Текст книги "Логика для всех. От пиратов до мудрецов"

Занятие 5
Можно ли дышать на Луне, или Следствие и обратные высказывания

Единожды солгавши, кто тебе поверит?

Козьма Прутков

На этом занятии ребята знакомятся с понятием следствия. Они должны осознать два факта:

• Высказывания А ⇒ Б и Б ⇒ А имеют разный смысл и могут быть истинными или ложными независимо друг от друга (а называются они обратными).

• Высказывание А ⇒ Б ничего не утверждает в случае ложности А.

Первый факт воспринимается гораздо легче второго, так как хорошо согласуется со здравым смыслом и повседневной речью. Одним кружковцам различие взаимно обратных высказываний понятно интуитивно, для других прояснится с помощью таблицы истинности, для третьих – с помощью кругов Эйлера. Мы рекомендуем продемонстрировать все способы рассуждения, посмотреть, какой из них наиболее понятен большинству, и в дальнейшем отдавать ему предпочтение. А при самостоятельном решении задач предоставлять рассказчику право опираться на какие угодно верные соображения и ни в коем случае не считать умение применять таблицы истинности или круги Эйлера самоцелью на этом занятии. Более того, если учитель считает один из подходов неуместным для своих учеников, можно его спокойно игнорировать и обходиться другими. Если же занятие проводится в полном объеме, рекомендуем не стирать с доски ни таблицы истинности, ни изображения их с помощью кругов Эйлера, и обращаться к одним и тем же иллюстрациям при решении разных задач. В частности, после рассказа кем-то из ребят решения задачи 5.4 предложить желающим «объяснить по-другому».

Второй факт при первом знакомстве вызывает недоумение, связанное с противоречием между формальной логикой и речевой традицией.

Предлагаем начать с задачи 5.3, имеющей «двойное дно». С одной стороны, в ней закрепляется понятие обратных высказываний. Надеемся, что ребята легко и с удовольствием приведут примеры двух связанных по смыслу высказываний А и Б. После этого учитель может привести свой пример иного типа, подобный предложенному в обсуждении этой задачи, и спросить ребят, подходит ли он. Развитию понимания того, что из лжи следует что угодно, служат задача 5.5, история про Рассела и задача 5.10. Если школьникам трудно это осознать, не пожалейте времени на совместное придумывание аналогичных высказываний. Может вызвать интерес и доказательство предложенных участниками кружка неверных утверждений исходя из неверного условия, аналогично рассуждениям Рассела о Папе Римском.

Убедительность контрпримера для отрицания следствия и неубедительность примера для его подтверждения обсуждается в задачах 5.4, 5.5, 5.9 и в комментарии к задаче 5.6. Эта идея уже выделялась на третьем занятии, но она заслуживает быть упомянутой более одного раза.

Простую забавную задачу 5.8 мы предлагаем для самостоятельного решения. Но потом она заслуживает общего обсуждения: понимание следствия как правила, применяющегося лишь при определенных условиях, поможет ребятам осознать, почему из ложного утверждения следует что угодно. После этого можно обратить внимание, что и утверждения предыдущих задач можно считать правилами.

Задачу 5.14 имеет смысл подробно обсуждать, если кружковцы уверенно различают прямое и обратное высказывания и интересуются лингвистикой. В других случаях можно ограничиться разбором понятного и смешного примера Шляпы. Можно предложить эту задачу в качестве домашнего задания, посоветовав обсудить ее с родителями и учителями русского и английского языков.

Ехал как-то рыцарь по своим рыцарским делам. И встретил двух мальчиков.

– Дяденька, покатай на лошадке! – попросили дети.

– Ну что ж, – усмехнулся рыцарь, – если кто-то из вас сможет удержать в руках мой меч, то я его покатаю.

Старший, Том, удержал меч, а его младший брат Тим даже приподнять его не смог. Но добрый рыцарь все же покатал обоих.

– Надо было только меня покатать! – возмутился Том. – Ты же рыцарь и не можешь лгать.

– А я сказал чистую правду, – объяснил рыцарь. – Ты удержал меч, я обещал за это покатать на коне и сдержал слово. Но я вовсе не обещал не катать того, кто меч не удержит!

Объяснение рыцаря соответствует законам формальной логики. Высказывания типа «Если А, то Б» можно обозначать «А ⇒ Б» (читается «из А следует Б»). Здесь А – причина, а Б – следствие. Такое высказывание считается ложным лишь в одном случае: А истинно, а Б ложно (мальчик удержал меч, но рыцарь его НЕ покатал). В остальных трех случаях оно истинно:

1) А и Б оба истинны (мальчик удержал меч, рыцарь его покатал);

2) А и Б оба ложны (мальчик НЕ удержал меч, рыцарь его НЕ покатал);

3) А ложно, а Б истинно (мальчик НЕ удержал меч, но рыцарь его покатал).

В нашей истории для Тима имел место последний случай, так что рыцарь сказал правду.

Запишем в общем виде таблицу истинности высказывания «А ⇒ Б», обозначая истинное высказывание буквой И, а ложное – буквой Л.

Проиллюстрируем таблицу с помощью кругов Эйлера (рис. 7). В первый круг (А) позовем всех мальчиков, которые удержали меч. Во второй (Б) – тех, кого рыцарь покатал на лошадке. Область истинности высказывания «А ⇒ Б» (т. е. место для мальчиков, для которых высказывание рыцаря истинно) выделена серым. В ней находятся высказывания и про Тома, и про Тима.

Рис. 7

Про мальчика, не удержавшего меч, рыцарь НИЧЕГО НЕ ОБЕЩАЛ. Другими словами, если А ложно (то есть мальчик не удержал меч), то высказывание А ⇒ Б истинно независимо от истинности Б (то есть от катания на лошадке).

Задача 5.1. Перед перекрестком папа остановил машину. «У нас мотор сломался!» – испуганно закричал Ваня. «С чего ты взял?» – удивился папа. «Но ты же сам говорил, что если мотор сломался, то машина не едет», – объяснил Ваня. Правильно ли он рассуждал?

Решение. Папа ничего не говорил о поведении машины с исправным мотором. Она может как ехать, так и стоять (например, на красный свет или просто в гараже). В обоих случаях:

• мотор исправен и машина едет;

• мотор исправен, машина не едет

утверждение «если мотор сломался, то машина не едет» является истинным.

Ванина ошибка в том, что он поменял местами причину и следствие. При этом вместо верного утверждения «Если мотор сломался, то машина не едет» получилось неверное «Если машина не едет, то мотор сломался».

Высказывания «А ⇒ Б» и «Б ⇒ А» означают не одно и то же (см. рис. 8). Высказывания, в которых причина и следствие поменялись местами, называются обратными друг другу. Высказывание, обратное к истинному, может оказаться как истинным, так и ложным.

Рис. 8

Задача 5.2. Постройте высказывание, обратное данному. Истинно ли данное высказывание? А обратное ему?

1) Если последняя цифра натурального числа – 0, 2, 4, 6 или 8, то оно четное.

2) Если натуральное число делится на 6, то оно четное.

3) Если натуральное число делится на 3, то оно делится и на 5.

Ответ. 1) Обратное утверждение: если натуральное число четное, то его последняя цифра – 0, 2, 4, 6 или 8. Оба высказывания истинны.

2) Данное высказывание истинно. Обратное – если натуральное число четное, то оно делится без остатка на 6 – ложно.

3) Ложно и данное высказывание, и обратное ему: если число делится на 3, то оно делится и на 5.

Задача 5.3. «Вырежем» из составного высказывания задачи 5.2 (п. 2) простые высказывания. А: «Число делится на 6», Б: «Число четное». Как мы убедились, для них высказывание «А ⇒ Б» истинно, а обратное ему высказывание «Б ⇒ А» – ложно. Приведите другие примеры высказываний А и Б с тем же свойством.

Обсуждение. Таких пар высказываний сколько угодно. Их можно условно разделить на два типа. Во-первых, высказывания А и Б могут быть связаны между собой по смыслу так, что из А действительно принято делать вывод Б (но не наоборот). Например:

А: Карл украл у Клары кораллы.

Б: Карл – вор.

Очевидно, что из А следует Б. А вот из того, что Карл – вор, еще не следует, что именно он украл кораллы.

Во-вторых, А может быть заведомо ложным высказыванием, а Б – истинным, при этом смысловая связь между А и Б может вообще отсутствовать. Например,

А: Новый год отмечается 31 июня.

Б: Волга впадает в Каспийское море.

Последний пример звучит непривычно. Но с точки зрения формальной логики высказывание «Если Новый год отмечается 31 июня, то Волга впадает в Каспийское море» истинно так же, как и «Если Карл украл у Клары кораллы, то Карл – вор». Убедиться в этом можно с помощью таблицы истинности.

Задача 5.4. Будем считать истинной пословицу «Кто не работает, тот и не ест».

1) Известно, что Иван ест. Обязательно ли он работает?

2) Известно, что Семен работает. Обязательно ли он ест?

Ответ. 1) Да; 2) нет.

Решение 1. 1) Высказывание «Если Иван не работает, то Иван не ест» истинно, а его вторая часть «Иван не ест» ложна. В соответствии с таблицей истинности такое возможно, только если первая часть «Иван не работает» тоже ложна. Следовательно, Иван работает. 2) Высказывание «Если Семен не работает, то Семен не ест» истинно, а его первая часть «Семен не работает» ложна. В соответствии с таблицей истинности такое возможно независимо от истинности второй части, т. е. от того, ест ли Семен.

Решение 2. На рисунке 9 серым выделена область истинности пословицы. Поэтому в белой части 1 никого нет. Иван может находиться только в части 4 (т. е. он и работает, и ест). Семен может находиться как в части 3 (тогда он работает, но не ест), так и в части 4 (и тогда он работает и ест).

Рис. 9

Решение 3. 1) Предположим, что Иван не работает. Тогда он не работает, но ест, и поэтому служит контрпримером к пословице. Пришли к противоречию с условием, значит, предположение неверно, и Иван работает. Заметим, что аналогичное «решение» для пункта 2 неубедительно, так как если мы не нашли противоречия, это еще не значит, что его нет.

Задача 5.5. Верно ли высказывание «Если человек допрыгнет с Земли до Луны, то он сможет там дышать»?

Ответ. Да.

Обсуждение. На первый взгляд, сказана двойная глупость. Ни допрыгнуть до Луны, ни дышать на ней ни один человек не сможет. То есть и высказывание А (человек может допрыгнуть до Луны), и высказывание Б (человек сможет дышать на Луне) ложны. Но поскольку условие А ложно, высказывание А ⇒ Б истинно независимо от истинности заключения Б. Если вам все же трудно поверить в истинность высказывания «Если человек допрыгнет с Земли до Луны, то он сможет там дышать», то подумайте, кто мог бы его опровергнуть. Только человек, допрыгнувший до Луны!

Комментарий 1 (исторический). В некотором смысле такой человек был. Перед тем, как 20 июля 1969 года сделать шаг с трапа на поверхность Луны, американский астронавт Нил Армстронг сказал: «Это маленький шаг для человека, но огромный прыжок для человечества». Но даже если считать достижение Армстронга прыжком с Земли, наше утверждение он, к счастью, не опроверг и благополучно вернулся домой.

Комментарий 2 (математический). С подобной ситуацией мы уже сталкивались на первом занятии при обсуждении живых тираннозавров, вышивающих крестиком. Аналогия не случайна: высказывания про всех и следствия могут быть переделаны друг в друга.

Задача 5.6. 1) Сформулируйте высказывание, начинающееся со слова «все», имеющее тот же смысл, что высказывание «Если человек допрыгнет с Земли до Луны, то он сможет там дышать».

2) Сформулируйте высказывание с союзом «если… то», имеющее тот же смысл, что высказывание «Все дожившие до наших дней тираннозавры умеют вышивать крестиком».

Ответ. 1) Все люди, допрыгнувшие до Луны, смогут там дышать. 2) Если тираннозавр дожил до наших дней, то он умеет вышивать крестиком.

Комментарий. Теперь ясно, что истинность обоих высказываний – и про тираннозавров, и про допрыгнувших до Луны – можно доказать двумя способами. Во-первых, для элементов пустого множества верно любое утверждение, так как контрпримера заведомо нет. Во-вторых, из ложного условия можно делать какое угодно заключение.

Сказанное в обсуждении задачи 5.5 можно обобщить: из ложного утверждения следует ЛЮБОЕ другое утверждение, в том числе и ложное. Другими словами, допустив одну ложь, пусть даже «самую маленькую», можно логически доказать что угодно! В это трудно поверить. Узнав об этом от Бертрана Рассела, один философ был потрясен и спросил: «Вы всерьез считаете, что из неверного утверждения „Два плюс два – пять“ следует, что вы – Папа Римский?» Рассел в ответ привел такое доказательство: «Пусть 2 + 2 = 5. Известно также, что 2 + 2 = 4. Следовательно, 4 = 5. Вычитая 3, получаем, что 1 = 2. Я и Папа Римский – два человека. Следовательно, я и он – это один человек».

Задачи для самостоятельного решения

Задача 5.7. 1) Верно ли, что если Женя – Борин брат, то Боря – Женин брат?

2) Составьте обратное высказывание. Верно ли оно?

Задача 5.8. На планете Плюк действует правило: увидев чатланина, житель планеты должен сказать «Ку». В суд поступили дела пяти обвиняемых в нарушении этого правила:

1) Первый сказал «Ку» облезлой кошке.

2) Землянин Второй ничего не сказал при встрече с главным чатланином.

3) Часовой Третий спал на посту, не заметил подошедшего чатланина и ничего ему не сказал.

4) Четвертый сказал чатланину: «Ку. Как противно приветствовать такого мерзавца!»

5) Пятый не знал, что Шестой – чатланин, поэтому при встрече сказал ему: «Здравствуйте, уважаемый!»

Кто, с вашей точки зрения, нарушил данное правило, а кто нет?

Задача 5.9. Пусть на клетчатой бумаге нарисован многоугольник, составленный из целых клеточек. Рассмотрим два утверждения:

1) Если многоугольник можно разрезать на доминошки (прямоугольники 1 х 2), то количество клеточек четно.

2) Если количество клеточек четно, то многоугольник можно разрезать на доминошки.

Верны ли эти утверждения? Можно ли их доказать (опровергнуть) с помощью примера (контрпримера)?

Задача 5.10. Говорят, что если человек сорвет цветок папоротника, то станет понимать язык животных. Правду ли говорят?

Задача 5.11. Из утверждений «Число а делится на 2», «Число а делится на 4», «Число а делится на 12» и «Число а делится на 24» три верных, а одно неверное. Какое? Найдите три таких числа а.

Задача 5.12. На столе лежат четыре карточки, на которых сверху написано: «А», «Б», «4», «5». Известно, что на одной стороне каждой карточки написана буква, на другой – натуральное число. Какое наименьшее число карточек надо перевернуть, чтобы проверить истинность утверждения: «Если на одной стороне карточки написано четное число, то на другой – гласная буква»?

Задача 5.13. На вопрос, какая завтра будет погода, синоптик верно ответил:

(1) «если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя»;

(2) «если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра»;

(3) «если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра».

Определите погоду на завтра.

Задача 5.14*. Прочитайте отрывок из сказки Льюиса Кэрролла «Алиса в стране чудес» в переводе Бориса За-ходера. Алиса путает высказывания «А ⇒ Б» и «Б ⇒ А», а ее собеседники поясняют, почему это не одно и то же. Все ли их примеры удачны?

«– Так бы и сказала! – укоризненно сказал Заяц. – Надо говорить то, что думаешь!

– Я всегда так и делаю! – выпалила Алиса, а потом, чуточку подумав, честно прибавила: – Ну, во всяком случае… во всяком случае, что я говорю, то и думаю. В общем, это ведь одно и то же!

– Ничего себе! – сказал Шляпа. – Ты бы еще сказала: „я вижу все, что ем“, и „я ем все, что вижу“ – это тоже одно и то же!

– Ты бы еще сказала, – подхватил Заяц, – „я учу то, чего не знаю“ и „я знаю то, чего не учу“ – это тоже одно и то же!

– Ты бы еще сказала, – неожиданно откликнулась Соня, не открывая глаз, – „я дышу, когда сплю“ и „я сплю, когда дышу“ – это тоже одно и то же…»

Занятие 6
«…И чушь прекрасную несли», или Как рассуждать логично, не вдумываясь в смысл высказываний

На одну здравую пару посылок… встретившуюся вам при чтении газеты или журнала, приходится по крайней мере пять пар, из которых вообще нельзя вывести никаких заключений. Кроме того, даже исходя из здравых посылок, автор приходит к правильному заключению лишь в одном случае, в десяти же он выводит из правильных посылок неверное заключение.

Льюис Кэрролл. «Логическая игра»

Логические задачи для начинающих фактически являются задачами на здравый смысл, при их решении законы формальной логики и бытовая логика работают одинаково. На следующем уровне становится интересно решать задачи, само условие которых абсурдно, и рассуждения об истинности составных высказываний не могут опираться на истинность или ложность составляющих их простых высказываний. Богатая коллекция таких задач, развивающих умение работать с общими и частными высказываниями, содержится в книге Льюиса Кэрролла «Логическая игра». Как пишет Ю. Данилов в предисловии к этой книге, «не велика хитрость идти по видимым ориентирам – выводить правильное заключение из суждений, не противоречащих здравому смыслу. В этом случае правильный ответ можно получить, даже если рассуждать неверно: выручит интуиция, опыт…Если рассуждение противоречит здравому смыслу… мы уподобляемся мореходу, ведущему свое судно вдали от берега по счислению».

Организовать самостоятельное решение задач на этом занятии может оказаться непросто: дети будут моментально и одновременно придумывать вперемешку верные и неверные решения, и учитель не успеет их проконтролировать. Тут есть два совета. Во-первых, можно настаивать на записи выводов в задаче 6.10 и рассуждений в задаче 6.11 (это удобно не только для контроля, но и для самоконтроля). Во-вторых, послушав решения у нескольких первых ребят, можно назначить каждого из них «экспертами» по одной или нескольким задачам и доверить им прием задач у других участников кружка.

Занятие небольшое по объему. Это сделано сознательно: предлагать много подобных задач подряд автору кажется столь же ненужным, как и много сладостей на полдник. Лучше иногда возвращаться к ним, используя дополнительные задачи или непосредственно «Логическую игру» Кэрролла.

Задача 6.1. Верно ли сделаны выводы?

1) Все металлы проводят электричество. Ртуть – металл. Следовательно, ртуть проводит электричество.

2) Все арабы смуглы. Ахмед смугл. Следовательно, Ахмед – араб.

Решение. 1) Ртуть находится внутри круга металлов, который в свою очередь находится внутри большего круга проводников электричества (рис. 10). Значит, ртуть проводит электричество. Вывод верен.

Рис. 11

2) Ахмед заведомо находится внутри внешнего круга. А вот внутри или снаружи внутреннего – неизвестно. Поэтому вывод о том, что Ахмед – араб, неверен. Это не значит, что Ахмед не может быть арабом. По данным задачи никакого вывода о национальности Ахмеда сделать нельзя (рис. 11).

Рис. 11

В первой задаче мы считали исходные утверждения истинными, поэтому могли полагаться не только на формальные рассуждения и их графические иллюстрации, но и на здравый смысл. Попробуем теперь поиграть в игру с необычными правилами. Не будем бояться неверных утверждений. Более того, вообще не будем интересоваться истинностью высказываний. Несмотря на это, постараемся разобраться, насколько логичны переходы от одних высказываний к другим. Помогут нам в этом круги Эйлера, а в случае неверных выводов еще и контрпримеры.

Задача 6.2. Все вороны собирают картины. Некоторые вороны сидят в птичьей клетке. Следует ли из этого, что некоторые собиратели картин сидят в птичьей клетке?

Ответ. Да.

Решение. Сначала нарисуем, что все вороны собирают картины (рис. 12). Теперь нарисуем, что некоторые вороны сидят в птичьей клетке (рис. 13). Тут возможны две ситуации, но в любом случае существует ворона, собирающая картины и сидящая в птичьей клетке.

Рис. 12

Рис. 13

Задача 6.3. Все вороны собирают картины. Некоторые собиратели картин сидят в птичьей клетке. Следует ли из этого, что некоторые вороны сидят в птичьей клетке?

Ответ. Нет.

Решение 1. То, что все вороны собирают картины, выглядит так же, как и в предыдущей задаче. По условию круг собирателей картин пересекается с кругом сидящих в птичьей клетке. А вот пересекается ли он с кругом ворон – неизвестно (см. рис. 14).

Рис. 14

Решение 2. Приведем контрпример. Пусть есть всего одна ворона А. Она собирает картины, но не сидит в клетке. Еще есть попугай В, который собирает картины и сидит в птичьей клетке. Тогда оба условия выполнены, но никакая ворона не сидит в птичьей клетке.

Замечание. Конечно, с точки зрения здравого смысла приведенный пример абсурден – но не более, чем условие задачи. Логика лишь учит нас правильно делать выводы из исходных утверждений. Ничего удивительного нет в том, что из странных утверждений получаются странные выводы.

До сих пор мы обсуждали только утвердительные высказывания. Чтобы делать выводы из отрицательных высказываний, иногда проще всего заменить их на утвердительные высказывания того же смысла. Например, вместо высказывания «Ни одно доброе дело не остается безнаказанным» можно рассматривать такое: «За любое доброе дело наказывают». Но можно нарисовать и исходное высказывание (рис. 15).

Рис. 15

Задача 6.4. Ни одна кочерга не мягкая. Все подушки мягкие. Какой можно сделать вывод?

Решение. Нарисовав высказывания, видим, что никакой предмет не является кочергой и подушкой одновременно. Сформулировать это можно двумя способами: «Ни одна кочерга не является подушкой» или «Ни одна подушка не является кочергой» (рис. 16).

Рис. 16

Зачем математику уметь работать с абсурдными утверждениями? В естественно возникающих задачах вряд ли могут встретиться вороны, собирающие картины. Однако с посылками сомнительной истинности приходится сталкиваться постоянно. И бывает полезно заранее понять, имеет ли смысл их доказывать или опровергать. Скажем, в условии задачи дано А и требуется определить, верно ли В. Пусть нам ясно, что В следует из Б, но неизвестно, верно ли Б. Стоит ли пытаться вывести Б из А? Да, стоит: если А ⇒ Б, то В верно. Но если окажется, что Б не следует из А, то никакого вывода об истинности В сделать пока не удастся. Рассмотрим пример подобных рассуждений.

Задача 6.5. Является ли точным квадратом число:

а) 1234567; б) 10101… 01 (всего 2015 единиц и 2014 нулей); в) 20122013201420152016?

Ответ, а), б), в) Нет.

Решение, а) Ни одно натуральное число, оканчивающееся на 7, не является квадратом натурального числа. Число 1234567 оканчивается на 7. Следовательно, оно не является квадратом.

Комментарий. Логически решение безупречно, но верно оно, только если верны обе посылки. Истинность второй не вызывает сомнений. Чтобы убедиться в истинности первой, достаточно поочередно возвести в квадрат все однозначные числа. А то, что последняя цифра числа полностью определяет последнюю цифру его квадрата, ясно каждому, кто умеет умножать в столбик.

б) Попробуем действовать так же и подумаем, верно ли высказывание: «Ни одно натуральное число, оканчивающееся на 1, не является точным квадратом». К сожалению, неверно. Контрпримерами служат, в частности, 1 и 81. К еще большему сожалению, из этого нельзя сделать никакого вывода, кроме того, что надо решать задачу по-другому. Рассмотрение двух последних цифр столь же бесполезно, квадрат числа вполне может оканчиваться на 01, например, 101² = 10201. Но что такое последняя цифра? Остаток от деления на 10 (а две последние цифры – от деления на 100). Рассматривая остатки от деления на 3, приходим к такому короткому решению:

Сумма цифр данного числа равна 2015, поэтому оно дает остаток 2 при делении на 3. Но квадраты всех натуральных чисел делятся на 3 либо без остатка, либо с остатком 1. Значит, данное число не является точным квадратом.

в) В этом числе сумма цифр сразу не видна, но ее можно вычислить. Прежде чем вычислять, подумаем, зачем это надо. Если она делится на 3 с остатком 2, то схема решения та же, что и в предыдущем пункте. Нетрудно убедиться, что так оно и есть; точно вычислять сумму необязательно.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 6.6. Каждый англичанин любит играть в гольф. Майкл любит играть в гольф. Можно ли наверняка утверждать, что он англичанин?

Задача 6.7. Докажите с помощью контрпримера, что вывод сделан неверно.

1) Все мои друзья – болельщики «Спартака». А некоторые болельщики «Спартака» занимаются спортом. Следовательно, некоторые мои друзья занимаются спортом.

2) Некоторые кочаны капусты – паровозы. Некоторые паровозы играют на рояле. Значит, некоторые кочаны капусты играют на рояле.

Задача 6.8. Покажите с помощью рисунка, что рассуждение верное.

1) Все крокодилы умеют летать. Все великаны являются крокодилами. Значит, все великаны могут летать.

2) Некоторые сны ужасны. Ни один ягненок не способен вызвать ужас. Следовательно, некоторые сны не ягнята.

Задача 6.9. Определите, какие из приведенных рассуждений истинны, а какие ложны.

1) Все англичане любят пудинг. Ни один француз не любит пудинг. Следовательно, ни один француз не англичанин.

2) Ни один лентяй не достоин славы. Некоторые художники – не лентяи. Следовательно, некоторые художники достойны славы.

Задача 6.10. Сделайте вывод, если это возможно:

1) Сахар сладкий. Некоторые сладкие вещи очень нравятся детям.

2) Некоторые горные кручи непреодолимы. Все заборы вполне преодолимы.

3) Гусеницы не отличаются красноречием. Джон красноречив.

4) Все шутки придуманы для того, чтобы смешить людей. Ни один закон не шутка.

5) Музыка, которую слышно, вызывает колебания воздуха. Музыка, которую не слышно, не стоит того, чтобы за нее платили деньги.

Задача 6.11. Придумайте свои примеры верных и неверных рассуждений про всех и некоторых.

Задача 6.12. В следующем рассуждении истинность исходных высказываний не вызывает сомнения. Верен ли вывод? Почему?

Все сочинения Пушкина нельзя прочитать за одну ночь. «Сказка о рыбаке и рыбке» – сочинение Пушкина. Следовательно, «Сказку о рыбаке и рыбке» нельзя прочитать за одну ночь.