Текст книги "Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров"
Автор книги: Ральф Винс
Жанр: Зарубежная образовательная литература, Наука и Образование
сообщить о неприемлемом содержимом
Текущая страница: 5 (всего у книги 28 страниц) [доступный отрывок для чтения: 9 страниц]
Поиск оптимального f с помощью среднего геометрического
В реальной торговле размеры выигрышей и проигрышей будут постоянно меняться. Поэтому формулы Келли не могут дать нам правильного оптимального f.
Как корректно с математической точки зрения найти оптимальное f, которое позволит нам определить количество контрактов для торговли?
Попытаемся ответить на этот вопрос. Для начала мы должны изменить формулу для поиска HPR, включив в нее f:
HPR = 1 + f * (—Сделка / Наибольший проигрыш), (1.11)
где – Сделка – прибыль или убыток в этой сделке (с противоположным знаком, чтобы убыток стал положительным числом, а прибыль – отрицательным);
Наибольший проигрыш – наибольший убыток за сделку (это всегда отрицательное число).
TWR – это произведение всех HPR, а среднее геометрическое (G) – это корень N-й степени из TWR:
где – Сделкаi – прибыль или убыток по сделке i (с противоположным знаком, чтобы убыток был положительным числом, а прибыль – отрицательным);
Наибольший проигрыш – результат сделки, которая дала наибольший убыток (это всегда отрицательное число);
N – общее количество сделок;
G – среднее геометрическое HPR.
Просмотрев значения f от 0,01 до 1, мы найдем f, которое даст наивысшее TWR. Это значение f позволит получить максимальную прибыль при торговле фиксированной долей. Мы можем также сказать, что оптимальное f позволяет получить наивысшее среднее геометрическое. Не имеет значения, что мы ищем: наивысшее TWR или среднее геометрическое, так как обе величины максимальны при одном и том же значении f.
Описанную выше процедуру достаточно легко осуществить с помощью компьютера, перебирая f от 0,01 до 1,00. Как только вы получите TWR, которое меньше предыдущего, то знайте, что f, относящееся к предыдущему TWR, является оптимальным f, поскольку графики TWR и среднего геометрического имеют один пик. Чтобы облегчить процесс поиска оптимального f в диапазоне от 0 до 1, можно использовать разные алгоритмы. Один из самых быстрых способов расчета оптимального f – это метод параболической интерполяции, который детально описан в книге «Формулы управления портфелем».
Итак, лучшей торговой системой является система с наивысшим средним геометрическим. Для расчета среднего геометрического необходимо знать f. Теперь давайте поэтапно опишем наши действия.
1. Возьмите историю сделок в данной рыночной системе.
2. Найдите оптимальное f, просмотрев различные значения f от 0 до 1. Оптимальное f соответствует наивысшему значению TWR.
3. После того как вы найдете f, возьмите корень N-й степени из TWR (N – общее количество сделок). Это и есть ваше среднее геометрическое для данной рыночной системы. Теперь можно использовать полученное среднее геометрическое, чтобы сравнивать эту систему с другими. Значение f подскажет вам, каким количеством контрактов торговать в данной рыночной системе.
После того как найдено f, его можно перевести в денежный эквивалент, разделив наибольший проигрыш на отрицательное оптимальное f. Например, если наибольший проигрыш равен 100 долл., а оптимальное f = 0,25, тогда –100 долл. / –0,25 = = 400 долл. Другими словами, следует ставить 1 единицу на каждые 400 долл. счета. Для простоты можно все рассчитать на основе единиц (например, одна 5-долларовая фишка, или один фьючерсный контракт, или 100 акций). Количество долларов, которое следует отвести под каждую единицу, можно рассчитать, разделив ваш наибольший убыток на отрицательное оптимальное f. Оптимальное f – это результат равновесия прибыльности системы (на основе 1 единицы) и ее риска (на основе 1 единицы). Многие думают, что оптимальная фиксированная доля – это процент счета, который отводится под ваши ставки. Это совершенно неверно. Должен быть еще один шаг. Оптимальное f само по себе не является процентом вашего счета, который отводится под торговлю: это – делитель наибольшего проигрыша. Частным этого деления является величина, на которую надо разделить общий счет, чтобы выяснить, сколько ставок сделать или сколько контрактов открыть на рынке.
Необходимо отметить, что залог под открытые позиции не имеет ничего общего с тем, какое математически оптимальное количество контрактов надо открывать. Залог не так важен, поскольку размеры отдельных прибылей и убытков не являются продуктом залоговых средств. Прибыли и убытки зависят от выигрыша и убытка в расчете на одну открытую единицу (один фьючерсный контракт). Для управления деньгами залог не имеет значения, так как размер убытка не ограничивается только залоговыми средствами.
Многие ошибочно полагают, что f является линейной функцией и чем большей суммой рисковать, тем больше можно выиграть, так как, по мнению сторонников такого подхода, положительное математическое ожидание является зеркальным отражением отрицательного ожидания, т. е. если увеличение общего оборота в игре с отрицательным ожиданием приносит более быстрый проигрыш, то увеличение общего оборота в игре с положительным ожиданием принесет более быстрый выигрыш. Это неправильно. В некоторой точке в ситуации с положительным ожиданием дальнейшее увеличение общего оборота работает против вас. Эта точка является функцией как прибыльности системы, так и ее стабильности (т. е. ее средним геометрическим), так как вы реинвестируете прибыли обратно в систему. Когда два человека сталкиваются с одной и той же последовательностью благоприятных ставок или сделок и один использует оптимальное f, а другой – любую другую систему управления деньгами, математическим фактом является то, что отношение счета держащего пари на основе оптимального f к счету другого человека будет увеличиваться с течением времени со все более высокой вероятностью. Через бесконечно долгое время держащий пари на основе оптимального f будет иметь бесконечно большее состояние, чем его оппонент, использующий любую другую систему управления деньгами, с вероятностью, приближающейся к 1. Более того, если участник пари ставит своей целью достижение определенного капитала и стоит перед серией благоприятных ставок или сделок, то ожидаемое время достижения этой цели будет короче с оптимальным f, чем с любой другой системой ставок.
Давайте вернемся и рассмотрим последовательность ставок (сделок):
+9, +18, +7, +1, +10, –5, –3, –17, –7.
Мы уже знаем, что формула Келли неприменима к этой последовательности, так как величины выигрышей и проигрышей отличаются. Ранее в этой главе мы усреднили выигрыши и проигрыши и использовали эти средние значения в формуле Келли (так ошибочно поступают многие трейдеры). В результате мы получили значение f = 0,16. Было отмечено, что применение формулы Келли в данном случае некорректно и не дает нам оптимального f. Формула Келли работает только при постоянных выигрышах и проигрышах. Вы не можете усреднить торговые выигрыши и проигрыши и получить истинное оптимальное f, используя формулы Келли.
Наибольшее значение TWR при такой последовательности ставок (сделок) достигается при 0,24 (т. е. 1 долл. на каждые 71 долл. на счете). Это оптимальный геометрический рост, которого можно достичь при данной последовательности ставок (сделок) при торговле фиксированной долей. Давайте посмотрим, как меняется TWR при повторении этой последовательности ставок от 1 до 100 при f = 0,16 и f = 0,24.
Использование значения f, которое ошибочно получено из формулы Келли, дало только 37,5 % дохода, полученного при оптимальном f = 0,24 после 900 ставок или сделок (100 циклов из серий по 9 сделок). Другими словами, оптимальное f = 0,24, которое только на 0,08 отличается от 0,16 (смещено от оптимального на 50 %), принесло почти на 167 % прибыли больше, чем f = 0,16 за 900 ставок!
Давайте повторим эту последовательность сделок еще 11 раз, чтобы в общей сложности получить 999 сделок. Теперь TWR для f = 0,16 составляет 8563,302 (даже меньше, чем при f = 0,24 за 900 сделок), а TWR для f = 0,24 составляет 25 451,045. При 999 сделках эффективность при f = 0,16 составляет только 33,6 % от f = 0,24, т. е. прибыль при f = 0,24 на 197 % больше, чем при f = 0,16!
Как видите, использование оптимального f не дает большого преимущества на коротком временном отрезке, но с течением времени оптимальное f оказывает все большее влияние. Дело в том, что при торговле с оптимальным f надо дать программе время, а не ждать чуда на следующий день. Чем больше времени (т. е. ставок или сделок) проходит, тем больше становится разница между стратегией оптимального f и любой другой стратегией управления деньгами.
Средняя геометрическая сделка
Трейдеру может быть интересно рассчитать свою среднюю геометрическую сделку (среднюю прибыль, полученную на контракт за сделку), допуская, что прибыли реинвестируются и торговать можно дробными контрактами. Это и есть математическое ожидание, когда торговля ведется на основе фиксированной доли. В действительности это приблизительный доход системы за сделку при использовании фиксированной доли счета. (На самом деле средняя геометрическая сделка является математическим ожиданием в долларах на контракт за сделку. Вычитая из среднего геометрического единицу, вы получите математическое ожидание. Среднее геометрическое 1,025 соответствует математическому ожиданию в 2,5 % за сделку.) Многие трейдеры смотрят только на среднюю сделку рыночной системы, чтобы понять, стоит ли торговать по этой системе. Однако при принятии решения следует обращать внимание именно на среднюю геометрическую сделку (GAT):
GAT = G * (Наибольший проигрыш / —f), (1.14)
где G = Среднее геометрическое – 1;
f – оптимальная фиксированная доля.
(Разумеется, наибольший убыток всегда будет отрицательным числом.)
Допустим, что система имеет среднее геометрическое 1,017238, наибольший проигрыш составляет 8000 долл. и оптимальное f = 0,31. Наша геометрическая средняя сделка будет равна:
GAT = (1,017238 – 1) * (—$8 000 / –0,31) = 0,017238 * $25 806,45 = $444,85.
Почему необходимо знать оптимальное f вашей системы
График на рис. 1.6 еще раз демонстрирует важность использования оптимального f в торговле фиксированной долей. Вспомните f для игры с броском монеты 2:1 (рис. 1.1).
Давайте увеличим выигрыш с 2 до 5 единиц (рис. 1.6). В этом случае оптимальное f = 0,4, т. е. ставка в 1 долл. на каждые 2,50 долл. на счете. После 20 последовательностей +5, –1 (40 ставок) ваш счет в 2,50 долл. вырастет до 127,482 долл., и все благодаря оптимальному f. Теперь посмотрим, что произойдет, если вы ошибетесь с оптимальным f на 0,2. При значениях f = 0,6 и f = 0,2 вы не заработаете даже десятой части того, что заработаете при 0,4. Эта ситуация (50/50, 5: 1) имеет математическое ожидание (5 * 0,5) + (1 * (–0,5)) = 2, однако если вы будете делать ставки, используя значение f > 0,8, то потеряете деньги.
Здесь надо отметить два момента. Первый состоит в том, что когда мы обсуждаем TWR, то допускаем использование дробных контрактов. Например, вы можете торговать 5,4789 контракта, если именно это требуется в какой-либо момент. Расчет TWR допускает дробные контракты, чтобы его значение всегда было одинаково для данного набора торговых результатов вне зависимости от их последовательности. Вы можете усомниться в правильности такого подхода, поскольку при реальной торговле это невыполнимо. В реальной жизни вы не можете торговать дробными контрактами. Этот аргумент правильный. Однако мы оставим подобный расчет TWR, потому что таким образом мы представим средний TWR для всех возможных начальных счетов. Если вы хотите, чтобы размеры всех ставок были целыми числами, тогда становится важна величина начального счета. Однако если бы вы должны были усреднить TWR со всех значений возможных начальных счетов, используя только ставки в целых числах, то достигли бы того же значения TWR, которое мы рассчитали при дробных ставках. Поэтому значение TWR, которое рассчитано здесь, более реально, чем то, которое мы рассчитывали бы при ставках в целых числах, так как оно представляет огромное количество результатов с различными начальными счетами. Разумеется, чем выше баланс счета, тем ближе будут результаты торговли целыми и дробными контрактами. Пределом здесь является счет с бесконечным капиталом, где ставка в целых числах и дробная ставка в точности равны.
Таким образом, чем ближе вы находитесь к оптимальному f, тем лучше. Также можно сказать, что чем больше счет, тем больше будет эффект от оптимального f. Так как оптимальное f позволяет счету расти с максимально возможной скоростью, мы можем заявить, что оптимальное f будет работать все лучше и лучше при увеличении вашего счета.
Рис. 1.6. 20 последовательностей +5, –1
Графики (рис. 1.1 и 1.6) имеют несколько других интересных особенностей. Надо сказать, что ни при какой другой фиксированной доле вы не заработаете больше денег, чем при оптимальном f. Другими словами, в предыдущем примере с игрой 5:1 не стоит ставить, например, 1 долл. на каждые 2 долл. на счете. Вы заработаете больше, если будете ставить 1 долл. на каждые 2,50 долл. на счете. Не стоит рисковать больше, чем позволяет оптимальное f, – это может дорого обойтись.
Очевидно, что чем больше капитализация счета, тем более точно вы сможете придерживаться оптимального f, так как сумма в долларах, требуемая под один контракт, составит меньший процент от общего баланса. Допустим, что оптимальное f для данной рыночной системы соответствует 1 контракту на каждые 5000 долл. на счете. Если счет равен 10 000 долл., то надо будет выиграть (или проиграть) 50 % до того момента, когда изменение количества контрактов для текущей торговли станет возможным. Сравните это со счетом в 500 000 долл., где надо будет регулировать количество контрактов после изменения баланса в 1 %. Ясно, что при большем счете можно лучше воспользоваться плюсами, предоставляемыми оптимальным f, чем при меньшем счете. Теоретически оптимальное f допускает, что вы можете торговать бесконечно делимыми частями, чего в реальной жизни не бывает, где наименьшим количеством, которым вы можете торговать, является один контракт. В асимптотическом смысле это не имеет значения. Но в реальной жизни со ставками в целых числах в торговую систему необходимо ввести такой вариант, который потребует столь малого процента баланса счета, насколько возможно, особенно для небольших счетов. Помните, что сумма, требуемая для открытия контракта, в реальной торговле больше первоначальных залоговых требований и суммы, отводимой под контракт оптимальным f.
Чем чаще вы сможете изменять размер позиций для соответствия оптимальному f, тем лучше, поэтому имеет смысл торговать на рынках с недорогими контрактами. Кукуруза может казаться не столь интересным рынком, как S&P. Однако для некоторых трейдеров рынок кукурузы может стать чрезвычайно волнующим, если они будут открывать на нем несколько сотен контрактов.
Трейдеры, торгующие акциями или форвардными контрактами (например, на рынке FOREX), имеют огромное преимущество. Так как следует рассчитывать оптимальное f из финансовых результатов (P&L) на основе 1 контракта (1 единицы), то надо сначала решить, какой будет 1 единица в акциях или в валюте. Например, трейдер с фондового рынка может выбрать в качестве 1 единицы 100 акций. Для определения оптимального f он будет использовать поток P&L, созданный торговлей 100 акциями. Если система торговли потребует использовать 2,39 контракта или единицы, то это будет выполнимо. Таким образом, имея возможность торговать дробной частью единицы, вы можете эффективнее воспользоваться преимуществом оптимального f. Таким же образом надо поступать и трейдерам с рынка FOREX, которые должны сначала решить, каким будет 1 контракт или 1 единица. Для трейдера с рынка FOREX 1 единицей может быть, например, 1 млн долл. США или 1 млн швейцарских франков.
Насколько может быть серьезен проигрыш
Здесь важно отметить, что проигрыш, который может произойти при торговле фиксированной долей (в процентах от вашего счета), исторически может быть таким же, как и f. Другими словами, если f = 0,55, то проигрыш может составить 55 % от вашего баланса. Если вы торгуете с оптимальным f, то ваш наибольший проигрыш будет эквивалентен f. Допустим, что f для системы составляет 0,55; при торговле 1 контрактом на каждые 10 000 долл. это означает, что вашим наибольшим убытком будет 5500 долл. Иными словами, при наибольшем проигрыше (снова мы говорим о том, что может произойти) вы можете потерять 5500 долл. по каждому открытому контракту, и если у вас 1 контракт на каждые 10 000 долл. на счете, то в этой точке проигрыш составит 55 % вашего баланса. Более того, полоса проигрышей может продолжиться: следующая сделка или серия сделок могут уменьшить счет еще больше. Чем лучше система, тем выше f. Чем выше f, тем больше возможный проигрыш, так как максимальный проигрыш (в процентах) не меньше f. Парадокс ситуации заключается в том, что, если система способна создать достаточно высокое оптимальное f, тогда проигрыш для такой системы также будет достаточно высоким. С одной стороны, оптимальное f позволяет вам получить наибольший геометрический рост, с другой – оно создает для вас ловушку, в которую можно легко попасть.
Мы знаем, что если при торговле фиксированной долей использовать оптимальное f, то можно ожидать значительных проигрышей (в процентах от баланса). Оптимальное f подобно плутонию: оно дает огромную силу, однако и чрезвычайно опасно. Эти значительные проигрыши – большая проблема, особенно для новичков, потому что торговля на уровне оптимального f создает опасность получить огромный проигрыш быстрее, чем при обычной торговле. Диверсификация может сильно сгладить проигрыш. Плюсом диверсификации является то, что она позволяет делать много попыток (проводить много игр) одновременно, тем самым увеличивая общую прибыль. Справедливости ради следует отметить, что диверсификация, хотя обычно и является лучшим способом для сглаживания проигрышей, не обязательно уменьшает их, а в некоторых случаях может даже увеличить убытки!
Существует ошибочное представление, что проигрышей можно полностью избежать, если провести достаточно эффективную диверсификацию. До некоторой степени верно, что проигрыши можно смягчить посредством эффективной диверсификации, но их никогда нельзя полностью исключить. Не вводите себя в заблуждение. Не имеет значения, насколько хороша применяемая система и насколько эффективно вы проводите диверсификацию, вы все равно будете сталкиваться со значительными проигрышами. Причина этого не во взаимной корреляции ваших рыночных систем, поскольку бывают периоды, когда большинство или все рыночные системы портфеля работают против вас, когда, по вашему мнению, этого не должно происходить. Попробуйте найти портфель с пятилетними историческими данными, чтобы все торговые системы работали бы при оптимальном f и при этом максимальный убыток был бы менее 30 %! Это будет непросто. Не имеет значения, сколько при этом рыночных систем используется. Если вы хотите все сделать математически правильно, надо быть готовым к проигрышу от 30 до 95 % от баланса счета. Необходима строжайшая дисциплина, и далеко не все могут ее соблюдать.
Как только трейдер отказывается от торговли постоянным количеством контрактов, он сталкивается с проблемой, каким количеством торговать. Это происходит всегда, независимо от того, признает трейдер данную проблему или нет. Торговля постоянным количеством контрактов не является решением, так как таким образом никогда нельзя добиться геометрического роста. Поэтому, нравится вам это или нет, вопрос о том, каким количеством торговать в следующей сделке, будет неизбежен. Простой выбор случайного количества может привести к серьезной ошибке. Оптимальное f является единственным математически верным решением.
Современная теория портфеля
Вспомните ситуацию с оптимальным f и проигрышем рыночной системы. Чем лучше рыночная система, тем выше значение f. Однако если вы торгуете с оптимальным f, проигрыш (исторически) никогда не может быть меньше f. Вообще говоря, чем лучше рыночная система, тем больше будут промежуточные проигрыши (в процентах от баланса счета), если торговать при оптимальном f. Таким образом, если вы хотите достичь наибольшего геометрического роста, то должны быть готовы к серьезным проигрышам на своем пути.
Эффективная диверсификация путем включения в портфель других рыночных систем является лучшим способом, которым можно смягчить этот проигрыш и преодолеть его, все еще оставаясь близко к пику кривой f (т. е. не уменьшая f, скажем, до f/2). Когда одна рыночная система приносит убыток, другая приносит прибыль, тем самым смягчая проигрыш первой. Это также оказывает большое влияние на весь счет. Рыночная система, которая только что испытала проигрыш (и теперь возвращается к хорошей работе), будет иметь не меньше средств, чем до убытка (благодаря тому, что другая рыночная система аннулировала проигрыш). Диверсификация не будет сдерживать прирост системы (наоборот, движение вверх будет быстрее, так как после проигрыша вы не начнете с меньшего числа контрактов), при этом она смягчает понижение баланса (но только до очень ограниченной степени).
Можно рассчитать оптимальный портфель, состоящий из различных рыночных систем с соответствующими оптимальными f. Хотя мы не можем быть полностью уверены, что оптимальный в прошлом портфель будет оптимальным и в будущем, это все же более вероятно, чем то, что прошлые оптимальные параметры системы будут оптимальными или приблизительно оптимальными. В то время как оптимальные параметры системы с течением времени меняются довольно быстро, веса отдельных систем в оптимальном портфеле меняются очень медленно (как и значения оптимальных f). Вообще, корреляция между рыночными системами достаточно стабильна. Эта новость будет еще более приятна для трейдера, если он уже нашел такой оптимально смешанный портфель.
Правообладателям!
Данное произведение размещено по согласованию с ООО "ЛитРес" (20% исходного текста). Если размещение книги нарушает чьи-либо права, то сообщите об этом.Читателям!
Оплатили, но не знаете что делать дальше?