Текст книги "Модельное мышление. Как анализировать сложные явления с помощью математических моделей"

Резюме

Таким образом, линейные модели исходят из постоянной величины эффекта. Линейная регрессия – мощный инструмент предварительного анализа данных, позволяющий определить знак, величину и значимость переменных. Если мы хотим знать о влиянии потребления кофе, алкоголя и газированных напитков на здоровье человека, регрессионный анализ поможет нам в этом. Мы можем обнаружить, что потребление кофе снижает риск сердечно-сосудистых заболеваний, так же как и умеренное потребление алкоголя. Однако нам следует скептически относиться к экстраполяции линейных эффектов слишком далеко за пределы диапазона имеющихся данных. Мы не должны думать, что выпивать за день тридцать чашек кофе, не говоря уже о шести бокалах вина, это хорошо. Не стоит также делать линейные прогнозы на слишком отдаленное будущее. За период с 1880 по 1960 год численность населения Калифорнии росла со скоростью 45 процентов. Применив линейную экстраполяцию, мы получили бы численность населения Калифорнии в 2018 году в размере 100 миллионов человек, что более чем в два раза превышает фактический показатель.

Имейте в виду, что мы только начинаем. Большинство изучаемых явлений носят нелинейный характер. По этой причине многие регрессионные модели содержат нелинейные параметры, такие как квадрат возраста, квадратный корень из возраста и даже логарифм возраста. Для того чтобы объяснить нелинейные характеристики, мы также можем организовать непрерывную последовательность линейных моделей. Эти сопряженные линейные модели могут аппроксимировать кривую во многом подобно тому, как из прямоугольных кирпичей можно выложить извилистую дорожку. Хотя линейность может быть слишком сильным и нереалистичным предположением, это хорошая отправная точка. При наличии данных можно использовать линейные модели для проверки интуитивных выводов, а затем разработать более сложные модели, в которых воздействие переменной слабеет по мере увеличения ее значения (убывающая отдача) или усиливается (положительная отдача). Такие нелинейные модели – тема следующей главы.

Бинарная классификация данных

В эпоху больших данных организации используют для их классификации алгоритмы, основанные на моделях. Политическая партия может захотеть выяснить, кто голосует, авиакомпании может понадобиться информация о характеристиках часто летающих пассажиров, а организатор мероприятий может захотеть узнать о его участниках. В каждом из этих случаев организация распределяет людей на две категории: те, кто покупает, вносит свой вклад или регистрируется на мероприятие, обозначаются как положительные величины (+), а те, кто этого не делает, – как отрицательные величины (–).

Модели классификации используют алгоритмы для разделения людей на категории с учетом таких характеристик, как возраст, доход, уровень образования или количество часов, проведенных в интернете. Разные алгоритмы подразумевают разные базовые модели взаимосвязи между характеристиками и результатами. Применение множества алгоритмов (использование множества моделей) обеспечивает более точную классификацию.

Линейная классификация. На рис. M1 положительные величины (+) представляют участников голосования, а отрицательные величины (–) – тех, кто не голосовал. Линейная функция возраста и уровня образования человека позволяет определить, примет ли он участие в голосовании. Данные указывают на то, что более образованные люди и люди старшего возраста с большей вероятностью голосуют. В данном примере прямая линия почти идеально делит избирателей на категории[137]137
  Для того чтобы найти оптимальную линию для классификации данных, многие аналитики используют машину опорных векторов (support vector machine, SVM) – подход, аналогичный регрессии. Ключевое отличие состоит в том, что машина опорных векторов находит линию, которая максимизирует расстояние до ближайших точек в каждом наборе, разделяющем данные на положительные и отрицательные величины. Если ни одной такой линии не существует (как часто бывает), устанавливаются штрафы за нарушения. Напротив, регрессия сравнивает расстояние до каждой точки данных и минимизирует общее расстояние.


[Закрыть].

Рис. M1. Использование линейной модели для классификации поведения избирателей

Нелинейная классификация. На рис. M2 положительные величины (+) представляют часто путешествующих пассажиров (которые летают более 10 000 миль в год), а отрицательные величины (–) всех остальных клиентов авиакомпании. Люди среднего возраста и более обеспеченные летают чаще. Для классификации этих данных необходима нелинейная модель, которую можно рассчитать с помощью алгоритмов глубокого обучения, таких как нейронные сети. Нейронные сети содержат больше переменных, поэтому могут построить практически любую кривую.

Рис. M2. Использование нелинейной модели для классификации часто путешествующих пассажиров

Лес деревьев принятия решений. На рис. M3 положительные величины (+) представляют людей, которые участвовали в конференции по научной фантастике, с учетом их возраста и количества часов, проведенных в интернете. В этом случае мы классифицируем данные с помощью трех деревьев принятия решений. Деревья принятия решений обеспечивают классификацию на основе наборов условий по характеристикам. На рисунке показаны следующие деревья:

Рис. M3. Лес деревьев принятия решений, классифицирующий участников конференции

Дерево 1: если (возраст < 30) и (количество часов в интернете за неделю в диапазоне [15, 25]).

Дерево 2: если (возраст в диапазоне [20, 45]) и (количество часов в интернете за неделю >30).

Дерево 3: если (возраст >40) и (количество часов в интернете за неделю >20).

Такая совокупность деревьев принятия решений называется лесом. Алгоритмы машинного обучения создают деревья в произвольном порядке на обучающих наборах данных, а затем сохраняют те, которые обеспечивают точную классификацию на проверочном и обучающем наборах.

Глава 8
Вогнутость и выпуклость

Говорить о нелинейной науке – все равно что говорить о неслоновьей зоологии.

Джон фон Нейман

Рассмотрим теперь нелинейные модели и нелинейные функции. Нелинейные функции могут изгибаться вниз или вверх, иметь S-образную форму, образовывать петли, скачки и завитки. В свое время мы опишем все эти варианты. А пока начнем с моделей, основанных на выпуклости и вогнутости, и покажем, как рост и положительная обратная связь создают выпуклость, а убывающая отдача и отрицательная обратная связь – вогнутость. Большинство предметных областей содержат модели обоих типов. Экономические модели производства предполагают, что затраты на доставку и хранение товарно-материальных запасов сокращаются в зависимости от размера компании, в связи с чем прибыль на единицу проданной продукции имеет вид выпуклой функции[138]138
  Здесь и далее под термином «выпуклая» подразумевается «выпуклая вниз», а «вогнутая» – «выпуклая вверх». Ранее в отечественной литературе использовалось обратное понятие выпуклости и вогнутости. Прим. ред.


[Закрыть] размера компании. Это объясняет, почему Walmart получает такую большую прибыль[139]139
  См. Arthur, 1994.


[Закрыть]. Экономические модели потребления исходят из того, что полезность (или ценность) – это вогнутая функция (пятый кусок пиццы приносит нам меньше удовольствия, чем первый). В экосистемах, когда новый вид захватывает среду обитания и не встречает там хищников, его популяция растет с постоянной скоростью, создавая выпуклую функцию. По мере роста численности вида количество пищи уменьшается. Поэтому приспособленность как функция размера популяции имеет вогнутую форму.

В главе три части. В первой рассматриваются модели увеличения и сокращения численности популяций. Вторая посвящена вогнутости. В ней мы увидим, как вогнутость приводит к неприятию риска и предпочтениям разнообразия. В третьей мы изучим ряд моделей роста из области экономики, сочетающих вогнутые и линейные функции.

Выпуклость

Выпуклые функции имеют возрастающий наклон: значение функции увеличивается на большую величину по мере повышения значения переменной. Количество возможных пар людей – это выпуклая функция от численности группы. Группа из трех человек включает три уникальные пары, группа из четырех человек – шесть уникальных пар, а группа из пяти человек – десять. Каждое увеличение численности группы увеличивает количество пар на большую величину. Аналогично, когда шеф-повар добавляет новые специи в блюда, он увеличивает количество сочетаний специй на большую величину.

Наша первая модель выпуклости, модель экспоненциального роста, описывает величину переменной (в основном это популяция или ресурс) как функцию ее исходного значения, скорости роста и количества периодов.

Модель экспоненциального роста

Величину V_t ресурса в момент времени t, имеющую исходное значение V₀ и возрастающую со скоростью R, можно описать так:

V_t = V₀(1 + R)^t.

Эта модель в виде одного уравнения играет важную роль в области финансов, экономики, демографии, экологии и технологий. Применительно к финансам в качестве переменной выступают деньги. С помощью данного уравнения можно рассчитать, что облигация стоимостью 1000 долларов с годовой процентной ставкой 5 процентов увеличивается в цене на 50 долларов за первый год и более чем на 100 долларов в двадцатый год. Для чистоты выводов будем подразумевать постоянный темп роста. С учетом такого предположения на основе уравнения экспоненциального роста можно вывести правило 72.

Правило 72

Если та или иная величина регулярно увеличивается на небольшой (менее 15 процентов) процент R в течение некоторого периода, то приблизительно определить срок ее удвоения позволяет следующее уравнение:

Правило 72 позволяет наглядно продемонстрировать, как работают сложные проценты. В 1966 году ВВП Зимбабве составлял 2000 долларов на душу населения и вдвое превышал этот показатель в Ботсване. На протяжении следующих тридцати шести лет в Зимбабве наблюдался только незначительный рост ВВП, в то время как в Ботсване средний рост за год составил 6 процентов, а значит, ВВП Ботсваны удваивался каждые двенадцать лет. За тридцать шесть лет он удвоился три раза, в целом увеличившись в восемь раз. В результате в 2004 году ВВП Ботсваны на душу населения в размере 8000 долларов в четыре раза превышал ВВП Зимбабве.

Эта формула объясняет, почему пузыри на рынке недвижимости непременно лопаются, а технологический прогресс – нет. В 2002 году цены на дома в США выросли на 10 процентов, что подразумевает удвоение каждые семь лет. Если бы эта тенденция сохранялась на протяжении тридцати пяти лет, то цены на дома удваивались бы пять раз, что означало бы их общее повышение в 32 раза. Дом стоимостью 200 000 долларов в 2002 году в 2037-м оценивался бы в 6,4 миллиона долларов. Но цены не могут расти такими темпами. Пузырь должен был лопнуть. В отличие от закона Мура, который гласит, что количество транзисторов, которые могут поместиться на микросхеме, удваивается каждые два года. Закон Мура актуален[140]140
  В последнее время темпы роста плотности транзисторов значительно упали, так что все чаще говорят о прекращении действия этого закона. Сам Мур заявил о скором прекращении действия его закона еще в 2007 году. Прим. ред.


[Закрыть], поскольку расходы на исследования и разработки обеспечивают постоянное улучшение технологий.

Демографы применяют модель экспоненциального роста к народонаселению. Если численность населения ежегодно увеличивается на 6 процентов, то она удваивается каждые двенадцать лет. За тридцать шесть лет этот показатель удваивается трижды, а за сто лет – восемь раз (что означает общее увеличение в 256 раз). В 1798 году британский экономист Томас Мальтус обратил внимание на то, что численность населения растет по экспоненте, и описал модель, показавшую, что, если способность экономики производить продукты питания будет возрастать линейно, наступит кризис. Сокращенная версия этой модели выглядит так. Численность населения возрастает как 1, 2, 4, 8, 16, 32… Выпуск продуктов питания растет как 1, 2, 3, 4, 5… Мальтус предсказывал катастрофу. К счастью, уровень рождаемости упал, а наступившая промышленная революция обусловила рост производительности. Если бы ничего не изменилось, Мальтус оказался бы прав. Однако он не учел потенциала процесса инноваций, который находится в центре внимания моделей, представленных далее. Инновации обернули эту тенденцию вспять.

Модель экспоненциального роста можно также применить к распространению видов, причем не только к кроликам. Когда вы подхватываете бактериальную инфекцию, крошечные бактерии воспроизводятся с невероятной скоростью. Их численность в носовых пазухах человека увеличивается примерно на 4 процента в минуту. Применив правило 72, мы можем вычислить, что их численность удваивается каждые двадцать четыре минуты. Всего за один день каждая первоначальная бактериальная клетка порождает более миллиарда (!) потомства[141]141
  Тридцать удвоений – это 2³⁰, что больше 1 миллиарда.


[Закрыть]. Рост останавливается, когда из-за физических ограничений ваших носовых пазух в них не остается свободного места. Дефицит пищевых ресурсов, хищники и отсутствие свободного места – все это замедляет рост. Некоторые виды, например олени в пригородной зоне Америки или гиппопотамы, которых наркобарон Пабло Эскобар завез в Колумбию, не встречают серьезных препятствий для роста, поэтому их численность стремительно увеличивается, хотя и не с такой скоростью, как численность бактерий[142]142
  См. Karlsson, 2016, где можно изучить контекст распространения гиппопотамов Эскобара.


[Закрыть].

Выпуклая функция с положительным наклоном повышается с увеличением значения. Выпуклая функция с отрицательным наклоном становится менее наклонной. Выпуклая функция с изначально большим отрицательным наклоном становится плоской. Это верно в случае уравнения, используемого в модели периода полураспада, описывающей радиоактивный распад, обесценивание и забывание.

В модели периода полураспада каждые H периодов половина количественной величины распадается, поэтому показатель H называют периодом полураспада. Для некоторых физических процессов период полураспада – величина постоянная. Вся органическая материя содержит два типа углерода: нестабильный изотоп углерод-14 и стабильный изотоп углерод-12. В живой органической материи они присутствуют в постоянном соотношении. Когда организм умирает, углерод-14 в его теле начинает распадаться с периодом полураспада 5734 года. При этом количество углерода-12 не меняется. Специалист по физической химии Уиллард Либби понял, что, измерив соотношение между содержанием углерода-14 и углерода-12, можно определить возраст окаменелости или артефакта – метод, известный как «радиоуглеродное датирование». Археологи применяют этот метод для оценки подлинности артефактов, а палеонтологи используют аналогичный метод (в том числе и с другими, гораздо более долгоживущими изотопами) для оценки возраста останков динозавров, шерстистых мамонтов и доисторических рыб. Возраст останков ледяной мумии человека Эци, найденной в итальянских Альпах, оценивается в пять тысяч лет. Туринская плащаница, впервые продемонстрированная в 1357 году как погребальная плащаница Иисуса Христа, датируется XIV столетием, а не временами Христа[143]143
  Радиоуглеродное датирование имеет ряд недостатков, связанных с калибровкой метода и практически полным распадом углерода-14 при сроках более нескольких десятков тысяч лет. Поэтому сегодня он применяется в основном на историческом интервале (от десятков лет до 60–70 тысяч лет в прошлое). Прим. ред.


[Закрыть].

Модель периода полураспада

Если каждые H периодов половина количественной величины распадается, то после t периодов верно следующее выражение:

Модель периода полураспада нашла применение и в психологии. Ранние психологические исследования показали, что люди забывают информацию с почти постоянной скоростью. Период полураспада нашей памяти зависит от значимости события[144]144
  См. Ebbinghaus, 1885.


[Закрыть]. В 2016 году фильм Spotlight («В центре внимания») получил премию Американской киноакадемии в номинации «Лучший фильм». Если память человека о лауреатах премии «Оскар» имеет двухгодичный период полураспада, то в 2018 году о фильме вспомнили бы ¼ людей, а в 2026-м и вовсе . У разных людей разные воспоминания об определенном событии. Том Маккарти, режиссер и один из авторов сценария фильма, скорее всего, никогда не забудет тот год, когда он получил «Оскар».

Вогнутые функции

Вогнутые функции – противоположность выпуклым. Наклон вогнутых функций снижается. Вогнутые функции с положительным наклоном отражают убывающую отдачу: дополнительная ценность каждого нового объекта уменьшается по мере увеличения количества таких объектов. Полезность или ценность практически всех благ демонстрирует убывающую отдачу. Чем больше у нас досуга, денег, мороженого или даже времени, проведенного с близкими людьми, тем меньше мы все это ценим. Подтверждением служит тот факт, что чем больше мы потребляем практически всего, в том числе шоколада, тем меньше удовольствия получаем и тем меньше готовы за него платить[145]145
  Исследователи головного мозга обнаружили, что даже для шоколада существует определенный объем потребления, при котором люди начинают испытывать к нему отвращение (Small et al., 2001).


[Закрыть].

Убывающая отдача может объяснить целый ряд явлений, включая и то, почему отношения на расстоянии часто бывают такими счастливыми. Если вы видитесь с партнером всего несколько часов в месяц, каждая дополнительная минута прекрасна. Через месяц непрерывной близости наклон кривой счастья выравнивается и несколько дополнительных моментов теряют свою значимость[146]146
  Этот пример, подобно многим другим примерам, я позаимствовал из книги: Lave and March, 1975.


[Закрыть]. Это объясняет, почему девелоперы предлагают людям бесплатное посещение своих кондоминиумов на берегу во время уик-энда (а не дольше). За этот срок вы склоняетесь к решению о покупке, однако после десяти дней на пляже вы можете заскучать.

Предполагая наличие вогнутости, мы подразумеваем предпочтение разнообразия и неприятие риска. Для демонстрации первого требуется вогнутая функция со множеством аргументов. Если наше счастье отражает вогнутая функция и оно возрастает в зависимости от досуга и денег, мы предпочитаем иметь какое-то количество досуга и денег, а не весь досуг и отсутствие денег или все деньги и отсутствие досуга. Неприятие риска означает предпочтение беспроигрышного варианта перед лотереей со случайным исходом. Человек, избегающий риска, предпочитает гарантированный выигрыш в размере 100 долларов лотерее, в которой в половине случаев можно выиграть 200 долларов, а в другой половине – ничего. Такой человек выберет вафельный стаканчик с двумя шариками мороженого вместо варианта получить либо ничего, либо большую порцию мороженого из четырех шариков.

На рис. 8.1 показано, почему вогнутость подразумевает неприятие риска. На рисунке отображен уровень радости в отношении ценности трех результатов: высокий результат (H), низкий результат (L) и среднее значение этих результатов (M). Учитывая, что кривая изгибается вниз, радость в отношении среднего результата превышает средний уровень радости по поводу низкого и высокого результатов. Для выпуклых функций верно обратное. Выпуклость подразумевает склонность к риску: мы предпочитаем крайние варианты среднему. Количество акций, которые вы можете купить, представляет собой выпуклую функцию их цены. В связи с этим их покупатели предпочитают волатильность цен. Если цена акций повышается и снижается, покупатели приобретают больше акций, чем в случае, когда цена не меняется[147]147
  Предположим, вы инвестируете 3000 долларов в год. Если бы цена акций была неизменной и составляла 15 долларов, то вы могли бы ежегодно покупать по 200 акций. Если бы цена акций колебалась от 20 до 10 долларов, то в год с высокой ценой вы могли бы купить 150 акций, а в год с низкой ценой 300 акций. В среднем вы покупали бы 225 акций, что больше количества акций, которые вы могли бы купить при неизменной цене.


[Закрыть].

Рис. 8.1. Неприятие риска: ценность среднего результата больше среднего значения ценности низкого и высокого результатов

Модели экономического роста

Далее мы построим ряд моделей экономического роста. Эти модели раскрывают причины роста и могут объяснить и спрогнозировать его закономерности в разных странах. Кроме того, они могут стать руководством к действию, например, в случае повышения нормы накоплений. Чтобы заложить основу для изучения моделей роста, введем стандартную экономическую модель производства, в которой выпуск продукции зависит от трудовых ресурсов и физического капитала. Эмпирические данные и логические выводы подтверждают вогнутость функции объема производства по таким параметрам, как трудовые ресурсы и капитал. При неизменном объеме капитала ценность трудовых ресурсов должна уменьшаться по мере увеличения их объема. Аналогично увеличение количества машин или компьютеров приводит к снижению их ценности при фиксированном числе работников. Логика также подсказывает, что выпуск продукции должен увеличиваться линейно. Удвоение количества работников и объема капитала должно обеспечить удвоение объема производства. Компания по выпуску веников с шестьюдесятью сотрудниками и одним цехом, которая строит второй цех и нанимает еще шестьдесят работников, должна увеличить объем производства в два раза. Модель Кобба – Дугласа (широко используемая в экономике) включает оба свойства. Производственная функция будет вогнутой по трудовым ресурсам и капиталу и линейной по масштабу производства. Эту модель можно применить для описания экономики и отдельной компании, и страны в целом[148]148
  Ключевое предположение состоит в том, что в функции производства Кобба-Дугласа показатели степени a и (1 − a) дают в сумме 1. Это указывает на то, что при удвоении количества работников и объема капитала совокупный объем производства также удвоится.
  объем производства = постоянная · (2 · работники)^a(2 · капитал)^(1 − a⁾.
  Раскрытие скобок и перегруппировка членов уравнения дают удвоение объема производства:
  объем производства = 2 · постоянная · работники^a · капитал^(1 − a⁾.


[Закрыть].

Модель Кобба – Дугласа

При наличии L работников и K единиц капитала общий объем производства равен:

объем производства = Constant · L^aK^(1 − a⁾,

где a – действительное число от 0 до 1, соответствующее относительной важности трудовых ресурсов.

Воспользуемся моделью Кобба – Дугласа для построения моделей экономического роста. Для упрощения задачи предположим, что в экономике занято 10 000 человек, не будем учитывать заработную плату и цены, что позволит нам сфокусироваться на том, как количество машин влияет на объем производства. Тогда мы сможем связать инвестиции в капитал с ростом. Чтобы максимально упростить модель, допустим, что объем производства представлен в форме одного товара, скажем, кокосовых орехов, мякоть и жирное молоко которых можно употреблять в пищу. Однако кокосовые орехи растут высоко на пальмах, поэтому работникам необходимы машины для их сбора. Далее мы сделаем весьма нереалистичное предположение, что машины конструируются из кокосовых орехов. Это упрощает модель, но поддерживает важный компромисс между текущим потреблением и будущими инвестициями. В качестве особого случая модели Кобба – Дугласа мы запишем объем производства как квадратный корень из количества работников, умноженный на квадратный корень из количества машин:

Если в экономике используется одна машина, объем производства составляет 100 тонн. Если люди потребляют все 100 тонн кокосовых орехов, они не инвестируют в новые машины. В следующем году объем производства не изменится. Экономика демонстрирует отсутствие роста. Если люди вложат 1 тонну кокосов в создание второй машины, объем производства увеличится до 141 тонны, то есть на 41 процент. В случае создания третьей машины объем производства составит 173 машины[149]149
  Объем производства за день на протяжении второго года равен 100√2 = 141. На третий год он составит 100√3 = 173. Темп роста равен процентному увеличению объема производства из года в год.


[Закрыть]. Постоянные инвестиции приводят к снижению темпов роста экономики. Следовательно, объем производства – это вогнутая функция.

Теперь, получив базовое представление о том, как инвестиции стимулируют рост, построим более сложную модель, включающую правило инвестиций. Представим инвестиции как произведение нормы накоплений и объема производства, а также будем исходить из того, что фиксированная норма амортизации машин (такая как количество машин, которые к концу года подлежат списанию) равна фиксированному проценту от их количества. Далее мы можем записать общее количество машин в следующем году как количество машин в прошлом году плюс инвестиции в новые машины минус машины, потерянные по причине износа. Полная простая формула роста состоит из четырех уравнений.

Простая модель роста

Производственная функция:

Правило инвестиций: I(t) = s·O(t).

Уравнение потребления и инвестиций: O(t) = C(t) + I(t).

Уравнение инвестиций и амортизации:

M(t + 1) = M(t) + I(t) − d · M(t).

O(t) = объем производства, M(t) = количество машин, I(t) = инвестиции, C(t) = потребление, s = норма накоплений и d = норма амортизации.

Если предположить, что в экономике есть 100 машин, норма накоплений составляет 20 процентов, а норма амортизации – 10 процентов, то объем производства будет равен 1000 тонн кокосовых орехов, потребление – 800 тонн, а новые инвестиции составят 200 машин. В общей сложности 10 машин будут списаны из-за износа, а значит, в начале следующего года останется 290 машин. Аналогичные расчеты показывают, что объем производства за второй год составит 1702 тонны, а за третий – почти 2500 тонн[150]150
  Расчеты выглядят так. Год 2: машины – 290, объем производства – Инвестиции составляют (0,2) · 1702 = 340, а значит, потребление равно 1362. Амортизация составляет (0,1) · 290 = 29. Год 3: машины – 601, объем производства – Инвестиции равны (0,2) · 2453 = 491, а значит, потребление равно 1962. Амортизация составляет (0,1) · 601 = 60.


[Закрыть]. В первые три года темпы роста объема производства увеличиваются. Первоначальная выпуклость – это следствие того, что из-за небольшого количества машин на протяжении первых нескольких лет эффект амортизации почти не проявляется. Со временем количество машин растет и амортизация становится значимым фактором, делающим функцию объема производства вогнутой. В долгосрочной перспективе она вообще перестает расти, как показано на рис. 8.2. Проанализировав модель, мы сможем понять, почему так происходит. Функция инвестиции линейна по объему производства: количество новых машин увеличивается линейно вместе с объемом производства. Функция объема производства является вогнутой по количеству машин. Однако амортизация – это линейная функция по количеству машин, поэтому со временем значения линейной амортизации приближаются к уровню вогнутой функции увеличения объема производства.

Рис. 8.2. Объем производства в базовой модели роста на сто лет

В случае долгосрочного равновесия экономики количество новых машин, созданных за счет инвестиций, равно количеству машин, потерянных по причине износа. В нашей модели равновесие наступает, когда в экономике задействовано 40 000 машин и 20 000 тонн кокосовых орехов. На этом этапе экономика инвестирует 20 процентов (или 4000 кокосов) в новые машины и теряет ровно столько же машин из-за износа (10 процентов от 40 000). Таким образом, количество новых машин, потерянных по причине физического износа, равно количеству машин, созданных за счет инвестиций, – и рост останавливается[151]151
  Долгосрочное равновесие можно определить, вычислив значение M*, при котором 0,2 · 100√M* = 0,1M*. Это происходит при M* = 40 000.


[Закрыть].