Текст книги "Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли"

Цена исполнения

Точность данных о цене исполнения опциона никогда не вызывает сомнений, поскольку она определяется в контракте и остается неизменной на протяжении всего срока действия опциона[12]12
  Биржа может скорректировать цену исполнения опциона на акции в случае дробления акций. Но с практической точки зрения это не означает изменения цены исполнения, поскольку ее отношение к курсу акций останется тем же. Характеристики опционного контракта по существу остаются неизменными.


[Закрыть]. Торгуемый на СМЕ мартовский 58 колл на немецкую марку не может внезапно превратиться в мартовский 59 или 57 колл. Торгуемый на СВОЕ июльский 55 пут на акции IBM не может превратиться в июльский пут с ценой исполнения 50 или 60.

Время до экспирации

Как и цена исполнения, дата экспирации опциона фиксирована. Наш мартовский 58 колл на немецкую марку не может превратиться в апрельский, а июльский пут на акции IBM не может превратиться в июньский. Каждый прошедший день уменьшает время до экспирации, но дата экспирации, как и цена исполнения, фиксируется биржей и не меняется.

Время до экспирации, как и другие исходные данные, вводится в формулу Блэка – Шоулза в годовом исчислении. При наличии «необработанных» данных выполняется соответствующий пересчет. Если до экспирации остается 91 день, то в формулу вводится 0,25 (91 / 365 = 0,25). Если остается 36 дней, то вводится 0,10 (36 / 365 = 0,10). Однако большинство компьютерных программ оценки опционов уже предусматривают подобный пересчет, так что можно вводить точное количество дней, оставшихся до экспирации.

Итак, какое количество дней следует использовать в расчете? Количество дней до экспирации нужно, во-первых, для вычисления процентов, а во-вторых, для оценки вероятности изменения цены базового контракта. Когда мы определяем волатильность или темп изменения цены, нас интересует только количество торговых (рабочих) дней. Ведь реально цена базового контракта меняется только в эти дни. Это позволяет отбросить выходные и праздники. При расчете же процентов необходимо учитывать все дни. Когда мы занимаем или ссужаем деньги, то ожидаем, что проценты будут начисляться ежедневно, и в будни, и в выходные.

На самом деле никакой сложности здесь нет. Действительно, цена меняется только по торговым дням, однако в расчете используется значение, приведенное к годовому периоду, что нивелирует небольшие разницы. В резуль тате в формулу можно вводить количество оставшихся до экспирации календарных дней.

Цена базового контракта

В отличие от цены исполнения и даты экспирации цена базового контракта не так однозначна. В каждый момент времени существует две цены: цена спроса и цена предложения. Спрашивается, что следует использовать – одну из этих цен или среднюю величину?

Мы уже отмечали, что правильное использование теоретической стоимости опциона требует хеджирования позиции в опционе с помощью противоположной сделки с базовым контрактом. Поэтому в формулу следует вводить ту цену базового контракта, по которой мы можем совершить хеджирующую сделку. Если мы собираемся купить коллы или продать путы (в обоих случаях возникает длинная рыночная позиция), то для хеджа придется продать базовый контракт. В этом случае используется цену спроса, поскольку именно по ней мы можем продать базовый контракт. Если же мы собираемся продать коллы или купить путы (в обоих случаях возникает короткая рыночная позиция), то для хеджирования придется купить базовый контракт. В этом случае используется цена предложения, поскольку именно по ней мы можем купить базовый контракт.

На практике цены спроса и предложения постоянно меняются, и многие трейдеры просто используют для расчетов цену последней сделки. Однако цена последней сделки не всегда отражает текущую ситуацию на рынке. Даже публикуемые в газетах расчетные цены могут неточно отражать соотношение спроса и предложения к закрытию торгов. Цена последней сделки с тем или иным контрактом может составлять 75¼, а реальные цены спроса и предложения при закрытии – 75¼ и 75½ соответственно. В таких условиях заявка трейдера на покупку по 75¼ вряд ли будет выполнена из-за более высокой цены предложения. Маловероятна и покупка по промежуточной цене, скажем по 75⅜, если спрос по цене 75½ намного превышает предложение по 75½. По этим причинам опытный трейдер не выходит на рынок опционов, не зная точной цены спроса и предложения на рынке базовых контрактов.

Процентные ставки

Поскольку сделка с опционом может привести либо к зачислению денег на счет трейдера, либо к их списанию, при оценке важно учитывать проценты на эти суммы в течение срока действия опциона.

Процентная ставка играет в определении теоретической стоимости опционов двойную роль. Во-первых, она может повлиять на форвардную цену базового контракта. Если к базовому контракту применим акционный метод расчетов, то с увеличением процентной ставки повышается форвардная цена, что увеличивает стоимость коллов и снижает стоимость путов. Во-вторых, процентная ставка может влиять на стоимость поддержания позиции. Если к опциону применим акционный метод расчетов, то с увеличением процентной ставки стоимость опциона снижается. Несмотря на двойную роль процентной ставки, в большинстве случаев в формулу достаточно ввести только одно значение процентной ставки. Однако если применяются разные ставки, например в случае опционов на валюту (одна ставка для иностранной валюты, другая – для национальной валюты), то в формулу следует вводить две процентные ставки. Две процентные ставки фигурируют, в частности, в формуле Гармана – Кольхагена.

Двойная роль также означает, что относительная значимость процентных ставок меняется в зависимости от вида базового инструмента и порядка расчетов. Например, процентные ставки гораздо больше влияют на стоимость опционов на акции, чем опционов на фьючерсы. При повышении процентной ставки форвардная цена акций повышается, а форвардная цена фьючерсного контракта остается неизменной. В то же время при акционном методе расчетов по опционам повышение процентной ставки вызывает снижение стоимости опционов. Однако цена опциона обычно очень невелика по сравнению с ценой базового контракта.

Какую процентную ставку следует использовать трейдеру при оценке стоимости опциона? Большинство трейдеров не могут заимствовать и размещать средства под один и тот же процент, поэтому теоретически процентная ставка определяется результатом сделки, т. е. тем, уменьшается или увеличивается остаток на счету трейдера. В первом случае трейдера должна интересовать ставка заимствования, а во втором – ставка кредитования. Однако на практике чаще всего используют безрисковую, т. е. наиболее надежную процентную ставку. В США самым надежным заемщиком считается государство, поэтому за эталон принимают доходность государственных ценных бумаг со сроком погашения, эквивалентным сроку действия опциона. Для 60-дневного опциона берут доходность 60-дневных казначейских краткосрочных бескупонных облигаций; для 180-дневного – 180-дневных.

Дивиденды

Мы не включили дивиденды в число перечисленных на илл. 3.4 исходных данных, поскольку этот фактор относится только к опционам на акции и имеет смысл только при условии выплаты дивидендов в течение срока действия опциона.

Для точной оценки опциона на акции трейдер должен знать и размер ожидаемых дивидендов, и дату фиксации реестра акционеров (экс-дивидендную дату), т. е. дату, в которую трейдер должен иметь акции, чтобы получить дивиденды. Главное здесь – владеть акциями. Опцион глубоко в деньгах может обладать многими характеристиками акций, но право на получение дивидендов имеет только собственник акций.

В отсутствие иной информации большинство трейдеров исходят из того, что компания будет проводить прежнюю дивидендную политику. Если в прошлом она выплачивала каждый квартал дивиденды в размере 75 центов, то, скорее всего, будет делать это и впредь. Однако полной гарантии нет. Бывает, что компании повышают или снижают дивиденды, а иногда вовсе их не выплачивают. Если есть вероятность изменения дивидендной политики компании, трейдер должен оценить его влияние на стоимость опциона. Кроме того, если экс-дивидендная дата наступает непосредственно перед датой экспирации, то задержка в несколько дней может привести к тому, что опцион истечет до экс-дивидендной даты. С точки зрения оценки опционов это эквивалентно отсутствию выплаты дивидендов по акциям. В такой ситуации трейдер должен заранее выяснить точную экс-дивидендную дату.

Волатильность

Из всех исходных данных, необходимых для оценки опциона, показатель волатильности наиболее сложен для понимания. На практике же он нередко имеет самое большое значение. Изменение допущений в отношении волатильности может оказать серьезное влияние на стоимость опциона; не меньшее влияние имеет и оценка волатильности рынком. Следующая глава целиком посвящена детальному рассмотрению волатильности.

4. Волатильность

Что такое волатильность и почему она так важна для опционного трейдера? Для опционного трейдера, как и для трейдера базовым инструментом, большое значение имеет направление изменения цены. Но в отличие от трейдера базовым инструментом опционный трейдер исключительно чувствителен к темпу изменения цены. Если цена базового контракта меняется недостаточно быстро, то опционы на этот контракт стоят меньше из-за низкой вероятности того, что цена базового контракта достигнет цены исполнения опциона. (Очевидно, здесь речь идет об опционах вне денег, которые будут иметь положительную стоимость на дату экспирации, если только к этой дате цена базового контракта пересечет страйковую цену. – Прим. науч. ред.) В определенном смысле волатильность – это показатель темпа изменения рыночной цены. Рынки, цены на которых меняются медленно, называют низковолатильными, а рынки, цены на которых меняются быстро, – высоковолатильными.

Понятно, что одни рынки более волатильны, чем другие. С 1980 по 1982 г. цена на золото выросла с 300 до 800 долл. за унцию, т. е. поднялась более чем в два раза. Однако мало кто из трейдеров предполагал, что за тот же период индекс S&P 500 тоже может вырасти более чем в два раза. Трейдеры, которые работают на товарном рынке, знают, что драгоценные металлы обычно более волатильны, чем процентные инструменты. Точно так же трейдеры фондового рынка знают, что высокотехнологичные акции, как правило, более волатильны, чем акции энергосбытовых компаний.

Будь нам известно, как поведет себя рынок, станет ли он сравнительно волатильным или сравнительно спокойным, мы могли бы учесть эту информацию в модели и получить формулы определения теоретической стоимости, которые сделали бы оценку опционов более точной, чем в случае простого игнорирования волатильности. Однако поскольку модели строятся на расчетах, нам необходима количественная оценка волатильности.

Случайное блуждание и нормальное распределение

Возьмем для примера игру пинбол (см. илл. 4.1). Шарик катится вниз через частокол штырьков. Наткнувшись на штырек, он отклоняется вправо или влево с 50 %-ной вероятностью. После этого шарик попадает на новый уровень, где натыкается на другой штырек. Наконец, внизу он падает в одну из лунок.

Движение шарика через частокол штырьков называют случайным блужданием. Как только шарик попадает в этот частокол, никто не может повлиять на его траекторию, равно как и предсказать эту траекторию.

Если бросить достаточное количество шариков, то можно получить распределение, представленное на илл. 4.2. Большинство шариков попадает в центр игрового поля; чем дальше лунки расположены от центра, тем меньше шариков в них оказывается. Такое распределение называют нормальным или колоколообразным.

Если бросить бесконечно большое количество шариков, то распределение будет описываться колоколообразной кривой, подобной той, что показана на илл. 4.2. Такая кривая симметрична (правая часть является зеркальным отражением левой), ее пик находится в центре, а хвосты всегда устремлены вниз и в стороны от центра.

Кривые нормального распределения используются для описания результатов случайных событий. Например, кривая на илл. 4.2 может показывать результаты 15-кратного подбрасывания монетки. Каждый результат – это количество решек, выпавших при 15-кратном подбрасывании монетки. Результат 0 означает, что решка не выпала ни разу, а все 15 раз выпал орел. Результат 15 означает, что решка выпала 15 раз, а орел – ни разу. Конечно, было бы странно, если бы мы подбрасывали монетку 15 раз и каждый раз выпадал только решка или только орел. Если центр тяжести в монетке не смещен, то наиболее вероятным является результат 8 решек и 7 орлов или 9 решек и 6 орлов.

Давайте слегка изменим условия игры, поставив вертикальные перегородки таким образом, что теперь, наткнувшись на штырек и отклонившись влево или вправо, шарик опустится до соприкосновения со следующим штырьком не на один, а на два уровня. Если бросить достаточное количество шариков, то получится распределение, представленное кривой на илл. 4.3. Поскольку боковые движения шариков ограниченны, пик этой кривой будет выше, а ее хвосты будут более узкими, чем у кривой на илл. 4.2. Несмотря на изменение формы, это по-прежнему кривая нормального распределения, но с несколько иными характеристиками.

Наконец, мы можем поставить горизонтальные перегородки так, что, попадая на следующий уровень, шарик будет каждый раз отклоняться на два штырька влево или вправо. И снова, если бросить достаточное количество шариков, то получится распределение, представленное кривой на илл. 4.4. У этой кривой, которая также отражает нормальное распределение, пик намного ниже, а хвосты убывают намного медленнее, чем у кривых на илл. 4.2 или 4.3.

Пусть боковые движения шарика символизируют повышательные и понижательные изменения цены базового контракта, а движение вниз – течение времени. Если предположить, что цена базового контракта каждый день повышается или понижается на доллар, то распределение значений цены через 15 дней будет представлено кривой на илл. 4.2. Если предположить, что цена повышается или понижается на доллар каждые два дня, то распределение будет представлено кривой на илл. 4.3. А если предположить, что цена за день растет или падает на 2 долл., то распределение будет представлено кривой на илл. 4.4.

Если сегодня базовый контракт стоит 100 долл., а срок его действия истекает через 15 дней, то как определить стоимость 105 колла? Один из способов – допустить, что распределение значений цены во времени носит случайный характер и что возможное распределение цен через 15 дней представляет кривая на илл. 4.2, 4.3 или 4.4. Относительная стоимость 105 колла при трех сценариях показана на илл. 4.5. Если взять распределение, показанное на илл. 4.3, то видно, что вероятность повышения цены базового контракта до 105 долл. крайне мала. Следовательно, стоимость 105 колла невысока. Если взять распределение, показанное на илл. 4.2, то эта вероятность будет выше, а значит, выше и стоимость колла. Наконец, при распределении, показанном на илл. 4.4, вероятность того, что 105 колл окажется на дату экспирации в деньгах, весьма реальна. А это означает, что стоимость такого опциона должна быть намного выше.

Если исходить только из того, что изменения цены базового контракта носят случайный характер, и ничего не говорить о вероятном направлении изменения, то можно утверждать, что кривые на илл. 4.2–4.4 отражают распределения значений цены соответственно на умеренно, низко– и высоковолатильном рынке. На низковолатильном рынке цены колеблются в узком диапазоне, а следовательно, опционные премии невысоки. На высоковолатильном рынке вероятность резкого изменения цен намного больше и премии опционов высоки.

Поскольку представленные на илл. 4.5 распределения значений цены симметричны, может показаться, что рост волатильности не оказывает на стоимость опциона никакого влияния. В конце концов, с ростом волатильности растет не только вероятность значительного повышения цены, но и вероятность ее значительного снижения. Однако здесь важно учитывать различие между позицией в опционе и позицией в базовом контракте. В отличие от убытков по базовому контракту потенциальные убытки по опциону ограниченны. Как бы низко ни упал рынок, стоимость опциона колл может уменьшиться только до нуля. В нашем примере, какой бы ни была цена при экспирации – 80 или 104 долл., стоимость 105 колла окажется нулевой. Однако если купить базовый контракт за 100 долл., то нам будет совсем небезразлично, чему равна конечная цена – 80 или 104 долл. В случае базового контракта важны все результаты, в случае опциона – только те, при которых опцион оказывается в деньгах. На илл. 4.5 нас интересуют только значения цены базового контракта справа от цены исполнения опциона, все остальное – это «нуль».

С этим и связано важное различие между оценкой базового контракта и оценкой опциона. Если предположить, что значения цены базового контракта подчиняются нормальному распределению, то стоимость базового контракта определяется местоположением пика кривой, изображающей это распределение, в то время как стоимость опциона зависит от «узости» или «широты» распределения.

Математическое ожидание и стандартное отклонение

Допустим, мы решили ввести представление о нормальном распределении возможных значений цены в модель для определения стоимости опциона. Для этого нужно описать нашу кривую. Поскольку модель математическая, кривую необходимо представить в количественном выражении.

К счастью, кривую нормального распределения можно охарактеризовать с помощью двух параметров – математического ожидания и стандартного отклонения. Если мы знаем, что распределение нормально, и нам известны оба этих параметра, то мы знаем все характеристики данного распределения.

Графически математическое ожидание соответствует точке расположения пика кривой, а стандартное отклонение показывает, насколько быстро или медленно убывают ее хвосты. У кривых, хвосты которых убывают медленно (илл. 4.4), стандартное отклонение больше, чем у кривых, хвосты которых убывают быстро (илл. 4.3).

Математическое ожидание – это не что иное, как средний результат, и потому знакомо многим трейдерам, а вот понятие стандартного отклонения менее известно. На самом деле, чтобы успешно торговать опционами, совершенно не обязательно знать, как рассчитываются эти параметры (для интересующихся детальный расчет представлен в приложении B). Что имеет значение для опционного трейдера, так это интерпретация параметров, особенно с точки зрения возможного изменения цены.

Вернемся к илл. 4.2 и рассмотрим находящиеся внизу игрового поля лунки с номерами от 0 до 15. В нашем варианте они показывают, сколько раз выпала решка при подбрасывании монетки 15 раз. С равным успехом они могут показывать, сколько раз шарик отклонился вправо, наткнувшись на очередной штырек при движении по игровому полю. Первой лунке присваивается нулевое значение, поскольку любой попавший в нее шарик должен был все время отклоняться влево. Последней лунке присваивается значение 15, поскольку попавший в нее шарик должен был все время отклоняться вправо.

Доустим, нам говорят, что математическое ожидание и стандартное отклонение на илл. 4.2 составляют соответственно 7,50 и 3,00. Как это характеризует распределение? (На самом деле эти параметры составляют 7,51 и 2,99, как показано в приложении B, но мы для простоты округлили их до 7,50 и 3,00.) Математическое ожидание показывает средний результат. Если мы сложим все результаты и разделим их на количество попыток, то получим 7,50. Если говорить о лунках, то средний результат окажется где-то посредине между 7-й и 8-й лунками (на самом деле это невозможно; как отмечалось в главе 3, средний результат не обязательно является реально возможным).

Стандартное отклонение характеризует не только степень пологости кривой, но и вероятность того, что шарик окажется в той или иной лунке или группе лунок. В частности, стандартное отклонение говорит о вероятности попадания шарика в лунку на определенном расстоянии от среднего. Например, мы можем узнать вероятность того, что шарик окажется в лунке с номером от 0 до 4 или от 11 до 15. Для получения ответа нужно узнать, на сколько стандарт ных отклонений шарик должен отклониться от среднего, а затем определить вероятность, соответствующую этому числу стандартных отклонений.

Вероятность, соответствующую любому числу стандартных отклонений, определяют по таблицам, которые приводятся в большинстве книг по статистике. Или же ее рассчитывают по соответствующим формулам (см. приложение B). Опционным трейдерам полезно знать, что:

• отклонения на ±1 стандартное отклонение наблюдаются примерно в 68,3 % (около ⅔) всех случаев;

• отклонения на ±2 стандартных отклонения наблюдаются примерно в 95,4 % (около 19/20) всех случаев;

• отклонения на ±3 стандартных отклонения наблюдаются примерно в 99,7 % (около 369/370) всех случаев.

Обратите внимание, что число стандартных отклонений указывается со знаком «плюс» или «минус». Поскольку нормальные распределения симметричны, вероятность повышательного и понижательного изменения одинакова.

Попробуем теперь ответить на вопрос о вероятности попадания шарика в лунки с номерами от 0 до 4 или от 11 до 15. Поместим перегородку между лунками 7 и 8, чтобы обозначить среднее значение 7½. Если стандартное отклонение – 3, то какие лунки находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего значения? Одно стандартное отклонение от среднего – это 7½ ±3, т. е. 4½ и 10½. Если представить ½ как перегородку между лунками, то мы увидим, что лунки с пятой по десятую находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего. Мы знаем, что на одно стандартное отклонение приходится ⅔ всех случаев, т. е. из каждых трех брошенных шариков два попадут в лунки с пятой по десятую. Остальные попадут в лунки с номерами 0–4 и 11–15. Таким образом, в ответ на исходный вопрос можно сказать, что вероятность попадания шарика в лунки с номерами от 0 до 4 или от 11 до 15 составляет один к трем или около 30 % (точный ответ: 100 % – 68,3 % = 31,7 %). Именно это показано на илл. 4.6.

Возможен и другой метод расчета. Представим себе, что держим пари. Допустим, кто-то считает, что вероятность непопадания шарика в лунку 14 или 15 составляет тридцать к одному. Стоит ли нам с ним спорить? Одна из особенностей стандартных отклонений заключается в том, что их можно просто складывать. В нашем примере, если одно стандартное отклонение – 3, то два стандартных отклонения – 6. Поэтому два стандартных отклонения от математического ожидания – это 7,5 ± 6 = 1,5 или 13,5. На илл. 4.6 видно, что лунки 14 и 15 лежат за пределами двух стандартных отклонений. Поскольку вероятность получения результата в пределах двух стандартных отклонений примерно равна 19 из 20, то вероятность получения результата за пределами двух стандартных отклонений – 1 к 20. Предложенные условия пари могут показаться весьма благо приятными, однако не следует забывать, что за пределами двух стандартных отклонений находятся также лунки 0 и 1. Поскольку нормальное распределение симметрично, вероятность попадания шарика в лунки 14 или 15 должна составлять половину от вероятности 1 к 20, т. е. 1 к 40. Таким образом, ставка 30 к 1 нам не подходит, поскольку риск в данном случае не оправдан.

В главе 3 мы говорили, что один из логичных подходов к оценке опциона состоит в присвоении вероятностей бесконечному числу возможных значений цены базового контракта. Тогда, если умножить каждое возможное значение цены на соответствующую вероятность, результат можно использовать для расчета теоретической стоимости опциона. Проблема в том, что работать с бесконечным множеством значений цены и вероятностей очень трудно. К счастью, характеристики нормального распределения изучены настолько полно, что существуют формулы, облегчающие расчет и вероятностей, связанных с каждой точкой на кривой нормального распределения, и площади под любой частью кривой. Если исходить из того, что цены базового контракта имеют нормальное распределение, то эти формулы составляют инструментарий, позволяющий определять теоретическую стоимость опционов. Это одна из причин, по которым Блэк и Шоулз сделали в своей модели допущение о нормальном распределении.