Текст книги "Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров"

Как разброс результатов затрагивает геометрический рост

После того как мы признали тот факт, что, хотим мы того или нет, количество для торговли определяется по уровню баланса на счете, можно рассматривать HPR, а не денежные суммы. Таким образом, мы придадим управлению деньгами определенность и точность. Мы сможем проверить наши стратегии управления деньгами, составить правила и сделать определенные выводы. Посмотрим, как связаны геометрический рост и разброс результатов (HPR).

В этой дискуссии мы для простоты будем использовать пример азартной игры. Рассмотрим две системы: систему A, которая выигрывает 10 % времени и имеет отношение выигрыш/проигрыш 28:1, и систему B, которая выигрывает 70 % времени и имеет отношение выигрыш/проигрыш 1,9:1. Наше математическое ожидание на единицу ставки для A равно 1,9, а для B равно 0,4. Поэтому мы можем сказать, что для каждой единицы ставки система A выиграет в среднем в 4,75 раза больше, чем система B. Но давайте рассмотрим торговлю фиксированной долей. Мы можем найти оптимальные f, разделив математическое ожидание на отношение выигрыш/проигрыш. Это даст нам оптимальное f = 0,0678 для A и 0,4 для B. Средние геометрические для каждой системы при соответствующих значениях оптимальных f составят:

A = 1,044176755,

B = 1,0857629.

Как видите, система B, несмотря на то что ее математическое ожидание примерно в четыре раза меньше, чем у системы A, приносит почти в два раза больше за ставку (доходность 8,57629 % за ставку, когда вы реинвестируете с оптимальным f), чем система A (которая приносит 4,4176755 % за ставку, когда вы реинвестируете с оптимальным f).

Проигрыш 50 % по балансу потребует 100 % прибыли для возмещения; 1,044177 в степени Х будет равно 2,0, когда Х приблизительно равно 16,5, т. е. для возмещения 50 % проигрыша для системы A потребуется более 16 сделок. Сравним с системой B, где 1,0857629 в степени Х будет равно 2,0, когда Х приблизительно равно 9, т. е. для системы B потребуется 9 сделок для возмещения 50 % проигрыша.

В чем здесь дело? Не потому ли все это происходит, что система B имеет процент выигрышных сделок выше? Истинная причина, по которой B функционирует лучше A, кроется в разбросе результатов и его влиянии на функцию роста. Большинство трейдеров ошибочно считают, что функция роста TWR задается следующим образом:

TWR = (1 + R) ^ N, (1.17)

где R – процентная ставка за период (например, 7 % = 0,07);

N – количество периодов.

Так как 1 + R то же, что и HPR, ошибочно полагают, что функция роста[5]5
  Многие ошибочно используют среднее арифметическое HPR в уравнении HPR ^ N. Как здесь показано, это не даст истинного TWR после N игр. Вы должны использовать геометрическое, а не арифметическое среднее HPR ^ N. Это даст истинное TWR. Если стандартное отклонение HPR = 0, тогда арифметическое среднее HPR и геометрическое среднее HPR эквивалентны и не имеет значения, какое из них вы используете.


[Закрыть] TWR равна:

TWR = HPR ^ N. (1.18)

Эта функция верна только тогда, когда прибыль (т. е. HPR) постоянна, чего в торговле не бывает.

Реальная функция роста в торговле (или любой другой среде, где HPR не является постоянной) – это произведение всех HPR. Допустим, мы торгуем кофе, наше оптимальное f составляет 1 контракт на каждую 21 000 долл. на балансе счета и прошло 2 сделки, одна из которых принесла убыток 210 долл., а другая – выигрыш 210 долл. В этом примере HPR равны 0,99 и 1,01 соответственно. Таким образом, TWR равно:

TWR = 1,01 * 0,99 = 0,9999.

Дополнительную информацию можно получить, используя оценочное среднее геометрическое (EGM):

EGM = (AHPR ^ 2 – SD ^ 2) ^ (1/2),

или

EGM = (AHPR ^ 2 – V) ^ (1/2).

Теперь возведем уравнение (1.16, а) или (1.16, б) в степень N, чтобы рассчитать TWR. Оно будет близко к «мультипликативной» функции роста, действительному TWR:

Оценочное TWR = ((AHPR ^ 2 – SD ^ 2) ^ (1/2)) ^ N, (1.19, а)

или

Оценочное TWR = ((AHPR ^ 2 – V) ^ (1/2)) ^ N, (1.19, б)

где N – количество периодов;

AHPR – среднее арифметическое HPR;

SD – стандартное отклонение значений HPR;

V – дисперсия значений HPR.

Оба уравнения (1.19) эквивалентны.

Полученная информация говорит, что найден компромисс между увеличением средней арифметической торговли (HPR) и дисперсией HPR, и становится ясна причина, по которой система (1,9:1; 70 %) работает лучше, чем система (28:1; 10 %)!

Нашей целью является максимизация коэффициента этой функции, т. е. максимизация следующей величины:

EGM = (AHPR ^ 2 – V) ^ (1/2).

Показатель оценочного TWR, т. е. N, сам о себе позаботится. Увеличение N не является проблемой, так как мы можем расширить количество рынков или торговать в более краткосрочных типах систем.

Расчет дисперсии и стандартного отклонения (V и SD соответственно) может оказаться трудным для большинства людей, не знакомых со статистикой. Вместо этих величин многие используют среднее абсолютное отклонение, которое мы назовем М. Чтобы найти М, надо просто взять среднее абсолютное значение разности самой величины и ее среднего значения:

При колоколообразном распределении (как почти всегда бывает с распределением прибылей и убытков торговой системы) среднее абсолютное отклонение примерно равно 0,8 стандартного отклонения (в нормальном распределении оно составляет 0,7979). Поэтому мы можем сказать:

М = 0,8 * SD (1.21)

и

SD = 1,25 * М. (1.22)

Обозначим среднее арифметическое HPR переменной A, а среднее геометрическое HPR переменной G. Используя уравнение (1.16, б), мы можем выразить оценочное среднее геометрическое следующим образом:

G = (A ^ 2 – V) ^ (1/2).

Из этого уравнения получим:

G ^ 2 = (A ^ 2 – V). (1.23)

Теперь вместо дисперсии подставим стандартное отклонение [как в (1.16, а)]:

G ^ 2 = A ^ 2 – SD ^ 2. (1.24)

Из этого уравнения мы можем выделить каждую переменную, а также ноль, чтобы получить фундаментальные соотношения между средним арифметическим, средним геометрическим и разбросом, выраженным здесь как SD ^ 2:

A ^ 2 – G ^ 2 – SD ^ 2 = 0, (1.25)

G ^ 2 = A ^ 2 – SD ^ 2, (1.26)

SD ^ 2 = A ^ 2 – G ^ 2, (1.27)

A ^ 2 = G ^ 2 + SD ^ 2. (1.28)

В этих уравнениях значение SD ^ 2 можно записать как V или как (1,25 * М) ^ 2. Это подводит нас к той точке, когда мы можем описать существующие взаимосвязи. Отметьте, что последнее из уравнений – это теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы! Но здесь гипотенуза – это A, а мы хотим максимизировать одну из ее сторон – G. При увеличении G любое повышение D («катет» дисперсии, равный SD, или V ^ (1/2), или 1,25 * М) приведет к увеличению A. Когда D = 0, тогда A = G, этим самым соответствуя ложно толкуемой функции роста TWR = (1 + R) ^ N. Действительно, когда D = 0, тогда A = G в соответствии с уравнением (1.26).

Мы можем сказать, что повышение A ^ 2 оказывает на G то же воздействие, что и аналогичное понижение величины (1,25 * М) ^ 2:

ΔA^2 = —Δ((1,25 * M)^2). (1.29)

Чтобы понять это, рассмотрим изменение A от 1,1 до 1,2:

Когда A = 1,1, то SD = 0,1. Когда A = 1,2, то, чтобы получить эквивалентное G, SD должно быть равно 0,4899 согласно уравнению (1.27). Так как М = 0,8 * SD, то М = 0,39192. Если мы возведем в квадрат значения A и SD и рассчитаем разность, то получим 0,23 в соответствии с уравнением (1.29).

Рассмотрим следующую таблицу:

Отметьте, что в предыдущем примере, где мы начали с меньших значений разброса (SD или M), требовалось их большее повышение, чтобы достичь того же G. Таким образом, можно утверждать, что чем сильнее вы уменьшаете дисперсию, тем легче дается больший выигрыш. Это экспоненциальная функция, причем в пределе, при нулевой дисперсии, G = A. Трейдер, который торгует на фиксированной долевой основе, должен максимизировать G, но не обязательно A. При максимизации G надо понимать, что стандартное отклонение SD затрагивает G в той же степени, что и A, в соответствии с теоремой Пифагора! Таким образом, когда трейдер уменьшает стандартное отклонение (SD) своих сделок, это эквивалентно повышению арифметического среднего HPR (т. е. A), и наоборот!

Фундаментальное уравнение торговли

Мы можем получить гораздо больше, чем просто понимание того факта, что уменьшение размера проигрышей улучшает конечный результат. Вернемся к уравнению (1.19, а):

Оценочное TWR = ((AHPR ^ 2 – SD ^ 2) ^ (1/2)) ^ N.

Подставим A вместо AHPR (среднее арифметическое HPR). Далее, так как (Х ^ Y) ^ Z = X ^ (Y * Z), мы можем еще больше упростить уравнение:

Оценочное TWR = (A ^ 2 – SD ^ 2) ^ (N/2). (1.19, в)

Это последнее уравнение мы назовем фундаментальным уравнением торговли, так как оно описывает, как различные факторы – A, SD и N – влияют на результат торговли.

Очевидны несколько фактов. Во-первых, если A ≤ 1, тогда при любых значениях двух других переменных – SD и N – наш результат не может быть больше единицы. Если A < 1, то при N, стремящемся к бесконечности, наш результат приближается к нулю. Это означает, что, если A ≤ 1 (математическое ожидание меньше или равно нулю, так как математическое ожидание равно A – 1), у нас нет шансов получить прибыль. Фактически если A < 1, то наше разорение – это просто вопрос времени (т. е. достаточно большого N).

При условии, что A > 1, с ростом N увеличивается наша прибыль. Например, система показала среднее арифметическое 1,1 и стандартное отклонение 0,25. Таким образом:

Оценочное TWR = (1,1 ^ 2–0,25 ^ 2) ^ (N/2) = (1,21 – 0,0625) ^ (N/2) = 1,1475 ^ (N/2).

В нашем примере, где коэффициент равен 1,1475, получаем: 1,1475 ^ (1/2) = = 1,071214264. Таким образом, каждая следующая сделка, каждое увеличение N на единицу, соответствует умножению нашего конечного счета на 1,071214264. Отметьте, что это число является средним геометрическим. Каждый раз, когда осуществляется сделка и когда N увеличивается на единицу, коэффициент умножается на среднее геометрическое. В этом и состоит действительная польза диверсификации, выраженная математически фундаментальным уравнением торговли. Диверсификация позволяет как бы увеличить N (т. е. количество сделок) за определенный период времени.

Есть еще одна важная деталь, которую необходимо отметить при рассмотрении фундаментального уравнения торговли: хорошо, когда вы уменьшаете стандартное отклонение больше, чем арифметическое среднее HPR. Поэтому следует быстро закрывать убыточные позиции (использовать маленький стоп-лосс). Но уравнение также демонстрирует, что при выборе слишком жесткого стопа вы можете потерять больше. Вас выбьет с рынка из-за слишком большого количества сделок с маленьким проигрышем, которые позднее оказались бы прибыльными, поскольку A уменьшается в большей степени, чем SD.

Вместе с тем уменьшение больших выигрышных сделок поможет вашей системе, если это уменьшает SD больше, чем уменьшает A. Во многих случаях этого можно достичь путем включения в вашу торговую программу опционов. Позиция по опционам, которая направлена против позиции базового инструмента (покупка опциона или продажа соответствующего опциона), может оказаться весьма полезной. Например, если у вас длинная позиция по какой-либо акции (или товару), покупка пут-опциона (или продажа колл-опциона) может уменьшить ваше SD по совокупной позиции в большей степени, чем A. Если вы получаете прибыль по базовому инструменту, то будете в убытке по опциону. При этом убыток по опциону лишь незначительно уменьшит общую прибыль. Таким образом, вы уменьшили как SD, так и A. Если вы не получаете прибыль по базовому инструменту, вам надо увеличить A и уменьшить SD. Надо стремиться уменьшать SD в большей степени, чем A.

Конечно, издержки на транзакции при такой стратегии довольно значительны, и они всегда должны приниматься в расчет. Чтобы воспользоваться этой стратегией, ваша программа не должна быть ориентирована на очень короткий срок. Все вышесказанное лишь подтверждает, что различные стратегии и различные торговые правила должны рассматриваться с точки зрения фундаментального уравнения торговли. Таким образом, мы можем оценить влияние этих факторов на уровень возможных убытков и понять, что именно необходимо сделать для улучшения системы.

Допустим, в долгосрочной торговой программе была использована вышеупомянутая стратегия покупки пут-опциона совместно с длинной позицией по базовому инструменту, и в результате мы получили большее оценочное TWR. Ситуация, когда одновременно открыты длинная позиция по базовому инструменту и позиция по пут-опциону, эквивалентна длинной позиции по колл-опциону. В этом случае лучше просто купить колл-опцион, так как издержки на транзакции будут существенно ниже[6]6
  Здесь есть еще один плюс, который сразу может быть и не виден. Он состоит в том, что мы заранее знаем проигрыш худшего случая. Учитывая, насколько чувствительно уравнение оптимального f к наибольшему проигрышу, такая стратегия может приблизить нас к пику кривой f и показать, каким может быть наибольший проигрыш. К тому же проблема проигрыша в трех стандартных отклонениях (или больше) с более высокой вероятностью, чем подразумевает нормальное распределение, будет устранена. Именно гигантские проигрыши (более трех стандартных отклонений) разоряют большинство трейдеров. Опционные стратегии могут полностью упразднить такие проигрыши.


[Закрыть], чем при наличии длинной позиции по базовому инструменту и длинной позиции по пут-опциону.

Продемонстрируем это на примере рынка индексов акций в 1987 г. Допустим, мы покупаем базовый инструмент – индекс ОЕХ. Система, которую мы будем использовать, является простым 20-дневным прорывом канала. Каждый день мы рассчитываем самый высокий максимум и самый низкий минимум последних 20 дней. Затем в течение дня, если рынок повышается и касается верхней точки, мы покупаем. Если цены идут вниз и касаются низшей точки, мы продаем. Если дневные открытия выше или ниже точек входа в рынок, мы входим при открытии. Такая система подразумевает постоянную торговлю на рынке.

Если определять оптимальное f по этому потоку сделок, найдем соответствующее среднее геометрическое (фактор роста на нашем счете за игру), которое здесь равно 1,12445.

Теперь возьмем те же сделки, только будем использовать модель оценки фондовых опционов Блэка – Шоулза (подробно об этом будет рассказано в главе 5), и преобразуем входные цены в теоретические цены опционов. Входные данные для ценовой модели будут следующими: историческая волатильность, рассчитанная на основе 20 дней (расчет исторической волатильности также приводится в главе 5), безрисковая ставка 6 % и 260,8875 дня (это среднее число рабочих дней в году). Далее мы допустим, что покупаем опционы, когда остается ровно 0,5 года до даты их исполнения (6 месяцев), и что они «при деньгах». Другими словами, существуют цены исполнения, в точности соответствующие цене входа на рынок. Покупка колл-опциона, когда система в длинной позиции по базовому инструменту, и пут-опциона, когда система в короткой позиции по базовому инструменту, с учетом параметров упомянутой модели оценки опционов даст в результате следующий поток сделок:

Если рассчитать оптимальное f по этому потоку сделок, мы придем к выводу, что соответствующее среднее геометрическое (фактор роста на нашем счете за игру) равно 1,2166. Сравните его со средним геометрическим при оптимальном f для базового инструмента 1,12445. Разница огромная. Так как мы получили всего 6 сделок, то можно возвести каждое среднее геометрическое в 6-ю степень для определения TWR. Это даст TWR по базовому инструменту 2,02 против TWR по опционам 3,24. Преобразуем TWR в процент прибыли от нашего начального счета. Мы получим 102 % прибыли при торговле по базовому инструменту и 224 % прибыли при торговле опционами. Опционы в рассмотренном случае предпочтительнее, что подтверждается фундаментальным уравнением торговли.

Длинные позиции по опционам могут быть менее эффективными, чем длинные позиции по базовому инструменту. Чтобы не сделать здесь ошибку, торговые стратегии (а также выбор серии опционов) необходимо рассматривать с точки зрения фундаментального уравнения торговли.

Как видите, фундаментальное уравнение торговли можно использовать для улучшения торговли. Улучшения могут заключаться в изменении жесткости приказов на закрытие убыточных позиций (приказов стоп-лосс), в установлении целей и т. д. Эти изменения могут быть вызваны неэффективностью текущей торговли, а также неэффективностью торговой методологии.

Надеюсь, вы теперь понимаете, что компьютер неверно используется большинством трейдеров. Оптимизация, поиск систем и значений параметров, которые бы заработали больше всего денег на прошлых данных, – по сути, пустая трата времени. Вам надо получить систему, которая будет прибыльна в будущем. С помощью грамотного управления капиталом вы сможете «выжать» максимум из системы, которая лишь минимально прибыльна. Прибыльность системы в большей степени определяется управлением капиталом, которое вы применяете к системе, чем самой системой.

Вот почему вы должны строить свои системы (или торговые методы, если вы настроены против механических систем), будучи уверенными в том, что они останутся прибыльными (даже минимально прибыльными) в будущем. Помните, что этого нельзя достичь путем ограничения степеней свободы системы или метода. При разработке вашей системы или метода помните также о фундаментальном уравнении торговли. Оно будет вести вас в верном направлении в отношении эффективности системы или метода. Когда оно будет использоваться вместе с принципом «неограничения степеней свободы», вы получите метод или систему и сможете применить различные техники управления деньгами. Использование этих методов управления деньгами, будь они эмпирическими, которые описываются в этой главе, или параметрическими (ими мы займемся в главе 3), определит степень прибыльности вашего метода или системы.

Глава 2 Характеристики торговли фиксированной долей и полезные методы

Мы видели, что оптимальный рост счета достигается посредством оптимального f. Это верно независимо от инструмента, используемого в торговле. Работаем ли мы на рынке фьючерсов, акций или опционов, управляем ли группой трейдеров, при оптимальном f достигается оптимальный рост, а поставленная цель – в кратчайшее время. Мы также узнали, как с эмпирической точки зрения объединить различные рыночные системы на их оптимальных уровнях f в оптимальный портфель, т. е. как скомбинировать оптимальное f и теорию портфеля, используя прошлые данные для определения весов компонентов в оптимальном портфеле. Далее мы рассмотрим важные характеристики торговли фиксированной долей.

Оптимальное f для начинающих трейдеров с небольшими капиталами

Каким образом при небольшом счете, который дает возможность торговать только 1 контрактом, использовать подход оптимального f? Одно из предложений заключается в том, чтобы торговать 1 контрактом, учитывая не только оптимальное f в долларах (наибольший проигрыш / —f), но также проигрыш и маржу (залог). Сумма средств, отведенная под первый контракт, должна быть больше суммы оптимального f в долларах или маржи плюс максимальный исторический проигрыш (на основе 1 единицы):

А = МАХ {(Наибольший проигрыш / —f), (Маржа + ABS (Проигрыш))}, (2.1)

где А – сумма в долларах, отведенная под первый контракт;

f – оптимальное f (от 0 до 1);

Маржа – первоначальная спекулятивная маржа для данного контракта (залоговые средства, необходимые для открытия одного контракта);

Проигрыш – максимальный исторический совокупный проигрыш;

МАХ {} – максимальное значение выражения в скобках;

ABS() – функция абсолютного значения.

При такой процедуре вы сможете пережить максимальный проигрыш и все еще иметь достаточно денег для следующей попытки. Хотя мы не можем быть уверены, что в будущем проигрыш наихудшего случая не превысит исторический проигрыш наихудшего случая, маловероятно, чтобы мы начали торговлю сразу с нового исторического проигрыша. Трейдер, использующий эту технику, каждый день должен вычитать сумму, полученную с помощью уравнения (2.1), из своего баланса. Остаток следует разделить на величину (наибольший проигрыш / —f). Полученный ответ следует округлить в меньшую сторону и прибавить единицу, таким образом мы получим число контрактов для торговли.

Прояснить ситуацию поможет пример. Допустим, у нас есть система, где оптимальное f = 0,4, наибольший исторический проигрыш равен –3000 долл., максимальный совокупный проигрыш был –6000 долл., а залог равен 2500 долл. Используя уравнение (2.1), мы получим:

А = МАХ {(—$3000 / 0,4), ($2500 + ABS(—$6000))} = MAX {($7500), ($2500 + $6000)} = MAX {$7500, $8500} = $8500.

Таким образом, нам следует отвести 8500 долл. под первый контракт. Теперь допустим, что на нашем счете 22 500 долл. Поэтому мы вычтем сумму под первый контракт из баланса:

$22 500 – $8500 = $14 000.

Затем разделим эту сумму на оптимальное f в долларах:

$14 000 / $7500 = 1,867.

Округлим полученный результат в меньшую сторону до ближайшего целого числа:

INT (1,867) = 1.

Затем добавим 1 к полученному результату (1 контракт уже обеспечен 8500 долл., которые мы вычли из баланса):

1 + 1 = 2.

Таким образом, мы будем торговать 2 контрактами. Если бы мы торговали на уровне оптимального f (7500 долл. на 1 контракт), то торговали бы 3 контрактами (22 500 / 7500). Как видите, этот метод можно использовать независимо от того, насколько велик баланс счета (однако чем больше баланс, тем ближе будут результаты). Более того, чем больше баланс, тем менее вероятно, что вы в конце концов получите проигрыш, после которого сможете торговать только 1 контрактом. Трейдерам с небольшими счетами или тем, кто только начинает торговать, следует использовать этот подход.