Текст книги "Введение в логику и научный метод"

Несмотря на то что силлогистическое рассуждение нередко встречается в ежедневном общении, его присутствие зачастую не замечается, поскольку такое рассуждение выражено не в полной форме. Силлогизм, выраженный не в полной форме, т. е. тот, в котором одна из посылок или заключение не выражено и присутствует в неявной форме, называется энтимемой.

Следующие умозаключения являются примерами энтимем: «Это лекарство вылечило больное горло моей дочери, следовательно, оно вылечит и мое больное горло». Данное умозаключение является обоснованным при неявном допущении большей посылки «все, что вылечивает больное горло моей дочери, вылечивает и мое больное горло». Энтимема, в которой не выражена большая посылка, считается энтимемой первого порядка.

«Все пьяницы живут недолго, следовательно, Джон долго не проживет». В данном случае пропущена меньшая посылка «Джон является пьяницей». Энтимемы, в которых не выражена меньшая посылка, считаются энтимемами второго порядка.

«Ростовщичество является безнравственным, а это – ростовщичество». Здесь заключение «это безнравственно» осталось невыраженным. Данная энтимема является энтимемой третьего порядка. Без сомнения, ценность подобных энтимем для того, чтобы делать намеки, знакома читателю.

Хотя энтимемы не предлагают какую-либо новую форму умозаключения, на практике очень важно уметь их распознавать. Мы еще сможем убедиться в том, что индуктивные умозаключения зачастую рассматриваются как особый способ рассуждения, тогда как на деле являются лишь энтимемами первого порядка.

На данном этапе мы всего лишь определили, что именно мы называем категорическим силлогизмом. Однако мы ничего еще не сказали об условиях, при которых подобный аргумент является обоснованным. Мы перечислим пять суждений, которые вместе выразят факторы, детерминирующие обоснованность любого категорического силлогизма. Эти суждения называются правилами или аксиомами. Мы сформулируем их без какого-либо доказательства, поскольку они будут нашими «первыми принципами», с помощью которых мы будем доказывать все другие суждения. Несмотря на то что мы не пытаемся доказывать аксиомы, мы утверждаем их как суждения, выражающие условия обоснованного силлогистического умозаключения. Если мы понимаем силлогизм как форму умозаключения, в которой отношение между двумя терминами может утверждаться на основании отношения, существующего между каждым из этих терминов и третьим общим термином, то мы сможем «усмотреть», что данные аксиомы на самом деле выражают условия обоснованности категорического силлогизма. Однако такое «усмотрение» не следует путать с доказательством. Поскольку аксиомы являются принципами логики, то, рассматривая их, мы затрагиваем фундаментальное свойство логических принципов: не все логические принципы могут быть доказаны логически, поскольку подобное доказательство само должно будет опираться на некоторые логические принципы; в частности, никакое доказательство принципа тождества (если нечто является А, то оно является А) невозможно без допущения того, что обозначаемое фразой «все, что является А», встречающейся в одной части такого предполагаемого доказательства, тождественно обозначаемому этой же фразой, встречающейся в другой части данного доказательства.

Аксиомы категорического силлогизма делятся на два множества: аксиомы относительно количества и распределенности терминов и аксиомы относительно качества суждений.

Аксиомы количества

1. Средний термин должен быть распределен, по крайней мере, в одной из посылок.

2. Термин, нераспределенный в посылке, не может быть распределенным в заключении.

Аксиомы качества

3. Из двух отрицательных посылок нельзя сделать никакого заключения.

4. Если одна посылка является отрицательной, заключение должно быть отрицательным.

5. Если ни одна посылка не является отрицательной, заключение должно быть утвердительным.

Данные аксиомы вместе с принципами условного умозаключения достаточны для того, чтобы целиком построить теорию категорического силлогизма. Аксиомы не являются независимыми друг от друга, поскольку некоторые из них можно вывести из других. Однако, несмотря на это, мы будем рассматривать все эти правила в качестве аксиоматического базиса нашего анализа.

На данном этапе мы докажем четыре теоремы.

Теорема I. Число распределенных терминов в заключении должно быть, по крайней мере, на один меньше, чем общее число распределенных терминов в посылках.

Доказательство. Число распределенных терминов в заключении не может быть больше, чем общее число распределенных терминов в посылках (аксиома 2).

Средний термин, который должен быть распределенным, по крайней мере, в одной из посылок (аксиома 1), не входит в заключение (определение среднего термина).

Следовательно, заключение должно содержать, по крайней мере, на один распределенный термин меньше, чем посылки.

Теорема II. Если две посылки являются частными суждениями, то из них нельзя получить заключения.

Доказательство. Два частных суждения в посылках могут быть а) оба отрицательными, Ь) оба утвердительными, с) одно утвердительным, а другое отрицательным.

a. Если обе посылки – отрицательные, то заключения быть не может (аксиома 3).

b. В частноутвердительном суждении ни один термин не является распределенным. Если обе посылки являются частноутвердительными суждениями, то в них не содержится распределенных терминов. Следовательно, из них не может следовать заключения (аксиома 1).

c. В частноутвердительном суждении нет распределенных терминов, а в частноотрицательном – только один. Поэтому посылки содержат один, и только один, распределенный термин. Следовательно, если существует заключение, то оно не может содержать нисколько распределенных терминов (теорема I). Однако поскольку одна посылка является отрицательной, заключение должно быть отрицательным (аксиома 4). Следовательно, по крайней мере один термин в заключении должен быть распределенным. Допущение о том, что заключение существует, требует принятия того, что в нем одновременно не содержится ни одного распределенного термина и что в нем содержится, по крайней мере, один распределенный термин. Это абсурдно. Следовательно, заключение не существует.

Теорема III. Если одна посылка является частным суждением, заключение должно быть частным суждением.

Доказательство. Посылки не могут быть вместе частными суждениями (теорема II). Следовательно, они должны различаться по количеству и быть а) оба отрицательными, Ь) оба утвердительными или с) одно утвердительным и одно отрицательным.

a. Если обе посылки являются отрицательными суждениями, то заключения не существует (аксиома 3).

b. Одна посылка является общеутвердительным суждением, другая – частноутвердительным. В общеутвердительном суждении распределенным является лишь один термин, в частноутвердительном суждении распределенных терминов нет. Поэтому посылки содержат не более одного распределенного термина. Следовательно, заключение, если таковое существует, не содержит распределенных терминов (теорема I). Однако общее суждение содержит, по крайней мере, один распределенный термин. Поэтому заключение должно быть частным суждением.

c. Можно различить два случая: α) общее суждение является отрицательным, частное – утвердительным; β) общее суждение является утвердительным, частное – отрицательным.

α. В общем суждении распределены оба термина, в частном – распределенных терминов нет. Поэтому в посылках распределены два термина,

β. В общем суждении распределен один термин, в частном – тоже один. Поэтому в посылках распределено два термина. Как в первом, так и во втором случае посылки содержат два, и только два, распределенных термина. Заключение, если оно существует, не может содержать более одного распределенного термина (теорема I). Заключение должно быть отрицательным (аксиома 4), и его предикат, следовательно, должен быть распределенным. Поэтому его субъект не может быть распределенным, а само заключение должно быть частным суждением.

Теорема IV. Если бо′льшая посылка является частноутвердительным суждением, а меньшая посылка – общеотрицательным суждением, то заключения не существует.

Доказательство. Поскольку, согласно допущению, меньшая посылка является отрицательным суждением, заключение, если оно существует, должно быть отрицательным суждением (аксиома 4), а его предикат, являющийся большим термином, должен быть распределенным. Поэтому больший термин должен быть распределенным в большей посылке (аксиома 2). Однако в частноутвердительном суждении не распределен ни один термин. Следовательно, заключения не существует.

Приведенные пять аксиом и данные четыре теоремы, которые мы строго доказали с помощью этих аксиом, позволяют нам перечислить все возможные виды обоснованного силлогизма. Читателю следует обратить внимание на природу нашего доказательства: было показано, что теоремы являются необходимым следствием аксиом, таким, что если принимаются аксиомы, то во избежание противоречия также должны приниматься и данные теоремы.

Прежде чем перечислить обоснованные силлогистические формы, рассмотрим некоторые силлогизмы[29]29
  Знак «∴» означает «следовательно». – Прим. перев.


[Закрыть]:

Несмотря на то что все приведенные силлогизмы являются правильными, они отличаются друг от друга по двум основным параметрам: 1) расположением среднего термина и 2) качественной и количественной характеристикой посылок и заключения. В первом примере средний термин является субъектом большей посылки и предикатом меньшей; во втором примере средний термин является предикатом в обеих посылках; в третьем примере средний термин – субъект обеих посылок; наконец, в четвертом примере средний термин является предикатом большей посылки и субъектом меньшей. Расположение среднего термина детерминирует фигуру силлогизма. На основе данного различия существует четыре возможные фигуры. Обозначив меньший термин, больший термин и средний термин буквами «S», «Р» и «М» соответственно, мы можем выразить в символьной форме эти четыре фигуры:

Аристотель признавал только первые три фигуры. Введение четвертой фигуры приписывается Галену, и поэтому она, как правило, называется галеновой фигурой. Логики много спорили о том, представляет ли четвертая фигура отдельный тип рассуждения, отличный от типа, представленного в первых трех, и прав ли был Аристотель или нет, не признавая данную фигуру. Если различение фигур осуществляется на основе расположения среднего термина, то, бесспорно, существует четыре разные фигуры. Однако у Аристотеля был иной принцип различения фигур. Этот принцип заключался в ширине, или протяженности, среднего термина по сравнению с другими двумя терминами. Согласно данному подходу, существует лишь три фигуры: средний термин может быть шире одного и уже другого термина, шире обоих терминов или уже каждого из них.

Второй параметр отличия силлогизмов друг от друга – это количество и качество посылок и заключения. Он определяет модус силлогизма. Первый из четырех вышеприведенных силлогизмов соответствует первой фигуре и модусу ЕАЕ. Силлогизм

5. Вся здоровая пища приготавливается из натуральных продуктов.

Все пончики суть здоровая пища.

∴ Все пончики приготавливаются из натуральных продуктов.

построен по первой фигуре и модусу АЛА. Таким образом, силлогизмы могут отличаться друг от друга как по фигуре, так и по модусу (например, 1 и 3) или только по фигуре (2 и 4) или только по модусу (1 и 5). Однако не все модусы являются правильными.

Рассмотрим общее число силлогистических форм, правильных и неправильных, с учетом их различия по модусам и фигурам. Поскольку существует четыре типа категорических суждений, то большая посылка, меньшая посылка и заключение могут быть представлены суждениями любого из четырех типов. Следовательно, существует 4x4x4, или 64, силлогистических модуса в каждой фигуре, и 64 х 4, или 256, силлогистических форм в четырех фигурах. При этом большинство из них являются неправильными. Как отыскать правильные формы? Исследовать все 256 форм было бы страшно неудобно. Однако данная процедура вовсе не обязательна, поскольку неправильные формы могут быть исключены посредством применения аксиом и теорем обоснованности.

Запишем каждую возможную комбинацию посылок, где первая буква будет обозначать большую посылку, а вторая – меньшую:

Согласно аксиоме 3, сочетания ЕЕ, ЕО, ОЕ и 00 являются невозможными. Теорема II исключает варианты II, IO, OI, а теорема IV – вариант IE. Следовательно, у нас остается восемь комбинаций посылок, каждая из которых даст правильный силлогизм в некоторых или во всех фигурах: АА, АЕ, AI, АО, ЕА, EI, IA, OA.

Исключенные восемь комбинаций не имеют заключения ни в одной фигуре.

Теперь осталось отыскать правильные модусы для каждой фигуры. Это можно сделать одним из следующих способов:

1. Для каждой фигуры выписать посылки с указанием их количества и качества, согласно каждой из допустимых комбинаций, и путем проверки выявить те комбинации, которые дают обоснованное заключение. Недостаток данного способа в том, что он долгий.

2. Установить специальные теоремы для каждой фигуры и с их помощью исключить неправильные комбинации посылок. Данный метод является изящным, и мы прибегнем именно к нему.

Ниже мы раз и навсегда будем допускать, что обозначаемые терминами классы являются непустыми. Мы исследуем следствия данного допущения. Оно позволит нам осуществлять непосредственные умозаключения с помощью ограничения.

Форма первой фигуры обозначается как

поэтому докажем следующие теоремы.

Теорема I. Меньшая посылка должна быть утвердительной.

Допустим, что меньшая посылка – отрицательная. Тогда заключение должно быть отрицательным (аксиома 4), а Р должен быть распределенным. Поэтому Р должен быть распределен и в большей посылке (аксиома 2), а сама большая посылка должна быть отрицательной. Однако обе посылки не могут быть отрицательными (аксиома 3), и, следовательно, меньшая посылка должна быть утвердительной.

Теорема II. Бо′льшая посылка должна быть общим суждением.

Поскольку меньшая посылка должна быть утвердительной, ее предикат М не может быть распределенным. Поэтому М

должен быть распределен в большей посылке (аксиома 1), что, в свою очередь, делает бо′льшую посылку общим суждением.

С помощью специальной теоремы I мы можем исключить комбинации АЕ, АО, а с помощью второй теоремы – комбинации IA и ОА. В первой фигуре обоснованные заключения имеют место только в комбинациях АА, AI, ЕА и EI. Следовательно, шесть правильных модусов – это AAA, [AAI], АII, ЕАЕ, [ЕАО], ЕIO.

Модусы, обведенные нами в круг, называются подчиненными, или ослабленными, модусами, поскольку, несмотря на то что посылки в них предписывают выведение заключения, которое будет общим суждением, действительное заключение, тем не менее, является лишь частным суждением, и поэтому «более слабым», чем могло бы быть. Четырем из этих шести правильных модусов были даны специальные имена, в которых гласные соответствуют символам количества и качества посылок и заключения. Так, модус АЛА обозначается именем «Barbara», All – «Darii», ЕАЕ – «Celarent» и ЕIO – «Ferio». Данные имена были изобретены для формирования мнемонического средства, с помощью которого можно было бы вспомнить различные модусы в каждой из фигур, а модусы второй, третьей и четвертой фигур сводить к модусам первой фигуры. Ниже мы еще вернемся к проблеме сведения.

Форма второй фигуры обозначается как

Докажем следующие теоремы.

Теорема I. Посылки должны различаться по качеству.

Если обе посылки являются утвердительными, то средний термин М является нераспределенным в каждой из них. Поэтому одна из посылок должна быть отрицательной (аксиома 1). Обе посылки не могут быть отрицательными (аксиома 3). Поэтому посылки должны различаться по качеству.

Теорема II. Бо′льшая посылка должна быть общим суждением.

Поскольку одна из посылок является отрицательным суждением, заключение также является отрицательным суждением (аксиома 4), и Р, больший термин, должен быть распределенным. Поэтому Р должен быть распределенным и в большей посылке (аксиома 2), а сама посылка должна быть общим суждением.

Теорема I исключает комбинации АА и AI, а теорема II исключает комбинации IA и ОА. В данной фигуре у нас остается четыре комбинации: АЕ, АО, ЕА и EI, из которых мы получаем шесть правильных модусов. АЕЕ (Camestres), [АЕО], АОО (Baroco), ЕАЕ (Cesare), [ЕАО] и ЕIO (Festino). Модусы, обведенные в круг, являются ослабленными силлогизмами.

Исходя из символьной формы третьей фигуры

мы можем доказать следующие теоремы.

Теорема I. Меньшая посылка должна быть утвердительной.

Предположим, что меньшая посылка – отрицательная. Тогда заключение будет отрицательным суждением (аксиома 4) и Р, его предикат, будет распределен. Поэтому Р будет распределен и в большей посылке (аксиома 2), и сама большая посылка будет отрицательной. Однако это невозможно (аксиома 3). Поэтому меньшая посылка не может быть отрицательной.

Теорема II. Заключение должно быть частным суждением.

Поскольку меньшая посылка должна быть утвердительным суждением, S в посылках не может быть распределенным.

Поэтому S не может быть распределенным и в заключении (аксиома 2), а само заключение должно быть частным суждением.

Первая теорема исключает комбинации АЕ и АО, и у нас остается шесть комбинаций: AA, AI, EA, EI, IA, OA. Помня о второй теореме, мы получаем шесть правильных модусов: [AAI] (Darapti), AII (Datisi), [ЕАО] (Felapton), ЕIO (Ferison), IAI (Disamis) и ОАО (Bocardo). В этой фигуре нет ослабленных модусов. Два модуса, обведенные в круг, называются усиленными силлогизмами, поскольку то же самое заключение может быть получено, даже если мы заменим суждение одной из посылок подчиненным ему суждением.

С помощью символьного выражения четвертой фигуры

мы можем доказать следующие теоремы.

Теорема I. Если большая посылка является утвердительным суждением, то меньшая посылка является общим суждением.

Если большая посылка является утвердительным суждением, то его предикат, М, нераспределен. Следовательно, М должен быть распределенным в меньшей посылке (аксиома 1), а сама меньшая посылка должна быть общим суждением.

Теорема II. Если одна из посылок является отрицательной, то большая посылка должна быть общим суждением.

Если одна из посылок – отрицательное суждение, то заключение является отрицательным (аксиома 4), а его предикат, Р, должен быть распределен. Поэтому Р должен быть распределен и в большей посылке (аксиома 2), а сама она, следовательно, должна быть общим суждением.

Теорема III. Если меньшая посылка является утвердительным суждением, то заключение является частным суждением.

Если меньшая посылка – утвердительное суждение, то его предикат, S, нераспределен. Поэтому S не может быть распределенным и в заключении (аксиома 2) и, следовательно, само заключение должно быть частным суждением.

Первая теорема исключает комбинации AI и AO, вторая – OA. У нас остаются пять комбинаций: AA, AE, EA, IA и EI. С помощью третьей теоремы мы получаем шесть правильных модусов: [AAI] (Bramantip), AEE (Camenes), [AEO] , IAI (Dimaris), [EAO] (Fesapo) и EIO (Fresison). AEO является ослабленным силлогизмом, тогда как ААI и EAO – усиленными.

Таким образом, мы обнаруживаем, что всего в четырех фигурах существует двадцать четыре правильные силлогистические формы. В каждой фигуре содержится по четыре правильных модуса. При этом ослабленные и усиленные формы правильны только при допущении экзистенциальной нагруженности, о которой мы четко заявили. Если подобного допущения не делается, то можно получить лишь пятнадцать правильных модусов.

Мы обнаружили правильные модусы посредством исключения всех форм, несовместимых с аксиомами обоснованности, а также с выведенными из них теоремами. Единственным обоснованием правильности выработанных нами форм стала их согласованность с аксиомами. Однако Аристотель, человек, первым написавший о силлогизмах, обосновывал правильные формы иначе. Согласно его подходу, модусы первой фигуры проверялись с помощью применения к ним принципа, известного с тех пор как dictum de omrti et nullo[30]30
  Сказанное обо всем и ни о чем (лат.). – Прим. перев.


[Закрыть]. Данный принцип считался и зачастую до сих пор считается «самоочевидным». Формулировался он по-разному. Одной из таких формулировок была следующая: «Все, что предицируется, в утвердительном или отрицательном суждении, распределенному термину, может также предицироваться и всему, что в нем содержится» (Кейнс). Несложно показать, что принцип dictum эквивалентен аксиомам и теоремам, относящимся к первой фигуре. Однако он не может непосредственно применяться к силлогизмам в других формах. Соответственно первая фигура была названа совершенной, а остальные несовершенными.

Рассмотрим, как с помощью принципа dictum можно проверить правильность силлогизма в модусе Barbara: «Все русские – европейцы; все коммунисты – русские; следовательно, все коммунисты – европейцы». «Европейцы» предицируется в утвердительном суждении распределенному термину «русские», поэтому, согласно принципу dictum, этот термин можно предицировать в утвердительном суждении и «коммунистам», поскольку последний содержится в термине «русские»[31]31
  Несоответствие оригинального текста современному подходу: не термины, а классы могут содержать друг друга. Поэтому следует писать: «поскольку класс, обозначаемый термином „коммунисты" принадлежит классу, обозначаемому термином „русские". Подробнее см. прим. перев. на с. 64. – Прим. перев.


[Закрыть]. Однако силлогизм «все парижане – французы; ни один бостонец не является парижанином; следовательно, ни один бостонец не является французом» не согласуется с принципом dictum. «Французы» предицируется в утвердительном суждении распределенному термину «парижане»; при этом этот термин никак не может предицироваться термину «бостонцы», поскольку последний не содержится в термине «парижане»[32]32
  Следует писать: «поскольку класс, обозначаемый термином „бостонцы", не принадлежит классу, обозначаемому термином „парижане". См. прим. перев. на с. 64 и выше на этой странице. – Прим. перев.


[Закрыть].

Если мы вместе с Аристотелем будем рассматривать dictum как самоочевидный принцип и если мы вместе с ним решим, что он является единственным самоочевидным принципом, способным определять правильность силлогистических форм, то единственным способом обоснования модусов остальных фигур помимо первой будет демонстрация того, что они предполагают правильные модусы первой фигуры.

Данный процесс проявления связи модусов других фигур с модусами первой фигуры называется «сведением». Существует две разновидности сведения: 1) непосредственное сведение, осуществляющееся посредством обращения суждений, или перестановкой посылок, и 2) опосредованное сведение, требующее либо превращения и контрапозиции суждений, либо формы условного умозаключения, известного как reductio ad absurdum.

Несмотря на то что многие логики считали, что процесс сведения не является необходимым и даже является необоснованным, нет сомнения в том, что в свете той основы, на которой Аристотель развивал свою теорию силлогизма, сведение является неотъемлемой частью этой теории. Однако если учение о силлогизме развивать на иных основаниях, согласно которым первая фигура не считается самой главной, то операция сведения не сможет обладать той важностью, которая приписывается ей в традиционном подходе. Даже принятый нами подход не требует того, чтобы первая фигура рассматривалась как центральная. Ниже мы убедимся, что теорию силлогизма можно развивать, исходя из еще более общих установок. Более того, такие принципы, как dictum, можно выработать для каждой фигуры, и каждый из них будет обладать такой же степенью самоочевидности, как и dictum de omrti. Тем не менее, несмотря на снижение теоретической значимости сведения, оно продолжает представлять ценный логический инструмент. На данном этапе мы покажем, каким образом можно свести к первой фигуре некоторые из модусов других фигур.

Непосредственное сведение

Рассмотрим силлогизм АЕЕ во второй фигуре:

Мы привели силлогизм, эквивалентный исходному справа. Его можно проверить непосредственным образом с помощью принципа dictum. Сведение было осуществлено с помощью перестановки посылок, обращения меньшей посылки и обращения заключения. Следовательно, если мы не сомневаемся в правильности второго силлогизма, у нас не может быть и сомнений в правильности исходного.

Далее рассмотрим модус AII из третьей фигуры. Его можно свести к правильному силлогизму первой фигуры, приведенному ниже справа:

Наконец, модус IAI из четвертой фигуры может быть сведен следующим образом:

Опосредованное сведение

Читатель может заметить, что два силлогизма, содержащие частноотрицательную посылку, АОО во второй фигуре и ОАО в третьей, нельзя свести к первой фигуре только посредством обращения и перестановки посылок. Однако если допустить операцию превращения, то со сведением не возникнет сложностей.

Превращение, однако, не рассматривалось Аристотелем как допустимый способ осуществления сведения. При этом он открыл очень важный логический принцип, являющийся обобщением идеи контрапозиции условных суждений. Прежде чем формулировать данный принцип, проиллюстрируем его.

Допустим, посылки следующего силлогизма являются истинными. Нам нужно доказать, что заключение является истинным с необходимостью.

Некоторые виды стали не являются магнитными.

Все виды стали суть металлы.

∴ Некоторые металлы не являются магнитными.

Заключение является либо истинным, либо ложным. Если оно ложно, то противоречащее ему суждение «все металлы являются магнитными» истинно. Сочетая это суждение с меньшей посылкой силлогизма, получаем:

Все металлы являются магнитными.

Все виды стали являются металлами.

∴ Все виды стали являются магнитными.

Последний силлогизм представляет правильный модус первой фигуры. Но поскольку, согласно гипотезе, обе посылки исходного силлогизма истинны, то заключение второго силлогизма не может быть истинным, поскольку оно противоречит большей посылке исходного силлогизма. Следовательно, большая посылка второго силлогизма не может быть истинной, или, что одно и то же, заключение первого силлогизма не может быть ложным. Следовательно, оно должно быть истинным.

Таким образом, правильность модуса ОАО третьей фигуры доказывается с помощью правильного силлогизма из первой фигуры и принципа, известного как reductio ad absurdum. Правильность модуса АОО из второй фигуры может быть доказана таким же способом. Данный метод можно также использовать и для других модусов.

Проявим теперь принцип reductio ad absurdum в более абстрактной форме. Пусть «р» обозначает суждение «некоторые виды стали не являются магнитными», «q» обозначает суждение «все виды стали являются металлами», а «r» обозначает суждение «некоторые металлы не являются магнитными». Пусть «p′», «q′», «r′» обозначают суждения, противоречащие данным соответственно. Тогда в исходном силлогизме утверждается, что р и q вместе имплицируют r. В символьной форме: (p . q) ⊃ r. Мы показали, что суждение, противоречащее r, вместе с q имплицирует суждение, противоречащее р. В символьной форме: (q . r′) ⊃ p′. Сведение к первому силлогизму зависит от эквивалентности этих двух импликаций. Данная эквивалентность является простым продолжением эквивалентности между условным суждением и противопоставленным ему суждением. Ранее мы показали, что если а и b являются любыми двумя суждениями, то (а ⊃ b) ≡ (b′ ⊃ a′). Теперь мы получаем:

[(p . q) ⊃ r] ≡ [(q . r′) ⊃ p′] ≡ [(p . r′) ⊃ q′].

Итак, принцип опосредованного сведения можно разложить следующим образом: силлогизм – это форма умозаключения, в которой два суждения, p и q, вместе имплицируют третье суждение, r, при этом данные три суждения содержат три, и только три, термина. Однако если мы отрицаем импликацию [(p . q) ⊃ r], то мы также должны отрицать и эквивалентную ей вторую импликацию [(q . r′) ⊃ p′]. Однако эта вторая импликация, как показано в нашем примере, является правильным силлогизмом, представляющим модус Barbara, который нельзя отрицать. Следовательно, также нельзя и отрицать первую импликацию, представляющую силлогизм модуса ОАО из третьей фигуры (т. е. Bocardo). Отрицание правильности модуса Bocardo приводит нас к отрицанию модуса Barbara, а это абсурдно.

Если не допускать ослабленные и усиленные формы (т. е. если не предполагать экзистенциальной нагруженности общих высказываний), то сведение позволяет нам усмотреть, что все силлогистические аргументы можно свести к двум формам: одной, в которой обе посылки будут общими суждениями, и второй, в которой обе посылки будут частными суждениями. Первая форма представляет аргумент, в котором оба суждения могут быть всего лишь гипотезами, вторая форма предполагает утверждения относительно факта, которые, в конечном счете, основываются на наблюдении.