Текст книги "Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь"

Наука датирования

Экспоненциальный распад, по прямой аналогии с экспоненциальным ростом, описывает изменение количества, которое происходит со скоростью, пропорциональной его текущему значению, – помните, как снижалось число конфет M&Ms каждый день и как кривая водной горки показывала это. Экспоненциальный распад описывает такие разные вещи, как вывод медицинских препаратов из организма [16]16
  Greenblatt, D. J. (1985). Elimination half-life of drugs: value and limitations. Annual Review of Medicine, 36 (1), 421–7. https://doi.org/10.1146/annurev.me.36.020185.002225 Hastings, I. M., Watkins, W. M., & White, N. J. (2002). The evolution of drug-resistant malaria: the role of drug elimination half-life. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series B: Biological Sciences, 357 (1420), 505–19. https://doi.org/10.1098/rstb.2001.1036


[Закрыть] и скорость оседания пенной шапки на пинте пива [17]17
  Leike, A. (2002). Demonstration of the exponential decay law using beer froth. European Journal of Physics, 23 (1), 21–6. https://doi.org/10.1088/0143–0807/23/1/304 Fisher, N. (2004). The physics of your pint: head of beer exhibits exponential decay. Physics Education, 39 (1), 34–5. https://doi.org/ 10.1088/0031–9120/39/1/F11


[Закрыть]. В частности, он отлично описывает, с какой скоростью снижается со временем уровень излучения радиоактивного вещества [18]18
  Rutherford, E., & Soddy, F. (1902). LXIV. The cause and nature of radioactivity. Part II. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 4 (23), 569–85. https://doi.org/10.1080/14786440209462881 Rutherford, E., & Soddy, F. (1902). XLI. The cause and nature of radioactivity. Part I. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 4 (21), 370–96. https://doi.org/10.1080/14786440209462856


[Закрыть].

Нестабильные атомы радиоактивных материалов самопроизвольно испускают энергию в виде излучения даже без внешней инициации. Этот процесс называется радиоактивным распадом. На уровне отдельного атома процесс распада случаен – квантовая теория полагает, что начало распада конкретного атома предсказать невозможно. Но когда речь идет о материале, состоящем из огромного количества атомов, снижение радиоактивности – это предсказуемый экспоненциальный распад. Количество атомов уменьшается пропорционально количеству оставшихся. Каждый атом распадается независимо от других. Характеризующим признаком скорости снижения уровня радиоактивности служит период полураспада вещества – время, необходимое для распада половины нестабильных атомов. Поскольку распад идет по экспоненте, время, необходимое для снижения уровня радиоактивности вещества наполовину, всегда будет одинаковым, независимо от стартового объема радиоактивного материала. Ежедневное поедание конфет, выпавших на стол буквой М кверху, определяет период полураспада пакета M&Ms в один день – ожидается, что мы будем съедать половину сладостей каждый раз, когда вываливаем их из пакета.

Явление экспоненциального распада радиоактивных атомов лежит в основе радиометрического (или радиоизотопного) датирования – метода, используемого для определения возраста материалов по уровню их радиоактивности. Соотнося известную долю успевших распасться радиоактивных атомов с их общим содержанием в веществе, теоретически можно установить возраст любого материала, испускающего атомное излучение. Радиометрическое датирование применяется очень широко – с его помощью оценивают возраст Земли и датируют древние артефакты, такие как свитки Мертвого моря [19]19
  Bonani, G., Ivy, S., Wolfli, W., Broshi, M., Carmi, I., & Strugnell, J. (1992). Radiocarbon dating of Fourteen Dead Sea Scrolls. Radiocarbon, 34 (03), 843–9. https://doi.org/10.1017/S0033822200064158 Carmi, I. (2000). Radiocarbon dating of the Dead Sea Scrolls. In L. Schiffman, E. Tov, & J. VanderKam (eds.), The Dead Sea Scrolls: Fifty Years After Their Discovery. 1947–1997 (p. 881). Bonani, G., Broshi, M., & Carmi, I. (1991). 14 Radiocarbon dating of the Dead Sea scrolls. ’Atiqot, Israel Antiquities Authority.


[Закрыть]. Если вы когда-нибудь задумывались о том, как, черт возьми, люди узнали, что археоптериксу 150 миллионов лет[20]20
  Starr, C., Taggart, R., Evers, C. A., & Starr, L. (2019). Biology: The Unity and Diversity of Life, Cengage Learning.


[Закрыть] или что «ледяной человек» Эци умер 5300 лет назад [21]21
  Bonani, G., Ivy, S. D., Hajdas, I., Niklaus, T. R., & Suter, M. (1994). Ams 14C age determinations of tissue, bone and grass samples from the otztal ice man. Radiocarbon, 36 (02), 247–250. https://doi.org/10.1017/S0033822200040534


[Закрыть], имейте в виду, что без радиоизотопного датирования тут наверняка не обошлось.

Совершенствование методик радиометрического датирования сегодня позволяет получать гораздо более точные результаты, поэтому эти технологии (наряду с другими археологическими методами) широко используют в сфере судебной археологии, раскрывая преступления измерением экспоненциального распада радиоизотопов. В ноябре 2017 года при помощи радиоуглеродного датирования выяснилось, что самый дорогой виски в мире – подделка. Бутылка, маркированная как односолодовый виски Macallan 130-летней выдержки, оказалась дешевой смесью спиртов 1970-х годов – к невероятной досаде одного швейцарского отеля, просившего за один шот напитка 10 тысяч долларов. В декабре 2018 года в ходе последующего расследования в той же лаборатории обнаружилось, что более трети протестированных «старинных» сортов шотландских виски также оказались подделками. Но, пожалуй, наибольший резонанс вызывает использование радиоизотопного датирования для проверки возраста исторических произведений искусства.

•

До Второй мировой войны считалось, что существует только 35 картин, принадлежащих кисти признанного мастера старой голландской школы живописи Яна Вермеера. В 1937 году во Франции было обнаружено новое выдающееся полотно. Искусствоведы восторгались «Христом в Эммаусе», называя картину одной из величайших работ Вермеера. Ее практически тут же купили за огромные деньги для музея Бойманса – Ван Бёнингена в Роттердаме. В течение следующих нескольких лет появился еще ряд ранее неизвестных произведений Вермеера. Их быстро разбирали богатые голландцы – в том числе и для того, чтобы предотвратить расхищение важных культурных ценностей нацистами. Тем не менее одна из работ, «Христос и грешница», досталась Герману Герингу, которого Гитлер назначил своим преемником.

После войны, когда этот потерянный Вермеер был обнаружен в австрийской соляной шахте вместе с большей частью награбленных нацистами произведений искусства, началось масштабное расследование, чтобы выяснить, кто отвечал за продажу тех картин. В конце концов их путь отследили до Хана ван Мегерена, неудавшегося художника, чьи работы многие искусствоведы пренебрежительно называли вторичными, производными от полотен старых мастеров. Неудивительно, что сразу после ареста на ван Мегерена обрушился гнев голландской общественности. Прежде всего, его подозревали в продаже голландских культурных ценностей нацистам, а это преступление каралось смертной казнью. Более того, на заработанные от продажи картин огромные суммы он на протяжении всей войны жил в Амстердаме на широкую ногу, когда многие жители города голодали. Отчаянно пытаясь спасти жизнь, ван Мегерен заявил, что картина, проданная Герингу, была не настоящим произведением Вермеера, а фальшивкой, которую нарисовал он сам. Он также признался в изготовлении других псевдо-Вермееров и в фабрикации обнаруженных незадолго до того работ Франса Халса и Питера де Хоха.

Специальная экспертная комиссия по разоблачению подделок проверила слова ван Мегерена, в подтверждение которых он нарисовал по требованию комиссии новую фальшивку «Иисус и книжники». К началу суда в 1947 году ван Мегерен был уже провозглашен национальным героем, который не только утер нос спесивым искусствоведам, что некогда издевались над ним, но и обманул одного из высших руководителей нацистов, всучив ему никчемную подделку. С ван Мегерена сняли обвинение в сотрудничестве с нацистами и приговорили всего лишь к году тюрьмы за подлог и мошенничество, но он умер от сердечного приступа до того, как приговор вступил в силу. Несмотря на решение суда, многие (особенно те, кто купил «Вермееров» ван Мегерена) все еще верили в подлинность картин и продолжали оспаривать утверждения комиссии.

В 1967 году «Христа в Эммаусе» подвергли повторной проверке с использованием радиометрической датировки по урано-свинцовому методу по изотопу свинца-210. Ван Мегерен исключительно скрупулезно подходил к созданию подделок, используя в основном те же материалы, которые использовал бы Вермеер. Но он не мог контролировать технологию производства этих материалов. Добиваясь максимального правдоподобия, он писал на подлинных холстах XVII века и смешивал свои краски по старинным рецептам, но свинец, содержавшийся в его свинцовых белилах, был извлечен из руды совсем недавно. Природный свинец содержит радиоактивный изотоп свинца-210 и его материнский радиоактивный материал (при распаде которого и образуется свинец) радий-226. При получении свинца из руды бóльшая часть радия-226 удаляется, в обогащенной руде остаются лишь мизерные его количества, а значит, в ней появится совсем немного новых изотопов свинца-210. Сравнивая концентрацию свинца-210 и радия-226 в пробах, можно точно датировать свинцовую краску, используя тот факт, что период полураспада свинца-210 известен, а сам процесс происходит по экспоненте. В «Христе в Эммаусе» было обнаружено гораздо больше свинца-210, чем было бы, если бы его действительно написали на 300 лет раньше. Это установило наверняка: подделки ван Мегерена не могли быть написаны Вермеером в XVII веке, поскольку свинец, содержавшийся в красках ван Мегерена, еще не был добыт[22]22
  Keisch, B., Feller, R. L., Levine, A. S., & Edwards, R. R. (1967). Dating and authenticating works of art by measurement of natural alpha emitters. Science, 155 (3767), 1238–42. https://doi.org/10.1126/science.155.3767.1238


[Закрыть].

Вирус из ведра с ледяной водой

Будь ван Мегерен нашим современником, его работы были бы аккуратно собраны в доступной статье под кричащим заголовком вроде «Девять картин-подделок, в подлинность которых вы верили» и разошлись бы по интернету. Современные фальшивки, такие как ненастоящая фотография кандидата в президенты США и миллионера Митта Ромни, который якобы выстраивает шестерых сторонников, одетых в майки с буквами, в ряд так, что читается RMONEY вместо ROMNEY[23]23
  Провокационная игра слов на созвучии слова «деньги» (money) и фамилию Ромни (Romney). – Прим. пер.


[Закрыть], или обработанная в фотошопе фотография «туриста», якобы позирующего на смотровой площадке Южной башни Всемирного торгового центра, не подозревая о приближении низко летящего самолета на заднем плане, достигли такого уровня глобального распространения, о котором и не мечтали спецы по вирусному маркетингу.

Вирусный маркетинг – это феномен, при котором рекламные цели достигаются с помощью самовоспроизводящегося процесса, схожего с процессом распространения вирусного заболевания (математику которого мы рассмотрим более подробно в главе 7). Один человек в сети заражает других, которые, в свою очередь, заражают следующих. До тех пор, пока каждый вновь «инфицированный» человек заражает, по крайней мере, одного, аудитория, «зараженная» вирусным сообщением, будет расти в геометрической прогрессии. Вирусный маркетинг – это субдисциплина области, известной как меметика, в которой «мем» – стиль, поведение или, что очень важно, идея – распространяется между людьми через социальную сеть, так же, как и вирус. Термин «мем» предложил в 1976 году Ричард Докинс в книге «Эгоистичный ген»[24]24
  Издано на русском языке: Докинз Р. Эгоистичный ген. – АСТ, М.: 2013.


[Закрыть], чтобы объяснить, как распространяется культурная информация. Он определил мемы как единицы культурной информации (или передачи). По аналогии с генами – единицами передачи наследственной информации – он предложил, что мемы могут самовоспроизводиться и мутировать. Примеры мемов, которые он приводил, включали в себя мелодии, крылатые фразы и – что характеризует удивительную невинность тех времен, когда он писал свою книгу, – технологии изготовления горшков или арочных сводов. Конечно, в 1976 году Докинс не знал интернета в его нынешнем виде, позволяющего распространять когда-то невообразимые (и, возможно, бессмысленные) мемы, включая #thedress, #rickrolling и #Lolcats [25]25
  #thedress – известная оптическая «аномалия» с платьем, которое разные зрители видели либо бело-золотым, либо черно-синим; #rickrolling – интернет-розыгрыш, жертве которого под видом чего-то интересного присылается гиперссылка на ролик поп-звезды 80-х Рика Эстли Never Gonna Give You Up, сегодня воспринимающийся, скорее, как унылая пошлятина; #Lolcats – фото кошек со смешными (с точки зрения авторов) подписями. – Прим. пер.


[Закрыть].

Примером одной из самых успешных и, вероятно, по-настоящему органичных вирусных маркетинговых кампаний стало публичное обливание ледяной водой. Летом 2014 года в Северном полушарии любимым делом было заснять, как вы опрокидываете ведро ледяной воды себе на голову, а затем предлагаете другим повторить тот же трюк, при этом жертвуя некоторую сумму на благотворительность. Даже я повелся на это.

Придерживаясь классического формата кампании, промокнув с головы до пят, я предложил повторить свой опыт двум другим людям: выложив ролик в соцсеть, я отметил их там. Как и в случае с нейтронами в ядерном реакторе, до тех пор, пока в среднем больше одного человека принимают вызов в ответ на каждое размещенное видео, мем не только самовоспроизводится, но и приводит к цепной реакции, нарастающей по экспоненте.

В некоторых вариантах кампании кандидаты могли либо принять вызов и пожертвовать небольшую сумму в ассоциацию амиотрофического бокового склероза (ALS) или другую благотворительную организацию по своему выбору, либо уклониться от испытания и пожертвовать значительно бóльшую сумму – как искупление. Объединение испытания с благотворительностью, помимо дополнительного давления на «осаленных» участников, давало и плюшки в виде повышения самооценки, привлечения внимания общественности к проблеме и публичной демонстрации собственного альтруизма. Этот фактор нарциссизма обеспечил мему повышенную заразность. К началу сентября 2014 года ассоциация ALS сообщила о получении свыше ста миллионов долларов дополнительных взносов от более чем трех миллионов жертвователей. Привлеченное во время кампании финансирование позволило исследователям обнаружить третий ген, ответственный за это заболевание, что свидетельствует о мощнейшем воздействии вирусной кампании на общество [26]26
  Kenna, K. P., van Doormaal, P. T. C., Dekker, A. M., Ticozzi, N., Kenna, B. J., Diekstra, F. P., Landers, J. E. (2016). NEK1 variants confer susceptibility to amyotrophic lateral sclerosis. Nature Genetics, 48 (9), 1037–42. https://doi.org/10.1038/ng.3626


[Закрыть].

Как и в случае с некоторыми особо заразными вирусами, такими как грипп, кампания с обливаниями оказалась явлением сезонным (темпы распространения сезонных заболеваний варьируются в течение года, о чем мы еще раз поговорим в главе 7). С приближением осени и похолоданием в Северном полушарии обливание ледяной водой внезапно стало казаться менее веселым занятием – даже ради благого дела. К сентябрю энтузиазм почти угас. Правда, как и сезонный грипп, он вернулся следующим летом, а потом и еще через год – от лета к лету формат кампании почти не менялся, но публике это занятие в целом уже приелось. В 2015 году оно принесло ассоциации ALS менее 1 % от общего количества пожертвований по сравнению с предыдущим годом. Люди, подвергшиеся воздействию «вируса обливания» в 2014 году, как правило, приобрели к нему сильный иммунитет, равно как и к слегка мутировавшим его штаммам (когда в ведро помещали не воду, а что-то другое, например). Задавленная иммунитетом безразличия, каждая новая вспышка этого вируса вскоре сходила на нет, так как каждому новому участнику, в среднем, не удавалось передать его по крайней мере еще одному энтузиасту.

Экспоненциально ли будущее?

Французским детям часто рассказывают притчу, иллюстрирующую опасность промедления. История эта связана с экспоненциальным ростом. Итак, однажды на поверхности местного озера заметили малюсенькую колонию водорослей. За несколько дней выяснилось, что колония ежедневно увеличивается вдвое. Если ничего не предпринимать, она будет расти так и дальше, пока не покроет все озеро. Для этого ей потребуется 60 дней – и вода в озере будет отравлена. Поскольку изначально колония водорослей очень мала и непосредственной угрозы не представляет, было решено оставить водоросли расти до тех пор, пока они не покроют половину поверхности озера – тогда их будет легче удалить. Затем у детей спрашивают: «Через сколько дней водоросли покроют половину озера?»

Многие отвечают не задумываясь – через 30 дней. Но поскольку колония удваивается с каждым днем, то если в один прекрасный день озеро будет покрыто наполовину, то полностью водоросли покроют озеро уже на следующий день. Таким образом, верный (и, возможно, неожиданный) ответ – через 59 дней. Так что на спасение озера останется лишь один день. На 30-й день водоросли займут менее миллиардной части площади озера. Если бы вы были клеткой этой водоросли в озере, когда бы вы поняли, что у вас заканчивается пространство? Если бы на 55-й день, когда водоросли покрыли только 3 % поверхности, кто-то сказал вам что через пять дней озеро полностью задохнется, вы бы им поверили, не понимая сути экспоненциального роста? Скорее всего, нет.

Это иллюстрирует то, как организован процесс нашего, человеческого, мышления. Для наших предков опыт одного поколения, как правило, был очень похож на опыт предыдущего: они делали ту же самую работу, использовали те же орудия труда и жили в тех же местах, что и их предки. Они ожидали, что их потомки будут делать то же самое. Однако в настоящее время развитие технологий и социальные изменения происходят так быстро, что заметные различия возникают в пределах одного поколения. Некоторые теоретики полагают, что темпы технологического прогресса сами по себе растут по экспоненте.

Именно эти идеи специалист в области теории вычислительных систем Вернор Виндж воплотил в серии научно-фантастических романов и эссе[27]27
  Виндж. В. «Брошенные в реальном времени», 1997. Виндж. В. «Пламя над бездной», АСТ, 2001. Vinge, V. (1993). The coming technological singularity: how to survive in the post-human era. In NASA. Lewis Research Center, Vision 21: Interdisciplinary Science and Engineering in the Era of Cyberspace (pp. 11–22). Retrieved from https://ntrs.nasa.gov/search.jsp? R=19940022856


[Закрыть], в которых последовательные технологические прорывы происходят все чаще – вплоть до момента, когда новая технология опережает человеческое понимание. Взрывное развитие искусственного интеллекта в итоге приводит к формированию «технологической сингулярности» и появлению всемогущего сверхразума. Американский футуролог Рэй Курцвейл попытался перенести идеи Винджа из сферы научной фантастики в реальный мир. В 1999 году в книге «Эпоха духовных машин» Курцвейл выдвинул гипотезу о законе ускоряющейся отдачи [28]28
  Kurzweil, R. (1999). The Age of Spiritual Machines: When Computers Exceed Human Intelligence. Viking.


[Закрыть]. Он предположил, что эволюция широкого спектра систем – включая нашу собственную биологическую эволюцию – происходит по экспоненте. Он даже осмелился приурочить дату наступления «технологической сингулярности» Винджа – точку, в которой мы испытаем, как описывает сам Курцвейл, «технологические изменения, настолько стремительные и глубокие, что они представляют собой разрыв в ткани человеческой истории» – примерно к 2045 году [29]29
  Kurzweil, R. (2004). The law of accelerating returns. In Alan Turing: Life and Legacy of a Great Thinker (pp. 381–416). Springer Berlin Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978–3–662–05642–4_16


[Закрыть]. Среди последствий сингулярности Курцвейл называет «слияние биологического и небиологического интеллекта, появление бессмертных людей на программном обеспечении и кибернетических устройствах, а также формирование интеллекта сверхвысокого уровня, способного проницать Вселенную со скоростью света». Хотя эти экстравагантные прогнозы, вероятно, стоило бы оставить уделом научной фантастики, есть примеры технологических достижений, которые действительно демонстрировали устойчивое долговременное экспоненциальное развитие.

Расхожий пример экспоненциального роста технологий – закон Мура, утверждающий, что количество компонентов в компьютерных микросхемах удваивается каждые два года. В отличие от законов динамики Ньютона, закон Мура не является научным, поэтому он вряд ли будет действовать вечно. Тем не менее в период между 1970 и 2016 годами он исполнялся на удивление стабильно. Закон Мура воплотился в дальнейшем ускорении развития цифровых технологий, что, в свою очередь, внесло существенный вклад в экономический рост на стыке тысячелетий.

В 1990 году, когда ученые взялись за каталогизацию и расшифровку всех трех миллиардов «букв» генома человека, критики насмехались над масштабом проекта, предполагая, что для его завершения при тогдашних темпах понадобятся тысячи лет. Но технология секвенирования [30]30
  Расшифровка геномных последовательностей. – Прим. пер.


[Закрыть] совершенствовалась по экспоненте. Полностью «Книга жизни» была «опубликована» в 2003 году с опережением графика и в рамках своего бюджета в один миллиард долларов [31]31
  Gregory, S. G., Barlow, K. F., McLay, K. E., Kaul, R., Swarbreck, D., Dunham, A., Bentley, D. R. (2006). The DNA sequence and biological annotation of human chromosome 1. Nature, 441 (7091), 315–21. https://doi.org/10.1038/nature04727 International Human Genome Sequencing Consortium. (2001). Initial sequencing and analysis of the human genome. Nature, 409 (6822), 860–921. https://doi.org/10.1038/35057062 Pennisi, E. (2001). The human genome. Science, 291 (5507), 1177–80. https://doi.org/10.1126/SCIENCE.291.5507.1177


[Закрыть]. Сегодня секвенирование всего генетического кода человека занимает меньше часа и стоит менее тысячи долларов.

Популяционный взрыв

История водорослей в озере подчеркивает, что наша неспособность мыслить экспоненциально может вызывать разрушение экосистем и популяций. Разумеется, в списке видов, находящихся под угрозой исчезновения, находится и наш собственный – несмотря на ясные и непрекращающиеся тревожные звоночки.

В период между 1347 и 1351 годами «черная смерть»[32]32
  «Черная смерть» или «черный мор» – пандемия бубонной чумы 1347–1357 гг. – Прим. ред.


[Закрыть], одна из самых разрушительных пандемий в истории человечества (распространение инфекционных заболеваний мы подробнее рассмотрим в главе 7), захлестнула Европу, уничтожив 60 % ее населения. В результате общая численность человечества сократилась примерно до 370 миллионов человек. С тех пор население мира росло постоянно, без спадов. К 1800 году количество людей достигло почти миллиарда. Очевидный быстрый рост численности населения в тот период побудил английского математика Томаса Мальтуса предположить, что человеческое население растет пропорционально его текущему размеру [33]33
  Мальтус, Т. «Опыт о законе народонаселения». Пер. П. А. Бибикова. По изданию: Мальтус Т. Р. Опыт о законе народонаселения. – СПб., 1868. ДиректМедиа Паблишинг – М., 2008.


[Закрыть]. Как и в случае с клетками в эмбрионе на раннем этапе развития или деньгами, остающимися нетронутыми на банковском счете, это простое правило предполагает экспоненциальный рост человечества на уже перенаселенной планете.

Излюбленным сюжетом многих научно-фантастических романов и фильмов (например, недавних блокбастеров «Интерстеллар» и «Пассажиры») является решение проблем перенаселения Земли за счет освоения космоса. Там, как правило, обнаруживается похожая на Землю подходящая планета, которой суждено стать новым домом для неудержимо растущей человеческой расы. Но такой поворот – вовсе не прерогатива буйной фантазии писателей и сценаристов: в 2017 году выдающийся ученый Стивен Хокинг обосновал перспективы колонизации космоса. Он предупредил, что, если наш вид хочет пережить угрозу вымирания, вызванную перенаселением и связанными с ним климатическими изменениями, люди должны в ближайшие 30 лет начать колонизацию Марса или Луны. Однако, к сожалению, если темпы роста населения Земли не снизятся, то даже переправив половину нынешних ее жителей на новую планету земного типа, мы обеспечим человечеству всего лишь 63 года жизни. Потом общая численность землян вновь удвоится, и обе планеты достигнут предела плотности населения. Мальтус, писавший: «Одного населения Земли было бы достаточно, чтобы в несколько тысячелетий покрыть миллионы миров», – предсказывал, что экспоненциальный рост обессмыслит идею межпланетной колонизации.

Однако, как мы уже выяснили (вспомним бактерии стрептококка группы D, растущие в молочной бутылке в начале этой главы), экспоненциальный рост не может продолжаться вечно. Как правило, по мере роста численности населения ресурсы окружающей среды, которая его поддерживает, истощаются, а чистые темпы роста (разница между рождаемостью и смертностью) естественным образом снижаются. Считается, что окружающая среда обладает конечной несущей способностью для каждого конкретного вида – присущим ей максимальным пределом устойчивости популяции. Дарвин полагал, что ограничения, налагаемые природной средой, вызовут «борьбу за существование», поскольку отдельные особи «будут конкурировать за свое место в экономике природы». Простейшая математическая модель, позволяющая отразить последствия внутри– или межвидовой конкуренции за ограниченные ресурсы, называется моделью логистического роста.

На рис. 3 логистический рост поначалу выглядит экспоненциальным, поскольку население свободно растет пропорционально своим текущим размерам, без ограничений условиями окружающей среды. Однако по мере роста населения нехватка ресурсов приближает уровень смертности к уровню рождаемости. Чистый прирост населения в итоге сводится к нулю: новых рождений среди населения достаточно только для того, чтобы заменить умерших и не более, что означает, численность населения достигает плато своего предельного воспроизводства.

Рис. 3. Сначала кривая логистического роста увеличивается почти по экспоненте, но затем, по мере истощения ресурсов, рост замедляется, а население приближается к предельному размеру «К»

Шотландский ученый Андерсон Маккендрик (один из первых математических биологов, с которым мы познакомимся в главе 7 в контексте его работы по моделированию распространения инфекционных заболеваний) первым продемонстрировал, что в популяциях бактерий происходит логистический рост[34]34
  McKendrick, A. G., & Pai, M. K. (1912). The rate of multiplication of micro-organisms: a mathematical study. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 31, 649–53. https://doi.org/10.1017/S0370164600025426


[Закрыть]. Последующие исследования подтвердили, что логистическая модель прекрасно описывает поведение популяции в новой среде на таких разнообразных примерах, как овцы [35]35
  Davidson, J. (1938). On the ecology of the growth of the sheep population in South Australia. Trans. Roy. Soc. S. A., 62 (1), 11–148. Davidson, J. (1938). On the growth of the sheep population in Tasmania. Trans. Roy. Soc. S. A., 62 (2), 342–6.


[Закрыть], тюлени [36]36
  Jeffries, S., Huber, H., Calambokidis, J., & Laake, J. (2003). Trends and status of harbor seals in Washington State: 1978–1999. The Journal of Wildlife Management, 67 (1), 207. https://doi.org/10.2307/3803076


[Закрыть] и журавли [37]37
  Flynn, M. N., & Pereira, W. R. L. S. (2013). Ecotoxicology and environmental contamination. Ecotoxicology and Environmental Contamination, 8 (1), 75–85.


[Закрыть].

Потенциальный предельный размер популяции многих видов животных остается примерно постоянной величиной, так как зависит от ресурсов в их среде обитания. Человек же оказался способен постоянно увеличивать пределы своей популяции благодаря множеству факторов, в числе которых – промышленная революция, механизация сельского хозяйства и Зеленая революция [38]38
  Третья сельскохозяйственная революция – комплекс изменений в сельском хозяйстве развивающихся стран в 1940–1970 годах, который привел к значительному увеличению мировой сельскохозяйственной продукции. – Прим. ред.


[Закрыть]. Хотя в настоящее время оценки пределов устойчивого народонаселения Земли различаются, многие исследования показывают, что эти пределы составляют от девяти до десяти миллиардов человек. Известный социобиолог Эдвард Озборн Уилсон считает, что биосфера Земли способна поддержать существование лишь жестко ограниченного количества населения [39]39
  Wilson, E. O. (2002). The Future of Life (1st ed.). Alfred A. Knopf.


[Закрыть]. В число сдерживающих факторов включают наличие пресной воды, ископаемого топлива и других невозобновляемых ресурсов, условия окружающей среды (прежде всего, изменение климата) и жизненное пространство. Чаще всего исследователи обращают внимание на проблему пропитания. По оценкам Уилсона, даже если бы все стали вегетарианцами, питаясь произведенной пищей напрямую, а не скармливая ее скоту (поскольку поедание животных является неэффективным способом преобразования энергии растений в продовольственную энергию), нынешних 1,4 миллиарда гектаров пахотных земель хватало бы для того, чтобы прокормить с них лишь десять миллиардов человек.

Если население Земли, сегодня насчитывающее около семи с половиной миллиардов человек [40]40
  7,8 миллиарда человек на июнь 2020 года. – Прим. ред.


[Закрыть], будет расти нынешними темпами в 1,1 % в год, то в течение 30 лет мы достигнем отметки в десять миллиардов. Мальтус еще в 1798 году предупреждал об опасностях перенаселенности: «Возможности [роста] населения настолько превосходят способность Земли прокормить его, что преждевременная смерть должна в той или иной форме посещать человеческий род». В контексте истории человечества мы уже прожили бóльшую часть того последнего дня, который нам остается, чтобы спасти озеро.

Однако есть поводы и для оптимизма. Несмотря на то, что численность человечества продолжает увеличиваться, эффективный контроль рождаемости и снижение младенческой смертности (приводящее к снижению темпов воспроизводства) означают, что мы делаем это медленнее, чем предыдущие поколения. Наши темпы роста достигли пика в конце 1960-х годов с показателем около 2 % в год, но, по прогнозам, к 2023 году они упадут ниже 1 % в год [41]41
  Raftery, A. E., Alkema, L., & Gerland, P. (2014). Bayesian Population Projections for the United Nations. Statistical Science: A Review Journal of the Institute of Mathematical Statistics, 29 (1), 58–68. https://doi.org/10.1214/13-STS419 Raftery, A. E., Li, N., Ševčikova, H., Gerland, P., & Heilig, G. K. (2012). Bayesian probabilistic population projections for all countries. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 109 (35), 13915–21. https://doi.org/10.1073/pnas.1211452109 United Nations Department of Economic and Social Affairs Population Division. (2017). World population prospects: the 2017 revision, key findings and advance tables, ESA/P/WP/2.


[Закрыть]. Для сравнения – если бы темпы роста оставались на уровне 1960-х годов, то численность населения удвоилась бы всего за 35 лет. Но отметки в 7,3 миллиарда человек (вдвое больше, чем в 1969 году, когда численность населения мира составляла 3,65 миллиарда человек) мы достигли лишь в 2016 году – почти 50 лет спустя. При показателе роста всего в 1 % в год можно ожидать, что время удвоения населения увеличится до 69,7 лет, что почти в два раза дольше периода удвоения, основанного на показателях 1969 года. Небольшое снижение темпов роста имеет огромное значение для экспоненциального роста. Похоже, что, замедляя рост человечества по мере приближения к предельным возможностям населенности нашей планеты, мы естественным путем выгадываем еще немного времени. Однако есть причины, по которым экспоненциальное поведение может подтолкнуть нас к мысли, что времени у нас остается меньше, чем кажется.