Текст книги "Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением"

Рудольф Ташнер
Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Rudolf Taschner

DIE ZAHL, DIE AUS DER KÄLTE KAM

Wenn Mathematik zum Abenteuer wird

© Carl Hanser Verlag München, 2013

© Анваер А.Н., перевод на русский язык, 2017

© Издание на русском языке, оформление.

ООО «Издательская Группа «Азбука-Аттикус», 2018

КоЛибри®

* * *

Предисловие

Нет в мире ничего холоднее чисел.

Высказывая это утверждение, люди, как правило, под словом «холодный» имеют в виду нечто обезличенное и бесчувственное. Действительно, когда в пылу жаркого спора одна из сторон выкладывает «цифры на стол», то противная сторона немедленно умолкает. С числами не поспоришь. В их облике таится нечто окончательное. То, что запечатлено числом, не может быть ни отвергнуто, ни оспорено.

В то время как Гераклит рассматривал осуществление перемен в мире как результат воздействия согревающего пламени, в огне которого и происходит возникновение нового, Парменид из Элеи, вооружившись железной логикой, возражал на это следующее: в мире невозможно ни возникновение, ни исчезновение, ибо как может нечто возникнуть из ничего? Как может вдруг исчезнуть то, что существует? Изменение, по Пармениду, – это всего лишь иллюзия. Утверждение Парменида сулит устойчивость и надежность. Ноль всегда останется нулем, единица – единицей, и ноль всегда будет отличаться от единицы.

Недаром Платон, на которого оказала влияние Элейская школа, требует от всех учащихся своей Академии, от всех, кого он обещал сделать будущими властителями мира, царями философов, от всех своих последователей безупречного знания математики.

Только тот, кто знает решающие, сокровенные числа, тот, кто умеет ими манипулировать, обладает правом на последнее, решающее слово. То слово, которое идет «в счет» в глазах всех остальных. Это слово могущественного властителя. И это холодное, безличное слово.

Однако Парменид ошибается.

Именно об этой ошибке и рассказано в этой книге. Из великого множества историй о якобы безмерной власти чисел отобраны лишь немногие. Предпочтение было отдано не исторически проверенным во всех подробностях историям – se non è vero, è ben trovato[1]1
  «Если это не правда, то хорошо придумано» (ит.). Фраза Джордано Бруно из сочинения «О героическом энтузиазме» (De gli eroici furori). – Примеч. перев.


[Закрыть], – а только тем, в которых проводится идея о том, что числа не просто оказались у людей под рукой. Числа были изобретены для того, чтобы упорядочить мир и сделать его обозримым. Числа – наши слуги, а отнюдь не господа. Числа – не фундамент бытия, ибо его никак нельзя назвать «холодным». Числа, однако, являются удобными обозначениями, облегчающими понимание мира.

Рассказы о числах, о математике как выдающемся достижении человеческой культуры, представление их широкой публике являются целью существующего уже десять лет проекта math.space, штаб-квартира которого находится в Музейном квартале Вены, а деятельность финансируется министерствами образования, науки, технологии и финансов Австрии. Сотни мероприятий этого проекта были организованы моей супругой Бьянкой. В ходе этих мероприятий всем желающим были наглядно продемонстрированы многообразные черты числового математического мира. Многое, если не все, о чем вы прочтете в этой книге, было намечено в рамках math.space, иногда весьма эскизно. В связи с этим я хочу от всего сердца поблагодарить мою жену за то, что она все эти годы неустанно помогала мне, неизменно подставляя свое плечо в самые трудные моменты. Наша дочь Лаура своими неожиданными вопросами научила меня тому, что даже самое глубокое знание имеет неопровержимое и одновременно простое объяснение, а наш сын Александр внимательно прочитал рукопись и обратил мое внимание на некоторые досадные ошибки. Он очень помог мне советами и конструктивной критикой.

Я приношу мою искреннюю сердечную благодарность также издательскому дому Hanser, а в особенности господину Кристиану Коту за его непоколебимую веру в мои писательские способности, за чудесное сотрудничество, за великолепное оформление книги, которое, как я надеюсь, уменьшит страх читателей перед холодными числами, ибо я уверен, что истории, в которые им предстоит погрузиться, заставят их забыть о морозе и холоде.

Только ноль делает числа большими

Тайна четвертого года

Тутанхамона лишил жизни укус комара. Комар заразил его – великого фараона, властителя Египта – малярией, болезнью, сопровождающейся высокой лихорадкой, от которой может умереть человек с ослабленным здоровьем. Тутанхамон же был очень слаб. С самого рождения у него были больные кости, и передвигаться он мог только на костылях. С детства же у Тутанхамона был сильно искривлен позвоночник. Возбудитель малярии шутя справился с хрупким молодым человеком, ставшим фараоном в девятилетнем возрасте и царствовавшим на протяжении всего лишь десяти лет.

Когда в 1922 г. английский археолог Говард Картер и его коллеги обнаружили гробницу несчастного фараона, они были изрядно воодушевлены и обрадованы: в отличие от гробниц многих других фараонов, эта оказалась практически нетронутой. Сокровища других гробниц были тысячи лет назад присвоены грабителями могил. Грабители хотели обчистить и гробницу Тутанхамона – украсть оттуда все золото и драгоценные украшения, – но что-то помешало их намерениям. Они побросали награбленное и в спешке бежали от гробницы. Таким образом, Картер открыл практически нетронутым внутреннее убранство захоронения. В свете факелов и фонарей во тьме склепа сверкнуло золото, ожидавшее своего открытия 3244 года – столько лет к тому времени прошло после смерти фараона.

Что побуждало египтян воздавать такие немыслимые почести своему повелителю, который на деле был лишь чахлым смертным? Это почитание продолжилось и после его преждевременной кончины – последнее пристанище фараона было обставлено с невиданной роскошью и убрано сокровищами и богатыми загробными дарами. Почему? Большинство египтян никогда в жизни не видели своего фараона. Эти египтяне до изнеможения работали в полях и мастерских на берегах Нила, великой реки, которая течет к Средиземному морю, рассекая надвое великую пустыню, давая возможность людям жить среди негостеприимных и бесплодных песков. Нил дарит людям необходимую им воду и, сверх того, регулярно разливается, затапливая и орошая долину. Во время этих разливов Нил приносит из своих верховьев на далеком юге плодородный ил, который осаждается на землю и остается на ней, когда воды реки отступают. Этот ил настолько плодороден, что позволяет снимать с полей богатейший урожай. Для крестьян и ремесленников фараон был далеким, неведомым, но могущественным существом. Люди слышали чудесные рассказы об этом таинственном царе, который – если верить слухам – и сам был сыном богов, пришедшим с неба, чтобы властвовать над Египтом. Простому народу внушали мысль о всемогуществе властителя. Именно он приказывал Нилу разливаться и отступать.

Собственно, даже немногие придворные, удостоенные чести видеть лицо фараона, встречались с ним лишь в определенные священные дни. Облаченный в позолоченные, украшенные драгоценностями одежды, скрывавшие болезненное изуродованное тело, держа в руке, как скипетр, анх – увенчанный кольцом крест, он торжественно возглашал с трона: да наступят снова дни, когда Нил выйдет из берегов, оплодотворит иссохшую землю и дарует нам пищу и жизнь. Вероятно, существовала лишь немногочисленная горстка избранных, прекрасно осведомленных об истинном состоянии хрупкого здоровья фараона. Но это знание ни при каких обстоятельствах не должно было выходить за пределы узкого круга ближайших советников – только им было дозволено знать, что фараон отнюдь не могучий отпрыск богов, а обычный, тяжело больной смертный. Если бы подданные узнали правду, то вера египтян в своего владыку немедленно пошатнулась бы, а это угрожало распадом всему великому царству. Советники фараона были убеждены в том, что должен существовать некто, управляющий и руководящий всеми работами подданных, человек, который должен повелевать, когда сеять, а когда жать. Этим человеком был фараон, сын своего отца и наследник всех своих предков, которые тоже были фараонами, независимо от того, насколько жалкое зрелище они могли собою представлять.

Тутанхамон сам не мог знать, когда именно в этом году благодетельный Нил выйдет из берегов, чтобы принести в долину плодородный ил. Эти сведения сообщали фараону его советники. Собственно, они-то и были истинными властителями страны, скрывавшимися за облаченным в роскошные одежды фараоном. Так советники поддерживали тысячелетнюю традицию – и делали это не только из почтения к царствующему дому, но и по собственному желанию: такая позиция позволяла им избегать множества обременительных обязанностей, которые должен был исполнять фараон: принимать царей и послов чужеземных стран, при необходимости выступать во главе армии в далекий поход и вести войну, а во время великих празднеств и торжеств присутствовать на церемониях и по многу часов стоять в тяжелой и неудобной одежде, сохраняя на лице мину показного величия. Советники же вели приятную, не обремененную лишними хлопотами жизнь в тени славного и великого фараона.

Они могли позволить себе такую спокойную жизнь, ибо знали, как рассчитывать сроки плодоносных разливов Нила. Советники ночами регулярно наблюдали звезды, освещавшие египетскую пустыню, и установили, что каждый раз, когда одна особенно яркая звезда появляется на небе непосредственно перед восходом солнца – звезда Сириус из созвездия Большого Пса, – начинается разлив Нила. Этот период называли собачьими днями, и в латинском переводе это наименование сохранилось до наших дней[2]2
  Мы называем свободные дни отдыха каникулами (от лат. caniculus – «песик, собачка»). – Примеч. перев.


[Закрыть]. Но самое главное, что египетские жрецы и советники фараона умели делать то, чего не умел, кроме них, никто в Египте.

Они умели считать.

И не до восьми или двенадцати – это умели делать и крестьяне, – а до ста и дальше – до двухсот и трехсот. На такое в те времена были способны очень немногие. Дело в том, что в Древнем Египте почти никто не умел писать, а такие большие числа, как 365 или 1460, можно усвоить только в том случае, если можешь их записать.

Фактически именно эти два важнейших числа помогали ближайшим советникам фараона сохранять свою власть и могущество.

Значение числа 365 лежит на поверхности: египетские жрецы и ученые писцы знали, что от одного восхождения Сириуса до следующего проходит почти точно 365 дней. Именно это и считали продолжительностью египетского года. Советники фараона вели тщательные наблюдения звездного неба в течение многих десятилетий и сумели раскрыть еще более значимую тайну: восхождение Сириуса постепенно, год от года запаздывало, и каждые четыре года запаздывало ровно на один день. Сообщая народу о продолжительности года, они тем не менее удержали при себе знание о запаздывании восходов Сириуса. Для того чтобы сделать год более обозримым для неграмотного народа, жрецы разделили год на двенадцать месяцев, а каждый месяц – на три декады, то есть три промежутка по десять дней. Следовательно, продолжительность каждого месяца составляла тридцать дней. То есть двенадцать месяцев по тридцать дней составили период длительностью 360 дней. По окончании двенадцати месяцев жрецы добавляли к ним пять дополнительных праздничных дней. Так им удалось сделать продолжительность года равной 365 дням{1}1
  Такое же предложение относительно членения года сделали депутаты Национального конвента Франции после революции 1789 г.: с 22 ноября 1792 г. было решено ввести во Франции новый календарь. Год разделили на двенадцать месяцев, каждый из которых состоял из трех декад по десять дней. В конце года, приуроченном к началу осени (после сбора урожая), к нему добавляли пять, а один раз в четыре года – шесть дней, носивших прекрасные поэтические названия: Jour de la Vertu (День добродетели), Jour de Génie (День таланта), Jour de Travail (День труда), Jour de l’Opinion (День мнений), Jour de Récompenses (День наград), и шестым дополнительным днем каждые четыре года становился Jour de la Révolution (День революции). Названия месяцев отличались неменьшей красотой и поэтичностью и, кроме того, отражали особенности времен года, к которым они относились. Осенние месяцы – Vendémiaire (вандемьер) напоминал о сборе винограда; Brumaire (брюмер) от французского слова brume – туман; Frimaire (фример) от французского слова frimas – изморозь; зимние месяцы – Nivôse (нивоз), то есть снежный; Pluviôse (плювиоз), то есть дождливый; Ventôse (вантоз), то есть ветреный; весенние месяцы – Germinal (жерминаль), название происходит от латинского слова germen, росток; Floréal (флореаль), название происходит от латинского слова flos, цветок; Prairial (прериаль), название происходит от латинского слова pratum, луг; летние месяцы – Messidor (мессидор), название происходит от латинского слова messis, жатва; Thermidor (термидор), происходит от греческого слова θέρμη, жар; и Fructidor (фрюктидор), название происходит от латинского слова fructus, плод. Несмотря на такие красивые названия, календарь в народе не прижился. Помимо всего прочего, выходным считался каждый десятый день, а не каждый седьмой, как в еврейском или христианском календаре. В 1806 г. Франция по декрету Наполеона официально вернулась к христианскому календарю.


[Закрыть][3]3
  Здесь и далее цифры в квадратных скобках отсылают к примечаниям автора в конце книги.


[Закрыть].

Тем не менее жрецы сохранили в тайне истинное знание о том, когда именно каждый раз восходит Сириус. Каждый четвертый год дата восхода изменялась, и каждый раз народу заново объявляли, когда Сириус возвестит о начале разлива Нила. Это каждый раз было загадкой для крестьян, но не для жрецов и писцов. Они знали: по прошествии четырех лет восход Сириуса произойдет на день позже. Когда минует десять раз по четыре года, то есть через сорок лет, восход отодвинется на декаду. Когда пройдет 30 раз по четыре года, то есть через сто двадцать лет, – на месяц. А когда минует четыре раза по 365 лет, то есть через 1460 лет, большой цикл Сириуса подойдет к концу, дата восхода повторится и цикл начнется сначала. Этот цикл был назван жрецами циклом богини Сопдет. Каждые четыре года этого цикла один день торжественно отмечался как новый день восхода Сириуса. Однако никто, кроме жрецов и ученых писцов, даже не догадывался о цикле с такой невероятной длительностью, как 1460 лет.

Писцы и жрецы очень хотели, чтобы так продолжалось всегда. Умеющие считать и знавшие числа вельможи, жрецы и писцы держали народ в полной уверенности, что фараон каждый раз заново получает от богов сведения о дате начала разлива Нила. Когда же в 237 г. до н. э., спустя три поколения после того, как Александр Македонский со своей греческой армией завоевал Египет, был основан город, названный в его честь Александрией, а в нем была учреждена знаменитая библиотека, и в Египте стало много людей, умеющих читать и писать, и фараон Птолемей III, сам будучи образованным греком, решил своим указом добавить еще один день к каждому четвертому году, египетское жречество энергично запротестовало. После смерти Птолемея его указ был сразу же отменен. При соблюдении нового календаря получилось бы, что Нил каждый год разливался бы в одни и те же дни года и подданным стали бы не нужны предсказания фараона, а значит, жрецы и писцы утратили бы все свое влияние.

Большие числа обеспечивают большое могущество.

Могущественные числа дракона Тиамат

В Египте сведущие в числах жрецы наблюдали Сириус, а астрономы Междуречья, пустынной области, по которой протекают две животворящие реки Евфрат и Тигр, следили за движениями двух самых ярких тел небосвода – Солнца и Луны. Оба светила восходят на востоке, на юге достигают наивысшего положения на небосклоне, а затем исчезают за горизонтом в западном направлении. Сегодня мы знаем, что это кажущееся движение видится нам благодаря тому, что Земля вращается вокруг своей оси в направлении с запада на восток. Вследствие этого весь небесный свод за двадцать четыре часа совершает кажущееся движение по замкнутому кругу в направлении с востока на запад.

Помимо этого, Солнце и Луна находятся на небосклоне не в одних и тех же фиксированных местах, а движутся по небесной сфере вдоль расположенных очень близко друг к другу окружностей, которые проходят через двенадцать созвездий: Овен, Телец, Близнецы, Рак, Лев, Дева, Весы, Скорпион, Стрелец, Козерог, Водолей и Рыбы. Окружность на небесной сфере, вдоль которой движется Солнце в течение года, называется эклиптикой. Слово это происходит от греческого слова ἐκλείπειν – «исчезать». Мы скоро увидим, почему так назвали эту окружность. Для того чтобы пройти по эклиптике, Солнцу требуется ровно 365 дней и еще четверть суток. Когда древневавилонский астроном определял положение Солнца на небосводе, а затем ровно через двенадцать часов направлял инструмент на то же место небосклона, он видел то созвездие, которое в тот момент противостояло Солнцу на эклиптике.

Гелиоцентрическая картина мира учит, что не Солнце движется по эклиптике, а Земля в течение года огибает по ней Солнце. Земля по ходу этого движения занимает разные положения на своей орбите, и благодаря этому мы видим, как Солнце, перемещаясь по эклиптике, попадает в разные знаки зодиака.

Луна, напротив, действительно обращается вокруг Земли, и путь Луны по небосклону представляет собой замкнутую окружность, которую ночное светило проходит за очень короткий срок – 27 суток и приблизительно восемь часов, то есть за так называемый сидерический (звездный) месяц. Так как за это время Солнце тоже перемещается на какое-то расстояние по эклиптике, то по истечении сидерического месяца Луна освещается Солнцем под несколько иным углом, нежели в начале месяца. Таким образом, для того чтобы занять относительно Солнца прежнее положение, Луне требуется немного больше времени. Это время соответствует так называемому синодическому месяцу, который длится почти точно 29 суток и двенадцать часов. По истечении синодического месяца Луна вступает в ту же фазу, в которой она была в начале синодического месяца. Месяцы, которыми астрономы пользовались для членения времени, определялись согласно этим лунным фазам: продолжительность месяца поочередно составляла 29 и 30 дней. Жители Междуречья чествовали своих богов в полнолуние, когда совершались паломничества в храмы. Люди предпочитали не пускаться в трудный путь под палящими лучами солнца, а совершали паломничества по ночам. Для того чтобы не сбиться с дороги, нужен был свет луны, и поэтому паломничества совершались в полнолуние. Круг еврейских праздников тоже ориентирован на полнолуния: Песах, когда отмечают освобождение из египетского рабства, празднуют в полнолуние первого весеннего месяца ниссана. Христианская Пасха, увязанная с иудейским Песахом, празднуется в первое воскресенье после него[4]4
  В различных христианских церквях используются различные методики расчета даты Пасхи. – Примеч. ред.


[Закрыть].

Окружность, по которой Луна пересекает небесный свод, тоже пролегает через двенадцать созвездий зодиака. Однако траектория движения Луны не вполне, а лишь приблизительно соответствует эклиптике. Если бы орбита Луны в точности совпадала с эклиптикой, то в каждое новолуние происходило бы солнечное затмение, потому что Луна, невидимая с Земли сторона которой освещается в это время Солнцем, оказалась бы непосредственно перед Солнцем и заслонила бы собой дневное светило. При каждом же полнолунии мы наблюдали бы лунное затмение, потому что в эти моменты Земля находилась бы как раз между Солнцем и Луной и тень нашей планеты закрыла бы ночное светило. Однако орбита Луны наклонена к плоскости эклиптики на угол около пяти градусов, и поэтому при новолунии редко случаются солнечные затмения, а при полнолунии – лунные.

Все это было хорошо известно вавилонским ученым, но неведомо простому народу.

Астрономы с большой точностью вычисляли траекторию движения Луны с вершин своих зиккуратов, ступенчатых храмовых башен, возвышавшихся не только над знойным городским маревом, но и над скоплениями простонародья. Одна половина пути Луны пролегает над эклиптикой, а вторая половина – под ней. В двух диаметрально противоположных точках небесной сферы орбита Луны пересекает эклиптику. Эти две точки на ней называют лунными узлами. Вавилонские ученые называли одну точку «головой дракона», а вторую – «хвостом дракона».

Дело в том, объясняли ученые вавилоняне изумленным слушателям, что на небе проживает таинственный дракон Тиамат. Там, куда смотрит его голова, начинается путь Луны над эклиптикой. Там же, где на противоположной стороне небесной сферы находится хвост дракона, путь Луны снова пересекает эклиптику, и Луна ныряет под нее. Иногда, в моменты, известные только богам, дракон заглатывает солнце или же сдавливает его своим хвостом.

Рис. 1. Для находящегося на Земле наблюдателя Солнце в течение года описывает по небесной сфере пролегающую через созвездия зодиака окружность, называемую эклиптикой. Видимая орбита Луны наклонена к плоскости эклиптики приблизительно на пять градусов. Луна проходит свою орбиту за один (сидерический) месяц. Воображаемые точки пересечения орбиты Луны с эклиптикой называют лунными узлами, находящимися в точках небосклона, которые древневавилонские астрономы называли головой и хвостом дракона. Затмения происходят только тогда, когда Солнце и Луна находятся на прямой, соединяющей голову и хвост дракона. Если Солнце и Луна при этом оказываются по разные стороны от Земли, то наблюдают лунное затмение, если же по одну сторону, то солнечное

Напуганные слушатели спрашивали ученых:

– Что произойдет, если дракон захватит пастью солнце или сдавит его своим хвостом?

– Солнце исчезнет, и нам будет угрожать тьма, – отвечали ученые жрецы.

– Когда это произойдет?

– Мы должны вопросить богов, может быть, они соблаговолят дать нам ответ. Если же вы принесете приятную богам жертву, то они принудят дракона отпустить солнце, чтобы оно продолжало светить нам.

Однако, вместо того чтобы вопрошать богов, ученые с невероятной тщательностью и точностью наблюдали за движениями Луны и Солнца, со всей доступной им точностью измеряя время, необходимое Луне, чтобы дойти от головы дракона к его хвосту, а затем обратно – от хвоста к голове. Полное время прохождения Луны туда и обратно немного короче сидерического месяца. Ученые могли предъявить длинный список этих временных промежутков. Эти списки подсказывали жрецам, что можно сообщить народу о божественной воле. Затмение могло произойти только тогда, когда Луна находится в одном из лунных узлов. При этом Луна должна находиться либо в фазе полнолуния, либо новолуния. Кроме того, промежуток между двумя полнолуниями был хорошо известен вавилонским астрономам как синодический месяц. Обладая такими знаниями, вавилонские астрономы были в состоянии предсказывать солнечные затмения. Такое затмение может произойти только тогда, когда новая Луна находится либо в голове, либо в хвосте дракона. Иногда ждать затмения приходилось очень долго. От одного полного солнечного затмения до другого в какой-то одной точке поверхности Земли проходит в среднем около ста сорока лет. Такая редкость придает солнечным затмениям невероятное очарование, а кроме того, на древних людей, не понимавших причин затмений, они наводили суеверный ужас.

4 июля 587 г. до н. э. на небе висела полная Луна, и вместе со многими другими людьми греческий философ Фалес Милетский ночью наблюдал лунное затмение. Каким-то образом Фалесу удалось выведать у вавилонских астрономов числовую тайну дракона Тиамат. Через двадцать три с половиной месяца, поведали вавилоняне Фалесу, наступит новолуние, после того как Луна двадцать пять раз пройдет через голову дракона и двадцать пять раз через хвост дракона и вместе с Солнцем окажется напротив узла, что приведет к полному солнечному затмению. Тогда Фалесу оставалось выполнить лишь дополнительные расчеты: 23 с половиной синодических месяца – это 693 дня, на тридцать семь дней меньше чем два года. Следовательно, солнечное затмение должно было произойти за 37 дней до 4 июля 585 г. до н. э., или за тридцать три дня до 30 июня, или 28 мая того же года.

Теперь представьте себе картину: вавилонский жрец выходит к народу и говорит:

– Завтра дракон Тиамат раскроет свою ужасную пасть и поглотит солнце, окружив его чернотой. Померкнет небо, и наступит сумрак. Все вокруг потемнеет. Но мы усердно молились богам, и они уговорят дракона освободить и вернуть солнце. Возносите же хвалы богам и приносите им щедрые жертвы!

На следующий день жители Вавилона были встревожены настолько, что побросали свои привычные занятия и, забыв покой, жадно смотрели в небо. Действительно, в какой-то момент солнце померкло, как и предсказывал жрец, а через несколько минут светило вырвалось из мрачной тени. Своим точным предсказанием жрец обеспечил безбедную жизнь себе, своим детям, внукам и правнукам. Отныне ни один вавилонянин не посмеет оспаривать авторитет жреца.

В действительности же за этим предсказанием не стояло ничего иного, кроме умения оперировать большими числами.

Согласно легенде, Фалес заблаговременно предсказал солнечное затмение 28 мая 585 г. до н. э. Однако в отличие от жрецов Вавилона Фалес не стал апеллировать к суеверию толпы, а объявил о том, что своим знанием он обязан умению работать с большими числами. За магической историей о драконе Тиамат стояли холодные, бесстрастные числа. Мало того, большие числа, недоступные большей части безграмотного населения.