Текст книги "Модельное мышление. Как анализировать сложные явления с помощью математических моделей"

Вектор шепли и тест на альтернативные варианты применения

Теперь используем значения вектора Шепли в кооперативной игре, основанной на тесте на альтернативные варианты применения. В ходе теста каждый человек должен придумать новые варианты использования какого-либо обычного объекта, скажем, кирпича. Такой тест позволяет оценить креативность человека, исходя из количества вариантов или категорий применения, которые он предложит. При вычислении значений вектора Шепли мы увидим, что можем вывести интуитивно понятное правило подсчета результатов.

Допустим, у нас есть три игрока – Арун, Бетти и Карлос, каждый из которых ищет альтернативы использования блокчейна (технологии распределенного реестра), как показано на рис. 9.1. Арун и Карлос выдвинули по шесть идей, что дает каждому из них по 6 баллов за креативность, а Бетти – семь, что обеспечивает ей 7 баллов. Общий уровень креативности группы равен 9, поскольку всего было выдвинуто девять оригинальных идей. Для того чтобы вычислить значения вектора Шепли, мы могли бы записать все шесть возможных последовательностей, в которых может формироваться группа, начислить ее членам баллы только за уникальные идеи, предложенные в группе, а затем вывести среднее значение по всем шести случаям. Мы можем также заметить, что при вычислении значения вектора Шепли вероятность того, что кто-то получит баллы за ту или иную идею, равна единице, деленной на количество предложивших ее людей. Любой, кто предлагает уникальную идею, всегда получает максимальное количество баллов. На рис. 9.1 такие идеи (например, идея Аруна об использовании блокчейна для регистрации сделок в области искусства) выделены жирным шрифтом. Если два человека выдвигают какую-то идею, каждый из них имеет один шанс из двух присоединиться к группе первым. Аналогично, если все трое выдвигают ту или иную идею, у каждого из них есть один шанс из трех войти в группу первым. Следовательно, равное распределение баллов между теми, кто предложил идею, дает значения вектора Шепли. Таким образом, это и есть уникальный способ присвоить значения, удовлетворяющие всем четырем аксиомам. Эти значения показывают, что хотя Арун предложил не большинство идей, он создал самую большую ценность[162]162
  Формальные расчеты таковы: две из шести идей Аруна уникальны, одна также предложена Бетти и три – всеми игроками. Если Арун входит в состав группы первым, что происходит с вероятностью ⅓, он создает ценность 6. Если он входит в группу вторым и предлагает две уникальные идеи, ни одна из этих идей не принадлежит всем троим игрокам, поэтому у него есть один шанс из двух войти в состав группы до Бетти и предложить еще одну идею. Таким образом, Арун прибавляет 2,5 идеи. В случае присоединения к группе третьим он добавляет обе уникальные идеи. Следовательно, значение ценности Аруна по Шепли составляет 3,5. Бетти предлагает четыре идеи, которыми поделился еще один человек, и три идеи, предложенные всеми игроками. Следовательно, ее значение ценности по Шепли равно 3. И наконец, Карлос предлагает три идеи, выдвинутые еще одним человеком, и три идеи, предложенные всеми игроками. Ценность Карлоса по Шепли составляет 2,5. Обратите внимание, что значения вектора Шепли дают в сумме 9, общее количество идей.


[Закрыть].

Рис. 9.1. Вектор Шепли и тест на альтернативные варианты применения

Индекс шепли – шубика

Теперь применим вектор Шепли к классу игр голосования. В такой игре каждый игрок (представляющий политическую партию или должностное лицо) контролирует фиксированное число мест или голосов, при этом большинство этих мест или голосов нужно для принятия решений. В играх голосования вектор Шепли обозначается термином «индекс влияния Шепли – Шубика»[163]163
  Альтернативный индекс влияния участников голосования, индекс Банцафа-Пенроуза, определяет общее количество партий, которые могут стать ключевыми при наличии всех возможных побеждающих коалиций, и присваивает каждой партии значение ценности, равное числу случаев, когда партия становилась ключевой, деленному на количество партий. См. Banzhaf, 1965.


[Закрыть]. Вычислив его, мы увидим, что прямого соответствия между процентом мест (голосов), которые контролирует партия, и ее влиянием нет.

Для расчета индексов влияния проанализируем все возможные последовательности вхождения партий в коалицию. Если партия присоединяется к коалиции и формирует строгое большинство, то ее дополнительная ценность равна 1. В таких случаях партия считается ключевой. В противном случае партия не добавляет никакой ценности. Рассмотрим в качестве примера парламент со 101 местом, которые распределены между четырьмя политическими партиями следующим образом: партия A контролирует 40 мест, партия B– 39 мест, а у партий C и D по 11 мест. В этом примере партия A не может быть ключевой, если входит в состав коалиции первой или последней, соответственно, входя в коалицию второй или третьей, она всегда будет ключевой. Следовательно, ее индекс влияния равен ½. Когда партия B входит в состав коалиции первой или последней, она тоже не увеличивает ценность. В случае же вхождения в коалицию второй она становится ключевой только тогда, когда партия A присоединилась к коалиции первой. Если партия B входит в коалицию третьей, она может стать ключевой, только если партия A присоединится к коалиции последней. Каждая из этих комбинаций происходит с вероятностью . Таким образом, индекс влияния партии B равен ⅙[164]164
  Так как партия В может стать ключевой только в двух случаях из 12, то 2/12 = 1/6. Кстати, 12 = 4 · 3 · 1 – это количество вариантов формирования коалиций, если не различать партии С и D, иначе было бы 24 таких вариантов. Прим. ред.


[Закрыть]. Партии C и D становятся ключевыми в такой же совокупности случаев, как и партия B. Ни одна из этих партий не может быть ключевой, войдя в коалицию первой. Каждая партия становится ключевой, если присоединяется к коалиции второй, при условии, что партия A вошла в ее состав первой. Каждая партия становится ключевой, входя в коалицию третьей, только когда партия A присоединится к ней последней. А значит, каждая из партий также имеет индекс влияния ⅙.

Рис. 9.2. Разрыв между количеством мест и влиянием

Этот пример демонстрирует возможный разрыв между процентом мест, контролируемых партией, и ее влиянием. Партии A и B контролируют почти одинаковое количество мест, но у партии A в три раза больше влияния, чем у партии B, имеющей столько же влияния, как и партии C и D. Аналогичное распределение мест часто происходит в реальных условиях в странах с парламентской формой правления. В итоге партии с небольшим количеством мест часто могут обладать значительным влиянием. В парламенте Израиля, кнессете, 120 мест. В 2014 году коалиция во главе с партией «Ликуд» получила 43 места. Оппозиция контролировала 59 мест (немногим менее большинства), а ортодоксальная коалиция 18 мест. У всех трех партий был одинаковый индекс Шепли – Шубика. Это не означает, что на практике мелкие ортодоксальные партии столь же влиятельны – все модели неправильные. Но это действительно указывает на то, что их влияние более значительно, чем можно было бы предположить, исходя из количества контролируемых ими мест в парламенте.

Еще более поразительный разрыв между количеством мест и влиянием имел место в наблюдательном совете округа Нассау (штат Нью-Йорк) в середине 1960-х годов. В то время совет состоял из шести членов, каждый из которых контролировал количество голосов, пропорциональное численности населения соответствующего административного района (рис. 9.3). Решение большинством голосов требовало 58 или более из 115 голосов. Обратите внимание, что любые два из трех крупнейших районов округа имели большинство, а значит, голоса оставшихся трех районов ни при каких обстоятельствах не могли стать решающими. Следовательно, представители остальных районов не имели влияния.

Рис. 9.3. Есть голоса, но нет влияния

Индекс влияния Шепли – Шубика можно применить к любой ситуации с неравным распределением мест или голосов, например в случае Евросоюза или коллегии выборщиков. Это не значит, что он приемлем во всех без исключения случаях. Пятьдесят штатов США можно упорядочить 50! (3 · 10⁶⁴) разными способами. Учитывая региональные корреляции в предпочтениях избирателей, не все коалиции возможны. Так, штат Миссисипи вряд ли сформирует коалицию со штатом Нью-Йорк. Для того чтобы разработать более полезный показатель влияния, понадобилось бы поставить одни коалиции в привилегированное положение по отношению к другим или вообще исключить некоторые коалиции. Чуть ниже мы рассмотрим вектор Майерсона, позволяющий сделать второе – исключить ряд коалиций.

Резюме

Значение ценности отдельного игрока по Шепли соответствует его среднему дополнительному вкладу в коалиции по мере их формирования. Это показатель дополнительной ценности. В играх голосования вектор Шепли можно также интерпретировать как показатель влияния, хотя он не всегда бывает наилучшим. Предельная ценность игрока может быть более эффективным показателем влияния в ситуации, когда группа уже сформировалась, поскольку это демонстрирует, какую выгоду каждый отдельный игрок мог бы получить вследствие угрозы выйти из состава группы (при условии, что угроза реальна). В таких случаях коалиции необходимо уменьшить значение ценности последнего игрока. Коалицию с высокой ценностью, но низкой предельной ценностью игрока можно создать путем увеличения ее размера. Включение дополнительных членов в коалицию делает ее действующих членов теми, кем можно пожертвовать, и сводит их предельную ценность к нулю. Мы часто наблюдаем это на практике. Работодатели нанимают больше, чем нужно, сотрудников, чтобы снизить их влияние. Производственные компании пользуются услугами множества конкурирующих поставщиков промежуточных продуктов. Правительства заключают контракты, чтобы многочисленные подрядчики оставались в бизнесе.

Аналогичные интуитивные рассуждения применимы и к созданию коалиций в законодательных органах. Лоббисты Конгресса и лидеры партий стремятся принимать законы (результат, представляющий ценность), но ограничивают влияние отдельных членов палаты представителей и сенаторов[165]165
  Формальный анализ можно найти здесь: Groseclose and Snyder, 1996.


[Закрыть]. Если лоббист оказывает содействие минимальному количеству членов палаты представителей и сенаторов, необходимому для того, чтобы выиграть голосование, то каждый член палаты представителей и каждый сенатор имеет огромную предельную ценность. Любой может проголосовать иначе, полностью изменив судьбу законопроекта. Такой лоббист может сократить значение предельной ценности политиков, заручившись поддержкой квалифицированного большинства членов палаты представителей и сенаторов. Та же логика подразумевает, что партией, имеющей незначительное большинство, трудно руководить. У каждого ее члена высокая предельная ценность. В подавляющем большинстве ни один член палаты представителей или сенатор не имеет большого влияния.

Если мы расширим перспективу и поразмыслим о влиянии в современном связанном мире, то придем к выводу о полезности применения как предельной ценности игроков, так и вектора Шепли. Влияние отдельного человека, организации, корпорации, правительства или террористической группы отчасти зависит от того, какой ущерб они могут нанести, отклонившись от кооперативного режима (предельная ценность игрока). Опытный компьютерный хакер (человек, способный уничтожить значительный объем богатства) обладает огромным влиянием. Это верно даже в случаях, когда хакер не способен создавать ценность.

В отношении корпораций или других транснациональных организаций вектор Шепли может быть более эффективным показателем. В таких случаях выход может быть нецелесообразным. Энергетическая компания участвует в таких играх, как производство и распределение электроэнергии, недвижимость, защита окружающей среды и так далее. Общая дополнительная ценность этой компании равна сумме значений дополнительной ценности в разных областях.

Анализ влияния и ценности сквозь призму кооперативной теории игр позволяет сделать действенные, основополагающие выводы. Кроме того, он также указывает на направление дальнейшего движения. В политике и бизнесе не все коалиции вероятны. Данная модель исходит из возможности любой коалиции. Более содержательная модель должна учитывать связанность мира. Консалтинговые и финансовые компании покупают программное обеспечение у технологических компаний. Технологические и консалтинговые компании инвестируют и берут кредиты через финансовые компании. А финансовые и технологические компании нанимают консультантов. В рамках подобных сетей каждый агент создает ценность и обладает влиянием. Определить влияние в таких ситуациях помогут сетевые модели, о которых мы и поговорим в следующей главе.

Глава 10
Сетевые модели

Теория сетей – это целая область науки, но она относительно новая с точки зрения последних 20–30 лет. У нас не было возможности вывести эту науку из университетов и применить на практике, поставив вопрос так: «Какие виды сетей и для каких целей нам следует создавать?»

Энн-Мари Слотер

В этой главе мы рассмотрим модели сетей. Для их всестороннего изучения понадобится множество книг. Наши цели гораздо скромнее. Мы хотим понять азы теории сетей, изучить их составляющие и выяснить, почему они важны для моделирования. Ответ, к которому мы придем, покажет, что сети почти всегда имеют значение. Любую построенную нами модель, будь то модель рынка, модель распространения заболеваний или модель передачи информации, можно улучшить путем включения в сеть агентов[166]166
  В книге Марка Ньюмана (Newman, 2010) представлено всестороннее исследование сетей. Информацию о сетевых эффектах в социологии ищите здесь: Jackson 2008 и Tassier, 2013.


[Закрыть].

Сети распространены повсеместно. Люди говорят о торговых сетях, террористических сетях и сетях волонтеров. Виды образуют пищевые сети. Компании выстраивают сети цепей поставок. Как уже отмечалось, финансовую систему полезно представлять как сеть обещаний произвести платеж. Сети всегда были важны для понимания социальных отношений. На протяжении большей части истории человечества сети социальных связей ограничивались географией и трудностями с их отображением. Сегодня благодаря развитию технологий многие социальные взаимодействия и экономические операции осуществляются в виртуальных сетях, которые можно проанализировать с помощью моделей.

Эта глава организована в том же формате «структура – логика – функция», который мы использовали для распределений. Сначала мы опишем структуру сетей с помощью таких статистических показателей, как степень, длина пути, коэффициент кластеризации и структура сообщества. Затем обсудим общие классы сетей: случайные сети, звездообразные сети, географические сети, сети малого мира и сети со степенным распределением. А потом перейдем к логике формирования сетей. Мы построим процессы микроуровня, порождающие те сети, которые мы наблюдаем. И в заключение рассмотрим функцию, то есть вопрос о том, почему структура сети имеет значение. Основное внимание в главе уделяется пяти следствиям. Мы начнем с парадокса дружбы, а затем рассмотрим теорию шести рукопожатий и концепцию силы слабых связей. И наконец, проанализируем устойчивость сетей к отказу узлов или звеньев, а также агрегирование информации в сетях. Глава завершается обсуждением влияния сетей на результаты, полученные с помощью моделей.

Структура сети

Сеть состоит из узлов и звеньев (ребер), которые их соединяют. Узлы, соединенные одним звеном, называются соседями. Сеть считается связанной, если из любого ее узла можно добраться к любому другому узлу по звеньям. Сети можно представить в виде графов, списков звеньев или матриц из нулей и единиц, в которых единица в строке A и в столбце B обозначает звено между узлами A и B. Хотя люди предпочитают графическое представление сетей, списки и матрицы лучше подходят для статистических расчетов по сети.

Звенья сети могут быть направленными, то есть указывать на переход от одного узла к другому. В информационной сети направленное звено говорит о том, что один человек получает информацию от другого. В сети экосистемы направленное звено от краснохвостого ястреба к серой белке означает, что ястреб охотится на белку. Звенья также могут быть ненаправленными – к их числу относятся звенья, соединяющие друзей. В ненаправленной сети степень узла равна количеству ведущих к нему звеньев. Сети характеризуются набором статистических параметров. Для каждого статистического параметра можно вычислить среднее значение степени в сети и распределение степеней по всем узлам. Средняя степень сети дружеских связей говорит о том, сколько в среднем друзей у каждого человека. Распределение степеней указывает на то, что одни узлы более связанные, чем другие. В сетях социальных связей более равномерное распределение, чем во Всемирной паутине, интернете и сетях цитирования, где наблюдается распределение с длинным хвостом.

Статистические параметры сети

Степень: количество соседей (а также звеньев) узла.

Длина пути: минимальное количество звеньев, которые необходимо пройти, чтобы попасть из одного узла в другой.

Промежуточность: количество проходящих через данный узел путей минимальной длины, связывающих два других узла.

Коэффициент кластеризации: процент пар соседей узла, связанных между собой звеном.

Длина пути – минимальное расстояние между двумя узлами – изменяется обратно пропорционально степени. Включение дополнительных звеньев сокращает длину пути между узлами. В сети рейсов авиакомпании длина пути соответствует среднему количеству рейсов, которыми человеку нужно воспользоваться, чтобы попасть из одного города сети в другой. При наличии выбора между двумя авиакомпаниями при прочих равных условиях (а именно одинаковых ценах) путешественник предпочтет авиакомпанию с более низким средним значением длины пути. Кроме того, средняя длина пути коррелирует с потерей информации. Информация, передаваемая через нескольких людей, в большей степени подвержена искажению, чем та, которой двое обмениваются непосредственно. Узлы, лежащие на путях минимальной длины, играют в сетях важнейшую роль. Информация проходит по кратчайшему маршруту, если передается по узлам, расположенным на минимальном пути. Показатель промежуточности узла равен проценту минимальных путей, проходящих через один узел. В сети социальных связей люди с высоким показателем промежуточности более информированы и обладают более сильным влиянием.

Последний статистический параметр, коэффициент кластеризации, равен проценту пар соседей узла, которые одновременно являются соседями друг друга. Например, у человека, имеющего 10 друзей, 45 пар друзей. Если 15 из этих 45 пар тоже друзья, то коэффициент кластеризации этого человека равен ⅓. Если бы дружеские связи существовали во всех 45 парах, то коэффициент кластеризации этого человека составил бы 1, максимально возможное значение. Коэффициент кластеризации всей сети равен среднему коэффициентов кластеризации отдельных узлов.

На рис. 10.1 показаны две сети, состоящие из тринадцати узлов: звездообразная и географическая. В звездообразной сети центральный узел имеет степень 12, а все остальные – степень 1, значит, средняя степень меньше 2. Распределение степеней неравномерное. Расстояние от любого узла до центрального узла равно 1, а до всех остальных узлов – 2. Центральный узел, который лежит на каждом минимальном пути между всеми остальными узлами, имеет показатель промежуточности 1. Внешние узлы не расположены ни на одном минимальном пути, соединяющем другие узлы, поэтому их показатель промежуточности равен 0. И наконец, в звездообразной сети узлы, связанные с одним из узлов, не связаны друг с другом. Следовательно, коэффициент кластеризации такой сети равен нулю.

Рис. 10.1. Звездообразная сеть и географическая сеть

В географической сети каждый узел связан с двумя узлами справа от него и с двумя узлами слева, поэтому средняя степень равна 4. Каждый узел находится на расстоянии 1 от четырех узлов, на расстоянии 2 от четырех узлов и на расстоянии 3 от четырех узлов. Следовательно, среднее расстояние составляет ровно 2. Распределение степени и расстояния в этом графе является вырожденным: все узлы имеют одну и ту же степень и одинаковое среднее расстояние. Можно продемонстрировать, что промежуточность каждого узла равна [167]167
  В случае любого узла его минимальные пути имеют длину 1 к 4 узлам, длину 2 к 4 узлам и длину 3 к 4 узлам, что дает в общей сложности 12 узлов на минимальных путях от каждого узла. В среднем минимальные пути от того или иного узла ведут к еще одному узлу. Следовательно, среднее значение промежуточности каждого узла составляет . В силу симметрии все узлы должны иметь одинаковую промежуточность.


[Закрыть]. У каждого узла четыре соседа, что дает шесть пар. Из них три пары связаны: два узла непосредственно слева и справа связаны с внешним узлом и друг с другом. Таким образом, коэффициент кластеризации равен ½.

Альтернативный метод определения кластеризации состоит в разделении узлов на сообщества. В сети дружеских связей в средней школе сообщества могут включать подростков, которые интересуются искусством, спортом или естественными науками. Сообщества могут быть также выделены по принципу расовой или гендерной принадлежности. Сеть политических объединений может быть разделена на региональные или идеологические союзы. Существует множество методов определения сообществ. Один из подходов подразумевает последовательное удаление звеньев с самым высоким значением промежуточности, поскольку такие звенья в большей мере связывают отдельные кластеры. Другие подходы принимают количество кластеров как данность и ищут оптимальные способы разбиения с учетом целевой функции, такой как минимизация количества звеньев между сообществами или максимизация доли звеньев внутри сообществ[168]168
  Обзор алгоритмов обнаружения сообществ можно найти здесь: Newman, 2010. Способы разделения, созданные этими алгоритмами, скорее всего, отличаются по причине множества возможностей. Сеть из 100 узлов может быть разделена на составные части 190 миллионами способов. Учитывая случайный характер последовательности удаления звеньев, один и тот же алгоритм часто дает разные способы разделения. Использование множества алгоритмов и неоднократное применение одного алгоритма повышают надежность сделанных выводов.


[Закрыть].

Мы можем использовать алгоритм обнаружения сообществ, чтобы задавать вопросы о данных сети. Исследования показывают, что человек может принадлежать к интернет-пузырям, то есть к сообществам людей, которые получают новости из аналогичных источников. В таком случае это имеет последствия с точки зрения социальной сплоченности. До появления интернета такое положение вещей тоже могло иметь место, но демонстрация этого с помощью данных была затруднена. Сегодня специалисты по их анализу и обработке могут с помощью веб-скрейпинга выявить часто посещаемые источники новостей и сказать нам, что, по сути, мы действительно в каком-то смысле обитаем в пузырях. Модели предоставляют формальное описание сообществ, а об их силе говорят данные. Руководствуясь здравым смыслом и основываясь на том, о чем говорят данные, мы можем делать мудрые выводы.

ОБЩИЕ СЕТЕВЫЕ СТРУКТУРЫ

В ходе анализа сетей мы сталкиваемся с проблемой многообразия. Немногочисленные статистические параметры сетей не способны описать особую сетевую структуру: можно сконструировать миллиарды сетей с десятью узлами и средней степенью 2. Альтернативный подход к описанию сети сводится к проверке, существенно ли отличаются ее статистические параметры от статистических параметров общей сетевой структуры. Например, ученый может собрать данные о цитировании в суде и представить их в виде сети, отображая звено каждый раз, когда один судья цитирует мнение другого судьи. Граф такой сети может содержать интересные структуры и кластеры. Мы можем проверить, является ли сеть случайной, сравнив ее статистические параметры со статистическими параметрами случайной сети с аналогичным количеством узлов и звеньев. Коэффициент кластеризации случайной сети равен вероятности случайного звена, поскольку вероятность того, что два соседа того или иного узла содержат определенное звено, не больше, чем у любого другого случайно выбранного узла.

Метод Монте-Карло в контексте случайных сетей

Для того чтобы проверить, является ли сеть из N узлов и E звеньев случайной, необходимо создать большое количество случайных сетей с N узлами и E звеньями и вычислить распределения для степени, длины пути, коэффициента кластеризации и промежуточности. А затем выполнить стандартные статистические тесты, чтобы принять или отклонить гипотезу о том, что статистические параметры сети могли быть получены на основе имитационных распределений[169]169
  Из центральной предельной теоремы нам известно, что значения степени будут распределены по нормальному закону, а среднее значение составит , поскольку каждое звено связывает два узла.


[Закрыть].

Теоретические модели часто принимают форму определенной сетевой структуры. Многие имеют вид случайных сетей, тогда как другие – форму географических сетей с упорядоченной структурой, как в случае, когда узлы выстроены в круг и каждый узел связан с ближайшими узлами в каждом направлении. В других географических сетях узлы размещены на плоскости, разделенной на клетки; при этом каждый узел соединен с соседями, расположенными к северу, югу, востоку и западу. У большинства распространенных географических сетей низкая степень (они связаны только с локальными соседями) и относительно высокое среднее значение длины пути. В географических сетях промежуточность и коэффициент кластеризации не имеют вариации.

Сеть третьего типа – сеть со степенным распределением – имеет степень, распределенную по степенному закону. У немногочисленных узлов есть множество связей, но большинство узлов имеют очень мало связей. Сеть четвертого типа (сеть малого мира) сочетает в себе свойства географических и случайных сетей[170]170
  Watts and Strogatz, 1998.


[Закрыть]. Для ее построения необходимо начать с географической сети, а затем «переделать» ее, произвольно выбрав звено и заменив один из узлов, которые оно связывает, случайным узлом. Если вероятность такой «перепрошивки» равна нулю, мы имеем географическую сеть, а если единице, то случайную сеть. В промежутке между этими значениями мы получаем сеть малого мира, которую можно отличить от географической сети по небольшим кластерам, соединенным случайными связями с другими кластерами. Сети социальных связей выглядят примерно так же. У каждого человека есть кластер друзей и случайные друзья.

Рис. 10.2. Случайная сеть, географическая сеть, сеть, распределенная по степенному закону, и сеть малого мира