Текст книги "Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли"

Ожидаемый доход

Предположим, мы бросаем игральную кость и каждый раз получаем сумму в долларах, равную количеству выпавших очков. Если выпадает одно очко, то мы получаем 1 долл., если два, то 2 долл. и так далее до шести. Если бросать кость неограниченное число раз, то сколько в среднем принесет один бросок?

Проведем несложный расчет. Всего с равной вероятностью могут выпасть шесть чисел. Суммируем их: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, разделим полученную сумму на шесть граней кости и получим 21 / 6 = 3½. Таким образом, можно ожидать, что в среднем каждый раз мы будем получать по 3½ долл. Это средний или ожидаемый доход. Если с нас будут брать деньги за возможность бросать кость, то сколько бы мы согласились платить? Плата менее 3½ долл. приносит в долгосрочной перспективе выигрыш. Плата более 3½ долл. приносит в долгосрочной перспективе проигрыш. А плата в размере 3½ долл. дает в среднем нулевой результат. Обратите внимание, что ключевое словосочетание здесь – «в долгосрочной перспективе». Ожидаемый доход в 3½ долл. реален, только если нам разрешат бросать кость много-много раз. Если бросить ее только один раз, на возврат 3½ долл. не стоит рассчитывать. На самом деле получить 3½ долл., бросив только раз, вообще невозможно, поскольку у кости нет грани с 3½ очками. Однако если заплатить менее 3½ долл. даже за один бросок, то теория вероятности будет на нашей стороне, поскольку уплачено меньше ожидаемого дохода.

То же можно сказать и об игре в рулетку. На колесе рулетки 38 ячеек с номерами 1–36, 0 и 00[7]7
  Мы говорим о рулетке с 38 ячейками, распространенной в США. В некоторых странах бывают рулетки без ячейки 00. Это, конечно, меняет условия игры.


[Закрыть]. Предположим, что казино предлагает игроку выбрать один из номеров. Если выпадает номер игрока, то он получает 36 долл., если любой другой номер – ничего. Каким будет ожидаемый доход игрока в этом случае? Шарик может с равной вероятностью оказаться в любой из 38 ячеек, но только одна из них принесет игроку 36 долл. Если мы разделим единственную возможность выиграть 36 долл. на 38 ячеек, то получим 36 / 38 = 0,9474, или около 95 центов. Заплатив 95 центов за возможность выбрать ячейку, игрок может ожидать, что в долгосрочной перспективе он, по крайней мере, ничего не проиграет.

Конечно, ни одно казино не разрешит игроку сделать ставку за 95 центов, поскольку при этом оно ничего не заработает. В реальном мире, чтобы сделать ставку, игрок должен заплатить сумму, превышающую ожидаемый доход, обычно 1 долл. Пять центов разницы между ценой ставки и ожидаемым доходом представляют собой потенциальную прибыль или преимущество казино. В долгосрочной перспективе казино может рассчитывать на получение 5 центов с каждого доллара, заплаченного за возможность сделать ставку.

Учитывая это, желающий выиграть игрок должен поменяться местами с казино, чтобы самому продавать ставки. Тогда он будет получать 5 центов, продавая за 1 долл. ставки, которые стоят 95 центов. Есть и другой вариант – найти такое казино, где можно купить право на игру дешевле, чем ожидаемый доход в 95 центов, скажем, за 88 центов. Тогда у игрока будет преимущество перед казино в размере 7 центов.

Теоретическая стоимость

Теоретическая стоимость предложения о сделке – это цена, которую одна сторона должна заплатить другой для того, чтобы при многократном повторении такой сделки обе стороны имели нулевой результат (иными словами, это цена, при которой для обеих сторон выполняется условие безубыточности). До сих пор единственным фактором, который учитывался при определении стоимо сти сделки, был ожидаемый доход. Исходя из него, мы нашли, что справедливая цена одной ставки в рулетку составляет 95 центов. Однако иногда необходимо учитывать и другие факторы.

Предположим, что в нашем примере с рулеткой казино решило слегка изменить условия игры. Теперь игрок может сделать ставку за сумму, равную ожидаемому доходу, т. е. за 95 центов, которые, как и раньше, в случае проигрыша переходят к казино. Однако если игрок выигрывает, то казино выплачивает 36-долларовый выигрыш через два месяца. Будет ли теперь сделка безубыточной и для игрока, и для казино?

Откуда взялись те 95 центов, которые игрок поставил в рулетку? Надо полагать, что он достал их из своего кармана, однако до этого они были сняты со сберегательного счета. Поскольку выигрыш будет получен лишь через два месяца, игрок потеряет проценты с 95 центов за два месяца. При годовой процентной ставке 12 % (1 % в месяц) упущенная выгода составит 95 центов × 2 %, т. е. около 2 центов. Если игрок покупает ставку за 95 центов (эквивалент ожидаемого дохода), то он теряет 2 цента из-за затрат на поддержание позиции – затрат, связанных с тем, что доход от его инвестиций поступит через два месяца. Казино, в свою очередь, помещает 95 центов на депозит и через два месяца получает процентный доход в 2 цента.

В таких условиях теоретическая стоимость ставки равна ожидаемому доходу в размере 95 центов минус 2 цента затрат на поддержание позиции, т. е. примерно 93 центам. Если игрок заплатит 93 цента за ставку сегодня и получит выигрыш через два месяца, то в долгосрочной перспективе ни он, ни казино не будут иметь никакой прибыли.

Итак, два важнейших фактора, учитываемые при планировании инвестиций, – это ожидаемый доход и затраты на поддержание позиции. Однако существуют и другие аспекты. Допустим, казино решило предоставить игроку в следующие два месяца бонус в 1 цент. Этот бонус суммируется с прежней теоретической стоимостью в 93 цента и дает новую теоретическую стоимость, равную 94 центам. Бонус подобен дивиденду, выплачиваемому акционерам компании. Таким образом, дивиденды – это еще один фактор, который должен учитываться при оценке опционов на акции.

Биржам, скорее всего, не понравится то, что их сравнивают с казино, а опционную торговлю – с азартной игрой. Но мы занимаемся не оценкой моральных аспектов, а лишь констатируем факт: законы теории вероятностей, которые позволяют казино оценивать результаты игр со случайным исходом и устанавливать соответствующие правила, дают трейдеру возможность оценивать опционы.

Понятие зависящей от вероятности теоретической стоимости используется во многих сферах бизнеса. Те, кому не нравится сравнение с азартной игрой, могут вспомнить об исходном предназначении опционов и считать их своего рода страховыми полисами, требующими уплаты страховой премии. Используя статистические данные и теорию вероятностей, актуарий страховой компании пытается рассчитать вероятность того, что страховой полис окажется прибыльным для компании. Затем он подставляет в формулу проценты, под которые страховая компания будет размещать премии, и получает значение теоретической стоимости страхового полиса. Затем полис предлагают потенциальным клиентам по более высокой цене, в которую заложена прибыль страховой компании.

Цель оценки опциона состоит в том, чтобы, используя математические методы, определить теоретическую стоимость. Зная ее, трейдер может принять обоснованное решение о том, переоценивает или недооценивает рынок опцион и достаточна ли ожидаемая теоретическая прибыль для того, чтобы выйти на рынок и совершить сделку.

Пара слов о моделях

Прежде чем продолжить, следует сделать несколько общих замечаний о моделях.

Модель – это уменьшенное или более легкое в обращении представление реального мира. Модель может быть материальной, например модель самолета или здания, или же математической, например формула. В любом случае модели создают для облегчения понимания мира, в котором мы живем. Однако неразумно и даже опасно считать, что модель полностью идентична реальному миру, который она представляет. Модель может быть очень похожей, но никогда не отражает в точности всех особенностей реального мира.

Все модели строятся на допущениях относительно реального мира. В математические модели вводятся коэффициенты, количественно характеризующие данные допущения. Если мы заложим в модель неправильную исходную информацию, то получим неправильную картину реального мира. Принцип информатики «мусор на входе – мусор на выходе» (garbage in, garbage out) здесь полностью справедлив.

Эти общие замечания в полной мере относятся и к моделям, в рамках которых выводятся формулы теоретической стоимости опционов. Такие модели лишь частные представления о том, как оценивать опционы в определенных условиях. Поскольку как сама модель, так и заложенные в нее количественные параметры могут быть неверными, нет никакой гарантии, что полученные значения окажутся точными или вообще похожими на реальные рыночные цены.

На самом деле трейдеры по-разному оценивают полезность математиче ских моделей и выводимых из них оценок стоимости опционов. Одни считают, что это своего рода «фокусы» с формулами, которые не имеют никакого отношения к реальному миру. Другие полагают, что таблица со значениями теоретической стоимости опционов решает все их проблемы. Истина, по-видимому, находится где-то посередине.

Начинающий опционный трейдер подобен тому, кто впервые входит в темную комнату. Не имея ориентиров, он идет на ощупь и, если повезет, может наткнуться на то, что ищет. Трейдер, знакомый с основами теории цено образования опционов, входит в ту же комнату со свечой в руке. Он видит, как расставлена мебель, но скудный свет свечи не позволяет разглядеть детали. Кроме того, мерцание пламени искажает восприятие. Тем не менее со свечой шансы найти то, что ищешь, выше.

Реальные проблемы с моделями и формулами стоимости опционов возникают у трейдера, когда он приобретает определенный опыт. По мере обретения уверенности он заключает все более крупные сделки. И вот тут невозможность разглядеть детали в комнате вкупе с искажениями, вызванные мерцанием пламени, становятся более значимыми. Теперь неправильная интерпретация увиденных образов может привести к финансовой катастрофе, поскольку цена ошибки многократно возрастает.

Самое разумное – использовать теорию, но с полным пониманием того, что теория может, а что нет. Начинающие опционные трейдеры обнаружат, что модели и формулы – это ценнейшие инструменты анализа цен опционов. Из-за информации, которую они дают, подавляющее большинство успешных трейдеров используют в своей работе тот или иной способ оценки теоретической стоимости опционов. Однако если опционный трейдер хочет извлечь из такого подхода максимальную пользу, он должен представлять не только его сильные стороны, но и ограничения. В противном случае он будет мало отличаться от того, кто блуждает в полной темноте[8]8
  Эти ограничения обсуждаются в двух статьях: Figlewski, Stephen, «What Does an Option Pricing Model Tell Us about Option Prices?», [Financial Analyst Journal, September/October 1989, рр. 12–15, Black, Fischer, «Living Up to the Model», Risk, Vol. 3, No. 3, March 1990, рр. 11–13.


[Закрыть].

Простой метод

Как ожидаемый доход и теоретическая стоимость используются при оценке опционов? Для начала рассчитаем ожидаемый доход от опциона. Возьмем простой пример.

Предположим, что цена базового контракта – 100 долл. и что в определенный день в будущем, который мы назовем датой экспирации, она может принять одно из следующих значений: 80, 90, 100, 110 или 120 долл. Предположим также, что все пять значений равновероятны, т. е. вероятность каждого – 20 %. Цены и вероятности можно графически изобразить с помощью прямой (илл. 3.1).

Если мы займем длинную позицию в базовом контракте по нынешней цене в 100 долл., то каким будет ожидаемой доход при экспирации? С вероятностью 20 % мы потеряем 20 долл., если контракт будет стоить 80 долл. С вероятностью 20 % мы потеряем 10 долл., если контракт будет стоить 90 долл. С вероятностью 20 % мы ничего не потеряем, если контракт будет стоить 100 долл. С вероятностью 20 % мы получим 10 долл., если контракт подорожает до 110 долл. И с вероятностью 20 % мы получим 20 долл., если контракт подорожает до 120 долл. Результат составит:

– 20 долл. × 20 % – 10 долл. × 20 % + 0 × 20 % + 10 долл. × 20 % + 20 долл. × 20 % = 0.

Поскольку прибыли и убытки точно уравновешивают друг друга, ожидаемый доход от длинной позиции равен нулю. Аналогичный расчет показывает, что ожидаемый доход от короткой позиции, занятой по текущей цене 100 долл., также равен нулю. При этих ценах и вероятностях, какую бы позицию мы ни заняли, длинную или короткую, в долгосрочной перспективе можно рассчитывать только на нулевой результат.

Предположим теперь, что мы заняли длинную позицию в 100 колле. Если забыть о премии, которую надо заплатить за этот колл, каким будет ожидаемый доход при ценах и вероятностях, указанных на илл. 3.1? Если цена базового контракта на дату экспирации составит 80, 90 или 100 долл., то колл истечет без исполнения. Если цена базового контракта составит 110 или 120 долл., то колл будет стоить соответственно 10 и 20 долл. Можно записать следующее уравнение:

0 × 20 % + 0 × 20 % + 0 × 20 % + 10 долл. × 20 % + 20 долл. × 20 % = +6 долл.

Колл не может стоить меньше нуля, поэтому ожидаемый доход от позиции в колле всегда величина неотрицательная. В данном случае ожидаемый доход – 6 долл.

Чтобы на основе этого подхода оценить стоимость опциона, нужно задать ряд возможных цен базового контракта при экспирации и связанных с ними вероятностей. Затем для опциона с некоторой ценой исполнения следует рассчитать стоимость при каждой цене базового контракта, умножить ее на соответствующую вероятность и суммировать результаты. Это и будет ожидаемый доход от опциона.

В приведенном примере мы взяли предельно простую ситуацию с пятью равновероятными значениями цены. Как сделать нашу модель более реалистичной? Прежде всего нужно учесть порядок расчетов по опционам. В США ко всем опционам применяется акционный метод расчетов, предполагающий немедленную уплату всей причитающейся за опцион суммы. Если ожидаемый доход от 100 колла составляет при экспирации 6 долл., то для получения его сегодняшней стоимости необходимо вычесть затраты на поддержание позиции. Если годовая процентная ставка – 12 % (1 % в месяц), а до даты экспирации осталось 2 месяца, то из 6 долл. следует вычесть 2 % затрат на поддержание позиции, или около 12 центов. Таким образом, теоретическая стоимость опциона составит 5,88 долл.

Какие еще факторы можно учесть? Мы исходили из того, что все пять вариантов цены равновероятны. Реалистично ли такое допущение? Предположим, что возможны только две цены при экспирации, 110 и 250 долл. Если сегодня базовый контракт стоит 100, то какая из цен более вероятна в будущем? Опираясь на опыт, большинство трейдеров скажут, что резкое отклонение цены от ее нынешнего значения менее вероятно, чем незначительное. Иными словами, 110 долл. более вероятны, чем 250. Поэтому будущие значения нашей цены, если учесть теорию вероятностей, должны быть близки к ее нынешнему значению. Такое распределение показывает илл. 3.2. Теперь ожидаемый доход от 100 колла составит:

0 долл. × 10 % + 0 долл. × 20 % + 0 долл. × 40 % + 10 долл. × 20 % + 20 долл. × 20 % = +4 долл.

Если, как и прежде, к опциону применяется акционный метод расчетов, а затраты на поддержание позиции составляют 2 %, то теоретическая стоимость равна 3,92 долл.

Заметим, что на илл. 3.2 возможные значения цены и вероятности расположены симметрично. Хотя новые вероятности и изменили ожидаемый доход от 100 колла, ожидаемый доход от любой позиции в базовом контракте по-прежнему равен нулю. Каждому повышательному изменению цены соответствует равное по величине и вероятности понижательное изменение. Однако мы можем считать, что ожидаемый доход от базового контракта не равен нулю и что вероятность изменения цены в одном направлении больше, чем в другом. Взгляните на возможные значения цены и вероятности на илл. 3.3. При этих новых вероятностях ожидаемый доход от длинной позиции в базовом контракте составит:

– 20 долл. × 10 % – 10 долл. × 20 % + 0 × 30 % + 10 долл. × 25 % + 20 долл. × 15 % = +1,50 долл.

При этом ожидаемый доход от 100 колла будет равен:

0 долл. × 10 % + 0 долл. × 20 % + 0 долл. × 30 % + 10 долл. × 25 % + 20 долл. × 15 % = +5,50 долл.

Теперь ожидаемый доход от базового контракта положителен, и кажется, что можно получить прибыль, просто купив базовый контракт. Так бы и было в отсутствие других факторов. Но что, если базовый контракт – это акции и применяется акционный метод расчетов? Покупка акций по нынешней цене 100 долл. и поддержание позиции в них связаны с определенными затратами. Если они будут равны ожидаемому доходу в 1,50 долл., то наши инвестиции окажутся безубыточными. Чтобы длинная позиции в акциях принесла прибыль, за период владения акции должны вырасти в цене как минимум на величину затрат на поддержание позиции. Поэтому ожидаемый доход от акций должен быть положительной величиной. Если предположить, что любая сделка с акциями совершается по цене, обеспечивающей безубыточность каждой из сторон, то ожидаемый доход должен быть равен затратам на поддержание позиции.

Кроме того, по некоторым акциям выплачиваются дивиденды. Дивиденды, выплаченные в период владения, влияют на ожидаемый доход. Купивший эти акции трейдер понесет затраты на поддержание позиции, но получит дивиденды. В случае безубыточности сделки с акциями ожидаемый доход на конец периода владения равен затратам на поддержание позиции минус дивиденды. Если затраты на поддержание позиции в акциях составляют 3,50 долл., и в период владения выплачивается дивиденд в размере 1,00 долл., то для нулевого результата ожидаемый доход на конец периода должен составить 2,50 долл. Трейдер, покупающий акции сегодня, потеряет на конец периода проценты в размере 3,50 долл., но потери будут полностью компенсированы дивидендом в размере 1,00 долл., полученным в течение периода владения[9]9
  Трейдер может также заработать проценты на дивиденды, начисленные с момента получения дивидендов и до конца периода владения. Поскольку обычно эта сумма невелика, мы ее учитывать не будем.


[Закрыть], и ожидаемым доходом в 2,50 долл., полученным в конце периода.

На рынке, где выполняется условие безарбитражности, т. е. где в среднем нельзя рассчитывать на получение прибыли ни при покупке, ни при продаже контракта, все поступления и расходы, включая ожидаемый доход, должны друг друга уравновешивать. Если исходить из безарбитражности рынка, то следует принять, что форвардная цена, т. е. средняя цена контракта на конец периода владения, равна сумме текущей цены и ожидаемого дохода, который полностью уравновесит все прочие поступления и расходы. Если затраты, связанные с владением акциями с ценой 100 долл., составляют 4 долл., то форвард ная цена будет равна 104 долл. При выплате дивидендов по акциям в размере 1 долл. форвардная цена должна составить 103 долл. И в том, и в другом случае поступления и расходы полностью уравновешивают друг друга.

Здесь безарбитражность и форвардная цена опреляются из вероятностных соображений в средних значениях. Чаще под арбитражем понимают гарантированное получение прибыли за счет рассогласования цен различных инструментов. Так, если в примере выше форвардная цена превышает 103 долл. и есть возможность заключить форвардный контракт на поставку акций по этой цене с исполнением в конце периода владения, то арбитражная прибыль достигается покупкой акций сегодня и одновременным заключением форвардного контракта. – Прим. науч. ред.

При расчете форвардной цены учитываются характеристики контракта, а также рыночные условия. В случае акций это цена акций, продолжительность периода владения, процентные ставки и дивиденды. В случае фьючерсного контракта все намного проще. Поскольку к фьючерсным контрактам применяется фьючерсный метод расчетов, покупка фьючерсного контракта не требует немедленных денежных расходов. Кроме того, по фьючерсным контрактам не выплачиваются дивиденды. Это означает, что форвардная цена фьючерсного контракта на безарбитражном рынке – это просто текущая цена фьючерсного контракта. Если трейдер покупает фьючерсный контракт за 100 долл., то цена безубыточности для этого контракта на конец периода владения – 100 долл.

Возвращаясь к нашей очень простой модели, примем, что рынок базового актива обладает свойством безарбитражности[10]10
  Условие безарбитражности рынка не является обязательным. Но мы увидим, что это допущение делается в большинстве моделей, используемых при выводе формул теоретической стоимости опционов.


[Закрыть], т. е. получить прибыль при покупке или продаже базового контракта в среднем невозможно. Тогда ожидаемый доход должен равняться разнице между текущей ценой базового актива и его форвардной ценой. В случае акций ожидаемый доход равен затратам на поддержание позиции минус дивиденды. В случае фьючерсов ожидаемый доход равен нулю.

Даже если принять условие безарбитражности рынка базового актива и предположить, что у каждого возможного значения цены своя вероятность, все равно останется одна серьезная проблема. Наша упрощенная модель предусматривает только пять возможных значений цены, в то время как в реальной жизни их может быть сколько угодно. Чтобы наша модель точнее отражала реальные условия, нужно построить график, показывающий все возможные значения цены и связанные с ними вероятности. Такая задача может показаться непосильной, но это основа всех моделей, используемых для оценки стоимости опционов.

Подведем итог и перечислим этапы создания модели и определения стоимости опциона:

1) предложить ряд возможных значений цены базового контракта при экспирации;

2) задать вероятность для каждого значения;

3) принять допущение безарбитражности базового рынка;

4) рассчитать на основе цен и вероятностей, заданных на этапах 1–3, ожидаемый доход от опциона;

5) уменьшить ожидаемый доход на величину затрат на поддержание позиции.

Если мы все это проделаем, то получим теоретическую стоимость опциона, исходя из которой можно начинать торговлю.

До 1973 г. оценка опционов была связана с решением сложных математических уравнений. Поскольку на это уходило много времени и сил, выгодные возможности исчезали раньше, чем их удавалось выявить. В 1973 г. одновременно с открытием опционной биржи СВОЕ Фишер Блэк и Майрон Шоулз предложили первый практичный способ определения теоретической стоимости опционов. Модель Блэка – Шоулза с ее сравнительно простым математическим аппаратом и ограниченным количеством показателей на входе, большинство из которых легко найти, и полученная на ее основе формула стали идеальным инструментом для трейдеров, осваивавших американский рынок опционов. Хотя с тех пор появились и другие подходы, которые устранили некоторые недостатки первой модели, формула Блэка – Шоулза остается одним из наиболее распространенных инструментов оценки опционов.

В первоначальном виде модель и формула Блэка – Шоулза предназначались для оценки европейских опционов (досрочное исполнение которых не разрешается) на акции без выплаты дивидендов. Вскоре, понимая, что по большинству акций дивиденды все-таки выплачиваются, Блэк и Шоулз модифицировали свой метод. В 1976 г. Фишер Блэк внес в модель и формулу стоимости опционов незначительные изменения, позволившие использовать их и для оценки опционов на фьючерсные контракты. А в 1983 г. Марк Гарман и Стивен Кольхаген внесли еще несколько изменений, позволивших оценивать и опционы на иностранную валюту[11]11
  Здесь речь идет об опционах на валюту как таковую, а не об опционах на валютный фьючерсный контракт. Последние могут быть оценены с помощью формулы Блэка для опционов на фьючерсы.


[Закрыть]. Модификации модели Блэка – Шоулза для фьючерсных контрактов и валюты известны как модель Блэка и модель Гармана – Кольхагена соответственно. Но методики оценки опционов во всех случаях настолько похожи, что используется лишь одно название – модель Блэка – Шоулза. Отличия касаются главным образом порядка расчета форвардной цены базового контракта. Опционный трейдер просто выбирает модификацию, подходящую для своего базового инструмента.

Подавляющее большинство торгуемых в настоящее время опционов американские, т. е. опционы с правом на досрочное исполнение. По этой причине может показаться, что модель Блэка – Шоулза с ее запретом на досрочное исполнение не слишком подходит для использования на большинстве рынков. Однако формула Блэка – Шоулза оказалась настолько удобной, что многие трейдеры не считают нужной дополнительную точность, обеспечиваемую методами оценки американских опционов. На некоторых опционных рынках, в частности на рынках фьючерсных опционов, право досрочного исполнения опциона приводит к такому незначительному увеличению его стоимости, что формула Блэка – Шоулза и методы оценки американских опционов дают практически одинаковые результаты.

С учетом широкого использования модели Блэка – Шоулза мы ограничимся лишь ее рассмотрением. Проблему досрочного исполнения мы обсудим в следующих главах, а альтернативных методов определения стоимости опционов коснемся при обсуждении основных допущений модели Блэка – Шоулза.

Процесс определения стоимости опциона с помощью формулы Блэка– Шоулза складывается из тех же пяти этапов, о которых мы говорили выше, когда рассматривали простой метод оценки опционов. Блэк и Шоулз определяли стоимость коллов, но практически так же выводится формула и для стоимости путов. Возможен и другой способ расчета. Как мы увидим в главе 11, на безарбитражном рынке существует однозначная зависимость между ценой базового контракта и ценами колла и пута с одинаковыми ценами исполнения и датами экспирации. Эта зависимость позволяет нам рассчитать стоимость пута, зная только стоимость соответствующего колла.

Чтобы рассчитать теоретическую стоимость опциона с помощью формулы Блэка – Шоулза, нужно знать как минимум пять характеристик опциона и его базового контракта:

1) цену исполнения;

2) время, оставшееся до экспирации;

3) текущую цену базового контракта;

4) безрисковую процентную ставку в течение срока действия опциона;

5) волатильность базового контракта.

Последнее понятие – волатильность – может быть незнакомо начинающему трейдеру. Хотя мы откладываем его обсуждение до следующей главы, из предыдущих рассуждений можно догадаться, что волатильность имеет отношение к темпу изменения цены.

Если у нас есть все исходные данные, то их можно ввести в формулу и получить интересующее нас значение стоимости опциона.

Блэк и Шоулз также использовали в своей модели понятие безрискового хеджа. Для каждой опционной позиции существует такая теоретически эквивалентная позиция в базовом контракте, что при незначительном изменении цены базового контракта стоимость позиции в опционе увеличивается или уменьшается ровно на столько же, что и базовая позиция. Чтобы получить прибыль на теоретически неверно оцененном опционе, необходимо его хеджировать, уравновесив позицию в опционе теоретически эквивалентной базовой позицией. То есть, какую бы позицию в опционе мы ни заняли, нужно занять противоположную рыночную позицию в базовом контракте. Соотношение числа базовых контрактов, необходимых для безрискового хеджа, и опционной позиции известно как коэффициент хеджа.

Для чего нужен безрисковый хедж? Напомним, что в нашем упрощенном методе теоретическая стоимость опциона зависела от вероятностей различных исходов (цен базового контракта). Поскольку базовый контракт меняется в цене, вероятность того или иного значения цены также меняется. Если текущая цена базового контракта – 100 долл., а цене в 120 долл. присвоена 20 %-ная вероятность, то при падении цены до 80 долл. эту вероятность можно понизить до 10 %. Создавая безрисковый хедж, а затем корректируя его по мере изменения рыночных условий, мы учитываем изменение вероятностей.

В этом смысле опцион можно рассматривать как альтернативу аналогичной позиции в базовом контракте. Колл – альтернатива длинной позиции; пут – короткой. Какую позицию лучше занять – в опционе или в базовом контракте, зависит от теоретической стоимости опциона и его цены на рынке. Если колл можно купить (продать) за сумму, меньшую (большую), чем его теоретическая стоимость, то в долгосрочной перспективе более выгодно занять длинную (короткую) рыночную позицию, купив (продав) коллы, а не базовые контракты. Аналогично, если пут можно купить (продать) за сумму, меньшую (большую), чем его теоретическая стоимость, то в долгосрочной перспективе более выгодно занять короткую (длинную) рыночную позицию, купив (продав) путы, а не продать (купить) базовые контракты.

Поскольку точность полученной с помощью формулы теоретической стоимости опциона не превышает точности введенных в нее данных, необходимо сказать несколько слов об этих данных.