Текст книги "Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением"

Быть вторым – не считается

О том, насколько ожесточенным бывает спор из-за приоритета, можно судить по спору, потрясшему в свое время математический мир. Речь шла о том, кого следует называть первооткрывателем «исчисления», как в старину называли математический анализ бесконечно малых величин. Речь, между прочим, шла о поистине великом открытии.

«Исчисление» позволило вычислять скорость неравномерного криволинейного движения. С помощью «исчисления» можно выяснять, как ведут себя так называемые динамические системы – в астрономии планетные системы, в технике – механические или электрические колебания, в метеорологии потоки воздушных масс в атмосфере, в экономике – биржевые курсы валют. «Исчисление» дает возможность вычислять площадь поверхностей, ограниченных кривыми линиями, объемы фигур, ограниченных криволинейными поверхностями. На все эти вопросы дает ответ анализ бесконечно малых величин.

Так кто же открыл «исчисление»?

В Англии XVIII в. ответ был ясен: сэр Исаак Ньютон, величайший сын Британии. Единственный, кого Гаусс, говоря о математиках, называл «clarissimus» (славнейший). В 1666 г., когда в Англии свирепствовала чума, Кембриджский университет был закрыт, и двадцатитрехлетний Ньютон вернулся в свою родную деревню Вулсторп. В течение года, что он пробыл там, Ньютон разработал «исчисление». После этого, как рассказывает величайший почитатель Ньютона, французский философ Вольтер, Ньютону на голову упало с дерева яблоко, из-за чего он посмотрел наверх, увидел Луну, и это зрелище навело его на мысль о том, что движение падающего яблока, Луны и планет подчиняется одному-единственному математическому закону. Теперь можно было с помощью «исчисления» выразить этот закон формулой.

Но Ньютон медлил с публикацией своего открытия. Он панически боялся критики со стороны своих кембриджских коллег, особенно со стороны Роберта Гука, низкорослого, тщеславного, настроенного против Ньютона ученого, которого он (Ньютон) ненавидел всей душой. Многие годы записи Ньютона пролежали в запертом ящике его письменного стола. Только близким друзьям он смутно намекал на то, что у него в руках находится математический ключ к пониманию движения небесных тел, и с помощью этого ключа можно будет показать, что допущение его врага Гука о том, что планеты с Солнцем связывают силы, подобные силе натянутой пружины, является ошибочным и порождает множество заблуждений.

Даже в «Математических началах натуральной философии», в книге, которую Ньютон решился опубликовать только после многолетних уговоров своего почитателя, астронома, геофизика и картографа Эдмунда Галлея, Ньютон изложил суть «исчисления» лишь в самом необходимом объеме. Публикация состоялась лишь после того, как в уравнения Ньютона были подставлены новые результаты измерения расстояния от Земли до Луны и было подтверждено совпадение расчетных результатов с данными астрономических наблюдений.

Ньютон так до конца и не осознал, почему «исчисление» так хорошо работает. «Исчисление» представляло собой рафинированный и изящный способ вычисления скоростей, площадей и объемов, но неисследованными остались основания, на которых покоилось само «исчисление».

Однако Ньютон мог быть доволен уже тем, что общество – не только коллеги по университету, но и все мировое научное сообщество того времени, и даже интересующиеся естественными науками любители – признало его книгу о началах натуральной философии вехой, открывающей новую эру. Ньютон был посвящен в рыцари, получил дворянский титул, стал президентом Королевского общества – самого уважаемого научного общества в мире. Как только Ньютон достиг всех этих высот, он позаботился о том, чтобы были уничтожены все портреты ненавистного коллеги Роберта Гука, до которых Ньютон смог дотянуться. Когда Ньютона однажды спросили, как ему удалось открыть математику движения планетных систем и практически заново создать механику, он ответил: «Если я и видел дальше других, то лишь потому, что стоял на плечах гигантов». Это звучит скромно; Ньютон утверждал, что только благодаря своим предшественникам он смог заглянуть так далеко. На самом деле в этом ответе можно было увидеть намек на Гука, который отличался очень малым ростом.

И все же презрению, каковое Ньютон испытывал к Гуку, было далеко до всепроникающей ненависти, которую Ньютон питал к Готфриду Вильгельму Лейбницу, величайшему ученому континентальной Европы. Лейбниц не был лично знаком с Ньютоном и лишь в молодости обменялся с ним несколькими короткими письмами. Отчего же Ньютон так его ненавидел? Лейбниц опубликовал в журнале Acta eruditorum несколько статей, в которых представил основы «исчисления», той математической теории, открывателем которой Ньютон считал себя. Возможно, думал подозрительный Ньютон, этот немец извлек свои знания об «исчислении» из писем Ньютона, то есть фактически украл у него открытие. Самое же досадное заключалось, с точки зрения Ньютона, в том, что статьи в Acta eruditorum появились намного раньше публикации книги о началах натуральной философии. На континенте в научных кругах господствовало мнение о том, что – не умаляя заслуги Ньютона в физике – первооткрывателем «исчисления» был Лейбниц.

То, что последователи Ньютона при каждом удобном случае подчеркивали, что он был первым, не могло удовлетворить честолюбивого ученого. В этом вопросе была сильно задета его честь. Он хотел, чтобы раз и навсегда было документально подтверждено, что ему, и только ему, сэру Исааку Ньютону, принадлежит заслуга открытия «исчисления». Делить эту славу со вторым соискателем казалось ему делом немыслимым, ибо этот второй, то есть Лейбниц, был не первооткрывателем, а коварным и хитрым плагиатором. По настоянию Ньютона в Королевском обществе была создана комиссия, которая должна была провести расследование и установить, кто первым изобрел «исчисление». Ходили слухи, что Ньютон, как президент Королевского общества, распоряжался членами комиссии, как марионетками, и убедил их в справедливости своей точки зрения. Окончательный вывод, сделанный якобы беспристрастной и независимой комиссией, был от первого до последнего слова продиктован самим Ньютоном. Карл Джерасси, выдающийся американский химик с австрийскими корнями, став впоследствии драматургом, очень эффектно описал этот грязный балаган в пьесе «Исчисление».

Теперь, триста лет спустя, исходя из известной переписки Ньютона и Лейбница и других исторических обстоятельств, мы можем утверждать, что открыть «исчисление» удалось обоим ученым приблизительно в одно и то же время. В любом случае ни один из них не заимствовал идеи другого. Между тем французские историки науки не упускают случая то и дело напоминать о достижениях ученого юриста и математика-любителя Пьера де Ферма, который задолго до Ньютона и Лейбница высказывал догадки об основах «исчисления». Но Ферма делился своими прозорливыми идеями только в письмах своим самым близким друзьям. Лишь несколько десятилетий спустя швейцарский математик Эйлер сообщил широкой математической общественности о новаторских идеях Ферма.

В XVII в. идея «исчисления» просто носилась в воздухе. Абсолютно независимо от Ферма, Ньютона и Лейбница японский математик Секи Такакацу разработал способы расчетов, чудесным образом совпадавшие с открытым в Европе «исчислением».

Однако в действительности уже Архимед в III в. до н. э. продвинулся к идее «исчисления». Да, он даже лучше Ньютона или Лейбница понял, как можно точно обосновать новый математический метод. На простом примере расчета, с которым Архимед познакомился, вероятно, во время путешествия в далекую Александрию Египетскую, мы можем понять разницу между не отягощенными основаниями расчетами горячих смельчаков Ньютона и Лейбница и глубокомысленными и содержательными рассуждениями Архимеда.

Египетские дроби

Наряду с Междуречьем Египет был страной, где возникла одна из первых в истории человечества высокая культура. Подобно многим другим народам на заре времен, египтяне верили во множество богов, определявших судьбы людей и мира. Пантеон египтян был безмерно велик и сложен: согласно одной из многих традиций, Атум был богом солнца, Шу – богом воздуха, Тефнут – богиней влаги, Геб – богом земли, Нут – богиней неба, а божества Исида, Осирис, Сет, Нефтида были правнуками Атума. Гор, сын Исиды и Осириса, являлся наиболее почитаемым из всех египетских богов. Фараон считался воплощением Гора на Земле. Глазами Гора были солнце и луна, причем луну называли уджатом – святым оком Гора.

Сказание гласит, что Сет, брат Осириса, во время борьбы за трон Осириса, вырвал этот глаз у Гора. Тот, мудрый бог луны, покровитель наук и письменности, увидел бесчисленное множество частей, больших и малых, этого глаза, и попытался их воссоединить.

Самый большой фрагмент глаза Гора составлял его половину, второй – четверть уджата. Соединив эти части, Тот исцелил глаз на три четверти. Следующий фрагмент составлял одну восьмую святого ока Гора. Тот добавил и ее к глазу и таким образом восстановил глаз на семь восьмых. Следующая по величине была одна шестнадцатая часть уджата. Тот присоединил ее к восстановленной части, так что исцеленными оказались уже пятнадцать шестнадцатых глаза Гора. Теперь настала очередь одной тридцать второй части. Тот присоединил и ее, получив в результате глаз, восстановленный на тридцать одну тридцать вторых. Следующей частью стал фрагмент, в точности равный одной шестьдесят четвертой доле уджата. Тот присоединил его и получил глаз, восстановленный на шестьдесят три шестьдесят четвертых.

В этой своеобразной истории египтяне открыли дроби

Слово «дробь» оказалось в этом контексте как нельзя более подходящим, ибо речь шла о раздробленном глазе Гора.

Мы не знаем, слышал ли Архимед историю о разбитом глазе и бывал ли он вообще в Египте. Однако, если ему удалось услышать эту чудесную историю, он, вероятно, задал себе вопрос: что будет, если бог Тот не остановится на шестом фрагменте, а продолжит исцеление глаза дальше? Каждый следующий фрагмент был вдвое меньше предыдущего; глаз разбился на бесконечное число осколков. Удалось бы Тоту воссоздать глаз целиком?

Конечно нет, несомненно ответил бы Архимед, ибо, какое терпение ни проявил бы Тот, присоединяя все новые и новые осколки, всегда оставались бы и другие, бесчисленные осколки, которые следовало бы вставить. Но Архимед понимал и другое: чем прилежнее работал бы Тот, тем лучше становилась бы его работа, ибо чего бы не хватало, когда бы он, после тяжких трудов, завершил бы наконец свою работу? Не хватало бы той малой части глаза, которая была бы равна наименьшей доле, которую бы Тот вставил последней. Дефект с каждой новой вставленной частью становился вдвое меньше и со временем стал бы пренебрежимо малым. Если бы Тот вставил первые 64 осколка, то остался бы дефект, в точности равный

то есть дефект был бы меньше одной восемнадцатиквинтиллионной части целого глаза. Как при этом не вспомнить историю о магарадже, мудреце и шахматной доске, на 64 клетки которой надо было уложить рисовые зернышки – на каждую следующую клетку вдвое больше, чем на предыдущую?

Таким образом, мы имеем полное право вложить в уста Архимеда следующий ответ: чем больше терпения проявит Тот в исцелении глаза Гора, тем лучше будет результат его работы; останется лишь очень малый дефект, который сам Гор будет воспринимать как крошечное «слепое пятно», и его Тот, если захочет, сможет сделать еще меньше.

Как в отношении Архимеда, так и Ньютона или Лейбница, мы не знаем, слышали ли они историю о разбитом глазе бога Гора. Но мы можем совершенно точно сказать, что оба открывателя «исчисления» дали бы, в отличие от Архимеда, куда более непринужденный ответ на вопрос о том, удалось бы Тоту довести свою работу до конца и полностью восстановить святое око Гора.

Конечно да, ответили бы и Ньютон, и Лейбниц, ибо они вполне могли себе представить, что Тот – а богам часто удается то, что кажется немыслимым для людей, – мог работать над восстановлением глаза Гора бесконечно долгое время и поэтому вставить в глазницу не шесть первых фрагментов, а бесконечно большое их множество, и тогда он получил бы целый глаз без единого дефекта. В виде формулы это можно записать так:

Чудовищное количество следующих дробей скромно представлено в этой формуле многоточием (…) после последнего знака плюс. Эти точки, по Ньютону и Лейбницу, символизировали бесконечное множество дробей, каждая из которых была вдвое меньше предыдущей и вдвое больше следующей, и все эти дроби надо было сложить друг с другом. Никто, однако, не сможет осуществить сложение бесконечного множества слагаемых. Это невозможно сделать ни в голове, ни на бумаге карандашом, ни на бухгалтерских счётах, ни даже с помощью самого современного компьютера.

Открывателям «исчисления» все это было, без сомнения, понятно, но они полагали, что, если мы, слабые, несовершенные люди, можем сложить лишь конечное число слагаемых, то всемогущий Бог – для Ньютона и Лейбница это был не один из египетских богов, а христианский Бог – в неизреченной мудрости своей может сделать это без проблем. Втайне они были очень горды тем, что с помощью «исчисления» им, по меткому выражению Эйнштейна, удалось «заглянуть в карты старика», проникнуть в тайны Всемогущего с помощью обхождения с бесконечностями.

Как действовали открыватели «исчисления»? Они говорят, что мы хотим вычислить бесконечную сумму

Здесь надо сложить бесконечное множество слагаемых. Первое слагаемое равно ½, а каждое следующее слагаемое вдвое меньше предыдущего. Уберем из суммы первое слагаемое, а именно ½, и у нас останется

Совершенно очевидно, что это ровно половина от предыдущей суммы. Эта половина ровно на одну вторую меньше предыдущей суммы. Следовательно, предыдущая сумма равна в точности единице, ибо если из единицы вычесть одну вторую, то останется одна вторая, а это ровно половина единицы.

Тот, кто читает это в первый раз, будет вначале несколько обескуражен, потому что этот аргумент выглядит как шулерский трюк. Однако если прочитать все это медленно и несколько раз, то можно проникнуться ходом мыслей и убедиться в безупречной, впечатляющей логике этой последовательности рассуждений.

Кого эта логика точно бы не впечатлила, так это Архимеда. Его толкование было более убедительным: с одной стороны, каждая конечная сумма фрагментов уджата меньше единицы. С другой стороны, каждое число, меньшее единицы, будет превзойдено конечной суммой долей уджата, если Тот добавит достаточное количество новых фрагментов. Таким образом, сумма долей уджата приближается к числу 1 с любой произвольной степенью точности. Большего об этой сумме сказать нельзя.

То, что Архимед прав в своем скепсисе, показывает следующий пример другой бесконечной суммы, а именно:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …

Если мы примем сторону открывателей «исчисления», то аналогичный ход мыслей выглядит так: мы хотим вычислить бесконечную сумму, утверждают Ньютон и Лейбниц. Для этого надо сложить бесконечное число слагаемых. Первое слагаемое равно единице, а каждое следующее слагаемое вдвое больше предыдущего. Уберем первое слагаемое, и у нас останется

2 + 4 + 8 + 16 + 32 + …

Совершенно очевидно, что здесь мы имеем двойную величину предыдущей суммы. И эта двойная величина на единицу меньше предыдущей суммы. Следовательно, она равна –1, ибо если из –1 вычесть 1, то останется –2, то есть величина, вдвое большая чем –1.

Этот аргумент слово в слово повторяет вышеприведенный аргумент. Тот, кто убедился в правильности предыдущих рассуждений, должен признать и корректность этих. Однако аргументация изобретателей «исчисления» приводит к поистине парадоксальному выводу:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = –1.

Этот результат очевидно нелеп! Действительно, в своей попытке убедить себя и других в том, что можно рассчитывать бесконечные суммы, изобретатели «исчисления» слишком много о себе вообразили{6}6
  Аргумент, выдвинутый изобретателями «исчисления», можно попытаться защитить следующим образом: с одной стороны, «бесконечное» обладает тем свойством, что если из «бесконечного» вычесть единицу, то оно все равно останется «бесконечным», а с другой стороны, удвоенное «бесконечное» является опять-таки «бесконечным». Отсюда можно утверждать, что сумма
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …  может быть «бесконечной», и это вполне осмысленный результат. Тем не менее эта апология стоит на весьма шатком основании.
  Во-первых, вычислять «бесконечное» не так просто, как вычислять конечные числа. Что, например, получится, если из «бесконечного» вычесть «бесконечное»? Любой человек, не задумываясь, ответит: ноль. Если, однако, второе «бесконечное» уменьшено на единицу по сравнению с первым «бесконечным», то разность должна быть равна единице, ибо второй «бесконечности» приписано на одну единицу меньше, чем первой. Кто-то может сказать, что если «бесконечное» вычесть из удвоенного «бесконечного», то получится снова «бесконечное», ибо из удвоенного «бесконечного» вычитают «бесконечное» одинарное. Короче, противоречие на противоречии.
  Во-вторых, даже получение суммы частей уджата могло бы дать в результате бесконечность, ибо если поверить изобретателям «исчисления», то «бесконечное» обладает тем свойством, что, с одной стороны, «бесконечное», уменьшенное на одну вторую, остается «бесконечным» и что половина «бесконечного» опять-таки равняется бесконечности. С другой стороны, почему, собственно, на примере этой бесконечной суммы мы убеждены, что правильный ответ заключается в том, что сумма равна 1, а не бесконечности?


[Закрыть]. Они, конечно, математические гении, но математическими богами они не были.

Быки бога солнца

Все же это горький жребий – быть греческим богом, особенно в одном из образов, нарисованных Гесиодом или Гомером в их фантастических повествованиях. Боги греков (и просвещенные греки времен Платона, естественно, это знали) были воплощением мерзости: прежде всего, неугомонный женолюб отец богов Зевс; преследующая его ревнивица Гера; рожденная из морской пены Афродита, кружившая головы как богам, так и простым смертным; рожденная из головы Зевса, вечно девственная и злобная Афина; мрачный бог подземного мира Аид и заключенная в его царстве теней, пребывающая в полном отчаянии Персефона. Все эти и множество других богов и полубогов суть плоды необузданной фантазии. Все они – не более чем выдумка. Выражаясь современным языком, Гомер и Гесиод на глазах просвещенных греков изобрели то, что сегодня называют мыльными операми: на Олимпе, на горе, где обитают боги, разыгрываются бесконечные интриги, трагедии и комедии, которым – как и в обычных мыльных операх – нет конца. Разница между людьми и богами, как мы слышим от находчивых поэтов, заключается лишь в том, что одни смертны, а другие – бессмертны.

Несмотря на это, Илиада и Одиссея, оба величайших произведения Гомера, стали источником вдохновения всех образованных греков. Дело в том, что за фасадом историй о любви, ненависти и измене скрывались глубокие истины, не говоря уже о красоте языка, великолепии напевных стихов и поэтическом воображении. Архимед, естественно, хорошо знал Одиссею и использовал один из ее очаровательных эпизодов для составления несравненной математической загадки.

После того как Одиссей и его спутники смогли миновать ужасы Сциллы и Харибды, приблизились они к хранимому Гелиосом, богом солнца, острову Сицилия, названному в поэме Тринакрией, будущей родине самого Архимеда. Сам Одиссей хотел проплыть мимо, но спутники уговорили его сделать остановку на райском острове, чтобы отдохнуть на нем несколько дней. Одиссей предупредил своих товарищей, чтобы они не ловили пасшихся на острове быков и коров, ибо то были священные животные, посвященные богу солнца Гелиосу. Однако, когда привезенные с собой запасы продовольствия подошли к концу, а погода не позволяла продолжить плавание, голодные спутники Одиссея пренебрегли его предостережением. Они поймали одну из коров и зарезали ее, чтобы прокормиться. Ничего хорошего из этого не вышло. Гелиос потребовал у верховного бога Зевса удовлетворения за святотатство. Едва Одиссей и его спутники покинули Сицилию, как на море разразился ужасный шторм. Зевс метнул в корабль молнию, и все члены команды, за исключением Одиссея, который не прикасался к мясу коровы Гелиоса и сумел привязать себя к мачте, пошли ко дну.

Архимед задал вопрос своему ученому другу: сколько, собственно говоря, коров и быков паслось тогда на благословенных лугах Сицилии?

В 1773 г. Готхольд Эфраим Лессинг, бывший тогда библиотекарем герцога Брауншвейгского в Вольфенбюттеле, нашел в рукописном отделе библиотеки копию письма, написанного Архимедом его другу и знакомому, александрийскому ученому Эратосфену. В письме содержалась записанная 44 двустишиями математическая загадка. В этом стихотворении Архимед задал все тот же вопрос: сколько скота было у бога Гелиоса на берегах Сицилии?

В качестве исходной информации Архимед сообщил Эратосфену соотношение между численностью белых, черных, рыжих и пестрых животных, тщательно разделенных на коров и быков{7}7
  Приводим загадку Архимеда, отправленную им Эратосфену:
Сколько у солнца быков, найди для меня, чужестранец.(Ты их, подумав, считай, мудрости если не чужд.)Как на полях Тринакрийской Сицилии острова тучныхИх в четырех стадах много когда-то паслось.Цветом стада различались: блистало одно млечно-белым,Темной морской воды стада другого был цвет,Рыжим третье было, последнее пестрым. И в каждомСтаде была самцов множеством тяжкая мощь,Все же, храня соразмерность такую, представь, чужестранец,Белых число быков в точности было равноТемных быков половине и трети и полностью рыжим;Темных число быков четверти было равноПестрых с прибавлением пятой и также полностью рыжим;Пестрой же шерсти быков так созерцай число:Части шестой и седьмой от стада быков серебристых,Также и рыжим всем ты их число поравняй.В тех же стадах коров было столько: число белошерстныхВ точности было равно темного стада всегоЧасти четвертой и третьей, коль сложишь ты обе их вместе;Темных число же коров части четвертой опятьПестрого стада равнялось, коль пятую долю добавишьИ туда же быков в общее стадо причтешь.Те же, чья пестрая шерсть, равночисленным множеством былиРыжего стада частям пятой и с нею шестой.Рыжих коров же считалось количество равным полтретиБелого стада всего с частию взятой седьмой.Сколько у солнца быков, чужестранец, коль точно ты скажешь,Нам раздельно назвав тучных быков число,Также раздельно коров, сколько каждого цвета их было,Не назовет хоть никто в числах невеждой тебя,Все же к мудрецам причислен не будешь. Учти же, пожалуй,Свойства такие еще солнца быков числа.Если быков среброшерстных ты с темными вместе смешаешьТак, чтобы тесно стали они бы в ширь и в длинуМерой равной, тогда на обширных полях сицилийскихПлотным квадратом они площадь большую займут.Если же рыжих и пестрых в одно ты смешаешь стадо,Лесенкой станут они, счет с единицы начав,Так что фигуру они треугольную нам образуют;Цвета иного быков нам нет нужды добавлять,Если ты найдешь, чужестранец, умом пораскинув,И сможешь назвать каждого стада число,То уходи, возгордившись победой, и будет считаться,Что в этой мудрости ты все до конца превзошел.  Для любителей изысков приводим также юмористический перевод этого гекзаметра на немецкий язык, выполненный математиком Венского технологического института Александром Мельманом:
Hast du, Freund, den richt’gen Riecher,So berechne, wieviel Viecher –Lass uns nur von Rindern reden,Hornbewehrte Quadrupeden –Einst gehörten, hü und hott,Helios – dem Sonnengott,Auf Siziliens grüner Erde.Milchweiß war die erste Herde,Schwarz die zweite, zappenduster,Braun die dritte, FleckenmusterSchmückte Rinderkuh und StierIn der Herde Nummer vier.Zahl die Stiere ganz in Weiß,Die erhält man nur mit FleißAus der reinen Braunstier-ZahlPlus der Hälfte und nochmalPlus ein Drittel aller schwarzenStiere, deren Zahl – ihr Parzen! –Glich der Stierzahl aller Braunen(Schon vernehm’ ich. Freund, Dein Raunen)Nebst dem viert– und fünften TeilDer gefleckten Stier’, derweilDie (der Zahl nach) sich summiertenAus der Braunen, wohlsortierten,Nebst dem Sechst– und SiebentelWeißer Stiere, die zur Stell’.Doch vergiss bei aller Müh’Nicht des Sonnengottes Küh’.Statt die Zähn’ sich auszubeißenBeim Bestimmen all der weißen,Addier’ als SonderfallVon der schwarzen HerdenzahlNur ein Drittel und ein ViertelUnd dann schnalle fest den Gürtel.Auch der schwarzen Kühe Nummer,Lässt sich finden ohne Kummer.Teil die Fleckviezahl durch VierUnd durch Funf und dann addier’!Elf durch dreißig der brünettenRinder in Trinakriens StättenIst die Zahl der Küh’ mit Fleck.Rätselhaft bleibt noch der Zweck,Denn die Zahl der Braunviehdamen(Nichts zur Sache tun die Namen)Dividiert durch die der Rinder,Die so weiß, wie ihre Kinder,Sie ergibt ganz informellEin Sechstel und sein Siebentel.Nennst du mir – getrennt nach GenderUnd nach Farben der Gewänder (?) –All die Zahlen auf der Wiese,Bist fürwahr ein PISA-Riese!Zur Elite erster KlasseIch dich erst gehören lasse,Wenn du lösest schnell wie‘ PfeilAuch des Rätsels zweiten Teil.Wenn man sie zusammenführeDie Gesamtzahl aller Stiere,Die pechschwarz und weiß wie Schnee,So erhielt’ man ein Karree.Schichtet man der Stiere RestReihenweis’, wobei man lässtJeweils in der nächsten Reih’Gleich viel Hörner minus zwei,So benötigt man als SpitzeEinen Stier nur (ohne Vize)Und die RindviehformationBildet glatt ein Dreieck schon.(A. Mehlmann. Mathematische Seitensprünge: Ein unbeschwerter Ausflug in das Wunderland zwischen Mathematik und Literatur. Viehweg, 2007.)  В первой части ставится задача. Надо найти число рогатых тварей, именуемых в миру быками, которые пасутся на зеленых лугах Сицилии. Дальше говорится о том, что есть белые быки (их число мы обозначим w) и белые коровы (их число мы обозначим W), черные быки (их число мы обозначим s) и черные коровы (их число мы обозначим S), рыжие быки (их число мы обозначим b) и рыжие коровы (их число мы обозначим B), а также пестрые быки (их число мы обозначим g) и пестрые коровы (их число мы обозначим G). В третьей части фигурируют только быки. Здесь Архимед представляет следующие уравнения:
w = b + (½ + ⅓) ss = b + (¼ + ⅕) gg = b + (⅙ + 1/7) w  В четвертой части словесно формулируются еще четыре уравнения, с помощью которых можно вычислить число коров:
W = (⅓ + ¼) (s + S)S = (¼ + ⅕) (g + G)G = (⅕ + ⅙) (b + B)B = (⅙ + 1/7) (w + W)  (В переводе Александра Мельмана сумма одной пятой и одной шестой описана как «одиннадцать тридцатых».)
  В пятой части Архимед сообщает, что эти семь уравнений с восемью неизвестными, так называемые «диофантовы уравнения», имеющие целочисленные решения, являются лишь первой частью задания. В стихотворении Мельмана говорится, что тот, кто решит эти уравнения, может считать себя сдавшим ЕГЭ, но на принадлежность к математической элите такой человек претендовать не может.
  В заключительной части Архимед говорит, что сумма s и w является квадратом: черных и белых быков можно выстроить в строй с равным количеством шеренг и колонн. Далее Архимед строит остальных быков, число которых равно b + g, в шеренги так, чтобы в каждой следующей шеренге было на одного быка меньше, чем в предыдущей, и таким образом в, так сказать, верхней строке окажется всего один бык. Выражаясь математически: b + g является числом треугольника. Поскольку числа треугольника представляют в виде ½ × (n² + n), а квадратные числа в форме m², постольку можно понять, что вторая часть задачи Архимеда представляет собой «диофантово уравнение» второй степени.


[Закрыть]. Задача состояла из двух частей. Первая часть в сравнении со второй была довольно простой. Архимед мог предполагать, что его коллега Эратосфен вполне дорос до первой части задания. Для решения этой части задачи надо было владеть только четырьмя основными арифметическими действиями – но владеть безупречно, ибо вычисления были достаточно сложными. В случае, если Эратосфену удалось бы решить первую часть задачи, он бы узнал, что численность стада крупного рогатого скота Гелиоса была кратна 50 389 082 головам. Насколько велика общая численность, после решения первой части задачи оставалось неясным. При тех затруднениях, какие испытывали древние греки с названиями чисел, охватить такое большое число, как 50 389 082, было почти неразрешимой задачей. Вероятно, Архимед втайне радовался, представляя себе, как вымотается Эратосфен, решая первую часть присланной ему задачи.

Однако вторая часть еще более запутанна, чем первая. Если задания Архимеда были переведены верно, во второй части требуется для подсчета целочисленного кратного 50 389 082 вычислить еще два дополнительных числа. Из них и вытекает результат – насколько велико целочисленное кратное числа, полученного в первой части задачи. Оба этих дополнительных числа, по Архимеду, находятся в сложном соотношении друг с другом, и в этом соотношении большую роль играет невероятно гигантское число 410 286 423 278 424{8}8
  «Сложные взаимоотношения» обоих чисел восходят к одной древней проблеме, известной уже Пифагору. Пифагор предположил, что все в этом мире можно описать с помощью дробей, в которых числитель и знаменатель являются целыми числами (знаменатель, равный нулю, не рассматривается). Но уже геометрия показала ошибочность этого утверждения.
  Если, например, построить на диагонали квадрата другой квадрат, для которого диагональ первого является стороной, то очевидно, что второй квадрат по площади в два раза превосходит первый. Допустим, что сторона первого квадрата равна х единиц длины – в данном случае не важно, что мы примем за такую единицу – метры, миллиметры или поперечный размер атома. После этого рассчитаем площадь первого квадрата в соответствующих единицах площади – квадратных метрах, миллиметрах или иных единицах. Для этого число единиц длины, составляющих сторону квадрата, надо умножить само на себя. Эту величину устно называют «икс-квадрат» и записывают так х². Если, например, х = 12, то х² = 144. Если у = 17, то у² = 289. Совершенно случайно 289 почти в точности равно удвоенному числу 144, то есть 288. Другими словами, у квадрата со стороной 12 см длина диагонали чуть-чуть меньше 17 см. То есть отношение диагонали квадрата к длине его стороны равно приблизительно 17/12. Однако греки задались вопросом: можно ли вообще выразить это отношение дробью вида x/y?
  Будь это так, то у квадрата со стороной х единиц длины должна быть диагональ длиной у единиц. Площадь у² построенного на диагонали квадрата должна быть вдвое больше площади х² исходного квадрата. Это можно выразить формулой у² = 2х².
  Говорят, что великому греческому философу Аристотелю принадлежит обоснование того факта, что не существует таких целых чисел х и у, для которых было бы справедливо равенство у² = 2х².
  Допустим, однако, что такие числа существуют. Сначала Аристотель рассматривает случай, когда у – нечетное число. Тогда и у², будучи нечетным числом, при умножении само на себя дает в результате нечетное число. В таком случае невозможно равенство у² = 2х², потому что 2х², очевидно, делится на 2, то есть является четным числом.
  Следовательно, у необходимо является четным числом, и у², то есть число у, умноженное само на себя, должно делиться на 4.
  Но тогда, заключил Аристотель, х не может быть нечетным числом, ибо если оно является нечетным, то х², то есть число х, умноженное само на себя, является нечетным, и число 2х² делится на 2, но ни в коем случае не делится на 4, но оно должно делиться на 4, если верна формула у² = 2х².
  На основании этих рассуждений Аристотель делает следующий вывод: если существуют числа х и у, для которых справедлива формула у² = 2х², то ни одно из этих чисел не может быть нечетным. Оба числа х и у должны быть четными.
  Сторона квадрата, из которого мы исходили, должна, следовательно, иметь протяженность, равную четному количеству выбранных единиц длины, так же как четное количество единиц длины должно составлять протяженность его диагонали. Но, рассуждает дальше Аристотель, мы можем с равным успехом исходить из квадрата, у которого сторона и диагональ в два раза меньше, чем у квадрата исходного. Но и у этого квадрата длины сторон и диагонали должны выражаться четными числами единиц длины. Этот следующий квадрат мы снова можем уменьшить в отношении 1:2. Однако и в этом, меньшем квадрате длины сторон и диагонали опять-таки выражаются четными числами единиц длины.
  Это последовательное деление сторон и диагоналей квадратов можно продолжать до бесконечности. Но как бы малы ни были стороны и диагонали квадратов, они все равно выражаются четными числами единиц длины, и поэтому и сторону и диагональ можно снова делить пополам.
  Но это в конце концов приводит к абсурду, ибо стороны и диагонали квадратов содержат целочисленные значения единиц длины, и их невозможно произвольно делать сколь угодно малыми.
  Поэтому, делает вывод Аристотель, вообще не существует целых чисел х и у, для которых справедливо равенство у² = 2х². (В наше время, возможно, кто-то стал бы протестовать, потому что при х = 0 и при у = 0 равенство становится справедливым. Но греки, при всем их уме, не считали ноль числом, а оперировали только положительными целыми числами 1, 2, 3, 4, 5…) Именно поэтому отношение длины диагонали к длине стороны квадрата не может быть дробью.
  Есть, однако, одержимые математикой люди, которые не могут удовлетвориться полученными результатами. Эти люди постоянно задают вопросы и пытаются найти более всеобъемлющие решения.
  Так и в нашем случае. Если уж нет чисел х и у, для которых справедливо равенство у² = 2х², то, может быть, существуют числа х и у, которые соответствуют справедливому равенству у² = 2х² + 1. При таком малом добавлении, как «+1», все меняется пренебрежимо мало, но зато камня не остается на камне от аргументации Аристотеля. Действительно, оказывается, что в приведенном выше примере с числами х = 12 и у = 17 это уравнение верно, как верно оно и для многих других чисел. Более того, удалось доказать, что у этого уравнения бесчисленное множество решений.
  Пьер де Ферма, французский ученый-любитель, с которым мы познакомились как с соавтором «исчисления», вскользь упомянул о нем в частном письме. Ферма также утверждал, что множитель 2 перед х² в формуле у² = 2х² + 1 можно заменить любым другим целым числом, если оно само не является квадратом. Так, на самом деле существует бесконечное множество значений х и у, при которых справедливо равенство у² = 3х² + 1, и бесконечное множество значений х и у, удовлетворяющих равенству у² = 5х² + 1, и так далее. Иногда приходится долго искать значения неизвестных в данном равенстве. Например, в уравнении у² = 991х² + 1 первыми наименьшими значениями х и у, удовлетворяющими ему, являются гигантские числа:
х = 12 055 735 790 331 359 447 442 538 767  и
у = 379 516 400 906 811 930 638 014 896 080.  Откуда Ферма черпал свою убежденность, мы не знаем. Только через сто лет дотошный швейцарский математик Леонард Эйлер доказал, что Ферма был прав.
  Архимед, однако, на много сотен лет раньше знал то, во что верил Пьер де Ферма и сумел доказать Леонард Эйлер. Дело в том, что вторая часть загадки о быках Гелиоса сводится к нахождению двух чисел х и у, удовлетворяющих уравнению
у²= 410 286 423 278 424х² 1.  Как мы видим, речь идет об уравнении того же типа, что и у² = 2х² + 1, у² = 5х² + 1 или у² = 991х² + 1. Единственное отличие – очень большой множитель перед х².


[Закрыть]. Искусство Архимеда в задании условий задачи состояло в том, что он вышеназванное число порядка 410 триллионов не упомянул ни единым слогом, а лишь облек его в словесное поэтическое описание.

Вызывает восхищение уже одно то обстоятельство, что Архимед использовал неуклюжую греческую систему счисления и сумел при этом вычислить такое число, как 410 286 423 278 424. Но еще более удивительно то, что он – и это совершенно очевидно – знал, что вторая часть задачи, в принципе, имеет решение. В принципе – ибо никто не смог бы вычислить конечный результат, не прибегая к нашим современным вспомогательным техническим средствам. Слишком велики полученные результаты, слишком трудоемки соответствующие ручные вычисления. И сам Архимед не стал тратить силы на них. Для него было достаточно знания о том, что решение существует. Еще лучше Архимед осознавал непреложный факт: решая вторую часть задачи, Эратосфен неминуемо должен будет признать свое ужасное поражение. Но он, Архимед, был единственным, кто наверняка знал, что решение существует. Никто не сможет превзойти его в знании математики, даже следующий за ним по пятам Эратосфен.

Только в 1965 г. Хью Вильямс, Гас Герман и Боб Царнке с помощью лучших на то время вычислительных машин IBM 7040 и IBM 1620, затратив на вычисления почти восемь часов, смогли рассчитать численность стада Гелиоса, разгадать загадку Архимеда и получить результат, воистину достойный бога. У Гелиоса было больше 7,76 × 10²⁰⁶⁵⁴⁵ голов крупного рогатого скота – это число, начинающееся с 776 и состоящее из 206 546 разрядов!

В сравнении с этим числом число атомов во Вселенной можно считать ничтожно малым. И такого гениального человека одним взмахом меча убил какой-то жалкий варвар. «O quam cito transit gloria mundi!» – «О, как скоро проходит мирская слава!» – по праву сетует Фома Кемпийский, великий нидерландский мистик позднего Средневековья.