Однажды Танечка и Ванечка услышали про Африку. И подумали, что в Африке водятся большие звери. Они дождались, когда мама с папой уснули, и убежали в Африку. Там Танечка успела увидеть только мартышку, а Ванечка бегемота. Тут как раз проснулись родители. Они обо всем догадались и забрали детей из Африки домой. На обратном пути дети заспорили.

– Правда, африканские звери большие? Я же сам видел! – спросил у папы Ваня.

– Нет, африканские звери маленькие, – не соглашалась Таня. – Я тоже сама видела. Вот скажи, папа, кто из нас прав?

– А это смотря как понимать вопрос, – начал папа. – Можно так: «Верно ли, что НЕКОТОРЫЕ африканские звери большие?»

– Да, верно! – торжествующе посмотрел на сестру Ваня. – Например, бегемот, которого я видел.

– Молодец, – похвалил папа. – Для ответа «Да» на вопрос про некоторых достаточно привести один пример.

– А если бы я не увидел бегемота? – забеспокоился Ваня. – Тогда из-за Танькиной мартышки ответ был бы «Нет, неправда»?

– Ну что ты! – успокоил его папа. – Размеры животных не зависят от того, видишь ли ты их. Даже если встретишь тысячу маленьких мартышек, отвечать «Нет» еще рано. Понимаешь почему?

– Понимаю, – сказал Ваня. – Бегемот или другой пример мог просто хорошо спрятаться!

– Поэтому ответ «Нет» на вопрос про некоторых объяснить бывает непросто, – вздохнула мама. – Для этого требуется настоящее доказательство.

А папа продолжил:

– Но ваш вопрос можно понять и совсем по-другому: «Верно ли, что ВСЕ африканские звери большие?».

– Откуда мы знаем? Мы же не успели увидеть всех зверей, – начал было Ваня, но Танечка его перебила:

– А вот и знаем! Не все. Ведь я же видела маленькую мартышку!

– Хорошо, что ты ее увидела, – похвалил папа. – Твоя мартышка – прекрасный…

– Пример! – перебила Танечка.

– Почти, – согласился папа. – Только пример, который помогает опровергнуть предположение, называется КОНТРПРИМЕР. И для ответа «Нет» на вопрос про всех достаточно привести один контрпример.

– А если ответ был бы «Да»? – хором спросили дети. – Как называется нужный пример?

– Никак не называется, – ответил папа. – Потому что его нет. Никакими примерами не убедишь, что где-нибудь ВСЕ звери большие.

– Поэтому ответ «Да» на вопрос про всех объяснить бывает непросто, – вздохнула мама. – Для этого требуется настоящее доказательство.

– А если ты уже тысячу зверей встретил и все они большие? – с надеждой спросил Ванечка.

– Ну и что! – победно вскричала Танечка. – Хоть миллион! Моя маленькая мартышка тем более могла спрятаться! Еще получше твоего бегемота!

Пока Танечка и Ванечка выясняют, кто лучше прячется, опишем с помощью таблицы два типа утверждений:

Там, где стоят знаки вопроса, общего рецепта нет, для каждой задачи приходится искать свое доказательство.

Задача 3.1. Определите, какие из утверждений верны. Где можно, подтвердите свой ответ примером (контрпримером). В остальных случаях обоснуйте его по-другому.

1. Все нечетные числа простые.

2. Все простые числа нечетные.

3. Некоторые нечетные числа простые.

4. Некоторые простые числа нечетные.

5. Все четные числа составные.

6. Все числа вида р + 7, где р – простое, являются составными.

Ответ. Верны утверждения 3, 4, 6.

Решение. Привести контрпримеры к утверждениям 1, 2, 5 и примеры к утверждениям 3, 4 предоставляем читателю. Для доказательства утверждения 6 рассмотрим два случая. Если р = 2, то число р + 7 = 9 – составное. Если простое число p ≠ 2, то оно нечетное, поэтому р + 7 – четное и больше 2, следовательно, составное.

Задача 3.2. Верно ли высказывание: «Любое нечетное число, большее 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел»?

Обсуждение. На первый взгляд это утверждение мало отличается от сформулированных в предыдущем задании. Попробуем рассуждать так же. Для начала поищем контрпример (как в пунктах 1, 2 и 5 предыдущей задачи): 7 = 2 + 2 +3, 9 = 3 + 3 +3, 11 = 3 + 3 + 5 и т. д. Не получается? Что ж, попытаемся доказать, что утверждение верно (как в пункте 6). Тоже не получается? Не огорчайтесь, вы не одиноки! Еще в 1742 году Кристиан Гольдбах предложил эту задачу Леонарду Эйлеру. Позже она получила название тернарной проблемы Гольдбаха. Ей занимались многие математики, но лишь в 2013 году американский математик Харальд Хельфготт окончательно доказал, что гипотеза Гольдбаха верна. А бинарная проблема Гольбаха, упоминавшаяся на первом занятии, не решена до сих пор.

Задача 3.3*. Верно ли утверждение: «Все дожившие до наших дней тираннозавры умеют вышивать крестиком»?

Обсуждение. Утверждение звучит странно и на первый взгляд кажется неверным. Что ж, попробуем его опровергнуть. Для этого нужно привести контрпример – то есть дожившего до наших дней тираннозавра, не умеющего вышивать крестиком. Поскольку его не существует, то утверждение верно.

Ответ. Да, верно.

Комментарий 1. Сравним две последние задачи. Поиск контрпримера в обеих оказался затруднительным. Но эти затруднения разного характера. Контрпример к проблеме Гольдбаха мы найти не могли, но не были уверены, что его не сможет найти кто-то более умный или терпеливый. Поэтому вывода сделать не могли (а Харальд Хельфготт смог!). А вот живого тираннозавра не только мы с вами не можем найти, но и уверены, что никто другой не найдет.

Комментарий 2. Аналогично можно верно высказываться не только о живых тираннозаврах, но вообще обо всем, чего на самом деле нет. Например, все кролики, проглотившие удава, остались голодными. (Не верите? Тогда найдите кролика, проглотившего удава, и поинтересуйтесь, сыт ли он.) А все четные числа, оканчивающиеся на 5, оканчиваются на 7. С точки зрения формальной логики любое высказывание обо всех элементах пустого множества верно, потому что к нему не может быть приведен контрпример.

Есть и другая причина считать верными высказывания о современных тираннозаврах и прочих несуществующих объектах. Начнем с несомненно истинного высказывания «Все числа, кратные 12, четны». Дополнив условие, мы получим следствие из него, которое тоже должно быть истинным. Например, «Все трехзначные числа, кратные 12, четны». Или «Всякое число с суммой цифр 30, кратное 12, четно». Или «Всякое число с суммой цифр 100, кратное 12, четно». А теперь заметим, что числа с суммой цифр 100, кратные 12, – такие же несуществующие объекты, как и современные тираннозавры.

Задача 3.4*. Рассмотрим два высказывания:

А: Некоторым Мишиным одноклассникам 12 лет.

Б: Всем Мишиным одноклассникам 12 лет.

Можно ли, ничего не зная про Мишу, утверждать, что:

1) если верно А, то верно и Б;

2) если верно Б, то верно и А?

Обсуждение. Если бы речь шла об одном конкретном Мише, вопрос был бы неинтересен. Например, Миша учится в шестом классе, у него двадцать одноклассников и всем им по 12 лет; тогда оба высказывания, А и Б, истинны. Однако в задаче требуется понять, может ли для какого-нибудь Миши первое высказывание оказаться верным, а второе нет (т. е. возможен ли контрпример).

Решение. 1) Нельзя. Контрпример очевиден: пусть у Миши 5 (или любое другое натуральное число) одноклассников, которым двенадцать лет, и 20 (или любое другое натуральное число) тринадцатилетних одноклассников. Тогда А истинно, а Б ложно.

2) Как ни странно, тоже нельзя! Для построения контрпримера предположим, что Мише три года, и никаких одноклассников у него вообще нет. Верно ли утверждение Б? Верно! Кто не согласен, пусть предъявит контрпример – Мишиного одноклассника другого возраста. А утверждение А, означающее, что существует хотя бы один Мишин двенадцатилетний одноклассник, неверно.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.5. Землянин Вася сказал: «Все марсиане лжецы». Прав ли Вася?

Задача 3.6. Есть 30 гирек, которые весят 1 г, 2 г, 3 г, …, 30 г. Можно ли разложить их: 1) на две кучки одинакового веса; 2) на три кучки одинакового веса?

Задача 3.7. 1) Можно ли заполнить таблицу 3x3 натуральными числами так, чтобы сумма чисел в каждой строке была четным числом, а в каждом столбце – нечетным? 2) А таблицу 4x4?

Задача 3.8. Верно ли, что периметр любого четырехугольника, целиком находящегося внутри данного квадрата, меньше периметра этого квадрата?

Задача 3.9. Верно ли, что все числа вида 2ⁿ + 15, где n – натуральное число, простые?

Задача 3.10. Рассмотрим натуральные числа, в записи которых нет нулей.

1) Найдется ли среди них десятизначное число, делящееся на сумму своих цифр?

2) А стозначное?

Задача 3.11. 1) Какие из высказываний А – Д означают одно и то же?

2) Будем считать высказывание А истинным. Какие из других высказываний в таком случае наверняка истинны?

А: Дед Мороз – волшебник.

Б: Существует хотя бы один дед-волшебник.

В: Существует ровно один дед-волшебник.

Г: Некоторые деды – волшебники.

Д: Некоторые волшебники – деды.

Задача 3.12*. Найдите ошибку в рассуждениях.

«Рассмотрим три высказывания:

А: Существует хотя бы один дед-волшебник.

Б: Дед Мороз – волшебник.

В: Все деды – волшебники.

Можно ли утверждать, что если верно В, то верно и А? Нет: контрпримером является ситуация, когда множество дедов пусто (аналогично задаче про Мишиных одноклассников).

С другой стороны, если верно В, то верно и Б (иначе Дед Мороз служил бы контрпримером к высказыванию В). Но если верно Б, то верно и А (для доказательства существования достаточно привести пример, в данном случае Дед Мороз – пример). Итак, если верно В, то верно и А».

Задача 3.13 Прокомментируйте доказательство существования Деда Мороза, изложенное в виде диалога двух логиков.

Первый: «Если я не ошибаюсь, Дед Мороз существует».

Второй: «Разумеется, Дед Мороз существует, если вы не ошибаетесь».

Первый: «Следовательно, мое утверждение истинно». Второй: «Разумеется!»

Первый: «Итак, я не ошибся, а вы согласились с тем что если я не ошибаюсь, то Дед Мороз существует. Следовательно, Дед Мороз существует».

Занятие 4
Пиратская логика, или Высказывания с союзами «и», «или»

 
Пираты!
Ни пуха, ни пера!
 

Юлий Ким

На этом занятии кружковцы научатся строить отрицания к высказываниям с союзами «и» и «или». На нем продолжается работа с понятием отрицания и законом исключенного третьего, а также с кругами Эйлера в качестве иллюстраций. Появляются таблицы истинности, которые пригодятся на пятом занятии. Однако при желании его можно с минимальными изменениями провести и независимо от других занятий книжки, поскольку уровень сложности рассчитан на начинающих.

Но вот парадокс: дети сравнительно легко справляются с предложенными задачами. Если кто-то ошибся, он быстро исправляется. Но через некоторое время многие ошибутся в аналогичном месте. Почему?

Как указано в предисловии, основные трудности учащиеся испытывают там, где формальный смысл высказывания отличается от разговорной практики. Одно из таких отличий связано с тем, что если два простых предложения объединить союзом «и» в сложносочиненное, смысл сказанного на бытовом уровне не изменится. Какая, казалось бы, разница, как сказать: «Беня врун. И Веня врун» или «Беня и Веня оба вруны»? Если это говорит правдивый человек, действительно, никакой. А вот если лгун – разница есть (см. задачу 4.8). Другое отличие связано с разделительным и неразделительным пониманием союза «или» и описано в замечаниях между задачами 4.2 и 4.3 и в задаче 4.4. Чтобы такого рода трудности преодолеть, недостаточно сообщить таблицу истинности и решить одну задачу. Для большинства учащихся и одного занятия будет недостаточно. Рекомендуем руководителю кружка часть предложенных здесь задач оставить «на потом». Для закрепления можно брать дополнительные задачи, а можно и придумывать в необходимом количестве задачи, аналогичные задачам 4.2, 4.3, 4.6.

Четыре молодых пирата, Арчи, Бен, Вилли и Глен, зарыли на острове клад. Каждый запомнил место: от старой пальмы 100 футов на восток, потом 100 футов на север. Через много лет четыре старых пирата вернулись на остров за кладом. Как ни странно, старая пальма до сих пор уцелела! Впрочем, то, что до сих пор уцелели все четыре морских разбойника, следует признать еще более странным. Правда, несоблюдение режима дня и злоупотребление спиртными напитками не лучшим образом сказались на их памяти. И если стороны света настоящий пират не перепутает до самой смерти, то вот с числами дело обстояло куда хуже. Вот что думал каждый пират про место расположения клада:

Арчи: от пальмы 30 футов на восток, потом 120 футов на север;

Бен: от пальмы 100 футов на восток, потом 120 футов на север;

Вилли: от пальмы 30 футов на восток, потом 100 футов на север;

Глен: от пальмы 100 футов на восток, потом 100 футов на север.

Каждый отправился рыть свою яму. Пока пираты занимаются земляными работами, сравним их мнения. С одной стороны, Бен и Вилли ошиблись меньше, чем Арчи: каждый из них верно вспомнил одно из двух чисел. И, возможно, школьный учитель поставил бы Глену 5, Арчи 2, а Бену и Вилли 3 за частично верный ответ. Но при поисках клада место не может быть «частично верным»: оно указано либо верно, либо нет. И в результате Глен найдет клад, а Арчи, Бен и Вилли не найдут.

Математическая логика больше напоминает поиски клада, чем школьные оценки. Она не признает полуправды: всякое высказывание либо истинно, либо ложно. В нашем случае истинно лишь мнение Глена. Утверждения же трех пиратов, не нашедших клад, следует признать ложными.

Вообще, если высказывание составлено из двух простых высказываний, соединенных союзом «и» (или союзами «а», «а также», «но» или просто запятой), то оно:

• истинно, если истинны оба простых высказывания;

• ложно, если хотя бы одно из двух простых высказываний ложно.

Обозначив простые высказывания как А и Б, можно кратко записать это правило в виде таблицы истинности высказывания «А и Б». В этой таблице буква И означает истину, а Л – ложь.

Задача 4.1. Подберите подходящую строку в таблице истинности для высказываний каждого из 4 пиратов.

Ответ: Высказыванию Арчи соответствует четвертая строка, Бена – вторая, Вилли – третья, Глена – первая.

Задача 4.2. Какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны?

1) Утка умеет плавать и летать.

2) Курица умеет плавать и летать.

3) Камбала умеет плавать и летать.

Решение: 1) Высказывание истинно, так как составлено с помощью союза «и» из двух истинных высказываний: «Утка умеет плавать» и «Утка умеет летать». Оно соответствует первой строке таблицы истинности.

2) Высказывание ложно, так как составлено с помощью союза «и» из двух ложных высказываний: «Курица умеет плавать» и «Курица умеет летать». Оно соответствует четвертой строке таблицы истинности.

3) Высказывание ложно, так как составлено с помощью союза «и» из истинного высказывания «Камбала умеет плавать» и ложного «Камбала умеет летать». Оно соответствует второй строке таблицы истинности.

Комментарий. Изобразим ситуацию с помощью кругов Эйлера (см. рис. 5). Поместим в первый круг умеющих плавать, во второй – умеющих летать. Высказывание «…умеет плавать и летать» истинно для существ, находящихся в пересечении кругов, и ложно для всех остальных.

Рис. 5

Но не стоит покидать пиратов надолго. Пора вернуться на остров и посмотреть, чем они заняты. Клад пока не найден. Трое продолжают копать. И только самый сильный из них, Арчи, задумчиво сидит под пальмой. Он копал гораздо быстрее остальных и уже успел убедиться в своей ошибке. Теперь он знает, что высказывание «Клад находится в 30 футах к востоку и в 120 футах к северу от пальмы» ложно. Это означает, что ложно хотя бы одно из двух составляющих его простых высказываний. То есть клад находится от пальмы не в 30 футах к востоку или не в 120 футах к северу.

Замечание 1. Если говорить точнее, то клад находится от пальмы либо не в 30 футах к востоку, либо не в 120 футах к северу, либо и не в 30 футах к востоку, и не в 120 футах к северу. Звучит длинно и малопонятно. Для удобство математики договорились вместо «Либо А, либо Б, либо то и другое вместе» говорить короче: «А или Б». При этом подразумевается, что случай «А и Б оба выполняются» тоже возможен.

Таким образом, высказывание «А или Б»:

• истинно, если истинно хотя бы одно из составляющих его простых высказывания;

• ложно, если ложны оба составляющих его простых высказывания.

Составим для высказывания «А или Б» таблицу истинности:

Замечание 2. На самом деле значение союза «или» не всегда одинаково. Например, высказывание «Каждый сотрудник отеля владеет английским или русским языком» вполне допускает, что кто-то из сотрудников владеет обоими языками, что согласуется с таблицей истинности союза «или». А высказывание «Анкета заполняется на английском или русском языке» предполагает использование одного из двух языков, но не обоих сразу. Чтобы не путаться, при перечислении исключающих друг друга случаев договоримся вместо союза «или» использовать его синоним «либо… либо». Таблица истинности для высказывания «либо А, либо Б» выглядит так:

Задача 4.3. Какие из следующих шести высказываний истинны, а какие ложны?

1) Береза – это куст или дерево. Береза – это либо куст, либо дерево.

2) Собака – животное или камбала – рыба. Либо собака – животное, либо камбала – рыба.

3) Собака – это птица или рыба. Собака – это либо птица, либо рыба.

Решение: 1) Из двух простых высказываний «Береза – это куст» и «Береза – это дерево» первое истинно, а второе ложно. Поэтому высказывания и с союзом «или», и с союзом «либо… либо» в целом истинны, что соответствует второй строке таблицы истинности.

2) Оба простых высказывания истинны, поэтому истинно и высказывание с союзом «или». А с союзом «либо… либо» ложно: именно первыми строками и различаются их таблицы истинности.

3) Оба простых высказывания ложны, поэтому ложны и оба составных высказывания.

Задача 4.4. 1) В сказке Ганса Христиана Андерсена «Новое платье короля» обманщики пообещали, что «платье… обладает чудесным свойством становиться невидимым для всякого человека, который не на своем месте сидит или непроходимо глуп». Изобразите с помощью кругов Эйлера тех, для кого платье должно стать невидимым.

2) Вот отрывок из «Песни ткачей» Владимира Васильева:

 
Мы не напрасно взялись ткать,
Чтоб мог народ, в конце концов,
О короле сказать:
 
 
«Либо он дурак – либо не на месте,
Либо не на месте – либо он дурак,
Либо он дурак – либо не на месте,
Либо не на месте и дурак!»
 

Представим, что три представителя народа высказались о короле. Первый: «Либо он дурак – либо не на месте»; второй: «Либо не на месте – либо он дурак»; третий: «Либо он дурак, либо не на месте, либо не на месте и дурак». Одинаков ли смысл трех высказываний? Какое из них наиболее точно соответствует сказке?

Ответ. 1) Область выделена на рисунке 6 серым.

Рис. 6

2) Первые двое сказали одно и то же. А третье высказывание равносильно такому: «Он дурак или не на месте». Именно оно соответствует тексту Андерсена.

А что же пираты? Клад пока не найден. Но уже ясно, как определять истинность высказываний «А и Б» и «А или Б». Можно ли научиться с помощью флибустьеров еще чему-нибудь полезному? О да! Например, строить к таким высказываниям отрицания. Собственно говоря, отрицание к высказыванию Арчи уже построено. Сравним получившиеся противоположные высказывания:

(1) Клад находится в 30 футах к востоку и в 120 футах к северу от пальмы.

(2) Клад находится от пальмы не в 30 футах к востоку или не в 120 футах к северу.

Все просто: каждое простое высказывание заменено противоположным, а связка «и» заменена на «или».

Вообще, отрицанием к высказыванию «А и Б» служит высказывание «не А или не Б».

Отрицанием к высказыванию «А или Б» служит высказывание «не А и не Б».

Последние два предложения называются законами де Моргана. Но названы они так вовсе не в честь самого знаменитого пирата Карибского моря Генри Моргана, а в честь жившего на два века позже шотландского математика Огастеса де Моргана.

Задача 4.5. Постройте отрицания к высказываниям Бена, Вилли и Глена. Какие из этих отрицаний истинны?

Решение. Сразу можно сказать, что отрицания к ложным высказываниям Бена и Вилли сами будут истинными высказываниями, а отрицание к истинному высказыванию Глена будет ложным. Вот эти отрицания:

Бен: Клад находится от пальмы не в 100 футах к востоку или не в 120 футах к северу.

Вилли: Клад находится от пальмы не в 30 футах к востоку или не в 100 футах к северу.

Глен: Клад находится от пальмы не в 100 футах к востоку или не в 100 футах к северу.

Задача 4.6. Замените высказывания на противоположные:

1) Но с ветром худо и в трюме течи.

2) Ни Бог, ни дьявол не помогут ему спасти свои суда.

3) Случился штиль иль просто ветер встречный.

4) Вода и ветер сегодня злы, и зол, как черт, капитан.

Ответ. 1) С ветром все в порядке или трюм не течет.

2) Бог или дьявол помогут ему спасти его суда.

3) Не случилось ни штиля, ни встречного ветра.

4) Хотя бы один из трех: вода, ветер, капитан – сегодня добр.

Вот, пожалуй, и все, чему стоило поучиться у пиратов. Больше возвращаться на остров незачем: Глен вот-вот найдет клад, а на то, что произойдет после этого, детям до 18 лет смотреть не стоит. Как, впрочем, и взрослым. Вместо клада нас ждут…

Задачи для самостоятельного решения

Задача 4.7. В ансамбль приглашают всех, кто хорошо поет или танцует. Наташа хорошо и поет, и танцует. Пригласят ли ее в ансамбль?

Задача 4.8. Каждый из четырех гномов: Беня, Сеня, Веня и Женя – либо всегда говорит правду, либо всегда врет. Мы услышали такой разговор:

Беня – Вене: «Ты врун».

Женя – Бене: «Сам ты врун!»

Сеня – Жене: «Да оба они вруны!» Подумав, он добавил: «Впрочем, ты тоже».

Кто из гномов говорит правду?

Задача 4.9. Математик с тремя детьми пришел в пиццерию.

– Хочу, чтобы в пицце были помидоры или грибы, – потребовала Аня.

– Пиццу с помидорами и грибами я есть не буду, – заявил Боря.

– Если будут помидоры, а грибов не будет, то я не буду есть, – добавил Ваня.

– Отлично! – воскликнул математик. – Сделайте нам, пожалуйста, пиццу с…

Так какую же пиццу заказал математик, чтобы все дети ее ели?

Задача 4.10. Андрей является участником шоу-викторины. Главный приз спрятан в одном из ящиков. Андрей получает 4 подсказки:

1. Приз находится в синем или зеленом ящике.

2. Приз находится в красном или желтом ящике.

3. Приз находится в зеленом ящике.

4. В желтом ящике приза нет.

Три подсказки ошибочны и только одна правильная. Андрей поразмыслил и открыл правильный ящик. Ящик какого цвета он выбрал?

Задача 4.11. В доме 300 квартир. В квартиры, номера которых кратны 4 или 6, Дед Мороз принес шоколадку. А в квартиры, номера которых кратны 4 и 6, – айфон. Чего Дед Мороз принес в дом больше – айфонов или шоколадок? Во сколько раз?

Задача 4.12. Зайчишка-хвастунишка залез на пенек и громко закричал: «Во всем лесу нет никого меня смелее, нет никого меня умнее!». Он, конечно же, соврал. Какой из пяти выводов можно сделать?

(A) Все в лесу умнее и смелее его.

(Б) В лесу есть кто-то и умнее его, и смелее.

(B) В лесу есть кто-то его умнее.

(Г) В лесу есть кто-то его смелее.

(Д) В лесу есть кто-то умнее или смелее его.

Задача 4.13. Король подвел узника к двум дверям, ведущим в две комнаты. В каждой из них может находиться принцесса или тигр. При этом не исключено, что в обеих комнатах находятся принцессы или в обеих – тигры. Узник должен войти в одну из комнат. Если там окажется принцесса, то узник женится на ней. Если тигр – то он растерзает узника. На дверях висят таблички с надписями:

Король любезно сообщил, что на одной из табличек написана правда, а на другой – нет. Какую комнату вы посоветуете выбрать?

Задача 4.14. Другого узника ожидало похожее испытание. Но на этот раз король сказал, что утверждения на обеих табличках одновременно либо истинны, либо ложны. А написано было вот что:

В какую дверь следует идти узнику?

Задача 4.15. Для третьего узника король повесил на обе двери одинаковые таблички:

А сказал так: «Если в левой комнате находится принцесса, то утверждение на табличке истинно, если же тигр, то ложно. В правой же комнате все наоборот: утверждение ложно, если там находится принцесса и истинно, если тигр». Куда лучше идти узнику?

Задача 4.16. Один из пяти братьев испек маме пирог.

Никита сказал: «Это Глеб или Игорь».

Глеб сказал: «Это сделал не я и не Дима».

Игорь сказал: «Вы оба шутите».

Антон сказал: «Нет, один из них сказал правду, а другой обманул».

Дима сказал: «Нет, Антон, ты не прав».

Мама знает, что трое из ее сыновей всегда говорят правду. Кто испек пирог?

Задача 4.17. Четверо детей сказали друг о друге так:

Маша: «Саша, Наташа и Гриша умеют сидеть на стуле».

Саша: «Маша, Наташа и Гриша не умеют сидеть на стуле».

Наташа: «Маша и Саша солгали».

Гриша: «Маша, Саша и Наташа сказали правду».

Сколько детей на самом деле сказали правду?

Задача 4.18. «Хоп!» – это игра на внимательность. Игроки по очереди называют натуральные числа в порядке возрастания. Если число кратно 3 или содержит в записи цифру 3, то вместо него надо сказать «Хоп!». Если не ошибаться, получится ряд: 1, 2, хоп, 4, 5, хоп, 7, 8, хоп, 11, хоп, хоп, 14 и т. д. Кто по ошибке назовет запрещенное число, выходит из круга. Побеждает последний оставшийся игрок.

Пять ребят играли в «Хоп!». Известно, что числа 1 и 23 назвал Петя, 2 и 20 – Вася, а 5 и 15 – Таня. Сколько раз победитель сказал «Хоп!»?