Текст книги "Большая книга тестов. Узнай себя и своих близких"

Угадывание чисел

Это очень сложная головоломка, в которую следует играть вдвоем. При этом соперники должны обладать математическими способностями и определенными знаниями.

Условие

Один из игроков задумывает 10 натуральных чисел: s_p s₂, s₃, s₁₀. Соперник старается угадать их, задавая определенные вопросы. Разрешается задавать вопросы следующего типа: чему равна сумма b₁s₁ + b₂s₂ + … + b₁₀s₁₀, где b₁, b₂, b₁₀ – некоторые натуральные числа? При этом угадать задуманные числа следует не более, чем за 5 вопросов.

Решение

Выяснить, какие числа загадал соперник, вы можете всего за два вопроса. За первый вопрос следует узнать значение выражения s₁ + s₂ + s₃ + … + s₁₀. Предположим, что оно равно m. Возьмем достаточно большое число n, такое, что 10n > m. Задав второй вопрос, нужно узнать значение выражения s₁ + 10ns₂ + 102ns3 + … + 109ns10.

Подсказка: первым вопросом следует узнать, что все числа s₁, s₂, s₃, s₁₀ меньше некоторой константы.

Если значение этого выражения равно г, то в десятичной записи числа г справа налево будут идти группы из n-цифр, дающие десятичные записи чисел s₁, s₂, s₃, s₁₀, возможно с несколькими нулями впереди (поскольку s₁, s₂, s₃, s₁₀ < 10n, при сложении чисел s₁, 10ns₂, 102ns3, 109ns10 в столбик переносов не возникает).

Вычеркивание чисел

В эту игру следует играть вдвоем. Как и в предыдущей игре, соперникам нужны определенные знания математики.

Условие

Игроки по очереди вычеркивают 9 чисел (по своему выбору) из последовательности 1, 2,100, 101. После одиннадцати таких вычеркиваний останутся 2 числа. Первому игроку присуждается столько очков, какова разница между этими оставшимися числами.

Подсказка: первым ходом нужно вычеркнуть числа из середины.

Решение

Первым ходом вам следует вычеркнуть 9 чисел от 47 до 55. Остальные числа разбиваются на пары: 1 – 56, 2 – 57, 46 – 101. После каждого хода соперника, вам нужно вычеркнуть числа таким образом, чтобы в каждой паре было вычеркнуто или оба числа, или ни одного.

Таким образом, в конце останется пара чисел, разность которых равна 55. Это самое большое количество очков, которое можно получить в этой игре.

Простые игры-головоломки

В такие игры могут играть даже дети. Тем не менее они интересны и взрослым. Для большинства таких игр вам потребуются листы бумаги и ручки.

Собаки и кошки

В эту игру следует играть вдвоем. Первый игрок задумывает любое четырехзначное число, содержащие разные цифры. Соперник старается угадать это число.

При каждом ходе отгадывающий называет четырехзначное число с разными цифрами. Если цифра из названного числа присутствует в отгадываемом числе, такая ситуация называется «собака». Если же цифра из названного числа есть в отгадываемом числе и стоит на том же самом месте, такая ситуация называется «кошка».

Предположим, первый игрок задумал число 5732, а его соперник назвал число 3798. Первый игрок должен сказать противнику: «Одна кошка и одна собака». Второй в свою очередь запоминает это или записывает на листке бумаги.

Свое число задумывает каждый из игроков. Они ходят по очереди. Выигрывает тот, кто раньше отгадает число соперника.

Морской бой

Цель этой игры – уничтожить объекты (корабли) противника. Играют в «морской бой» вдвоем. Каждому из игроков следует начертить по два квадратных поля размером 10 х 10 клеток и нарисовать на одном из них корабли (рис. 1).

Рис. 1.

Вооруженные силы каждого игрока должны содержать следующие объекты:

– четыре однопалубных корабля (1 клетка);

– два двухпалубных корабля (2 клетки);

– два трехпалубных корабля (3 клетки);

– один четырехпалубный корабль (4 клетки). Корабли нельзя располагать вплотную друг

к другу, то есть между двумя соседними объектами должна быть как минимум одна свободная клетка.

Вы выбираете клетку, называете ее координаты и «стреляете» в этот квадрат. Если вы потопили корабль противника, последний должен сказать: «Убил». Если вы ранили корабль (то есть попали в объект, имеющий больше чем одну палубу), то соперник должен сказать: «Ранил». В случае попадания в корабль соперника вы получаете дополнительный ход.

Игра заканчиваеся, когда один из ее участников теряет все корабли.

Морской бой по-английски

В эту игру, как и в традиционный морской бой, играют вдвоем. Каждому игроку сначала нужно начертить два квадратных поля размером 10 х 10 клеток и нарисовать такое же количество кораблей, как и в предыдущей игре.

После этого один из игроков называет сразу несколько (от 3 до 10, по уговору) координат клеток на поле противника. Последний сообщает нападающему, сколько попаданий произошло, однако не указывает, на каких делениях находятся убитые или раненые корабли, а затем сам делает ход. С каждым ходом соперников уменьшается количество уцелевших кораблей.

Победа присуждается самому меткому игроку.

Морской бой по-американски

Каждый игрок чертит два игровых поля размером 22 х 14 клеток, после чего делят их по-полам – на море и сушу. На море располагаются такие же объекты, как и в традиционном морском бое, а на суше игроки рисуют четыре танка (по 1 клетке) и четыре самолета (по 4 клетки).

Игру проводят по тем же правилам, что и традиционный морской бой.

Самолеты следует рисовать в виде буквы «Т».

Бой канонерок

Это еще один из вариантов «Морского боя». Каждый из игроков чертит два поля размером 10 х 10 клеток и, как в традиционной игре, рисует на одном из них боевые единицы – корабли, которые состоят из одной клетки.

Игра проводится по правилам обычного морского боя.

Летучий голландец

В этой игре, в отличие от традиционного морского боя, фигурирует только один многопалубный (8 клеток) корабль.

Игроки рисуют по два игровых поля размером 20 х 20 клеток. Корабль должен занимать несколько клеток по горизонтали, вертикали и диагонали. Противники ходят по очереди. Если кто-нибудь из них попадает в палубу корабля соперника, последний имеет право передвинуть своего «летучего голландца» на любое другое свободное место своего игрового поля. При этом корабль теряет затонувшую палубу, но его контур остается прежним.

Виселица

Это популярная игра-головоломка, созданная специально для двух игроков. Для нее вам понадобятся чистый лист бумаги и ручка (карандаш).

Один из игроков задумывает слово. При этом он должен быть уверен, что его соперник знает это слово и знаком с его правильным написанием. На листке бумаги он пишет первую и последнюю букву этого слова, а вместо остальных букв ставит звездочки или точки. Например, г*******а (гильотина).

Соперник называет любую букву, которая, по его мнению, входит в состав этого слова. Если такая буква в слове есть, другой игрок вписывает ее вместо звездочки (если таких букв две, три и более, он вписывает их все). Если буква отсутствует в этом слове, он рисует первую деталь виселицы. Противник продолжает называть буквы до тех пор, пока не отгадает все слово. За каждый неправильный ответ первый игрок рисует по очереди все детали виселицы, а затем части туловища повешенного.

Если туловище нарисовано раньше, чем противник угадывает слово, первый игрок побеждает. Если его соперник отгадывает слово правильно до того, как детали виселицы и туловище нарисовано полностью, побеждает он, и тогда наступает его очередь задумывать слово.

Коридорчики

Для этой игры вам понадобятся лист бумаги в клетку прямоугольной или квадратной формы. Игроки по очереди проводят вертикальные или горизонтальные линии в одну клетку.

Тот, кому удалось замкнуть линиями клетку, ставит в ней крестик (нолик) и получает еще один ход. Когда все клетки окажутся занятыми, подсчитывают, кто из игроков захватил больше клеток.

Головоломки со взвешиванием

В такие игры вы можете играть как в одиночестве, так и в компании друзей, предложив им решить одну из головоломок за определенное время. Выигрывает тот, кто первым правильно решит задачу.

Фальшивые монеты

Условие

На столе лежит десять пронумерованных коробочек. В каждой из них лежит по десять монет.

В одной из коробочек находятся фальшивые монеты.

Настоящая монета весит 10 г, а поддельная – 9. В помощь даны весы со шкалой в граммах.

Как определить, в какой коробочке находятся фальшивые монеты, используя весы только для одного взвешивания? Весы могут взвешивать не более 750 г.

Ответ

Возьмем из первой коробочки одну монету, из второй две, из третьей три и т. д. Всего получается 55 монет, общий вес которых должен быть 550 г. Но так как среди них есть фальшивые, то показанный весами вес будет отличаться от 550 г на номер коробочки с фальшивыми монетами.

Другими словами, если весы покажут 544 г, то фальшивые монеты в шестой коробочке: 550–544 = 6.

Существует и второй способ решения этой головоломки. Можно взять монеты только из девяти коробочек. Если общий вес будет 450 г, значит фальшивые монеты в десятой коробочке. Остальное аналогично первому решению.

Пленники

Условие

Граф, графиня и их дочь находятся в темнице высокой башни. Они весят 80, 42 и 36 кг соответственно. Еду им поднимали в двух больших корзинах, прикрепленных к концам длинной и прочной веревки, которая была перекинута через балку, вбитую под самой крышей.

Однажды получилось так, что, когда одна корзина находилась на земле, другая была на уровне окна в камере пленников. Эти корзины стали единственной надеждой на спасение. Разумеется, когда одна корзина становилась тяжелее другой, она опускалась. Но если разница в весе превышает 6 кг, корзина опускалась вниз. Единственное, что может помочь пленникам бежать из замка, это находящееся в их камере пушечное ядро весом 30 кг.

Попробуйте, используя пушечное ядро как противовес, помочь пленникам очутиться на свободе.

Ответ

Сначала спускается дочь, используя пушечное ядро в качестве противовеса. Достигнув земли, она не вылезает из корзины. Графиня занимает место ядра и спускается вниз, используя дочь в качестве противовеса.

Затем дочь поднимается вверх и вместе с графом кладет в корзину ядро. В опустившуюся корзину вместе с ядром садится графиня, что позволяет графу опуститься на землю. Когда он оказывается внизу, графиня с ядром поднимается наверх, она вылезает, а корзина с ядром опускается вниз.

В пустую корзину наверху садится дочь и спускается на землю. Графиня вытаскивает ядро из поднявшейся корзины и спускается вниз, используя дочь как противовес. Дочь кладет в пустую корзину ядро, а сама садится в поднявшуюся корзину и спускается, используя ядро в качестве противовеса.

Кофе в коробках

Условие

Как развесить 20 кг кофе в 10 коробок по 2 кг в каждой за девять взвешиваний, имея только гири весом по 5 и 9 кг и используя большие весы с двумя чашами?

Ответ

На одну чашу весов следует положить гирю весом 5 кг, на другую – гирю весом 9 кг. После этого нужно уравновесить весы, насыпав 4 кг кофе в чашу с гирей 5 кг.

Затем необходимо убрать гири с чаш весов, оставить 4 кг кофе в одной чаше и уравновесит весы, насыпав во вторую чашу еще 4 кг кофе.

После этого следует отвесить еще 4 кг кофе, а затем еще 4 кг и еще 4 кг.

Таким образом, после четырех взвешиваний в остатке будет тоже 4 кг кофе. Их нужно разделить пополам, уравновесив чаши весов.

Серебро и медь

Условие

Имеется 100 серебряных монет разных размеров и 101 медная монеты также разных размеров. Если у одной монеты размер больше, чем у другой, то она весит больше, но это верно только для монет, изготовленных из одного и того же металла.

Все монеты можно легко упорядочить по размерам на глаз. Разумеется, отличить серебро от меди тоже можно.

Как за восемь взвешиваний определить, какая монета из всех занимает по весу 101-е место?

Решая головоломку, следует помнить, что все монеты различаются не только по размеру, но и по весу.

Ответ

Сначала все монеты следует выложить в два ряда в порядке возрастания размера: медные отдельно, серебряные отдельно. Пусть первая по счету в каждом ряду монета самая большая и тяжелая. Среднюю по весу монету можно найти, одну за другой взвешивая средние монеты каждого ряда.

Сначала нужно взвесить 51-ю медную монету и 50-ю серебряную. Если первая тяжелее, то искомая монета находится среди 52-101-й медной и 51-100-й серебряной, то есть 51 + 50 монет. Остальные монеты можно отложить.

После этого следует снова взвесить средние монеты.

Поскольку число вариантов растет в геометрической прогрессии, мы рассмотрим только итоги. Из 51 + 50 монет нужно выбрать и сравнить 25-ю и 26-ю монеты. Остается 26 + 25 монет.

Затем необходимо взвесить 13-ю монету каждого ряда. Остается 13 + 13 или 13 + 12 монет. Далее мы рассмотрим только случай 13 + 13 и 13 + 12 аналогично.

После этого надо взвесить 7-ю монету каждого ряда. Остается 7 + 7 монет. Затем – 4-ю и 3-ю монеты каждого ряда. Остается 4 + 3 монеты.

Предположим, что остались медные монеты А, В,С,Би серебряные X, Y, Z (все в порядке возрастания).

Следует взвесить монеты В и Y. Если В > Y, то средняя по весу монета – это одна из C, D, X, Y, если нет, то это одна из А, В, Z.

В первом случае нужно взвесить монеты С и Y. Какая из них больше, та и искомая. Если же С > Х, следует взвесить монеты D и Х: какая из них больше, та и искомая.

Пиво на троих

Условие

Три человека купили сосуд, полностью заполненный 24 л пива. Потом они приобрели три пустых сосуда объемом 5, 11 и 13 л. Как им поделить пиво на равные части за пять переливаний, используя только эти четыре сосуда?

Ответ

Как видно из условия, сосуды могут содержать 24, 13, 11 и 5 л пива. Их начальное состояние: 24, 0, 0 и 0 л пива.

Решение:

1– е переливание – 8, 0, 11, 5;

2– е перливание – 8, 11, 0, 5;

3– е переливание – 8, 13, 3, 0;

4– е переливание – 8, 8, 3, 5;

5– е переливание – 8, 8, 8, 0.

Вино на двоих

Два человека купили 8 ведер вина, налитого в большой бочонок. У них имеется еще два пустых бочонка, вместимостью 5 ведер и 3 ведра. Как им разделить вино поровну, пользуясь только этими тремя бочонками?

Ответ

Как видно из условия, имеется три бочонка вместимостью 8, 5 и 3 ведра. Их начальное состояние: 8, 0 и 0 л вина. Разделить вино можно двумя способами.

Способ 1-й:

1– е переливание – 3, 5, 0;

2– е переливание – 3, 2, 3;

3– е переливание – 6, 2, 0;

4– е переливание – 6, 0, 2;

5– е переливание – 1, 5, 2;

6– е переливание – 1, 4, 3;

7– е переливание – 4, 4, 0.

Способ 2-й:

1– е переливание – 5, 0, 3;

2– е переливание – 5, 3, 0;

3– е переливание – 2, 3, 3;

4– е переливание – 2, 5, 1;

5– е переливание – 7, 0, 1;

6– е переливание – 7, 1, 0;

7– е переливание – 4, 1, 3;

8– е переливание – 4, 4, 0.

Три литра компота

Условие

Имеются трехлитровая банка компота и две пустые банки: одна – литровая, другая – двухлитровая. Как разлить компот так, чтобы во всех трех банках было по одному литру?

Ответ

Способ 1-й: наполнить литровую банку, вылить ее содержимое в двухлитровую банку, наполнить литровую банку из трехлитровой банки.

Способ 2-й: наполнить двухлитровую банку, наполнить из нее литровую банку.

Разрезание

Это очень интересные геометрические головоломки, которые интересны и детям, и взрослым. Их можно разгадывать как в одиночку, так и в компании.

Квадрат из креста

Условие

Разрежьте крест (рис. 2) на четыре равные части и сложите из них квадрат. При этом высота и ширина квадрата должны быть такими же, как высота и ширина креста.

Рис. 2.

Ответ

Сначала следует разрезать крест так, как показано на рисунке 3, а затем из полученных частей, «вывернув их наизнанку», сложить квадрат, который будет иметь отверстие в середине (рис. 4).

Рис. 3.

Рис. 4.

Доска с отверстием

Условие

Распилите квадратную доску с отверстием у одного из углов (рис. 5) на минимальное количество кусков так, чтобы, сложив их заново, получилась точно такая же доска, но с отверстием, расположенным в центре.

Рис. 5.

Ответ

Сначала отпилите у доски указанный на рисунке 6 фрагмент и, развернув, приставьте его к правому верхнему углу уменьшенного квадрата.

Рис. 6.

Рис. 7.

В результате получится доска исходного размера, но с отверстием в центре (рис. 7).

Таким образом доску можно распилить только на две части.

Восемь частей

Условие

Разделите фигуру, приведенную на рисунке 8, на восемь одинаковых частей.

Рис. 8.

Ответ

Разделить исходную фигуру на восемь одинаковых частей можно так, как показано на рисунке 9.

Как получить квадрат из буквы Z

Условие

Разрежьте приведенную на рисунке 10 фигуру в виде буквы Z на три части и сложите из них квадрат. Решите головоломку двумя способами.

Рис. 9.

Рис. 10.

Рис. 11.

Рис. 12.

Ответ

Первый способ деления фигуры показан на рисунках 11 и 12.

Второй способ деления фигуры показан на рисунках 13 и 14.

Рис. 13.

Трапеция

Условие

Разрежьте трапецию (рис. 15) на четыре равные и одинаковые по форме части, не повторяющие исходную форму.

Ответ

Разрезать трапецию на четыре части можно так, как показано на рисунке 16.

Рис. 14.

Рис. 15.

Рис. 16.

Квадрат

Условие

На рисунке 17 представлен квадрат 13 х 13 клеток, состоящий из 169 квадратиков.

Рис. 17.

Попробуйте разделить этот большой квадрат на квадраты меньшего размера. При этом линии должны проходить по границам маленьких квадратов.

Ответ

Разделить большой квадрат можно на одиннадцать меньших квадратов так, как показано на рисунке 18.

Рис. 18.

Пять из двадцати пяти

Условие

Заштрихуйте пять квадратов из двадцати пяти на приведенной на рисунке 19 фигуре так, чтобы поделить изображение на пять равных частей одинаковой формы. Решите эту головоломку двумя способами.

Рис. 19.

Ответ

Первый способ. На рисунке 20 пять заштрихованных клеток образуют крест, а сама фигура делится еще на четыре таких же креста.

Второй способ. На рисунке 21 заштрихованные клетки делят фигуру на пять частей по четыре клетки в каждой.

Рис. 20.

Рис. 21.

Завещание помещика

Условие

Помещик завещал принадлежавшие ему 400 га земли и пять домов (рис. 22) своим пятерым сыновьям.

Рис. 22.

По завещанию земля делилась следующим образом:

– старшему сыну – 200 га;

– второму сыну – 100 га;

– третьему сыну – 50 га;

– четвертому сыну – 25 га;

– младшему сыну – 25 га.

В условии завещения говорилось, что все наделы земли должны иметь одинаковую форму и на каждом из них должен стоять дом. Помогите сыновьям выполнить волю отца.

Ответ

Старшему сыну – половину всего участка. Второму – половину от оставшегося. Третьему – половину от оставшегося. Четвертому и младшему – по половине от оставшегося. Таким образом, каждый из сыновей получает участок треугольной формы (рис. 23).

Рис. 23.

Деление поля

Условие

Разделите поле (рис. 24) размером 12 х 8 квадратов семью прямыми линиями на восемь участков, имеющих одинаковую площадь, так, чтобы на каждом из участков оказалось по два дерева.

При этом линии следует проводить только по границам маленьких квадратов.

Рис. 24.

Ответ

Разделить поле можно так, как показано на рисунке 25.

Рис. 25.

Окружность

Условие

На какое максимальное количество частей можно разрезать окружность (рис. 26) четырьмя разрезами? При этом перекладывать части после разрезания нельзя.

Рис. 26.

Ответ

Окружность можно разрезать на одиннадцать частей так, как показано на рисунке 27.

Рис. 27.

Дачники

Условие

Попробуйте разделить поровну земельный участок (рис. 28), не нарушая при этом указанных границ и не трогая дачников так, чтобы все они получили земельные наделы одинакавой формы.

Рис. 28.

Ответ

Разделить земельный участок между дачниками можно так, как показано на рисунке 29.

Рис. 29.

Многоугольник

Условие

Разделите многоугольник, изображенный на рисунке 30, на две равные меньшие фигуры одинаковой формы.

Рис. 30.

Ответ

Разделить многоугольник на две фигуры одинаковой формы можно так, как показано на рисунке 31.

Рис. 31.

Праздничный пирог

Условие

Квадратный пирог (рис. 32) хотели разрезать на шестнадцать частей, но хозяйка решила разрезать его на шесть квадратных кусков – пять одинаковых и один большой.

Можно ли разрезать пирог таким образом?

Рис. 32.

Ответ

Разрезать пирог на шесть кусков можно так, как показано на рисунке 33.

Рис. 33.

Задачки для математических викторин

Эти игры-задачки больше всего подходят для математических олимпиад, однако вы можете предложить решить их своим друзьям или коллегам, устроив что-то наподобие занимательной викторины.

Ванна

Условие

Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, горячей – за 8 минут. Если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 минут 20 секунд. Сколько времени нужно, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?

Ответ

Сначала нужно перевести время в секунды: чтобы наполнить ванну холодной водой требуется 400 секунд, значит, за одну секунду наполняется ¹/₄₀₀ часть ванны.

Аналогично для горячей воды. За одну секунду наполняется ¹/₄₈₀ часть ванны.

Аналогично для спуска воды. За одну секунду выливается ¹/₈₀₀ часть ванны.

Примем за общий знаменатель 4800 и запишем уравнение:

¹²/₄₈₀₀ + ¹⁰/₄₈₀₀ ^{– 6}/₄₈₀₀ = ¹⁶/ 4800= ¹/₃₀₀

Полученная величина равна количеству воды, наливающейся в ванну каждую секунду. Таким образом, потребуется 5 минут, чтобы наполнить ванну полностью.