Текст книги "Модельное мышление. Как анализировать сложные явления с помощью математических моделей"

Модель экономического роста солоу*

Теперь построим обобщенную модель, которая будет упрощенным (в связи с чем обозначим ее звездочкой) вариантом модели роста Солоу. Мы заменим машины физическим капиталом и используем труд в качестве переменной. Кроме того, включим параметр технологий, обеспечивающий линейный рост объема производства. Инновации увеличивают этот параметр. Как и в предыдущей модели, долгосрочное равновесие возникнет, когда инвестиции равны амортизации. Однако в данной модели выпуск продукции на уровне равновесия зависит от количества труда и параметра технологий, а также от нормы накоплений и нормы амортизации[152]152
  В полной модели Солоу вместо функций квадратного корня используется параметр a (как в модели Кобба-Дугласа), а также учитывается рынок труда.


[Закрыть].

Модель роста Солоу*

Общий объем производства в экономике описывается следующим уравнением:

объем производства = A√L√K,

где L – количество труда, K – объем физического капитала, а A – уровень технологий. Объем производства в случае долгосрочного равновесия O* описывается уравнением[153]153
  Для того чтобы вычислить равновесие, будем исходить из того, что инвестиции равны амортизации: s · A√L · √K* = d · K*. Следовательно, равновесное количество машин K* удовлетворяет уравнению . Подстановка этого выражения в формулу функции объема производства дает такой объем производства .


[Закрыть]:

Объем производства при долгосрочном равновесии увеличивается в зависимости от количества труда, развития технологий и роста нормы накоплений, а сокращается по мере повышения нормы амортизации. Эти результаты не вызывают удивления. Чем больше работников, более развитые технологии и больше накоплений, тем выше объем производства, однако рост темпов амортизации снижает его. На интуитивном уровне менее понятно то, что объем производства растет линейно вместе с количеством труда и нормой накоплений. Затраты труда порождают убывающую отдачу, поэтому, не проанализировав модель, мы могли бы ожидать, что функция объема производства в долгосрочной перспективе будет вогнутой по количеству труда. Однако, когда трудозатраты увеличиваются, то же самое происходит и с объемом производства, что, в свою очередь, повышает объем инвестиций и приводит к дальнейшему росту объема производства. Положительная обратная связь со стороны инвестиций полностью компенсирует убывающую доходность. Функция равновесного объема производства является выпуклой по норме амортизации. Снижение амортизации на 20 процентов увеличивает объем производства на 25 процентов.

И наконец, объем производства при долгосрочном равновесии увеличивается как квадрат темпов совершенствования технологий. Следовательно, инновации увеличивают объем производства более чем линейно. С помощью этой модели мы можем объяснить, почему. Если мы начнем с экономики в состоянии долгосрочного равновесия и повысим параметр технологий на 50 процентов, то объем производства увеличится на 50 процентов, так же как и объем инвестиций. Тогда объем инвестиций превысит норму амортизации, поэтому экономика продолжит расти. Инвестиции будут опережать амортизацию до тех пор, пока рост экономики снова не составит 50 процентов – в этот момент капитал, утерянный по причине износа, уравновесит инвестиции. Эти расчеты показывают, что процесс инноваций оказывает двоякое воздействие, создавая мультипликатор инноваций. Во-первых, инновации непосредственно увеличивают объем производства. Во-вторых, опосредовано они приводят к росту капиталовложений, обеспечивая дополнительное увеличение объема производства. Следовательно, главный фактор устойчивого роста производства – инновации[154]154
  Роберт Гордон (Gordon, 2016) придерживается пессимистического взгляда на то, что новые технологии, которые появятся в ближайшем будущем, обусловят существенное повышение показателя A. Модель Пола Ромера (Romer, 1986) исходит из того, что рост связан с увеличением разнообразия товаров: по мере роста экономики увеличивается и их ассортимент. Мартин Вейцман (Weitzman, 1998) в явном виде моделирует процесс генерирования и рекомбинации идей.


[Закрыть].

Однако объем производства не увеличивается мгновенно. Во время прорыва параметр технологий меняется медленно. Последствия проявляются на протяжении длительного периода. Устаревший физический капитал необходимо заменить новым с более совершенной технологией. Быстродействие компьютеров компании не увеличивается при изменении технологии, оно увеличивается тогда, когда технология меняется и компания покупает новые компьютеры. Повышение второго порядка, обусловленное ростом объема инвестиций в физический капитал, происходит на протяжении еще более длительного периода. Разрыв между появлением новых технологий и их влиянием на рост указывает на то, что инновации обеспечивают рост в течение десятилетий. Поезда были изобретены в начале XIX столетия. «Позолоченный век» наступил только в конце XIX столетия, то есть более чем через пятьдесят лет. Стремительное развитие интернета началось через три десятилетия после создания ARPANET[155]155
  ARPANET (англ. Advanced Research Projects Agency Network – сеть Агентства передовых исследовательских проектов) – прототип сети интернет. Создана в 1969 году по поручению Министерства обороны США. Прим. ред.


[Закрыть][156]156
  Информацию о разрыве между появлением новой технологии и ее внедрением можно найти здесь: Arthur, 2011.


[Закрыть].

Почему одни страны успешны, а другие терпят неудачу

Мы можем применить модели роста для поиска ответов на серьезные политические вопросы, такие как могут ли отсталые страны ускорить развитие, почему одни страны добиваются успеха, а другие терпят неудачу, и какова роль правительства в стимулировании роста. Все эти исследования показывают ценность и ограничения наших моделей. Начнем со способности стран с низким ВВП добиться стремительного роста. Приведенные выше модели показывают, что наращивание капитала может обусловить быстрый рост, так же как инвестиции в технологии. Отсталая страна с меньшим объемом капитала в случае выхода на передовые рубежи технологий с помощью новых капиталовложений могла бы продемонстрировать поразительный рост[157]157
  Например, страны, в которых деревни так и не были подключены к телефонным линиям, смогли построить радиовышки и обеспечить услуги мобильной связи. Александр Гершенкрон (Gerschenkron, 1952) называет это преимуществом отсталости.


[Закрыть].

Необходимость инноваций для долгосрочного роста, как показано во второй модели, подтверждает ограниченность однократного заимствования новой технологии. Непрерывный рост требует постоянных инноваций. Когда после Второй мировой войны Советский Союз демонтировал немецкие заводы и перенес их на свою территорию, это обеспечило краткосрочный рост, причем такой, что 18 ноября 1956 года премьер Никита Хрущев, выступая в посольстве Польши перед послами стран Запада, заявил: «Мы вас похороним!» Но этого не произошло. СССР не смог это сделать из-за отсутствия в стране инноваций[158]158
  Easterly and Fischer, 1995.


[Закрыть]. Советы ограничивали свободу и подавляли предпринимательство.

Эти модели также показывают, как изъятие ресурсов и коррупция, использование экономики для государственных нужд сдерживают рост в связи с сокращением накоплений. Анализ темпов роста в разных странах подтверждает оба вывода: сокращение изъятия ресурсов и коррупции наряду со стимулированием инноваций способствует дальнейшему росту. Достижение этих целей требует сильной, но ограниченной центральной власти, поощряющей плюрализм. Сильный центр обеспечивает соблюдение прав собственности и верховенство права. Плюрализм предотвращает захват власти элитой, которая часто предпочитает сложившееся положение вещей и не приветствует инновации, что может иметь пагубные последствия.

В качестве примера деструктивных инноваций приведем сайт Craigslist, на котором размещаются объявления о продаже и найме. В начале 2000-х деятельность Craigslist привела к потере сотен тысяч рабочих мест в газетах США. В то время на самом сайте работало всего несколько десятков человек. Хотя люди потеряли работу, сайт Craigslist сделал экономику более эффективной, повысив параметр технологий. В менее плюралистическом обществе печатные средства массовой информации добивались бы от правительства закрытия сайта Craigslist, что привело бы к замедлению экономического роста.

Экономическое господство Японии Китая

Линейная модель + правило 72. С 1960 по 1970 год ВВП Японии ежегодно рос на 10 процентов. Линейная проекция дальнейшего роста ВВП на 10 процентов позволила бы сделать вывод об удвоении японской экономики каждые семь лет (согласно правилу 72). В 1970 году ВВП Японии на душу населения равнялся примерно 2000 долларам. Если бы эта тенденция сохранилась, то к 2012 году он удвоился бы шесть раз и в результате составил бы 128 000 долларов.

Модель роста. Данная модель объясняет рост японской экономики инвестициями в физический капитал и подразумевает вогнутую функцию темпов роста на протяжении длительного периода. Модель роста прогнозирует, что по мере приближения ВВП Японии к ВВП США и Европы темпы его роста должны снизиться до исторического среднего значения по всем странам, составляющего 1–2 процента[159]159
  В своей книге «Капитал в XXI веке» Тома Пикетти (Piketty 2014) показывает, что средний рост мирового ВВП за период с 1700 по 2012 год составил всего 1,6 процента, а также что половина этого роста обусловлена увеличением численности населения. Применив правило 72 к темпу роста 0,8 процента, мы обнаружим, что за более чем 300-летний период средний уровень жизни вырос примерно в 10 раз.


[Закрыть]. Фактические данные подтверждают это. С 1970 по 1990 год ВВП Японии увеличивался примерно на 4 процента в год, а с 1990 по 2017 год его рост составлял не более 1 процента.

Экономический рост Китая. ВВП Китая с 1990 по 2016 год вырос почти на 10 процентов. В 2016 году ВВП на душу населения в Китае достиг примерно 8000 долларов и, как предсказывала модель роста, экономический рост страны замедлился: с 2013 по 2017 год рост ВВП составлял около 6 процентов. Таким образом, в Китае устойчивый 10-процентный рост вступил в противоречие с правилом 72. Если бы на протяжении следующего столетия рост китайской экономики составлял в среднем 10 процентов, ВВП на душу населения превысил бы 100 миллионов долларов.

И все же мир нелинеен

Мы строим нелинейные модели, потому что немногие линейные явления представляют для нас интерес. В этой главе мы увидели, что убывающая и возрастающая отдача – общие свойства экономических, физических, биологических и социальных явлений. Мы также обнаружили в наших моделях ряд следствий, включая кривизну. Пожалуй, самое важное из увиденного то, что функциональные формы структурируют наше мышление, а их согласование с данными позволяет составлять точные формулировки. Ученые могут вычислить возраст артефактов с помощью данных об изотопе углерод-14. Экономисты могут оценить долгосрочные последствия небольшого увеличения роста.

Самый важный вывод из этой главы – интуиции становится недостаточно, когда мы включаем в рассмотрение нелинейность. Интуиция подсказывает нам направление воздействия: рост увеличивается за счет повышения заработной платы, наращивания трудовых ресурсов и внедрения технологических инноваций. Накопления, как и следовало ожидать, имеют линейный эффект. Наращивание трудовых ресурсов оказывает аналогичное воздействие в долгосрочной перспективе, хотя модель исходит из краткосрочной убывающей отдачи. Рост инноваций оказывает мультипликативный эффект и дает квадратный рост вышеуказанных эффектов. Первое увеличение объема производства – прямое следствие инноваций. Второе обусловлено ростом капиталовложений.

Подобные выводы становятся очевидны благодаря использованию моделей. Без них мы лишь можем определить, какой показатель растет, а какой падает, но это не дает нам понимания формы функциональной зависимости. В итоге мы часто делаем линейные экстраполяции – например, китайская экономика вскоре захватит весь мир. Модели позволяют нам тщательнее проанализировать логику, порождающую нелинейные эффекты. Набор нелинейных функций огромен. Вогнутые и выпуклые модели, о которых шла речь в этой главе, – лишь малая его часть. Если мы хотим улучшить свою способность рассуждать, объяснять и действовать в этом сложном мире, нам нужно еще глубже погрузиться в изучение нелинейных явлений.

Глава 9
Модели ценности и влияния

Ваша ценность не в том, что вы знаете, а в том, чем вы делитесь.

Джинни Рометти

В этой главе мы рассмотрим модели, количественно определяющие ценность и степень влияния отдельных агентов. Некоторые случаи довольно просты. Когда группа обеспечивает результат, равный сумме индивидуальных вкладов ее членов, ценность каждого члена группы эквивалентна его вкладу. Если коллективный результат не делится на составляющие (например, когда команда программистов пишет программу или группа предпринимателей предлагает креативный способ применения новой технологии), определение заслуг усложняется. Оценка влияния политических партий создает аналогичные проблемы: количество мест, которые контролирует партия, коррелирует с ее влиянием, но не идеально.

Мы определим два показателя ценности и влияния: предельная ценность игрока (предельный вклад агента при условии, что группа уже сформирована) и вектор Шепли (средний предельный вклад агента во все возможные последовательности включения новых людей в группу). В группе из трех человек мы вычислим среднее значение дополнительной ценности человека, если он присоединяется к группе первым, вторым и третьим. Мы определим эти показатели в рамках моделей кооперативных игр, состоящих из множества игроков, а также функции ценности, которая присваивает коллективный выигрыш каждому возможному подмножеству игроков.

Глава состоит из четырех частей. В первой мы рассмотрим модели кооперативных игр, предельную ценность игрока, вектор Шепли и несколько примеров. Во второй опишем аксиоматику вектора Шепли. Мы докажем, что это показатель, удовлетворяющий четырем условиям. Первое условие: игроку, не повышающему ценность, должно быть присвоено нулевое значение ценности. Согласно второму условию, сумма значений ценности игроков должна равняться общему значению ценности игры. В третьей части мы применим вектор Шепли по отношению к группе, выполняющей творческую задачу (когда каждый член группы предлагает свои идеи), и продемонстрируем, как в этом контексте данный показатель порождает интуитивно понятное значение ценности. В четвертой части мы рассмотрим особый случай применения вектора Шепли в играх голосования, чтобы провести различие между влиянием участников голосования и процентом голосов. Мы увидим, что эти два показателя не всегда совпадают. Партия может иметь 20 процентов мест и ноль влияния в одном случае и треть от общего объема влияния в другом.

Кооперативные игры

Кооперативная игра состоит из множества игроков и функции ценности, присваивающей определенное значение ценности каждому возможному подмножеству игроков, которое часто называют коалицией. Кооперативные игры предназначены для описания коллективной работы и совместных проектов. В данной модели мы будем исходить из предположения, что люди участвуют в игре, чтобы сосредоточиться на присвоении ценности их вкладу.

Кооперативные игры

Кооперативная игра состоит из множества N игроков и характеристической функции V(S), присваивающей значение ценности любому подмножеству S⊆N. Эти подмножества называются коалициями. Ценность пустой коалиции (без игроков) равна нулю: V(∅) = 0; ценность всех N игроков, V(N), равна общей ценности игры.

В кооперативной игре предельная ценность игрока равна той ценности, которую он добавляет, присоединяясь к группе последним. Предельная ценность игрока отражает предельное значение ценности. Если четырех человек нанимают для перестановки стола, и они создают ценность 10, при этом нужны все четверо, то каждый человек имеет предельную ценность, равную 10. Если требуются только три человека, каждый из них имеет нулевую предельную ценность. Обратите внимание, что значения предельной ценности не обязательно в сумме должны давать общую ценность игры. В частности, если функция ценности демонстрирует убывающую отдачу от масштаба, то сумма значений предельной ценности будет меньше общей ценности, а если дополнительная ценность демонстрирует растущую отдачу от масштаба, то этот показатель превысит общую ценность.

Ценность игрока по Шепли равна его предельному вкладу при вступлении в коалицию, усредненному по всем возможным вариантам порядка, в котором формируется коалиция всех игроков. Иначе говоря, мы представляем себе включение игроков в коалицию в определенной последовательности и вычисляем дополнительную ценность игрока в каждой последовательности. Рассмотрим небольшую компанию, ведущую бизнес в Испании и Франции. В ней работают три сотрудника: один владеет испанским языком, второй – французским, а третий говорит на обоих языках.

Предположим, наша кооперативная игра присваивает ценность 1200 долларов любому множеству сотрудников, владеющих французским и испанским языками. Эта сумма равна суточному доходу компании, когда она работает. Если в офис приходят любые два сотрудника, третий не нужен. Следовательно, каждый игрок имеет предельную ценность, равную нулю.

Чтобы определить ценность игрока, владеющего французским языком, рассмотрим все шесть последовательностей, в которых сотрудники могут приходить на работу. Только в одном случае (когда испаноговорящий сотрудник приходит первым, а франкоговорящий вторым) франкоговорящий сотрудник увеличивает ценность; его ценность по Шепли равна , умноженной на 1200 долларов, то есть 200 долларов. Испаноговорящий сотрудник добавляет ценность только в случае, когда он приходит вторым, а франкоговорящий первым, поэтому его ценность по Шепли тоже равна 200 долларов. В четырех оставшихся вариантах последовательности двуязычный сотрудник приходит либо первым, либо вторым и увеличивает ценность. Таким образом, его ценность по Шепли составляет 800 долларов. Сумма значений ценности по Шепли равна 1200 долларов, то есть общей ценности игры.

Вектор Шепли

При наличии кооперативной игры {N, V} вектор Шепли определяется следующим образом: пусть O представляет все N! вариантов последовательности, в котором N игроков могут быть включены в группу. Для каждого варианта последовательности во множестве O определим дополнительную ценность i-го игрока как изменение функции ценности, имеющее место в случае добавления игрока i. Ценность i-го игрока по Шепли равна среднему его значений дополнительной ценности по всем вариантам порядка в O.

Теперь, уловив общую идею, составим более сложный пример. Представьте себе команду, в которой должно быть четыре гребца и один рулевой – человек более низкого роста, который задает темп гребли и управляет рулем. В наш экипаж (включающий участников кооперативной игры) входит шесть человек: пять рослых, сильных гребцов и один более низкий человек с навыками рулевого. Для участия в состязаниях в команде должно быть четыре гребца и один рулевой. Команда из пяти человек, в которую входит специально обученный рулевой, будет конкурентоспособной и имеет ценность 10. Команда из пяти гребцов без рулевого тоже может участвовать в соревнованиях, но не покажет высоких результатов из-за избыточного веса. Присвоим ей ценность 2.

Для того чтобы вычислить вектор Шепли, представим, что игроки прибывают в команду во всех возможных последовательностях. Если более низкий рулевой прибывает первым, вторым, третьим или четвертым, он не добавляет ценности. Прибывая пятым (что происходит в одной шестой случаев), он создает ценность 10. Если он прибывает шестым, то заменяет одного из гребцов в качестве рулевого, и его дополнительная ценность составит 8. Вычислив среднее значение всех этих вариантов, мы сможем определить, что ценность рулевого по Шепли равна 3.

Каждый гребец увеличивает ценность тогда и только тогда, когда он прибывает пятым, что происходит в одном из шести случаев. Если рулевой не прибыл, гребец, который прибывает пятым, увеличивает ценность на 2. Если рулевой прибыл, гребец создает ценность 10. Учитывая вероятность один к пяти того, что рулевой окажется последним из пяти оставшихся игроков, а также вероятность четыре к пяти того, что рулевой прибудет в первой четверке, мы получим ценность каждого гребца по Шепли, равную [160]160
  Это число получается так: 2/6 (рулевой оказался последним в пятерке гребцов) + 10 · 4/6 (рулевой будет в первой четверке) = 42/6 = 7 – суммарная ценность всех гребцов, которую затем нужно разделить на 5 (их количество), чтобы узнать ценность одного гребца. Прим. ред.


[Закрыть][161]161
  Это значение найдено путем умножения ⅙ вероятности того, что гребец увеличит ценность, на его ожидаемую дополнительную ценность, которая равна плюс . Обратите внимание, что значения вектора Шепли дают в сумме 10, общую ценность игры.


[Закрыть]. Интуитивно понятно, что ценность рулевого должна быть больше ценности отдельного гребца и, с учетом того, что без рулевого гребцы могут состязаться (пусть и плохо), меньше совокупной ценности всех гребцов. Существует бесконечное количество способов определить значения ценности, удовлетворяющие этим ограничениям. Ценность игроков по Шепли имеет конкретные значения: 3 – ценность рулевого и 7 – общая ценность пяти гребцов.

Аксиоматика вектора шепли

Теперь опишем набор аксиом, которым однозначно удовлетворяют значения вектора Шепли. Этот результат объясняет, почему мы можем предпочесть вектор Шепли другим показателям. Во-первых, обратите внимание, что мы вычисляем значения вектора Шепли путем определения среднего значения предельного вклада игрока по всем возможным вариантам порядка, поэтому ценность игрока, который не добавляет ценности, по Шепли равна нулю. Кроме того, любым двум идентичным игрокам (то есть тем, которые вносят одинаковый вклад в каждую коалицию) должна быть присвоена одна и та же ценность по Шепли. А с учетом того, что сумма значений дополнительной ценности равна общей ценности игры при любом варианте упорядочения, значения вектора Шепли тоже должны давать в сумме ценность игры. Это и есть три из четырех аксиом. Обратите внимание, что ценность последнего игрока удовлетворяет двум первым аксиомам, но не третьей.

Добавим к этим трем свойствам четвертое, аддитивность, согласно которому, если функция ценности кооперативной игры делится на две функции ценности, каждая из которых соответствует отдельной кооперативной игре, то ценность участника объединенной игры должна равняться сумме значений его ценности в двух играх, входящих в состав общей игры. Быстрый анализ показывает, что вектор Шепли удовлетворяет и этому свойству. Тот факт, что все четыре свойства однозначно определяют вектор Шепли, менее очевиден.

Демонстрация того, что тот или иной показатель однозначно удовлетворяет набору аксиом, позволяет логически его обосновать. Без аксиом показатель интуитивно понятен, но его можно рассматривать как произвольный, то есть один из ряда возможных. Теорема также указывает на то, что при выборе любого другого показателя нам придется отбросить одну из аксиом. Это не означает, что вектор Шепли – единственный приемлемый показатель. Возможно, экономист и математик Ллойд Шепли сначала описал показатель и только потом сформулировал аксиомы, которым он однозначно удовлетворяет. Не имеет значения, что именно первично. Даже если аксиомы были сформулированы после описания показателя, приняв их, мы должны принять и сам показатель. Приемлемость показателя зависит от обоснованности аксиом. В данном случае первые три трудно оспорить. Четвертая, аксиома аддитивности, сложнее остальных, но ее можно подтвердить тем, что если бы она не выполнялась, то игроки были бы заинтересованы в разрыве отношений или формировании коалиции.

Аксиоматика вектора Шепли

Вектор Шепли однозначно удовлетворяет следующим аксиомам.

Нулевое свойство: если дополнительная ценность, создаваемая игроком, равна нулю в любой коалиции, то ценность игрока тоже равна нулю.

Справедливость (симметрия): если два игрока создают одну и ту же дополнительную ценность в любой коалиции, то они имеют одинаковую ценность.

Полное распределение: сумма значений ценности игроков равна общей ценности игры, V(N).

Аддитивность: при наличии двух игр, определенных на одном множестве игроков, с функциями ценности V и  ценность игрока в игре равна сумме значений его ценности в играх V и .