Текст книги "Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь"

Момент истины

Наборы для индивидуального анализа ДНК – далеко не единственные инструменты здравоохранения, оказавшиеся в нашем распоряжении. Сегодняшние телефонные приложения могут отслеживать частоту сердечных сокращений или оценивать аэробное состояние; домашние тесты обещают определить все что угодно, начиная от аллергии и артериального давления и заканчивая проблемами со щитовидной железой или даже ВИЧ-инфекции. Но задолго до появления дорогих индивидуальных ДНК-тестов и телефонных приложений, которые измеряют вашу концентрацию или следят за вашим прессом, появился самый дешевый, простой в подсчете и, безусловно, низкотехнологичный персональный диагностический инструмент: индекс массы тела (ИМТ). ИМТ рассчитывается путем деления своей массы в килограммах на квадрат роста в метрах.

Для учета и диагностики любой с ИМТ ниже 18,5 классифицируется как имеющий «недостаточный вес». В диапазон «нормального веса» входит ИМТ от 18,5 до 24,5, а «избыточного веса» – от 24,5 до 30. «Ожирение» определяется при ИМТ выше 30. Ожирение может быть причиной примерно 23 % смертей в США, хотя точно оценить его влияние сложно. Однако эта тенденция в несколько меньшей степени прослеживается по всему миру. В Европе ожирение как причина преждевременной смертности уступает только курению. Ожирение среди взрослых и детей растет почти в каждой стране, и за последние 30 лет его распространенность удвоилась. Людей, страдающих ожирением, предупреждают о риске таких угрожающих жизни заболеваний, как диабет II типа, инсульт, ишемическая болезнь сердца и некоторые виды рака, а также о повышенном шансе возникновения психологических проблем, таких как депрессия. Сегодня в мире больше людей умирает от избыточного веса, чем от недостатка в весе.

Учитывая последствия для здоровья, связанные с ожирением или даже избыточным весом, можно было бы предположить, что система измерения, используемая для диагностики этих состояний – ИМТ, – будет иметь мощную теоретическую и экспериментальную основу. К сожалению, это далеко от истины. ИМТ «изобрел» в 1835 году бельгиец Адольф Кетле, известный астроном, статистик, социолог и математик, но никак не врач [59]59
  Quetelet, L. A. J. (1994). A treatise on man and the development of his faculties. Obesity Research, 2 (1), 72–85. https://doi.org/ 10.1002/j.1550–8528.1994.tb00047.x


[Закрыть]. На основе довольно шатких математических построений Кетле сделал вывод, что «вес взрослых людей разного роста приблизительно равен квадрату длины тела». Примечательно, однако, что Кетле вывел эту статистику из усредненных данных о населении в целом и не подразумевал, что соотношение будет верным для любого отдельно взятого человека. Он также не предполагал, что выведенное им соотношение, которое станет известным как «индекс Кетле», станет использоваться для определения избыточности или недостаточности веса у людей – и более того, для определения состояния их здоровья. Такое применение его изысканиям было предложено только в 1972 году. В ответ на беспрецедентный уровень ожирения американский физиолог Ансель Киз (который позже установит связь между насыщенными жирами и сердечно-сосудистыми заболеваниями) провел исследование, чтобы найти наилучший показатель лишнего веса [60]60
  Keys, A., Fidanza, F., Karvonen, M. J., Kimura, N., & Taylor, H. L. (1972). Indices of relative weight and obesity. Journal of Chronic Diseases, 25 (6–7), 329–43. https://doi.org/10.1016/0021-9681 (72) 90027–6


[Закрыть]. Он пришел к тому же отношению массы к квадрату роста, что и Кетле, и утверждал, что эта мера будет хорошим индикатором ожирения в популяции.

Теоретически люди с избыточным весом имеют бóльшую массу, чем можно предположить по их росту, и, следовательно, более высокий индекс массы тела. Люди с недостаточным весом, соответственно, имеют более низкий ИМТ. Формула Киза была очень простой и быстро приобрела популярность. По мере того как человечество толстело, а пагубные последствия для здоровья все более решительно и однозначно ассоциировались с ожирением, эпидемиологи стали использовать ИМТ для отслеживания факторов риска, связанных с избыточным весом. В 1980-х годах Всемирная организация здравоохранения, Национальная служба здравоохранения Великобритании и Национальные институты здравоохранения США официально приняли индекс ИМТ как единственный показатель степени ожирения для всех людей. Страховые компании по обе стороны Атлантики в настоящее время регулярно используют ИМТ для определения размера страховых взносов и даже для решения, будут ли они страховать человека вообще.

Люди с лишним весом и вправду обычно имеют более высокий индекс массы тела, однако, что неудивительно, такой упрощенный подход вовсе не является универсальным способом определения. Основная проблема с ИМТ в том, что он не может отличить мышцы от жира. Это важно, потому что избыток телесного жира является хорошим предсказателем кардиометаболического риска. А вот индекс массы тела – нет. Если бы определение ожирения основывалось на высоком процентном содержании телесного жира, то от 15 до 35 % мужчин, которых ИМТ не относит к группе страдающих от ожирения, были бы классифицированы как в пациенты с ожирением [61]61
  Tomiyama, A. J., Hunger, J. M., Nguyen-Cuu, J., & Wells, C. (2016). Misclassification of cardiometabolic health when using body mass index categories in NHANES 2005–2012. International Journal of Obesity, 40 (5), 883–6. https://doi.org/10.1038/ijo.2016.17


[Закрыть]. Так, «толстые худышки»[62]62
  В русскоязычном интернете обычно употребляется выражение «скинни фэт» (от англ. skinny fat). – Прим. ред.


[Закрыть] – люди с небольшой мышечной массой, но высоким уровнем телесного жира – имеют, соответственно, нормальный индекс массы тела. Но при этом они попадают в «невидимую» для ИМТ категорию людей «нормального веса с ожирением». Недавнее перекрестное исследование 40 тысяч человек показало, что 30 % людей с ИМТ в нормальном диапазоне страдают кардиометаболитическим синдромом. Похоже, что кризис ожирения может быть гораздо хуже, чем предполагают данные по индексу массы тела. Тем не менее оказывается, что ИМТ, определяя ожирение, ошибается в обе стороны. То же исследование показало, что до половины людей, которые по индексу массы тела попадают в группу с избыточным весом, и более четверти людей, страдающих, согласно показателю ИМТ, от ожирения, на деле здоровы с точки зрения метаболизма.

Некорректно проведенная классификация искажает общие данные об уровне ожирения по всему населению. Однако, возможно, еще более тревожные последствия ошибочной диагностики на основе индекса массы тела заключаются в том, что зачисление здоровых людей в категорию страдающих от избыточного веса или ожирения может пагубно отразиться на их психике[63]63
  McCrea, R. L., Berger, Y. G., & King, M. B. (2012). Body mass index and common mental disorders: exploring the shape of the association and its moderation by age, gender and education. International Journal of Obesity, 36 (3), 414–21. https://doi.org/10.1038/ijo.2011.65


[Закрыть]. В подростковом возрасте журналистка и писательница Ребекка Рид столкнулась с расстройствами пищевого поведения. Она вспоминает, что сигналом к отчаянной борьбе с лишним весом стал урок биологии, на котором ее научили измерять ИМТ. Прежде Ребекка была вполне довольна своим телом, но данные индекса массы тела определили ее в категорию людей с избыточным весом. Ребекка стала просто одержима ИМТ. Она села на строгую диету и занялась физическими упражнениями, в результате чего всего за несколько недель сбросила 10 фунтов. В какой-то момент, пытаясь ограничить себя всего 400 калориями в день, она потеряла сознание в одиночестве в своей спальне. Слезая с диеты, она наказывала себя перееданием, а затем вызывала рвоту, чтобы компенсировать это. Известие, что она попала в категорию людей с лишним весом, прозвучало, как вспоминает Ребекка, не мягким стимулом к тому, чтобы подтянуть физическую форму, а «вгоняющей в панику сиреной». По иронии судьбы, людей, восстанавливающихся после расстройств пищевого поведения, ИМТ обычно классифицируют как «выздоровевших» – вне зависимости от их реальной физической формы и размеров – тогда, когда этот показатель достигает 19, то есть оказывается в пределах «здорового» диапазона. Сделав невероятно трудный шаг, признав, что у них есть проблема, и обратившись за помощью, некоторые люди, страдающие расстройствами пищевого поведения, оказываются лишенными поддержки на основании того, что их индекс массы тела указывает, будто они «здоровы».

Очевидно, что индекс массы тела не является точным индикатором состояния здоровья ни на одном из концов шкалы. Вместо этого было бы полезно знать процентное содержания жира в организме, которое самым тесным образом связано с кардиометаболическими последствиями для здоровья. Для этого нам необходимо заимствовать идею 2000-летней давности из древнего города-государства Сиракузы на острове Сицилия.

•

Примерно в 250 году до нашей эры царь Сиракуз Гиерон II обратился к выдающемуся математику древности Архимеду, жившему там же, с просьбой помочь решить спорный вопрос. Король поручил ювелиру сделать для себя корону из чистого золота. Получив готовую корону, Гиерон, наслышанный о не самой безупречной репутации ювелира, заподозрил, что мастер обманул его, использовав сплав золота и какого-то другого, более дешевого и более легкого металла, чтобы присвоить образовавшийся «излишек». Архимеду поручили выяснить, смошенничал ли ювелир при этом ему запретили брать пробу металла или каким-то иным образом портить корону.

Прославленный математик понял, что для решения проблемы ему необходимо будет рассчитать плотность короны. Если корона окажется менее плотной, чем чистое золото, значит, ювелир обманул. Плотность чистого золота он вычислил легко, подсчитав объем золотого бруска правильной формы, а затем взвесив его, чтобы получить массу. Деление массы на объем давало плотность. Пока все шло хорошо. Если бы Архимед мог просто повторить ту же процедуру с короной, он просто сравнил бы две плотности. Взвесить корону было просто, но трудности возникли при попытке определить ее объем – корона имела сложную, неправильную форму. Эта проблема поставила Архимеда в тупик на некоторое время. Как-то он решил пойти в баню. Войдя в наполненную до краев ванну, он заметил, что часть воды выплеснулась. Погрузившись в ванну, он понял, что объем воды, перелившейся за край полностью заполненной ванны, будет равен погруженному в воду объему его тела, которое тоже имело неправильную форму. Он мгновенно ощутил, что наткнулся на метод определения объема, а следовательно, и плотности короны. Витрувий рассказывает, что Архимед был так рад своему открытию, что выскочил из ванны и побежал голым и мокрым по улице с криком «Эврика!» («Нашел!») – таков был его момент истины.

Даже сегодня архимедов метод «вытеснения» применяется для расчета объема объектов неправильной формы. Если вы подумываете о том, чтобы погрузиться в здоровый образ жизни, метод Архимеда поможет вам вычислить, какой объем смузи вы получите, перетерев в блендере набор овощей и фруктов неправильной формы. Или же, вдохнув полной грудью и выдохнув как можно сильнее в пустой герметичный мешок, затем запечатав его и погрузив в воду, при помощи архимедова принципа вы можете оценить, какой стала емкость ваших легких после нескольких недель тренировок по новой программе.

К сожалению, несмотря на полезность метода вытеснения, описанного в популярном пересказе истории, вряд ли Архимед на самом деле решал эту проблему таким образом. Для этого объем вытесненной короной воды надо было измерять с точностью, которая по тем временам была недостижима. Скорее всего, Архимед использовал схожую идею из гидростатики, которая позже станет известна как принцип Архимеда.

Этот принцип гласит, что объект, помещенный в текучую среду (жидкость или газ), подвергается воздействию выталкивающей силы, эквивалентной весу жидкости, которую он вытесняет. Иными словами, чем погруженный объект больше, тем больше жидкости он вытесняет и, следовательно, тем большему воздействию выталкивающей силы, компенсирующей его вес, он подвергается. Это объясняет, почему огромные грузовые суда не тонут, если совокупный вес корабля и его груза меньше, чем вес воды, которую они вытесняют. Этот принцип также тесно связан с таким качеством, как плотность – отношение массы предмета к его объему. Объект, плотность которого больше плотности воды, весит больше воды, которую он вытесняет, поэтому выталкивающей силы не хватит для того, чтобы поддерживать его на плаву, противодействуя его весу, – и этот объект утонет.

В этих рамках задача Архимеда сводилась к тому, чтобы уравновесить на простых рычажных весах корону на одной чашке и исходную массу чистого золота на другой. На воздухе весы были бы сбалансированы. Однако, если эти весы погрузить в воду, на фальшивую корону выталкивающая сила воздействовала бы сильнее (в силу того что по объему та превосходила бы равную ей массу более плотного золота и, следовательно, вытесняла бы больше воды), так что чашка с фальшивой короной всплывала бы выше, чем чаша с золотом.

Именно этот принцип Архимеда используется при точном подсчете процентного содержания жира в организме. Человек сначала взвешивается в нормальных условиях, а затем – полностью погруженным в воду, на стуле, прикрепленном к набору весов. Разницу в весе на воздухе и под водой можно использовать для подсчета выталкивающей силы, действующей на человека под водой, что, в свою очередь, позволяет определить объем погруженного в воду тела, учитывая, что плотность воды известна. Затем на основе полученного значения общего объема тела с учетом данных о плотности жировых и нежировых тканей человеческого организма определяется процентное содержание жира в организме, что в итоге обеспечивает основу для более точной оценки рисков для здоровья.

Уравнение Бога

ИМТ – всего лишь один из множества различных математических инструментов, которые повседневно используются в современной медицинской практике. Их спектр простирается от простых дробей для расчета доз медикаментов до сложных алгоритмов реконструкции изображений, полученных с помощью компьютерной томографии. В британском здравоохранении существует, пожалуй, одна формула, которая выделяется на фоне всех остальных своей неоднозначностью, важностью и далеко идущими последствиями. «Уравнение Бога» диктует, какие новые лекарства будет оплачивать Национальная служба здравоохранения Великобритании: оно буквально определяет, кто будет жить, а кто умрет. Если ваш ребенок неизлечимо болен, вы можете считать, что цена, которую нужно заплатить за то, чтобы дать вам еще немного времени рядом с вашим малышом, не имеет значения. «Уравнение Бога» утверждает обратное.

В ноябре 2016 года скорая доставила в детскую больницу Шеффилда 14-месячного Руди, сына Даниэлы и Джона Элс. Его подключили к аппарату искусственного дыхания, а доктора сказали Даниэле и Джону, что Руди может не пережить эту ночь. Причиной смертельной опасности была обычная легочная инфекция, с которой большинство детей легко справляются. Большинство детей, однако, не страдают от спинальной мышечной атрофии (СМА).

Когда Руди было шесть месяцев, а врачи никак не могли выяснить, что с ним не так, Даниэла и Джон смогли диагностировать СМА у своего сына, узнав, что двоюродный брат Джона страдал тем же расстройством. Ожидаемая продолжительность жизни с тем типом прогрессирующей мышечной атрофии, что был у Руди, составляет всего два года. К счастью, существует препарат Spinraza, разработанный компанией Biogen, который может остановить и даже обратить вспять некоторые из самых тяжелых эффектов СМА. Этот препарат способен продлить жизнь и облегчить страдания тех, кто, как и Руди, страдает этим заболеванием. Однако в Англии в 2016 году, когда Руди боролся за свою жизнь в больнице, он был доступен только за плату.

Теоретически в США, как только Управление по контролю качества продуктов и медикаментов одобряет препарат для продажи, он становится доступным для пациентов. Spinraza был одобрен Управлением в декабре 2016 года. На практике большинство страховых компаний ведут список «предварительно утвержденных» дорогостоящих или потенциально опасных лекарств. Для каждого назначения в этом списке оговаривается ряд условий, которые должны быть выполнены, прежде чем препарат будет предоставлен конкретному пациенту. Spinraza входит в список предварительно утвержденных препаратов каждой страховой компании. Конечно, доступ к медицинскому обслуживанию в США также зависит от возможности позволить себе медицинскую страховку. В 2017 году 12,2 % американцев не были застрахованы, и США остаются единственной промышленно развитой страной, не имеющей всеобщего медицинского страхования.

В Англии же, напротив, здравоохранение доступно для всех. Медицинские услуги бесплатны – Национальная система здравоохранения финансируется в основном за счет общего налогообложения. Безопасность и эффективность применения лекарств в Англии обеспечивают Европейское агентство лекарственных средств (EAЛС) и Управление по контролю лекарств и медицинских препаратов Великобритании. В мае 2017 года ЕАЛС одобрило Spinraza для использования. Однако, поскольку бюджет НСЗ Великобритании ограничен, она не может санкционировать применение любого нового препарата, который появляется на рынке. Ради выделения денег на какой-то препарат придется, допустим, сократить ассигнования на социальную помощь, пожертвовать новым диагностическим или лечебным оборудованием для онкологических больных или допустить сокращение персонала в отделениях по уходу за новорожденными. Отвечает за принятие таких непростых решений Национальный институт охраны здоровья и совершенствования медицинской помощи Великобритании (NICE). Когда речь идет о лекарственных препаратах, NICE обеспечивает объективность своих решений, исходя из давно зарекомендовавшей себя формулы.

«Уравнение Бога» пытается сбалансировать объем дополнительного «лечебного эффекта» от препарата с объемом дополнительных расходов, которых его назначение потребует от Национальной системы здравоохранения. Оценка первого фактора – очень трудная задача. Как можно сравнить преимущества медикаментов, снижающих частоту сердечных заболеваний, например, с преимуществами медикаментов, продлевающих жизнь больному раком?

NICE использует общий эталонный показатель, известный как год жизни с поправкой на качество [64]64
  Quality-adjusted life year (англ.).


[Закрыть], или QALY. При сравнении нового лечения с существующим QALY учитывает не только то, насколько лекарство может продлить жизнь, но и качество жизни, которое оно обеспечивает. Один QALY может дать лекарство от рака, которое продлевает жизнь на два года, но сохраняет пациенту только 50 % здоровья, или операцию по замене коленного сустава, которая сама по себе оставшуюся 10-летнюю ожидаемую продолжительность жизни пациента не увеличивает, но улучшает ее качество на 10 %. Успешное лечение рака яичек может принести много единиц QALY, так как у молодых пациентов (как правило, именно им показаны такие операции) резко увеличивается продолжительность жизни без снижения ее качества.

Вычислив надежный показатель QALY, новую методику лечения и прежнюю можно будет сравнить по разнице в QALY, которую они предлагают, и разнице в их стоимости. Если показатель QALY уменьшается, то новая методика будет немедленно отклонена. Если показатель QALY увеличивается, а стоимость уменьшается, то для одобрения более эффективной и более дешевой новой процедуры не нужно большого ума. Однако если, как это чаще всего бывает, растут и показатель QALY, и стоимость лечения, NICE приходится делать нелегкий выбор. В этих случаях коэффициент эффективности дополнительных затрат (КЭДЗ) составляет отношения роста QALY к росту затрат. КЭДЗ показывает, насколько увеличатся затраты на каждую дополнительную единицу QALY, которую обещает новое лекарство. Обычно Национальный институт охраны здоровья и совершенствования медицинской помощи устанавливает пороговое значение максимального коэффициента КЭДЗ для одобрения ассигнований в диапазоне от 20 000 до 30 000 фунтов стерлингов за один QALY.

В августе 2018 года страдающие СМА и их семьи, включая Даниэлу, Джона и Руди, с нетерпением ждали решения NICE – войдет ли Spinraza в реестр доступных лекарств Национальной системы здравоохранения. NICE признала, что Spinraza «обеспечивает важный лечебный эффект» для пациентов с СМА. Результаты улучшения качества жизни также были чрезвычайно положительными. Ожидаемый показатель QALY этого препарата составил 5,29. Дополнительные расходы, однако, достигли невероятного значения в 2 160 048 фунтов; в итоге коэффициент КЭДЗ для Spinraza превысил значение 400 000 фунтов за один QALY, что было намного, намного выше порога NICE. Несмотря на убедительные свидетельства тех, кто был поражен этим недугом, и их опекунов, «уравнение Бога» постулировало, что допустить использование Spinraza в Национальной системе здравоохранения было невозможно.

К счастью для семьи Элсов, Руди оказался записан в программу расширенного доступа корпорации Biogen, которая позволяет младенцам с СМА 1 типа получать этот препарат. В феврале 2019 года он получил свою десятую инъекцию, и в настоящее время этот вполне цветущий трехлетний карапуз уже давно пережил те годы, что отпущены тем страдающим спинальной мышечной атрофией первого типа, кто не имеет доступа к данному лекарству. Однако NICE так и не включил Spinraza, спасающий и продлевающий жизнь препарат, в реестр одобренных для Национальной системы здравоохранения Великобритании лекарств.