Текст книги "Квантовая случайность. Нелокальность, телепортация и другие квантовые чудеса"

Игра Белла

В комплект игры входят два одинаковых на вид ящика, как показано на рис. 2.1. К каждому из них прилагается джойстик и дисплей. В состоянии покоя джойстик всегда находится в вертикальном положении. Через секунду после перевода джойстика в положение «вправо» или «влево» на дисплее появляется результат. Такие результаты двоичны, то есть могут принимать только два значения: либо 0, либо 1. Компьютерщики сказали бы, что результаты представляют собой биты информации. Для каждого ящика, или, если угодно, прибора, результаты выглядят произвольными.

Перед началом игры Алиса и Боб берут по ящику, сверяют часы и затем удаляются друг от друга на некоторое расстояние. Ровно в девять утра и затем в каждую следующую минуту участники наклоняют свои джойстики в ту или иную сторону и аккуратно записывают показания, которые отображаются на дисплее, – время и результат собственного выбора. Важно, чтобы выбор правого или левого направления в каждую минуту был абсолютно свободным и независимым для каждого из участников. В частности, им не разрешено придерживаться одного и того же выбора, равно как и предварительно договариваться между собой. Важно также, чтобы ни один участник не знал о том, какое направление выбирает другой. Заметьте, наши друзья не жульничают, ведь они и вправду хотят понять, как работают приборы для игры Белла.

Они играют ровно до семи часов вечера, получив к концу дня 600 точек данных (примерно по 150 для каждого из случаев: лево-лево, лево-право, право-лево и право-право). Вечером они встречаются, чтобы подсчитать очки и получить общий итог игры.

Правила подсчета таковы:

1. Каждый раз, когда Алиса наклоняет джойстик влево, или Боб наклоняет джойстик влево, или оба они наклоняет джойстик влево, и при этом показания на дисплеях совпадают, участники получают одно очко.

2. Каждый раз, когда Алиса и Боб наклоняют джойстик вправо, и при этом показания на дисплеях различаются, участники получают одно очко.

Общий итог игры рассчитывается так:

• сначала для каждой из четырех комбинаций выбора (лево-лево, лево-право, право-лево и право-право) вычисляется коэффициент удачных попыток. Для этого количество полученных очков делится на общее количество попыток и затем все четыре коэффициента складываются. Максимально возможный результат игры равен 4, так как есть четыре варианта выбора и по каждому показатель успеха не превышает 1. Результат S должен означать, что Алиса и Боб выиграли S раз из 4. Заметим, что результат является средним и может быть принимать любое значение от 0 и 4. К примеру, результат 3,41 означает, что Алиса и Боб в среднем выиграли 3,41 раза из 4 или 341 раз из 400;

• мы увидим, что очень просто устроить ящики так, чтобы участники получали общий результат, равный 3. Поэтому иногда, говоря, что они победили в игре Белла, мы будем иметь в виду, что они выигрывали чаще, чем 3 раза из 4.

Для лучшего понимания этой странной игры давайте вообразим, что Алиса и Боб не записывают фактические показания с дисплеев, а просто выдумывают их. Другими словами, они независимо друг от друга выдают случайный результат[10]10
  Заметьте, что так же можно объяснить ситуацию, в которой один из двух игроков играет добросовестно, а второй совершенно не следует правилам. В этом случае отношение успешных попыток к неуспешным также составит ½ с общим счетом 2.


[Закрыть]. В этом случае все четыре показателя удачных попыток к неудачным будут равны 1/2. К примеру, если половину отведенного времени Алиса и Боб записывают один и тот же результат, а вторую половину – противоположный, вне зависимости от направления наклона джойстика, то результатом игры будет 4 × ½ = 2. Чтобы получить счет больше 2, ящики Алисы и Боба не могут быть полностью независимыми друг от друга – они должны быть как-то связаны, скоординированы друг с другом, чтобы выдавать коррелированные результаты.

Если пойти чуть дальше, можно рассмотреть другой пример, в котором оба ящика всегда выдают одинаковые значения показаний, равные 0, невзирая на положение джойстика. В этом случае выбор Алисы и Боба никак не влияет на результат. Несложно подсчитать, что для каждой из трех комбинаций: «лево-лево», «лево-право» и «право-лево» – коэффициент удачных попыток будет составлять 1, а для комбинации «право-право» – 0. В этом случае общий счет будет равен 3.

Перед тем как рассмотреть принцип работы приборов, добавим чуть-чуть абстракции. Это подведет нас к самой сути понятия нелокальности.

Нелокальные вычисления: a + b = x × y

Ученые любят описывать изучаемые объекты при помощи чисел, так же как сделали мы с показаниями ящиков Белла. Это помогает сосредоточить внимание на главном и не путаться в длинных предложениях вроде «Алиса наклонила джойстик влево и получила результат 0». Математический аппарат также помогает выполнять сложение и умножение, и мы увидим, что можно уместить понятие нелокальности в очень простом уравнении.

Сначала займемся Алисой. Пусть переменная х обозначает ее выбор, а переменная a – результат. К примеру, х = 0 будет означать, что Алиса выбрала наклонить джойстик влево, а х = 1 будет означать, что она наклонила его направо. Точно так же обозначим переменные для Боба: y будет обозначать его выбор, а b – результат. При таких обозначениях следующая небольшая таблица описывает случаи, в которых, согласно правилам, Алиса и Боб получают очко.

Оказывается, простые арифметические действия помогут нам свести всю игру Белла, в которой у Алисы и Боба имеется по ящику, которые далеко разнесены друг от друга, чтобы избежать какой-либо возможности копирования, где каждый из них делает свободный выбор и записывает результат, в одно элегантное уравнение:

a + b = x × y,

то есть сумма а и b равна произведению х и у.

В самом деле, произведение х × у всегда равно 0, кроме случая, когда х = у = 1. Следовательно, говорит нам уравнение, сумма a + b всегда равна 0, кроме случая, когда х = у = 1.

Сначала рассмотрим случай, при котором x = y = 1. Сумма a + b при этом равна 1, а так как мы договорились, что переменные a и b могут принимать только значения 0 и 1, то уравнение a + b = 1 имеет два решения: или a = 0 и b = 1, или a = 1 и b = 0. Следовательно, если a + b=1, то a ≠ b. В этом случае в соответствии с правилами игры участники получают очко.

Теперь рассмотрим три оставшихся случая: (x, y) = (0, 0), (0,1) или (1,0). Во всех трех случаях произведение x × y равно 0, поэтому мы можем упростить уравнение до a + b = 0. Первое возможное решение – a = b = 0. Второе решение: это a = b = 1. Второе решение на первый взгляд кажется странным, потому что сумма 1 + 1 обычно равна 2. Но, так как мы считаем битами, нулями и единицами, результат также может быть представлен только как 0 или 1. В нашем случае 2 = 0 (математики сказали бы о сравнении по модулю 2). Следовательно, уравнение a + b = 0 эквивалентно a = b.

Таким образом, одно красивое уравнение a + b = x × y весьма лаконично описывает игру Белла. Каждый раз, когда уравнение удовлетворяется, Алиса и Боб получают очко. Теперь вы убедились, что революционные идеи квантового мира могут выражаться довольно простой математикой[11]11
  Как часто я – хороший, но непослушный студент – просил своего преподавателя квантовой физики дать объяснение, но неизменно слышал в ответ, что квантовую физику невозможно понять, так как это требует очень сложного математического аппарата.


[Закрыть].

Это уравнение выражает явление нелокальности. Ведь для того, чтобы систематически побеждать в игре Белла, ящики должны сами вычислять произведение x × y. Но если выбор x доступен только на приборе Алисы, а выбор y – только на приборе Боба, то такой расчет невозможно выполнить локально. В лучшем случае они могут поставить на x × y = 0, и они будут правы в трех случаях из четырех, так что счет составит 3. Любой счет больше 3 требует «нелокального» вычисления x × y, потому что оба множителя существуют на огромном расстоянии друг от друга.

Локальные стратегии в игре Белла

Итак, Алиса и Боб сидят каждый перед своим ящиком и раз в минуту принимают независимое и свободное решение, аккуратно записывают свой выбор и результаты, отображаемые на дисплеях. Что могли бы сделать их приборы, чтобы помочь игрокам получить лучший счет?

Давайте представим себе, что расстояние между участниками исключает любую возможность влияния друг на друга. Для этого мы мысленно разнесем Алису и Боба так далеко друг от друга, чтобы любой обмен информацией стал бы невозможным. К примеру, разделим их расстоянием, которое свет преодолевает более чем за минуту, то есть более чем 18 млн км. В этом крайнем случае ни Алиса, ни ее ящик не в состоянии сообщить о сделанном выборе Бобу или его прибору. Таким образом, исключается какое бы то ни было воздействие, и нам придется искать другое объяснение.

Я начну с анализа случая, в котором в результате совпадения оба джойстика оказываются в левом положении. В этом случае Алиса и Боб получат очко лишь тогда, когда показания их приборов одинаковы. Мы уже рассматривали такую ситуацию, где покупатели в магазинах всегда получают одно и то же блюдо на ужин в случае, если выбирают магазин слева. И видели, что при исключении всех прямых воздействий единственно возможным объяснением будет то, что у магазинов нет никакого выбора: они просто предлагают то, что предписано. Применительно к ящикам в игре Белла это означает, что если джойстики передвинуты влево, то они должны выдать один и тот же результат. Эти показания предопределены для каждой отдельной минуты, но могут изменяться от минуты к минуте, точно так же как единственное меню может быть иным на каждый вечер. Так мы получаем объяснение максимальной корреляции в случае, когда оба джойстика отклонены влево. Как мы уже знаем, это объяснение второго рода – через общую локальную причину: предопределенные для каждой минуты результаты должны быть записаны в каждом приборе, то есть локально.

Но продолжим анализ. Те результаты, которые изначально записаны в ящиках, могли быть получены многократным подбрасыванием монеты. Для Алисы они выглядят совершенно произвольными, как и для Боба. Однако когда друзья встретятся и обнаружат, что всегда получали одинаковые результаты, они уже не смогут поверить, что это произошло случайно – разве что если это была нелокальная случайность. Мы вернемся к этому позже.

Справка 2. Случайность. Когда мы говорим о результате «случайный», мы имеем в виду «неожиданный». Но неожиданный для кого? Многие вещи происходят неожиданно либо потому, что являются результатом слишком сложных для понимания процессов, либо потому, что мы не учли всех деталей, которые повлияли на результат. Однако истинно случайный результат является неожиданным потому, что он непредсказуем в силу своей природы. Этот результат не обусловлен никакой причинно-следственной цепочкой, даже самой сложной. По-настоящему случайный результат не может быть предугадан – потому что до того, как он возник, он попросту не существовал и не был необходимым. Его реализация предстает как чистый акт творения.

Чтобы наглядно проиллюстрировать эту идею, представим, что Алиса и Боб случайно встречаются на улице. Возможно, Алиса шла в ресторан, который находится на этой улице, а Боб решил зайти к другу, который живет на соседней. Начиная с того момента, когда каждый из них решил пойти пешком, наикратчайшим путем, Алиса – в ресторан, а Боб – к другу, эта встреча стала предсказуема. Это пример двух причинно-следственных цепочек: пути друзей пересекаются, создавая видимость случайной встречи. Но для кого-то, кто видит всю систему в целом, эта встреча предсказуема. Их встреча кажется случайной лишь вследствие недостаточной информации: Боб не знал, куда идет Алиса, и наоборот. Но каково было положение перед тем, как Алиса решила пойти в ресторан? Если мы согласимся, что Алиса свободна в своем выборе, то, перед тем как она приняла это решение, встреча действительно была непредсказуемой. Истинная случайность как раз такова.

Истинная случайность, таким образом, не имеет причины в том смысле, который подразумевается в классической физике. Результат истинного случая никоим образом не предопределен. Но тут необходимо уточнить, что событие, выглядящее как истинно случайное, может иметь причину. Дело лишь в том, что эта причина определяет не результат, а только предрасположенность к реализации определенного результата.

В схеме с общей локальной причиной каждый ящик каждую минуту выдает некий предопределенный результат, и список этих результатов составлен заранее и записан в каждом ящике. Можно представить себе, что внутри каждого ящика спрятан маленький компьютер с большим объемом памяти, часами и программой, которая с интервалом в одну минуту считывает следующую запись из таблицы.

В зависимости от программы результат может зависеть или не зависеть от положения джойстика. Но какие программы исполняют ящики Алисы и Боба? Существует ли бесконечное или, по крайней мере, очень большое количество возможных программ? На самом деле нет, ведь мы применили научный подход и упростили ситуацию до бинарного выбора, что ограничивает количество возможных вариантов до четырех для каждого из ящиков. В самом деле, программа должна выводить один из двух возможных результатов для каждой из двух возможных выборов.

В приборе Алисы могут работать четыре возможных программы[12]12
  Понятие «программа» в нашем случае абстрактно и подразумевает, что такие-то результаты получаются из таких-то данных. Очевидно, что абстрактная программа может быть записана разными способами, на разных языках программирования и, возможно, с большим количеством необязательных строк. Бывает сложно увидеть, что две программы, написанные по-разному, на самом деле соответствуют одному и тому же абстрактному алгоритму.


[Закрыть]:

1. a = 0, вне зависимости от значения x.

2. a = 1, вне зависимости от значения x.

3. Значение результата идентично значению выбора, то есть a = x.

4. Значение результата всегда отличается от значения выбора, то есть a = 1 − x.

То же самое справедливо для прибора Боба. Это означает, что общее количество комбинаций программ для обоих приборов равно: 4 × 4 = 16. Конечно, программа Алисы, как и программа Боба, может меняться от минуты к минуте, но для каждой конкретной минуты одна из четырех программ в ящике Алисы определяет результат а и одна из четырех программ в приборе Боба определяет результат b.

Давайте изучим эти 16 возможных комбинаций и рассчитаем соответствующие им результаты игры. Помните, что наша цель – найти максимально возможный счет в рамках локального объяснения. Мы увидим, что невозможно создать аппараты, использующие локальные стратегии, которые бы давали счет больше 3. Вы можете принять мои слова на веру и сразу перейти к странице разделу «Победить в игре Белла: нелокальные корреляции» или убедиться в этом самостоятельно, потратив время на рассуждения в следующем абзаце. И я настоятельно рекомендую сделать именно так.

Начнем с сочетания программы № 1 для Алисы и программы № 1 для Боба. В этом случае оба результата всегда будут равны 0, то есть a = b = 0, и Алиса и Боб выигрывают три раза из четырех. В самом деле, они проигрывают лишь в том случае когда оба выбирают 1. Возьмем второе сочетание, скажем программу № 1 для Алисы (и поэтому всегда a = 0) и программу № 3 для Боба (поэтому b = y). Рассмотрим четыре пары возможных выборов, которые они могут сделать. При x = 0 и y = 0 значение результата будет (0, 0), и Алиса и Боб выигрывают – в смысле зарабатывают очко. При x = 0 и y = 1 участники проигрывают, так как результат будет (0, 1). При x = 1 и y = 0 результатом является (0, 0), значит, Алиса и Боб выигрывают. И наконец, при x = 1 и y = 1 значение результата будет (0, 1), что снова означает выигрыш, ведь при x = y = 1 цель состоит в том, чтобы получить разные результаты. Суммируем и получаем, что Алиса и Боб снова заработают 3 очка.

Теперь вы можете самостоятельно завершить доказательство для оставшихся 14 комбинаций вариантов программ. Или просмотреть готовые результаты, представленные в таблице 2.1.

Подведем итог. Какова бы ни была локальная стратегия создателя ящиков и какова бы ни была вследствие этого комбинация программ, Алиса и Боб никогда не смогут выиграть игру Белла более трех раз из четырех возможных. Физики предпочитают выражать это в виде неравенства. Оно называется неравенством Белла[13]13
  Точнее, это самое простое из семейства неравенств Белла, эквивалентное неравенству CHSH, которое было названо по первым буквам фамилий его первооткрывателей: J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony, R. A. Holt: Proposed experiment to test local hidden-variable theories, Phys. Rev. Lett. 23, 880 (1969). Другие неравенства описывают случаи с большим количеством вариантов выбора, возможных результатов или большим количеством игроков.


[Закрыть]. Учитывая, что это неравенство самым прямым образом относится к теме книги, я выпишу его здесь. Если даже вы не сможете полностью уяснить его значение, попытайтесь оценить его восхитительное изящество, в чем-то похожее на красоту музыкальной партитуры:

P (a = b|0, 0) + P (a = b|0, 1) + P (a = b|1, 0) + P (a ≠ b|1, 1) ≤ 3.

Выражение P (a = b|x, y) читается следующим образом: вероятность того, что a равно b, при условии, что сделан определенный выбор x и y. Выражение P (a ≠ b|1, 1) читается так: вероятность того, что a отличается от b, при сделанном выборе x = y = 1. Неравенство Белла утверждает как раз то, что мы только что обнаружили, а именно что сумма всех четырех вероятностей в игре Белла, которая дает счет игры, не может быть больше 3. Для локальных корреляций неравенство Белла всегда удовлетворяется.

Справка 3. Неравенство Белла. В общем смысле вероятность P (a, b|x, y) возникает из статистической смеси различных возможных ситуаций. К примеру, первая возможная ситуация, традиционно обозначаемая λ1, может произойти с вероятностью ρ (λ1), вторая возможная ситуация λ2 – с вероятностью ρ (λ2) и так далее. Эти вероятности ρ (λ) также могут использоваться для анализа в случаях, когда мы не знаем точно реальную ситуацию. На самом деле нам даже не нужно знать вероятность наступления конкретной ситуации. Достаточно знать, что разные ситуации возникают с разной вероятностью.

Эти ситуации λ могут включать квантово-механическое состояние системы, обычно обозначаемое как ψ. То есть они могут включать всю прошлую жизнь Алисы и Боба или даже состояние всей вселенной, кроме одного – выбор x и y должен быть независим от λ. С другой стороны, λ может быть очень и очень ограничено, подобно выбору стратегий Алисы и Боба в игре Белла. Когда-то λ назвали локальными скрытыми переменными, но лучше рассматривать их как физическое состояние систем (к примеру, ящиков Алисы и Боба), описываемое любой современной или будущей теорией. Итак, неравенства Белла что-то сообщают нам о структуре любой будущей физической теории, совместимой с сегодняшними экспериментами. При этом единственное допущение относительно λ состоит в том, что они не содержат информации о выборе x и y.

Для каждой ситуации λ условная вероятность всегда может быть выражена как

P (a, b|x, y, λ) = P (a|x, y, λ) · P (b|x, y, a, λ).

Предположение о локальности позволяет утверждать, что для любой λ происходящее в приборе Алисы не зависит от происходящего в приборе Боба, что выражается как P (a|x, y, λ) = P (a|x, λ) и наоборот: P (b|x, y, a, λ) = P (b|y, λ).

В итоге допущение, лежащее в основе всех неравенств Белла, может быть найдено путем усреднения по всем возможным ситуациям λ:

где ρ (λ) означает вероятность наступления ситуации λ.

До сих пор мы считали, что ящики Алисы и Боба содержат предустановленные программы, которые определяют результаты как следствие выбора x и y. (В информатике x и y называются входными данными). Но что будет, если эти программы не полностью определяют результат, но оставляют некоторое место случаю? Представим себе, например, что время от времени прибор Алисы случайно выбирает, исполнять ли ему программу № 1 или программу № 3, или же он время от времени просто выдает случайный результат. Можно ли это помочь им выиграть в игру Белла?

Нужно отметить, что выдать случайный результат – это, в сущности, то же самое, что осуществить случайный выбор между программой № 1 (которая выдает a = 0) и программой № 2 (которая выдает a = 1). Оказывается, эта стратегия бесполезна. Игра Белла подразумевает большое количество повторений и расчетов средних значений. Если в данную минуту прибор Алисы случайно выбирает одну программу из некоторого набора программ, то счет игры не будет отличаться от того, что мы получили бы, если бы ящик в каждую минуту использовал одну конкретную программу, выбранную случайным образом из этого набора. Учитывая, что в каждую минуту ящики используют одну специфическую программу, это не является ограничением. Введение случайных стратегий никак не поможет Алисе и Бобу выиграть игру Белла; на самом деле наоборот. Как мы уже видели, если приборы Алисы и Боба независимо производят случайные результаты, они получают только 2 очка.

Подводя итог, скажем, что никакая локальная стратегия не поможет выиграть в игру Белла более чем три раза из четырех. Как сказал бы физик, никакая локальная корреляция не может нарушить неравенство Белла. Другими словами, если бы Алиса и Боб все же сумели выиграть более часто, чем три раза из четырех, этому явлению не было бы локального объяснения.

Как мы уже знаем, существует только два типа локальных объяснений: первый основан на непрерывном распространении воздействия от одной точки к другой через пространство, а второй основан на существовании общей причины, что также подразумевает непрерывное распространение воздействия в пространстве из некоего общего момента в прошлом. В нашем случае объяснения первого типа исключаются огромным расстоянием между Алисой и Бобом и, как мы только что видели, объяснение второго типа не позволяет выиграть в игру Белла более чем три раза из четырех.