Текст книги "Информационные технологии"

1.3. Формы представления, методы оценки и способы передачи информации

Анализируя информацию, мы сталкиваемся с необходимостью оценки качества и определения количества получения информации. При оценке информации различают три аспекта: синтаксический, семантический и прагматический.

Синтаксический аспект связан со способом представления информации вне зависимости от ее смысловых и потребительских качеств и рассматривает формы представления информации для ее передачи и хранения (в виде знаков и символов). Этот аспект необходим для измерения информации. Информацию, рассматриваемую только в синтаксическом аспекте, называют данными.

Семантический аспект передает смысловое содержание информации и соотносит ее с ранее имевшейся информацией (рис. 2).

Рис. 2. График семантической меры: S_П – тезаурусная мера получателя; I_c – семантическое количество информации

Прагматический аспект передает возможность достижения цели с учетом полученной информации.

где Р₀ – вероятность достижения цели до получения информации; Р₁ – вероятность достижения цели после получения информации; I_П – прагматическое количество информации.

Определить качество информации чрезвычайно сложно, а часто и вообще невозможно. Какие-либо сведения, например исторические, могут десятилетиями считаться ненужными, но при наступлении какого-то события их ценность может резко возрасти. Определить количество информации не только нужно, но и можно. Это прежде всего необходимо для того, чтобы сравнить друг с другом массивы информации, определить, какие размеры должны иметь материальные объекты (бумага, магнитная лента и т. д.), хранящие эту информацию.

Можно выделить три основные характеристики, используемые для измерения количества и качества передачи и приема информации:

1. Частотный диапазон – чем выше частота, тем больше информации можно передать в единицу информации (рентгеновское излучение несет больше информации, чем метровый диапазон).

2. Динамический диапазон – чем шире диапазон частот, тем больше информации можно пропустить в единицу времени.

3. Уровень шума – чем меньше помех, тем больше информации можно передать без ее искажения.

Для определения количества информации необходимо найти способ представить любую ее форму (символьную, текстовую, графическую) в едином виде. Рассмотрим некоторые критерии применительно к наиболее распространенным формам информации.

Звуки. Для звуковых колебаний совпадение формы сигнала на передаче и приеме не является обязательным. Здесь важно сохранение соотношений между амплитудами частотных компонентов, из которых состоит звук.

Частотный диапазон:

– 16–20 000 Гц – различает высококлассный музыкант;

– 30–15 000 Гц – отличное (50–10 000 Гц – хорошее) воспроизведение музыки;

– 300—3400 Гц – отличное качество связи для разговора по телефону.

Динамический диапазон – логарифм отношения максимального значения средней мощности звука к средней мощности наиболее слабых звуков. Соотношение между звуками различной интенсивности измеряется в логарифмических единицах, так как человеческое ухо сравнивает не абсолютное, а относительное изменение мощности звука. Сравнивая между собой интенсивности воздействия двух звуковых колебаний, имеющих соответственно мощности Р₁ (максимальное значение средней мощности звука) и Р₂ (средняя мощность наиболее слабых звуков), пользуются выражениями:

Например, динамический диапазон телефонной речи составляет 43 дБ; оркестра – 56 дБ; истребителя и рок-группы – 120 дБ. Уровень шума при телефонной связи должен быть не менее чем на 34 дБ ниже средней мощности полезного сигнала. Допустимая величина помехи при музыкальной передаче должна быть снижена еще больше – до 44–47 дБ.

Изображения. Чтобы передать с помощью электромагнитных волн некоторое изображение, необходимо каждый элемент этого изображения один за другим превратить в последовательность сигналов.

Частотный диапазон можно определить, если задаться временем, за которое мы хотим передать изображение с необходимым нам качеством. Проиллюстрируем это на примере передачи фототелеграммы с помощью телеграфа. Пусть самая маленькая точка на фототелеграмме будет равна 0,25 мм, т. е. разрешающая способность составляет 4 линии на 1 мм. Тогда на стандартном листе бумаги (формат А4) размером 210 х 300 мм можно разместить: 1 мм х 1 мм = 4 х 4 = 16 точек; 210 х 300 х 16 >> 1 000 000 точек. Передавая телеграмму за 3 мин (180 с) и учитывая, что наибольшая частота сигнала возникает при последовательном чередовании самых маленьких (элементарных) белых и темных точек, получим предельную частоту (1 000 000: 180): 2 = 2780 Гц. Двойка в делителе означает, что период предельной частоты равен времени прохождения лучом двух соседних точек – светлой и темной. Самая низкая частота возникает в случае, если на фототелеграмме изображен простейший рисунок – одна половина листа белая, а другая – черная. В результате период наименьшей частоты равен времени прохождения лучом одной строки целиком. Эта наименьшая частота равна числу строк (300 х 4 = 1200), деленному на время передачи листа (180 с), т. е. 6,7 Гц.

В отличие от фототелеграфа, телевидение передает подвижные изображения и смена кадров здесь осуществляется 50 раз в секунду. Если считать, что каждый кадр телевизионного изображения – это своеобразная фототелеграмма, легко вычислить частотный диапазон телевизионного изображения. Согласно одному из стандартов, телевизионное изображение имеет 625 горизонтальных строк и размер кадра по высоте относится к размеру по ширине как 3: 4. Если каждую элементарную точку считать квадратной, то общее их число составит 625 х 625 х ³/₄ = 52 х 10⁴. Учитывая, что число кадров в секунду равно 50 и что наивысшая частота определяется чередованием черных и светлых элементарных точек, предельная частота окажется равной 52 х 10⁴ х ⁵⁰/₂ – 13 х 10⁶ Гц. Чтобы уменьшить эту весьма большую частоту, в каждом кадре передается только половина строк. Из-за инерции нашего зрения для глаза это оказывается незаметным, зато предельная частота уменьшается вдвое. Самая низкая частота, необходимая для передачи телевизионного изображения, – это частота смены кадров, равная 50 Гц. Таким образом, для передачи телевизионного изображения требуется диапазон частот от 50 Гц до 6,5 МГц.

Динамический диапазон как в фототелеграфном, так и в телевизионном изображении почти одинаков. На экране телевизора различимы 8—10 четко разделенных градаций яркости. Установлено, что человеческий глаз различает изменения яркости, если интенсивность света двух соседних ступенек различается примерно в два раза (что в логарифмическом отсчете соответствует 3 дБ). Отсюда при 8—10 градациях динамический диапазон телевизионного изображения составит 24–30 дБ. Для хорошего качества принимаемого телевизионного изображения уровень помех должен быть меньше уровня сигнала по крайней мере на 40 дБ.

Передача данных – это частный случай информации, которую принято называть дискретной. Дискретная информация в конечном счете также является цифровой, однако может иметь большее разнообразие форм записи и методов передачи.

Рассмотрим взаимосвязь между характеристиками «частотный диапазон» и «скорость передачи данных». В теории электрической связи установлены закономерности, связывающие между собой длительность импульса тока во времени и спектральный состав этого импульса. Теоретически спектр частот импульса, имеющего конечную протяженность во времени t с, бесконечен. Однако практически основная энергия спектральных компонентов сосредоточена в диапазоне частот, не превышающих значение 1/t Гц. Но 1/t – это скорость передачи бинарной информации, исчисляемая количеством бит в секунду. Таким образом, на каждый бит в секунду требуется полоса в 1 Гц.

Теперь рассмотрим динамический диапазон. При передаче бинарной информации средняя мощность сигнала неизменна. Следовательно, нет перепада уровней. Соотношение сигнал/помеха зависит от требуемой верности приема. Если при передаче бинарных сигналов допустить возможность в среднем одной ошибки на 10⁵ бит, то при так называемом тепловом шуме соотношение сигнал/помеха должно составлять 18,8 дБ, а при одной ошибке на 10⁶ бит – 19,7 дБ. При импульсных помехах это соотношение зависит от частоты появления импульсов, их амплитуды и других параметров и должно подсчитываться отдельно для каждого случая.

Аналоговый сигнал может быть охарактеризован тремя основными параметрами: частотным и динамическим диапазонами, соотношением «сигнал/помеха». Для дискретных сигналов достаточно ограничиться двумя параметрами: диапазоном частот, который можно заменить скоростью передачи двоичных сигналов, и соотношением «сигнал/помеха», оценку которого удобно заменить допустимой ошибкой в приеме двоичного сигнала.

Количество и качество информации. Для определения количества информации, содержащейся в сигналах, которые циркулируют в системах управления, необходимо использовать знания из теории информации и теории вероятностей.

Под информацией, согласно теории передачи сообщений, разработанной К.Шенноном, необходимо понимать устраненную неопределенность в знаниях о сигнале. В качестве оценок степени неопределенности знаний существуют следующие меры:

– синтаксическая – связанная с неопределенностью, с которой можно судить о сигнале до его приема;

– структурная, или логарифмическая, – характеризующая информацию по объему (мера Хартли);

– вероятностная, или статистическая, – характеризующая информацию по объему и новизне (мера Шеннона).

Для систем управления мера Хартли наиболее приемлема, так как она позволяет оценить объемы циркулирующей информации и памяти, необходимой для ее хранения. В качестве меры неопределенности (энтропии) в описании сигнала до его приема принята логарифмическая мера (здесь и далее примем основание логарифма, равное двум, тогда количество информации будет измеряться в битах):

Если до получения информации о сигнале вероятность появления отдельных сообщений для наблюдателя равна:

то в этом случае источник дискретных сообщений выдает максимальное количество информации:

Количество информации, выдаваемой источником непрерывных сигналов, определяют исходя из погрешности квантования:

где δ – относительная погрешность квантования по уровню; т – число уровней.

В 1948 году американский инженер и математик К.Шеннон предложил формулу вычисления количества информации для событий с различными вероятностями:

где Н – количество информации; Р – количество возможных событий; x_i – вероятности отдельных событий; i принимает значения от 1 до К.

1.4. Методы хранения и обработки информации

Источниками и носителями информации могут быть сигналы любой природы: речь, музыка, текст, показания приборов и т. д.

Хранение информации осуществляется на долговременных носителях. Это могут быть камень, пергамент, кожа, бумага, магнитные носители, лазерные диски, серверы вычислительных сетей и т. п. Однако хранение, передача и переработка информации в ее естественном (физическом) виде большей частью неудобны, а иногда и просто невозможны. В таких случаях применяется кодирование.

Кодирование – это процесс установления взаимно однозначного соответствия элементам и словам одного алфавита элементов и слов другого алфавита. Кодом называется правило, по которому сопоставляются различные алфавиты и слова (отображение и преобразование информации в вид, удобный для человеческого восприятия, см. на рис. 3).

Рис. 3. Отображение и преобразование информации

Всю информацию, участвующую в этом процессе, можно разделить на обрабатываемую (ее называют данными) и управляющую (в применении к вычислительным процессам ее называют программами).

1.5. Системы счисления и области их использования

Системой счисления называется способ записи чисел.

Позиционной системой счисления называется система счисления, при которой число, связанное с цифрой, зависит от места, которое оно занимает. Место числа называют его разрядом в записи числа. Примером могут служить десятичная и шестидесятеричная системы счисления.

Непозиционной системой счисления является та система, в которой порядок записи числа, связанного с цифрой, не зависит от места, которое оно занимает. Примером может служить римская система записи чисел.

Представление чисел в различных системах счисления. Под основанием системы счисления р будем понимать число используемых в ней символов – цифр. В десятичной системе р = 10 и для построения чисел используются десять цифр: 0, 1, 2…, 9. Число представляется в виде последовательности цифр, разделенных запятой на две группы: одна группа (левее запятой) образует целую часть, другая (правее запятой) – дробную. Каждая цифра числа занимает определенную позицию – разряд. Разрядам приписываются различные весовые коэффициенты. Эти коэффициенты для разрядов влево от запятой равны соответственно 10⁰, 10¹, 10²…, 10ⁿ; вправо от запятой – 10^-1, 10^-2…, 10^-n.

Таким образом, запись 547,359 в десятичной системе счисления означает величину:

В общем случае изображение некоторого числа N имеет вид а^па^п-1… а¹a⁰ а^-1а^-2… а^-т. Здесь а^п, а^п-1…, а^-т – последовательность цифр, соответствующих п, n^-1…, п^-т разрядам.

При основании системы счисления р запись числа N соответствует следующей величине:

Здесь р^п, р^п-1, …, р^-т – весовые коэффициенты соответствующих разрядов. В качестве цифр разрядов используются символы, обозначающие положительные целые числа, меньшие р (0 ≤ a^j ≤ р^-1). Используя такой позиционный принцип представления чисел, можно строить разнообразные системы счисления, задаваясь различными значениями основания системы р. Рассмотрим некоторые наиболее употребительные системы счисления.

Двоичная система счисления (р = 2). Для представления цифр разрядов используются лишь два символа: 0 и 1.

Например:

число 11010,11₂ соответствует следующей величине:

где нижние индексы показывают основание системы счисления, в которой представляется число.

Весовые коэффициенты разрядов, отсчитываемых влево от запятой (в целой части числа), равны соответственно 1, 2, 4, 8, 16…, а весовые коэффициенты разрядов вправо от запятой (в дробной части числа) —

Восьмеричная система счисления (р = 8). Для представления цифр разрядов используют восемь символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Например, запись числа 756,25₈ в этой системе счисления соответствует следующей величине:

Весовые коэффициенты разрядов в целой части – 1, 8, 64…, в дробной части – ¹/₈, ¹/₆₄.

Шестнадцатеричная система счисления (р = 16). Цифры разрядов изображаются шестнадцатью символами: 0, 1, 2…, 9, A, B, C, D, E, F.

Десять символов заимствованы из десятичной системы, а в качестве недостающих шести символов использованы буквы А, В, С, D, Е, F, которым в десятичной системе соответствуют числа 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Например:

запись А7В, С8₁₆ соответствует следующей величине:

Хранение n-разрядных чисел. Хранение осуществляется с помощью устройств, содержащих п элементов, каждый из которых запоминает соответствующую цифру числа. Наиболее просто осуществляется хранение чисел, представленных в двоичной системе счисления. Для запоминания цифры каждого разряда двоичного числа используются устройства с двумя устойчивыми состояниями, такие, как триггеры. Одному из этих состояний ставится в соответствие цифра 0, другому – цифра 1.

При хранении десятичных чисел каждая цифра десятичного числа предварительно представляется в двоичной форме. Такая форма представления десятичных чисел носит название двоично-кодированной десятичной системы.

Например, число 735,82₁₀ в двоично-кодированной десятичной системе может быть представлено в следующем виде:

Несмотря на внешнее сходство с двоичным числом, двоично-кодированное десятичное число (содержащее лишь цифры 0 и 1) не является двоичным. Например, если целую часть приведенной выше записи рассматривать как двоичное число, то оно при переводе в десятичную форму означало бы 1845₁₀, что не совпадает с целой частью исходного числа 735.

Рассмотренный способ двоичного представления (кодирования) десятичных цифр использует код 8421 (название кода составлено из весовых коэффициентов разрядов двоичного числа). Наряду с этим кодом при двоичном кодировании десятичных цифр используются и другие коды, наиболее употребительные из которых приведены в табл. 1.

Эти коды имеют следующие особенности:

код 8421 является естественным представлением десятичных цифр в двоичной системе счисления;

код 7421 интересен тем, что любая кодовая комбинация содержит не более двух единиц;

в коде 2 из 5 все кодовые комбинации содержат точно две единицы. Это свойство используется для обнаружения ошибочных комбинаций (ошибочное распознавание любого из символов принятой кодовой комбинации изменяет число единиц, благодаря чему достигается возможность выявления таких ошибочных комбинаций).

Таблица 1. Наиболее употребительные коды в двоично-кодированной десятичной системе счисления

Пары десятичных цифр, сумма которых равна девяти, составляют цифры, взаимно дополняющие друг друга до девяти (0 и 9, 1 и 8, 2 и 7…).

В коде 2421 и коде с избытком 3 кодовая комбинация, соответствующая любой из десятичных цифр, представляет собой инверсию комбинации, соответствующей ее дополнению до девяти. Например, в коде 2421 паре взаимно дополняющих до девяти цифр 2 и 7 соответствуют комбинации 0010 и 1101, каждая из которых образуется как инверсия другой. Это свойство упрощает выполнение в цифровых устройствах арифметических операций над десятичными числами. Таким же свойством дополнения до девяти обладает код За + 2. Кроме того, этот код имеет и другое полезное свойство: любая пара кодовых комбинаций отличается не менее чем в двух разрядах, что позволяет обнаружить ошибочные комбинации (ошибка, изменяющая цифру одного разряда любой из кодовых комбинаций, приводит к так называемой запрещенной комбинации, не используемой для представления десятичных цифр).

Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Перевод чисел из десятичной в двоичную систему счисления. Для перевода десятичного числа в двоичную систему счисления отдельно выполним операции перевода для целой и дробной частей. Для небольших чисел можно воспользоваться таблицей целых степеней числа 2 (табл. 2).

Таблица 2. Степени числа 2

Целая часть. Осуществляем последовательное деление целой части на основание системы счисления (2) с записью остатков. Двоичное число считывается от последнего результата по остаткам (от последнего остатка к первому).

Пример.

Целое десятичное число 87 переведем в двоичную систему счисления.

Для проверки просуммируем вес разрядов двоичного числа:

Дробная часть. Дробную часть десятичного числа будем последовательно умножать на 2, исключая из промежуточных результатов целую часть и записывая ее в разряды двоичного числа после запятой. Если точный ответ не получается за несколько шагов, т. е. получается бесконечная непериодическая последовательность, то вычисления проводятся до достижения требуемой точности результата (до определенного числа знаков после запятой).

Пример.

Десятичные дроби 0,3125 и 0,7163 переведем в двоичную форму:

В первом случае получен точный результат:

Во втором случае вычисления проводились с точностью до семи знаков после запятой. Обратите внимание, что все получаемые разряды дробной части числа записываются после запятой в том порядке, в котором они получены.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную. Перевод двоичных чисел в десятичную систему счисления осуществляется с помощью целых степеней числа 2 (табл. 2). Суммируем вес разрядов двоичного числа, в которых стоят единицы. Там, где в числе стоит 0, соответствующий вес разряда умножен на 0 и суммировать нечего.

Пример.

Аналогично число можно перевести из любой другой системы счисления в десятичную, просуммировав вес его разрядов, умноженный на цифры числа.

Перевод чисел в кратных системах счисления. Основания восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления выражаются целой степенью двух (8 = 2³; 16 = 2⁴). Этим объясняется простота преобразования чисел, представленных в этих системах, в двоичную систему счисления и обратно. Каждая восьмеричная цифра для получения ее двоичного представления требует три двоичных разряда, а шестнадцатеричная – четыре.

Двоичная запись цифр различных систем счисления приведена в табл. 3.

Таблица 3. Сравнение значений кодов в различных системах счисления

Для перевода чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную достаточно каждую цифру восьмеричного числа представить трехразрядным двоичным числом – триадой.

Например:

Перевод шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления достигается представлением цифр шестнадцатеричного числа четырехразрядными двоичными числами – тетрадами.

Например:

При обратном переводе чисел из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления необходимо разряды двоичного числа, отсчитывая их от запятой влево и вправо, разбить на группы по три разряда – в случае перевода в восьмеричную систему, или на группы по четыре разряда – в случае перевода в шестнадцатеричную систему счисления. Неполные крайние группы дополняются нулями. Затем каждая двоичная группа представляется цифрой той системы счисления, в которую переводится число.

Например:

Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную надо записать двоичное представление числа, разбить двоичные разряды на триады вправо и влево от запятой, дополняя недостающие нули слева от целой части и справа от дробной, и прочесть восьмеричное число, соответствующее триадам.

Пример.

Число EF2C,1D переведем в восьмеричную систему счисления.

Запишем двоичную форму числа, последовательно записав тетрадами его шестнадцатеричные цифры:

Сгруппируем двоичные разряды числа в триады вправо и влево от запятой:

Недостающие нули записаны перед целой частью и после дробной части. Восьмеричное число получаем, записывая последовательно восьмеричные цифры, соответствующие двоичным триадам: 167454,072₈.

Перевод восьмеричного числа в шестнадцатеричную систему счисления осуществляется в обратном порядке: запись двоичной формы числа триадами, группировка двоичных разрядов в тетрады вправо и влево от запятой с дополнением нулей слева от целой части и справа от дробной, считывание шестнадцатеричного результата в соответствии с тетрадами.

Пример.

Число 563,41₈ переведем в шестнадцатеричную систему счисления.

Запишем двоичную форму числа, последовательно записав двоичными триадами его восьмеричные цифры: 563,41₈ = 101 110 011, 100 001₂. Сгруппируем двоичные разряды числа в тетрады вправо и влево от запятой: 0001 0111 0011, 1000 0100 (недостающие нули записаны перед целой частью и после дробной). Шестнадцатеричное число получаем, записывая последовательно шестнадцатеричные цифры, соответствующие двоичным тетрадам: 173,84₁₆.

Арифметические операции в двоичной системе счисления. Основной операцией, которая используется в цифровых устройствах при выполнении различных арифметических действий, является алгебраическое сложение (сложение, в котором могут участвовать как положительные, так и отрицательные числа). Вычитание легко сводится к сложению путем изменения знака вычитаемого на обратный. Операции умножения и деления также сводятся к сложению и некоторым логическим действиям. Поэтому именно с операции сложения начнем рассмотрение способов выполнения арифметических операций.

При записи кода числа будем знак числа представлять заключаемыми в скобки цифрами: (0) – для положительных чисел и (1) – для отрицательных. Именно так в устройствах, предназначенных для хранения чисел, принято фиксировать знак числа в специально выделяемых знаковых разрядах регистра флагов. Положение запятой в числе показывать не будем.

Сложение положительных чисел покажем на примере:

Цифры разрядов суммы N = N₁ + N₂ формируются последовательно, начиная с младшего разряда. Цифра младшего разряда суммы образуется суммированием цифр младших разрядов слагаемых. При этом, кроме цифры разряда суммы, формируется цифра переноса в следующий, более старший разряд. Таким образом, в разрядах, начиная со второго, суммируются три цифры: цифры соответствующего разряда слагаемых и перенос, поступающий в данный разряд из предыдущего.

Перенос равен 1 во всех случаях, когда результат суммирования цифр в разряде равен или больше р = 2 (р – основание системы счисления). При этом в разряд суммы заносится цифра, на р единиц (т. е. на 2) меньшая результата суммирования.

Алгебраическое сложение с использованием дополнительного кода. Для пояснения сущности излагаемого метода рассмотрим следующий пример. Пусть требуется сложить два десятичных числа N₁ = (0)831 и N₂ = (1)376. Так как второе слагаемое – отрицательное число, то использование приема, предлагаемого в школьной программе, потребовало бы последовательности действий с займами из старших разрядов. Предусматривать в цифровом устройстве дополнительно такую последовательность действий необязательно. Искомый результат может быть получен и при использовании последовательности действий с передачей переносов в старшие разряды, которая применяется при сложении положительных чисел. Для этого достаточно отрицательное число (1)376 предварительно преобразовать в так называемый дополнительный код следующим образом: во всех разрядах, кроме знакового, запишем дополнение до девяти к цифрам этих разрядов и затем прибавим единицу в младший разряд. Дополнительный код для числа N₂ = (1)376 есть N_2ДОП = (1)624.

Далее произведем сложение по правилам сложения положительных чисел. Единицы переноса показаны там, где они суммируются, а не в тех столбцах, откуда перенос осуществлен:

При сложении складываются и цифры знаковых разрядов с отбрасыванием возникающего из этого разряда переноса. Как видим, получен правильный результат (действительно, 831 – 376 = 455).

В двоичной системе счисления дополнительный код отрицательного числа формируется по следующему правилу: инвертируются (путем замены 0 на 1 и 1 на 0) цифры всех разрядов, кроме знакового, после чего в младший разряд прибавляется единица. Например, если N = (1)10110, то N_ДОП = (1)01010. Обратное преобразование отрицательных чисел из дополнительного кода в прямой производится по тому же правилу.

Рассмотрим примеры выполнения операции.

Пример.

Пусть N₁ = (0)10110; N₂ = (1)01101; N_2ДОП = (1)10011.

Как указывалось выше, перенос, возникающий из знакового разряда, отбрасывается.

Пример. Изменим на обратные знаки слагаемых, использованных в предыдущем примере: N₁ = (1)10110; N₂ = (0)01101. Очевидно, ожидаемый ответ: N = N₁ + N₂ = (1)01001.

Таким образом, если результат сложения – отрицательное число, то оно оказывается представленным в дополнительном коде.

Алгебраическое сложение с использованием обратного кода. Вместо дополнительного кода для представления отрицательных слагаемых может быть использован обратный код. Обратный код отрицательных двоичных чисел формируется по следующему правилу: цифры всех разрядов, кроме знакового, инвертируются. Обратное преобразование из обратного кода в прямой производится по тому же правилу.

Рассмотрим те же примеры, используя обратный код:

При использовании обратного кода перенос, возникающий из знакового разряда, прибавляется в младший разряд суммы.

Если результат сложения – отрицательное число, оно оказывается представленным в обратном коде.

Использование модифицированного кода. Особенность модифицированного кода состоит в том, что в нем предусматривается два знаковых разряда. В обоих знаковых разрядах положительные числа содержат нули, отрицательные – единицы.

Выполнение операции суммирования с использованием модифицированного дополнительного или модифицированного обратного кода производится по правилам, сформулированным выше. Если результат суммирования содержит в знаковых разрядах комбинацию 01 или 10, это служит признаком так называемого переполнения разрядной сетки. Переполнение разрядной сетки – явление, при котором результат операции содержит большее число разрядов, чем число разрядов в устройстве, предназначенном для его хранения. При этом некоторые разряды результата не могут быть зарегистрированы в устройстве; они теряются, и результат оказывается ошибочным.

Пример.

Пусть N₁ = (0)(0)11011; N₂ = (1)(1)10101.

Пример.

Пусть N₁ = (0)(0)10110; N₂ = (0)(0)11011.

Комбинация цифр (0)(1) в знаковых разрядах результата суммирования свидетельствует о переполнении разрядной сетки; зафиксированный результат ошибочен. Ошибка связана с тем, что при суммировании перенос из старшего разряда оказался зафиксированным во втором из знаковых разрядов. Для регистрации результата суммирования в данном примере требуется шесть разрядов (без учета знаковых разрядов).

Пример.

Пусть N₁ = (1)(1)101101; N₂ = (1)(1)011101.

И в этом случае комбинация цифр (1)(0) в знаковых разрядах сигнализирует о переполнении разрядной сетки. Для регистрации результата без учета знаковых разрядов в данном примере требуется семь разрядов, и в отведенных для него шести разрядах он не помещается.