Текст книги "Опционы. Полный курс для профессионалов"

11. Введение: волатильность и параметры-«греки» (тета, вега, гамма)

Большинство людей, использующих опционы, ограничивают свои знания первыми десятью главами. Этого достаточно, чтобы начать торговлю. Дальнейшее изучение данной книги выходит за рамки требований «средних рыночных стандартов» профессиональной подготовки в области опционов.

В качестве введения к анализу параметров риска опционов рассмотрим аналогию с перстнем. Его цена зависит от цены драгоценного металла и цены камня. То же самое относится и к опционам, где цена зависит в основном от изменения цены базового актива и его волатильности. Конечно, вы будете анализировать факторы, влияющие на стоимость при перепродаже: например, выплата процентов (если вы приобрели перстень за счет заемных средств), износ (потеря стоимости со временем) и т. д. При выборе опционной позиции вы также анализируете многие параметры. Их обзору и посвящена глава. Каждый из параметров, приведенных ниже, будет рассмотрен отдельно в последующих главах.

Если рынок начинает колебаться, мы говорим, что он волатилен. Статистики могут вычислить волатильность, рассчитав годовое стандартное отклонение логарифма дневных относительных изменений цены (закрытия) базового актива. (Определение выглядит достаточно сложным, но в дальнейшем не используется, и нет необходимости его запоминать.) При расчете этого параметра не делается различий между колебаниями вверх и вниз, во внимание принимается только абсолютное значение колебаний цен! Этот незначительный, казалось бы, факт имеет критическое значение. Дело в том, что все участники рынка действуют на основании собственных прогнозов направления его движения.

Большинство участников рынка опционов наблюдают за движением цены базового актива и, основываясь на своих предположениях, используют очень простую формулу, которую мы обсудим в следующей главе. Пока же думайте о волатильности рынка как о «колебаниях рынка от закрытия к закрытию».

Существует три типа волатильности:

– историческая (historical volatility) – фактическая волатильность цены продукта в течение определенного исторического периода времени;

– ожидаемая (implied volatility) – рыночная оценка волатильности на будущее;

– ожидаемая историческая (historical implied volatility) – «летопись» прогнозов ожидаемой волатильности.

Когда мы говорим о волатильности, используемой в ценообразовании опционов, мы имеем в виду ожидаемую волатильность.

Чем выше волатильность (ожидаемая!), тем выше шанс, что опцион будет «при деньгах», и тем дороже будет опцион.

Премия за опцион состоит из двух частей: временной стоимости и внутренней стоимости.

• Если опцион будет немедленно исполнен, внутренняя стоимость будет представлять немедленно гарантированную стоимость опционной позиции. Т. е. только опцион «при деньгах» обладает внутренней стоимостью. Например, если вы купили Apple 100 колл, а акция в настоящее время продается по 110 долл., внутренняя стоимость опциона составляет 10 долл., потому что, если вы исполните опцион, вам немедленно гарантирован заработок в размере 10 долл. (110–100).

• Временная стоимость – это разница между стоимостью опциона и ее внутренней составляющей. В действительности это и есть то, ради чего покупают опцион – стоимость возможности заработать деньги с меньшим риском, чем на базовом активе. При прочих равных условиях чем больше времени до истечения опциона, тем выше вероятность, что в конце периода опцион окажется «при деньгах», и тем дороже будет стоить опцион. Таким образом, временная стоимость зависит от времени, оставшегося до конца срока опциона.

Тета измеряет чувствительность временной составляющей опционной премии ко времени, оставшемуся до истечения опциона. Она представляет собой ту часть временной стоимости, которая амортизируется ежедневно[36]36
  Трейдеры предпочитают называть тету временным распадом (time decay). Теоретически это неправомерная подмена, т. к. time decay = theta±daily swap.


[Закрыть]. Например, если тета равна 2, а цена otm опциона 10, то за 1 день опцион потеряет два тика[37]37
  «Тик» на разных рынках обозначает разные явления. На форексном рынке тик равен десяти базисным пунктам. На фьючерсных рынках тик обозначает минимальный шаг контракта. Например, в случае медного контракта на COMEX тик равен 5 базисным пунктам.


[Закрыть] и завтра будет стоить 8.

Вега измеряет чувствительность цены опциона к изменениям волатильности. Параметры вега и дельта являются братом и сестрой. Один измеряет чувствительность премии к цене spot, а другой – к волатильности. Чем выше вега опциона, тем больше изменится его цена при изменении ожидаемой волатильности.

Представьте, что вы едете со скоростью 30 миль в час (дельта). Затем вы ускоряетесь до 35 миль в час. Если, выражаясь опционной терминологией, ваша скорость (изменение расстояния со временем) в любой момент времени – это дельта, тогда ускорение на 5 миль в час (35–30 миль в час) – это гамма. Гамма – это ускорение дельты (ускорение изменения премии) по мере изменения цены базового актива.

Дельта показывает изменение цены опциона по отношению к изменению цены базового актива. Другими словами, она измеряет скорость изменения цены опциона при изменении цены базового актива на один пункт.

Но один и тот же опцион имеет разные значения дельты при разных уровнях цены базового актива. Гамма измеряет скорость, с которой изменяется дельта по мере изменения цены базового актива. Другими словами, гамма показывает, насколько изменится дельта при изменении цены spot на один пункт.

При отсутствии гаммы изменение цены базового актива на 2 пункта приведет к изменению премии в размере в два раза больше, чем при изменении цены на 1 пункт. Но если имеет место гамма-эффект, тогда при изменении цены spot на первый пункт стоимость опциона может вырасти на 10 %, а при изменении цены spot на второй пункт стоимость опциона вырастет на 25 %, т. е. рост ускоряется. Гамма этого опциона равна (25–10): 10 = 1,5.

* * *

Эти определения помогут вам лучше представить весь спектр тонких аспектов торговли опционами. Теперь можно сказать, что вы знаете почти все определения, относящиеся к теории опционов и рыночной практике!

Вопросы

1) Цена spot USD/CHF равна 1,2500. Какова временная и внутренняя стоимость опционов:

а) 1,2500 USD колл, который стоит 100 CHF pips;

б) 1,2600 USD колл, который стоит 150 CHF pips?

2) Дельта-хеджирование делает опционную позицию «дельта-нейтральной», т. е. стоимость «дельта-нейтральной» позиции (опцион + хедж) изменяется одинаково при движении цены в любом направлении.

Следовательно, вам должно быть все равно, купить ли 1,2600 Колл вместе с дельта-хеджем или дельта-хеджированный опцион 1,2600 пут, поскольку их стоимость меняется одинаково.

Поскольку временная стоимость – это плата за возможность заработать деньги, временная стоимость захеджированных опционов колл и пут (с одинаковой ценой исполнения и одинаковым сроком) должна быть одинаковой[38]38
  Эта логика не соответствует теории опционов, но она «доходчиво» объясняет, как разнонаправленные стратегии могут иметь одинаковый финансовый результат.


[Закрыть].

а) Какова временная стоимость опциона 1,2600 USD колл в упражнении 1) б)?

б) Если рынок оценивает его в 140 pips, что вы сделаете?

3) Если вы хотите иметь позицию, которая быстро растет в цене при изменении цены spot, какой из «греческих букв» надо уделять больше внимания?

4) Если вы хотите иметь позицию, которая быстро растет в цене при изменении волатильности, какой из «греческих букв» надо уделять больше внимания?

5) Если вы хотите продать опцион, который быстро теряет стоимость, какой из «греческих букв» надо уделять больше внимания?

6) На рынке только что появилась неожиданная новость, которая может резко изменить динамику цен. К увеличению какого параметра это должно привести?

7) При сравнении двух опционов с изначально одинаковой внутренней стоимостью и разными гаммами появится ли разница между их внутренними стоимостями, если цена базового актива резко изменится?

8) Какая составляющая премии опциона (временная стоимость или внутренняя стоимость) изменяется, когда изменяется ожидаемая волатильность (без изменения цены базового актива)?

9) Сегодня временная стоимость опциона выросла. Что произойдет с его тетой?

10) Предположим, вы согласны с тем, что одинаковые шансы заработать деньги должны стоить одинаково. В соответствии с упрощенным определением дельты – она измеряет шансы опциона оказаться «при деньгах» в конце своего срока:

а) что вы можете сказать о временной стоимости опционов 30 дельта колл и 30 дельта пут (одинаковый базовый актив и срок истечения)?

б) если у опциона 1,2700 колл дельта 70, а у опциона 1,2300 пут дельта 30, что вы можете сказать об их тетах (используйте ту же логику, что и в вопросе 2)?

11) Если ожидаемая волатильность выросла, а изначально вега опциона А была больше, чем вега опциона В (опционы имеют одинаковый срок):

а) премия какого опциона выросла быстрее;

б) как ведут себя теты этих опционов?

Ответы

1) а) Временная стоимость 1,2500 колл составляет 100, т. к. это atm опцион и не имеет внутренней стоимости.

б) Внутренняя стоимость 1,2600 пут составляет 100 pips, т. к. он на 100 pips «в деньгах». Таким образом, временная стоимость составляет 50 (премия – внутренняя стоимость = 150–100).

2) а) 50 pips; временная стоимость 1,2600 пут составляет 50 pips, временная стоимость опционов колл и пут с одинаковой ценой исполнения и сроком должна быть одинаковая;

б) вы купите захеджированный 1,2600 пут и продадите захеджированный 1,2500 пут.

3) Вы купите позицию с высокой гаммой.

4) Вы купите позицию с высокой вегой.

5) За временную стоимость опциона отвечает тета.

6) Это должно привести к росту ожидаемой волатильности, т. к. рынок ожидает увеличения волатильности.

7) Чтобы ответить на этот вопрос, надо помнить, что дельта показывает изменение премии опциона по отношению к изменению цены базового актива на один пункт. Гамма измеряет скорость, с которой изменяется дельта, т. е. ускорение изменения размера премии. Таким образом, изменение премии ускоряется у опциона с более высокой гаммой быстрее, чем у опциона с более низкой гаммой. Поэтому и внутренняя стоимость опциона с более высокой гаммой будет меняться быстрее.

8) Временная стоимость. Например, когда спот находится на уровне 1,3000, внутренняя стоимость опциона 1,2500 USD колл составляет 500 pips независимо от того, какой уровень волатильности ожидается рынком. Тем не менее рост ожидаемой волатильности означает, что рынок ожидает, что (хеджированная) позиция принесет больше прибыли. Более высокая вероятность заработать стоит большей опционной премии. Поскольку внутренняя стоимость не меняется (при неизменности уровня spot), премия растет за счет роста временной стоимости опциона.

9) Тета вырастет. Если временная стоимость опциона выросла (как в предыдущем примере), в течение того же периода времени надо будет амортизировать более высокую премию. Таким образом, коэффициент амортизации (тета) увеличится.

10) а) Одинаковая. Поскольку шансы заработать деньги в конце срока, измеренные параметром дельта, одинаковы для опционов 30 дельта колл и 30 дельта пут, их временная стоимость должна быть одинакова.

б) В упражнении 2 мы утверждали, что шансы заработать на дельта-хеджированном опционе колл и дельта-хеджированном опционе пут (с одинаковой ценой исполнения и сроком) равны. Это означает, что дельта-хеджированный опцион колл с дельтой 70 должен принести такую же прибыль, как дельта-хеджированный опцион пут с дельтой 30. В упражнении 10 а) мы видели, что опцион колл с дельтой 30 и опцион пут с дельтой 30 должны стоить одинаково. Таким образом, премия (временная стоимость) опциона 1,2700 колл и опциона 1,2300 пут должна быть одинаковой. Поскольку и опцион колл и опцион пут истекают в один день, время на амортизацию премии одинаково. Таким образом, коэффициенты амортизации (теты) одинаковые.

11) а) Премия опциона А чувствительнее к ожидаемой волатильности, что подтверждается более высокой вегой.

б) Тета опциона А увеличится больше. Поскольку оба опциона истекают в один день, время на амортизацию премии одинаково. Но т. к. премия опциона А теперь больше из-за роста ожидаемой волатильности, коэффициент амортизации (тета) должен быть больше.

Еще Аристотель упоминал опционы в «Политике» как «универсально применимый» финансовый инструмент. Опционы активно использовались и во время тюльпановой мании в Голландии в 1630-х гг. Уже тогда использовались и коллы, и путы. В США опционами начали торговать на Нью-Йоркской фондовой бирже в 1790-х гг.

Луи Башелье первым попытался найти математический подход к оценке опционов в 1900 г. Решение было найдено в 1970 г. Майроном Шолцем и Фишером Блэком, с помощью Роберта Мертона. Разработанный ими метод позволял рассчитать «справедливую» премию за европейский опцион колл на акции. Опционы к тому моменту использовались уже столетиями, но солидные издания не проявляли интереса к публикации статьи Блэка и Шолца на протяжении почти трех лет! Их публикация совпала с открытием в 1973 г. Чикагской фьючерсной биржи, где идея нашла своих поклонников, и к 1978 г. ежедневный оборот составлял уже 100 000 контрактов[39]39
  Питер Л. Бернстайн. Против богов: Укрощение риска. М.: ЗАО «Олимп-Бизнес», 2000. С. 327–335.


[Закрыть].

В основе метода Блэка и Шолца лежит принцип паритета опционов пут и колл, который мы обсуждали ранее. В соответствии с этим принципом, если цена акции идет вверх, то же самое происходит и с ценой опциона колл, хотя и не обязательно на ту же величину. Таким образом, чтобы нивелировать потери на опционе, необходимо иметь некое количество акций (дельта!), балансирующих опционную позицию. За счет постоянной коррекции количества акций (процесс перехеджирования), которые держит инвестор на протяжении срока жизни опциона, должна достигаться безрисковая позиция. Это означает, что прибыль от покупки опциона колл будет полностью покрыта затратами на хеджирование акциями.

Однако модель Блэка – Шолца основана на ряде допущений. Например, нет никаких предположений относительно направления рынка: предполагается, что рынок колеблется случайным образом, и вероятность роста равна вероятности падения. Также предполагается, что цены движутся без разрывов. Например, после 100 может быть 99 или 101, но никак не 80 или 104. Следовательно, если строить график плотности вероятностей колебания цен закрытия рынка в течение некоторого времени, то получится кривая в форме колокола с более широкой правой стороной, известная также как логнормальное распределение[40]40
  Зрительно логнормальное распределение похоже на нормальное распределение. Разница в том, что учитывается возможность рынка идти вверх бесконечно, а вниз – только до нулевого значения цены. На самом деле распределения подсчитываются по-разному.


[Закрыть].

Еще одно важное допущение состоит в том, что не только цена базового актива имеет нормальное распределение, но и рыночная волатильность зафиксирована.

В 1976 и 1979 гг. Кокс, Росс и Рубинштейн опубликовали собственную модель ценообразования опционов. Это была первая модель, которая могла применяться для американских опционов, предусматривающих возможность досрочного исполнения.

В 1982 г. Гарман и Колхаген дополнили модель Блэка – Шолца, чтобы она могла применяться для валютных опционов. Новая модель учитывала тот факт, что на цену опциона влияют две процентные ставки, а не одна.

В дальнейшем было внесено множество других дополнений. Сейчас на многих рынках действуют модели «новых поколений». Часть из них уточняет старые модели. Другие обходят нереальные предположения, заложенные в ранних вариантах, например, учитывают, что рыночная волатильность не распределена нормально.

В 1994 г. Дерман и Кани разработали модель, базирующуюся на биномиальном дереве, ранее использовавшуюся для долгосрочных американских опционов на акции, для оценки барьерных опционов в условиях кривой волатильностей (каждому периоду соответствует свой уровень волатильности). Постепенно биномиальные модели эволюционировали в триномиальные, дав возможность более точной оценки премий опционов.

* * *

Однако большинство допущений, на которых базируются модели, нарушаются рынками. Следовательно, вводимые в модель данные отличаются от идеализированных допущений, сделанных Блэком и Шолцем, чтобы облегчить вычисления на практике:

• Волатильность и процентные ставки изменяются с течением времени, причем зачастую достаточно хаотично, т. е. они не только не статичны, но и не распределены нормально.

• Существует множество случаев, когда движение цен не соответствует логнормальному распределению. Если происходит непредвиденное событие, прерывается рыночный тренд и появляются ценовые разрывы.

• Трансакционные издержки в виде bid/ask спреда и комиссионных (которые не учитываются в моделях) также являются важным фактором. Покупка и продажа опционов обходятся дороже, чем покупка и продажа на рынке spot. Цена опциона включает три спреда: прокотированный опционным дилером в терминах ожидаемой волатильности; прокотированный дилером на рынке spot и прокотированный дилером на форвардном рынке. В цене на рынке spot всего лишь один спред.

Из-за невыполнимости предположения о логнормальном распределении цен модель ценообразования опционов имеет тенденцию к недооценке валютных otm-опционов. В ранний период развития рынка опционов банки теряли деньги из-за того, что строго придерживались теоретических цен, полученных на основании моделей; в результате они продавали otm-опционы слишком дешево. Сейчас маркетмейкеры используют модели в качестве ориентиров, но дополняют теоретические расчеты собственными прогнозами ожидаемой волатильности.

12. Волатильность

Волатильность – ключевой момент в понимании опционов, элемент, без которого понять опционы нельзя. Напомним сравнение опциона с перстнем, цена которого зависит от двух компонентов: цены драгоценного металла и цены камня. То же самое относится и к опционам, цены которых зависят в основном от двух компонентов: цены базового актива и его волатильности.

Давайте еще раз рассмотрим понятия, которые мы обсуждали ранее.

Существует три типа волатильности:

историческая – фактическая волатильность цены продукта в течение определенного исторического периода времени;

ожидаемая – рыночная оценка волатильности на будущее;

ожидаемая историческая – «летопись прогнозов» ожидаемой волатильности.

На рис. 12.1 приведен график исторической волатильности фьючерсов на контракт американского индекса акций S&P 500. Как видно из графика, в последнее время 10-дневная историческая волатильность (ИВ) значительно выше 10-дневной. Но в апреле она была ниже.

Для опционов ожидаемая волатильность является эталоном измерения, по которому можно определить их относительную ценность. Возьмем пример из жизни: чтобы сравнить два мешка картофеля, их сопоставляют в первую очередь по весу. Так и опционы сравнивают по ожидаемой волатильности. Это важно, поскольку других альтернатив для сравнения нет: опционы с одной и той же премией могут оказаться с разными страйками и сроками истечения.

Опционные трейдеры покупают и продают опционы в волатильностях. Никого не удивит, если трейдер скажет: «Я покупаю нефть за 14», имея в виду 14 долл. за баррель нефти. Поэтому не стоит удивляться, если он покупает опцион колл с дельтой 30 за 14 % волатильности.

На примере дельты вы, наверное, заметили, что существует несколько разных определений этого термина. При этом они не противоречат друг другу, а фокусируются на одном из свойств. Ниже мы дадим несколько определений волатильности. Начнем же с простого примера: вы купили акцию за 10 долл., продали ее за 12 долл., откупили за 11 долл. Продали за 11,50. Несомненно, рынок волатильный.

Что, если это произошло в половину единицы времени, т. е. рынок движется внутри данного ценового интервала очень бурно? Наверное, он в два раза более волатильный? Не совсем так. Ответ зависит от вашей стратегии хеджирования опциона базовым активом. Эту тему мы обсудим позже.

По наиболее ликвидным активам участник рынка может не рассчитывать ожидаемую волатильность сам. Он может позвонить брокеру, на биржу, маркетмейкеру и узнать ее уровень так же, как узнают цену на кофе или алюминий. Поэтому привыкайте рассматривать ожидаемую волатильность как эталон измерения стоимости, деноминированный в процентах. Впредь, когда мы будем говорить о волатильности, используемой в качестве единицы цены опциона, мы будем подразумевать ожидаемую волатильность.

Приходится признать, что волатильность несколько более абстрактная вещь, чем картофель, но одно время обсуждалась возможность введения биржевых контрактов на волатильность. Поскольку волатильность отдельно взятого опциона постоянно меняется, то почему бы не рассматривать ее как нечто самостоятельно торгуемое? Получается, что ожидаемая волатильность является не только статистической величиной, но и независимым продуктом, как в примере с двумя составляющими цены перстня, и на рис. 12.2 показана история таких цен (ИОВ).

Мы советуем не вдумываться в неудобный для понимания продукт, а просто запомнить: вы можете купить и продать волатильность. Цена любого товара определяется соотношением спроса и предложения риска на рынке. Получить прибыль можно, покупая низкую волатильность и продавая высокую волатильность. Если кто-то может предсказывать изменения в поведении рисков, он может зарабатывать деньги, торгуя рисками.

Почему? Вернемся к примеру, приведенному в начале главы: трейдер изучит динамику и предположит, что на ней он заработает Х долларов. То есть так же, как в случае с картофелем, он выявит приблизительную стоимость этой волатильности и прикинет, сколько на ней можно заработать.

Другими словами, ожидаемая волатильность – это одновременно оценка риска в будущем, эталон для измерения сравнительной стоимости опционов и товар.