Текст книги "Ритм Вселенной. Как из хаоса возникает порядок"

Часть I. Жизнь в синхронизме

Глава 1. Светлячки и неизбежность синхронизма

«Примерно двадцать лет тому назад я увидел – или мне показалось, что увидел – синхронное, или одновременное, мерцание светлячков. Я не мог поверить своим глазам, поскольку возможность такого явления среди насекомых, несомненно, противоречит любым законам природы»[1]1
  Philip Laurent, “The supposed synchronal flashing of fireflies,” Science 45 (1917), p. 44.


[Закрыть].

Эти слова Филип Лорен опубликовал в журнале Science в далеком 1917 году, когда он присоединился к дискуссии об этом необъяснимом явлении. На протяжении трехсот лет западные путешественники, побывавшие в Юго-Восточной Азии, рассказывали легенды о колоссальных скоплениях на берегах рек светлячков (протяженность этих скоплений достигала нескольких миль), мерцающих в унисон[2]2
  Одно из первых упоминаний встречается в бортовом журнале экспедиции сэра Френсиса Дрейка в 1577 г.: «Наш генерал побывал на небольшом островке к югу от Целебеса (Целебес, ныне Сулавеси, – остров в Индонезии. – Прим. перев.), покрытом непроходимыми зарослями. Каждую ночь вся земля среди этих зарослей и сами заросли бывают усеяны огромным множеством насекомых (размером не больше обычной мухи), светящихся во тьме. Они испускают столь сильный свет, что каждый куст или дерево становятся похожи на пылающую свечу» [R. Hatduyt, 1589. A Selection of the Principal Voyages, Traffiques and Discoveries of the English Nation. Edited by Laurence Irving (New York; Knopf, 1926), p. 151]. Синхронный аспект этого свечения был описан гораздо подробнее в 1680 г. голландским физиком Энгельбертом Кемпфером после его путешествия по реке Мейнам, от Бангкока к морю: «Эти светящиеся насекомые, рассевшись на деревьях, создают впечатление огненного облака. Самым удивительным, однако, является то, что, рассевшись на ветвях дерева, они все вдруг одномоментно потухают, а спустя секунду-другую, так же дружно зажигаются. И такие дружные и ритмичные мерцания могут длиться часами, словно мы наблюдаем бесконечное чередование систолы и диастолы». [Engeibert Kaempfer, 1727. The History of Japan (With a Description of the Kingdom of Siam). Translated by J. G. Scheuchzer. London: Hans Sloane. Два тома в одном. См. том 1, p. 45, или pp. 78–79 тома 1 повторного издания от 1906 г., выполненного издательством J. McLehose and Sons, Glasgow.]


[Закрыть]. Эти истории о синхронно мерцающих светлячках, зачастую изложенные в весьма романтическом стиле, характерном для авторов книг о путешествиях в дальние страны, вызывали скепсис у очень многих читателей. Возможно ли, чтобы тысячи светлячков координировали свое мерцание со столь высокой точностью и на столь обширном пространстве? Тогда Филип Лорен был уверен, что ему удалось разрешить эту загадку: причиной этого очевидного явления, по его мнению, были непроизвольные движения век наблюдателя, то есть их внезапное закрывание и открывание, а насекомые не имели к этому никакого отношения.

В период между 1915 и 1935 гг. журнал Science опубликовал еще 20 статей[3]3
  Многие из них цитируются в статье John B. Buck, “Synchronous rhythmic flashing of fireflies,” Quarterly Review of Biology 13 (1938), pp. 301–314. Эта статья является лучшим из справочников по ранней литературе, в которой освещается этот вопрос.


[Закрыть], посвященных этой загадочной форме массового синхронизма. Кто-то из ученых трактовал это явление как случайное, мимолетное совпадение. Другие объясняли это необычными атмосферными условиями: сочетанием очень высокой влажности, абсолютного безветрия или темноты. Кто-то полагал, что тут не обошлось без некоего «дирижера»[4]4
  George H. Hudson, “Concerted flashing of fireflies,” Science 48 (1918), pp. 573–575.


[Закрыть] – светлячка, который руководит действиями всех остальных своих собратьев. Как написал в 1918 г. Джордж Хадсон, «если необходимо, чтобы группа людей выполняла определенные действия, подчиняясь заданному ритму, то у этой группы людей не только должен быть лидер, но они должны быть обучены выполнять указания этого лидера… Можно ли поверить в то, что этим насекомым присуще более совершенное чувство ритма, чем наше собственное?» Натуралист Хью Смит, который жил в Таиланде с 1923 по 1934 гг. и многократно наблюдал это явление, с раздражением отмечал, что «некоторые из опубликованных объяснений производят большее впечатление, чем само описываемое явление»[5]5
  Hugh M. Smith, “Synchronous flashing of fireflies,” Science 82 (1935), pp. 151–152. В этой краткой, но заслуживающей доверия статье Смит также дает одно из самых подробных описаний данного явления: «Представьте себе дерево высотой от тридцати пяти до сорока футов, плотно покрытое маленькими овальными листьями, причем на каждом листе сидит по светлячку и все листья мерцают идеально в унисон с частотой примерно три раза за две секунды, а в промежутке между вспышками дерево пребывает в полной темноте. Представьте себе берег реки протяженностью около десятой доли мили, густо поросший мангровым лесом. На каждом листке каждого дерева в этом лесу строго синхронно зажигаются и гаснут светлячки. Насекомые на деревьях, растущих на дальнем конце этого леса, мерцают идеально в унисон со светлячками, усеявшими ближние к вам деревья. Если у вас богатое воображение, то вы можете составить некоторое представление об этом восхитительном и завораживающем зрелище».


[Закрыть]. Однако и он признал, что не в состоянии предложить какую-либо более убедительную версию.

В течение нескольких десятилетий никто не мог сформулировать достаточно правдоподобную теорию, которая проливала бы свет на это загадочное явление. Лишь в 1961 г. Джой Адамсон в продолжении своей повести Born Free («Рожденная свободной») удивлялась тому же явлению, которое она наблюдала на африканском континенте[6]6
  Joy Adamson, Living Free (London: Collins and Harvill, 1961). Цитата со стр. 29.


[Закрыть] (кстати, ее описание синхронного мерцания светлячков на африканском континенте является первым).

…полоса света шириною около десяти футов, образованная тысячами тысяч светлячков, зеленое фосфоресцирующее свечение которых создает восхитительный по красоте покров на высокой, по пояс, траве… Флуоресцирующая полоса, созданная этими крошечными организмами, раз за разом вспыхивает и погасает с поразительной по своей точности синхронностью. Остается лишь удивляться, какими средствами коммуникации должны обладать эти крошечные существа, чтобы они могли координировать свое мерцание так, словно ими управляет некое механическое устройство.

К концу 1960-х годов из отдельных фрагментов этого пазла начала вырисовываться некая картина. Одна из подсказок была столь очевидной, что почти никто не обратил на нее внимания. Синхронные светлячки мерцали не только в унисон – они мерцали в определенном ритме, в постоянном темпе. Даже когда они были изолированы друг от друга, они продолжали мерцать синхронно. Из этого следует, что каждое насекомое должно располагать своим собственным средством определения хода времени, своего рода внутренним часовым механизмом. Этот гипотетический осциллятор до сих пор не определен анатомически, но почти наверняка он должен представлять собою некий кластер нейронов, находящийся где-то в крошечном мозге насекомого. Во многом подобный естественному задатчику ритма в сердце человека, этот осциллятор действует на определенной частоте, вырабатывая электрические сигналы ритма, которые поступают на светоэлемент светлячка[7]7
  Дополнительную информацию о биохимических процессах, обусловливающих ритм мерцания, можно почерпнуть в статье Barry A. Trimmer et al., “Nitric oxide and the control of firefly flashing,” Science 292 (2001), pp. 2486–2488.


[Закрыть] и приводят к его периодическому срабатыванию («включению»).

Вторая подсказка содержится в работе биолога Джона Бака, который сделал больше, чем кто-либо другой, чтобы обеспечить научную достоверность исследований, пытающихся объяснить синхронизм действий светлячков. В середине 1960-х годов Джон Бак вместе со своей женой Элизабет впервые отправился в Таиланд в надежде увидеть собственными глазами это загадочное явление. В ходе неформального, но весьма полезного эксперимента супруги выловили на берегах рек в окрестностях Бангкока множество светлячков и выпустили их в своем гостиничном номере, предварительно затемнив его[8]8
  John Buck and Elisabeth Buck, “Mechanism of rhythmic synchronous flashing of fireflies,” Science 159 (1968), pp. 1319–1327.


[Закрыть]. Насекомые повели себя весьма нервно, но затем постепенно распространились по стенам и потолку, находясь друг от друга на расстоянии не менее 10 сантиметров. Поначалу они мерцали вразнобой. Вскоре супруги Бак, в молчаливом удивлении наблюдавшие за светлячками, заметили, что сперва пары, а затем и тройки светлячков начали мерцать в унисон. Группы синхронно мерцающих светлячков становились все больше и больше.

Из этих наблюдений следовало, что светлячки должны как-то «настраивать» свои ритмы в ответ на мерцания других светлячков. Чтобы непосредственно протестировать эту гипотезу, Бак и его коллеги провели впоследствии лабораторные исследования[9]9
  Frank E. Hanson, James F. Case, Elisabeth Buck, and John Buck, “Synchrony and flash entrainment in a New Guinea firefly,” Science 174 (1971), pp. 161–164. Популярное изложение этой и других связанных с ней работ можно найти в статье John Buck and Elisabeth Buck, “Synchronous fireflies,” Scientific American 234 (May 1976), pp. 74–85.


[Закрыть], в ходе которых они создавали для светлячка мерцание искусственным светом (имитируя таким образом свечение другого светлячка) и наблюдали за его реакцией. Они обнаружили, что отдельно взятый светлячок корректирует моменты своих последующих мерцаний вполне определенным, предсказуемым образом и что величина и направление такой коррекции зависит от того, в какой момент цикла было воспринято внешнее воздействие. У некоторых видов светлячков внешнее воздействие всегда смещало ритм подопытного светлячка несколько вперед, словно переводя стрелки его внутренних часов вперед, тогда как у других видов светлячков внешнее воздействие смещало ритм подопытного светлячка либо несколько вперед, либо несколько назад в зависимости от того, насколько подопытный светлячок был близок к тому, чтобы мигнуть (одно дело, если светлячок был буквально на грани очередного мигания, и другое – если он был лишь на полпути к очередному миганию).

Взятые вместе, эти две подсказки предполагали, что ритм мерцания регулируется внутренним, перенастраиваемым осциллятором[10]10
  Идея перенастраиваемого осциллятора подробно обсуждается в статье John Buck, “Synchronous rhythmic flashing of fireflies. II,” Quarterly Revtew of Biology 63 (1988), pp. 265–289, которая появилась в том же журнале и под таким же названием ровно через 50 лет после того, как был опубликован его первый обзор литературы по данному вопросу. Этот второй обзор по-прежнему представляет собой исчерпывающую подборку всего, что известно науке о синхронизации светлячков.


[Закрыть]. А это непосредственно указывало на возможное существование некого механизма синхронизации: каждый из членов сообщества мерцающих светлячков непрерывно посылает и принимает сигналы, смещая ритмы других светлячков и смещая собственный ритм в результате воздействия с их стороны. Из всей совокупности таких взаимовлияний каким-то образом спонтанно возникает синхронизм.

Таким образом, мы приходим к объяснению, которое казалось немыслимым лишь несколько десятков лет тому назад: светлячки организуют сами себя. Им не нужен дирижер, и погода не имеет значения для них. Синхронизм возникает за счет взаимообмена сигналами – точно так же, как участники оркестра могут добиться идеальной синхронности своих действий без помощи дирижера. Правда, в случае светлячков исследователей ставит в тупик то обстоятельство, что для обеспечения синхронизма этим насекомым не требуется интеллект. Они располагают всеми необходимыми для этого ингредиентами: у каждого светлячка имеется осциллятор, что-то наподобие маленького метронома, моменты выработки сигналов которым корректируются автоматически в ответ на мерцания других светлячков. Вот, собственно, и все.

За одним исключением: отнюдь не очевидно, что этот сценарий работоспособен. Может ли идеальный синхронизм возникнуть из какофонии многих тысяч лишенных разума метрономов? В 1989 г. я вместе со своим коллегой Ренни Миролло доказали правильность такого ответа. Описанный сценарий не только работоспособен – он обязательно будет работоспособен при определенных условиях.

По причинам, которые нам непонятны до сих пор, тенденция к синхронизму является одной из самых распространенных движущих сил во Вселенной[11]11
  С превосходным современным обзором научной и математической литературы по синхронизации можно ознакомиться в книге Arkady Pikovsky, Michael Rosenblum, and Jurgen Kurths, Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Science (Cambridge, England: Cambridge University Press, 2002).


[Закрыть], охватывая практически все уровни, начиная с атомов и заканчивая животными, начиная с людей и заканчивая планетами. Женщины, которые дружат между собой, или сотрудницы, проводящие много времени вместе, нередко обнаруживают, что их менструальные циклы постепенно сближаются и начинаются примерно в один и тот же день. Сперматозоиды, двигающиеся бок о бок на своем пути к яйцеклетке[12]12
  Одно из первый упоминаний о синхронных движениях сперматозоидов на их пути к яйцеклетке появляется в книге James Gray, Ciliary Movement (New York: Macmillan, 1928); см. так же рис. 78 на стр. 119. См. также G.I. Taylor, “Analysis of the swimming of microscopic organisms,” Proceedings of the Royal Society of London, Senes A209 (1951), pp. 447–461. Самой последней работой, в которой объясняется, как возникает синхронизм посредством механических сил, передаваемых через жидкость, является статья S. Gueron and K. Levit-Gurevich, “Computation of the internal forces in cilia: Application to ciliary motion, the effects of viscosity, and cilia interactions,” Biophysical Journal 74 (1998), pp. 1658–1676.


[Закрыть], машут своими «хвостиками» в унисон, демонстрируя что-то похожее на простейшие элементы синхронного плавания. Иногда синхронизм принимает разрушительный характер: эпилепсия вызывается патологическим синхронным разрядом миллионов клеток мозга, что приводит к ритмичным конвульсиям, вызывающим хватательные движения. Синхронизм может возникать даже в неживой природе. Поразительная когерентность лазерного луча обеспечивается синхронной пульсацией триллионов атомов, которые испускают фотоны одной и той же фазы и частоты. На протяжении многих тысячелетий Луна под воздействием Земли постепенно замедляла вращение вокруг собственной оси. Хотя Луна вращается вокруг собственной оси, она всегда обращена к Земле одной и той же стороной (ее темную сторону мы не видим никогда), так как обращение Луны вокруг Земли и вращение Луны вокруг собственной оси синхронизировано: фактически Луна, облетая Землю каждые двадцать семь с половиной дней, совершает также одно полное вращение вокруг собственной оси против часовой стрелки.

На первый взгляд, эти явления могут показаться не связанными между собой. В конце концов, силы, которые синхронизируют клетки головного мозга никак не связаны с силами, которые обеспечивают синхронизм атомов лазера. Однако при более близком рассмотрении можно обнаружить связь, которая охватывает собою детали любого конкретного механизма. Этой связью является математика. Все приведенные выше примеры представляют собой вариации одной и той же математической темы: самоорганизации, спонтанного возникновения порядка из хаоса. Изучая простые модели поведения светлячков и других самоорганизующихся систем, ученые начинают раскрывать тайны этой восхитительной разновидности порядка во Вселенной.

Исследовавшийся мною и Ренни вопрос о самоорганизации был поначалу сформулирован Чарли Пескином, специалистом по прикладной математике, сотрудником Института Куранта (Courant Institute) при Нью-Йоркском университете. Человек с тихим и спокойным голосом, с аккуратно подстриженной бородкой и с неизменно приветливой улыбкой, Чарли Пескин является одним из самых выдающихся математиков с уклоном в биологию. Разгадывая тайны физиологии (например, как молекулы, ткани и органы человеческого тела справляются со своими сложными функциями), он предпочитает пользоваться компьютерами и математикой. Какие бы проблемы он ни пытался решать – как сетчатке человеческого глаза удается обнаружить даже самый слабый свет или как молекулярные «двигатели» вырабатывают силу в мышцах, – его «фирменным знаком» является разносторонность научных интересов. Создается впечатление, что он хочет попробовать себя во всех областях знания и исследовать все тайны природы. Если необходимого ему математического аппарата еще не существует, он обязательно должен изобрести такой аппарат. Если для решения рассматриваемой им проблемы требуется суперкомпьютер, Пескин разработает для него соответствующую программу. Если существующие процедуры работают слишком медленно, он придумает более быстрые процедуры.

Даже его математический стиль отличается высокой гибкостью и прагматизмом. Его самая известная работа связана с разработкой трехмерной модели тока крови в камерах сердца, качающего кровь. Эта модель отличается реалистичностью анатомии, сердечных клапанов и строения волокон. Для решения столь сложной задачи он использовал грубую мощь суперкомпьютерного моделирования в сочетании с изысканностью абсолютно оригинальной вычислительной схемы. Что же касается решения других проблем, Пескин обычно придерживается известной максимы Эйнштейна, согласно которой все нужно делать по возможности проще – но не проще необходимого. В таких случаях Пескин отдавал предпочтение минималистскому подходу, пренебрегая всеми биологическими подробностями, за исключением лишь самого важного. Именно в таком минималистском духе Пескин предложил схематическую модель того, как клетки, задающие ритм работы сердца, могли бы синхронизировать сами себя[13]13
  Charles S. Peskin, Mathematical Aspects of Heart Physiology (New York: Courant Institute of Mathematical Sciences Publication, 1975), pp. 268–278. В настоящее время кардиологи по-другому смотрят на то, как синхронизируются клетки-задатчики ритма. Правомерность модели Пескина доказывалась на основании предположения о том, что химическую связь между клетками-задатчиками ритма обеспечивают синапсы, тогда как в наши дни принято считать, что клетки-задатчики ритма связаны между собой электрически через нексусы (щелевые контакты), которые действуют подобно резисторам. Как таковые, клетки-задатчики ритма пребывают в постоянной электрической связи между собой и взаимодействуют в течение всего своего цикла активности, а не только в момент активизации, как предполагал Пескин. Описание более современной модели можно найти в статье D. C. Michaels, E. P. Matyas, and J. Jalife, “Mechanisms of sinoatrial pacemaker synchronization: A new hypothesis,” Circulation Research 61 (1987), pp. 704–714.


[Закрыть].

Натуральный задатчик ритма работы сердца представляет собой подлинное чудо эволюции – возможно, самый впечатляющий осциллятор из когда-либо созданных природой. Кластер, состоящий из примерно 10 тысяч клеток и называемый синусно-предсердным узлом, вырабатывает электрические импульсы, которые задают ритм работы сердца в целом. Синусно-предсердный узел должен действовать чрезвычайно надежно, минута за минутой, обеспечивая примерно три миллиарда сокращений сердца за все время жизни человека. В отличие от большинства клеток сердца, клетки-ритмоводители вырабатывают электрические импульсы автоматически; если их изолировать в чашке Петри, то напряжение генерируемых ими импульсов ритмично повышается и снижается.

Все это вызывает законный вопрос: зачем нужно так много этих клеток, если даже одной клетки вполне достаточно для того, чтобы справиться с данной работой? Возможно, это объясняется тем, что наличие единственного задатчика ритма не позволяет получить достаточно надежную структуру: лидер может начать неправильно функционировать или даже прекратить существование. Вместо ненадежной структуры с единственным лидером природа выработала более надежную, «демократичную» систему, в которой тысячи клеток коллективно задают нужный ритм. Разумеется, такая демократия порождает собственные проблемы: клетки должны каким-то образом координировать свои действия; если же они будут посылать конфликтующие между собой сигналы, сердце выйдет из строя. Пескина интересовал следующий вопрос: как всем этим клеткам удается – в отсутствие лидера или каких-либо команд со стороны – действовать столь синхронно?

Обратите внимание, как похож этот вопрос на поставленный выше вопрос о светлячках. В том и другом случае речь идет о больших популяциях ритмичных объектов, вырабатывающих внезапные импульсы, которые задают ритмы для других членов группы, убыстряя или замедляя их в соответствии с определенными правилами. В обоих случаях синхронизм представляется неизбежным. Задача заключается в том, чтобы объяснить, почему это должно быть именно так, а не иначе.

В 1975 г. Пескин изучил этот вопрос в рамках некой упрощенной модели. Каждая из клеток-ритмоводителей рассматривается как электрическая цепь, генерирующая импульсы (осциллятор) и эквивалентная конденсатору, подключенному параллельно резистору. (Конденсатор – это прибор, способный накапливать и хранить электрический заряд; в данном случае он играет роль, подобную той, которую играет мембрана клетки; резистор обеспечивает путь для вытекания электрического тока из клетки, аналогично так называемым каналам утечки в мембране.) Постоянный входной ток заставляет конденсатор заряжаться, что приводит к росту напряжения на нем. Когда напряжение на конденсаторе повышается, величина тока, стекающего через резистор, растет, в результате чего скорость повышения замедляется. Когда напряжение достигает некого порога, конденсатор разряжается и напряжение на нем мгновенно падает до нуля; такая модель имитирует запуск клетки-ритмоводителя и ее последующее возвращение к исходному состоянию. Затем напряжение снова начинает повышаться, и описанный выше цикл повторяется. Рассматриваемый как функция времени, такой цикл напряжения состоит из двух частей: плавный подъем вдоль кривой заряда (график в виде половины дуги, поднимающейся, но с постепенным замедлением роста), за которым следует практически вертикальное падение с возвратом к исходному состоянию.

Затем Пескин представил такой задатчик ритма сердца в виде огромной совокупности этих математических осцилляторов. Для простоты он предположил, что все осцилляторы идентичны (и, таким образом, характеризуются одной и той же кривой заряда), что каждый осциллятор связан в одинаковой степени со всеми остальными осцилляторами и что осцилляторы влияют друг на друга только в состоянии запуска. В частности, когда какой-либо осциллятор запускается, он мгновенно повышает напряжения всех остальных осцилляторов на некую фиксированную величину. Если напряжение какой-либо клетки превышает пороговое значение, она сразу же запускается.

Сложность и запутанность этой проблемы обусловлена тем, что в любой данный момент времени разные осцилляторы, как правило, пребывают на разных стадиях рассматриваемого нами цикла: некоторые из них находятся буквально на грани запуска, другие уже успели далеко продвинуться по кривой заряда, тогда как третьи могут приближаться к исходному состоянию. Как только ведущий осциллятор достигнет порогового значения, он запускается и проталкивает каждый из остальных осцилляторов в разные позиции вдоль кривой заряда. Результаты такого запуска имеют разноплановый характер: осцилляторы, которые были близки к пороговому значению, проталкиваются ближе к запускающемуся осциллятору, но те, которые приближаются к исходному состоянию, выбиваются из фазы. Иными словами, отдельно взятый запуск оказывает синхронизирующее воздействие на некоторые осцилляторы и рассинхронизирующее воздействие на другие осцилляторы. Долгосрочные последствия всех этих перестроек невозможно уяснить, опираясь лишь на здравый смысл.

Чтобы получить более наглядную картину происходящего, представьте отдельно взятую клетку в виде бачка унитаза, наполняющегося водой. Когда вода поступает в бачок, ее уровень постепенно повышается, подобно напряжению в клетке. Допустим, что когда вода в бачке достигнет определенного уровня, произойдет автоматический слив воды из бачка. Быстрый слив воды вернет ее уровень к исходному (условно нулевому), после чего бачок начнет снова наполняться; возникнет своего рода спонтанный осциллятор. (Чтобы довершить аналогию, нам также нужно предположить, что бачок слегка протекает. Вода вытекает через небольшую дырочку у дна бачка. Вода просачивается быстрее, когда уровень воды в бачке выше, из чего следует, что бачок наполняется все медленнее по мере повышения уровня воды в нем. Наличие этой утечки не имеет особого значения для самой осцилляции – это устройство будет циклически наполняться и опустошаться даже в отсутствие утечки, – но оно оказывается критически необходимым для синхронизации многих таких осцилляторов.) Наконец, представьте целое полчище из 10 тысяч таких осциллирующих туалетных бачков, соединенных между собой системой труб по принципу «каждый с каждым» таким образом, что когда происходит слив какого-либо из них, это приводит к одинаковому подъему уровня воды во всех остальных бачках. Если эта дополнительная вода поднимает уровень воды в каких-либо из этих бачков выше его порогового значения, то вода сливается и из этих бачков.

В связи с этим возникает следующий вопрос: как поведет себя такое хитросплетение бачков? Будут ли эти бачки наполняться и сливаться хаотически, когда каждому из них заблагорассудится? Распадется ли их сообщество на отдельные группировки, конкурирующие между собой? Может быть, они будут наполняться и сливаться по очереди, друг за другом?

Пескин предположил, что такая система всегда будет входить в синхронизм: какой бы ни была начальная ситуация в такой системе, в конечном счете все осцилляторы будут запускаться в унисон. Кроме того, он предположил, что синхронизм наступит, даже если эти осцилляторы будут не вполне идентичны. Но когда Пескин попытался доказать свои предположения, он столкнулся с определенными техническими препятствиями. В частности, отсутствовали надежные математические процедуры, которые позволяли бы описывать большие системы осцилляторов, обменивающихся между собой внезапными, дискретными импульсами. Поэтому он отказался от своего первоначального замысла и сосредоточился на простейшем возможном случае: двух идентичных осцилляторах. Однако даже в этом случае математические проблемы казались чересчур сложными. Пескин попытался еще больше упростить задачу, допустив возможность лишь бесконечно малых толчков и бесконечно малых утечек через резистор. После таких упрощений задача поддавалась решению: для этого специального случая Пескин доказал неизбежность синхронизма.

Доказательство, предложенное им, базируется на идее, сформулированной французским математиком Анри Пуанкаре, основателем теории хаоса. Концепция Пуанкаре представляет собой математический эквивалент стробофотографии. Возьмем два идентичных осциллятора, A и B, и представим в графическом виде их работу, делая фотоснимок каждый раз, когда запускается осциллятор A. Как будет выглядеть соответствующая последовательность фотоснимков? Осциллятор A лишь запустился, поэтому он выглядит так, как будто все время находится в исходном положении (нулевом напряжении). Напряжение осциллятора B, напротив, меняется от одного снимка к следующему. Решая уравнения, описывающие такую модель, Пескин нашел исчерпывающую, но весьма «навороченную» формулу, описывающую изменения напряжения осциллятора B в промежутках между фотоснимками. Эта формула показала, что в случае, когда это напряжение оказывается меньше определенного критического значения, оно будет неуклонно снижаться, пока не достигнет нуля, тогда как в случае, когда это напряжение оказывается больше критического значения, оно будет неуклонно повышаться, пока не достигнет порогового значения. В любом случае осциллятор B в конечном счете синхронизируется с A. Есть лишь одно исключение: если напряжение осциллятора B в точности равно критическому значению напряжения, его невозможно изменить ни в сторону увеличения, ни в сторону уменьшения, поэтому оно остается в равновесном критическом значении. Осцилляторы A и B запускаются повторно, однако этот запуск происходит несинфазно, а с разницей во времени, составляющей половину цикла. Но это равновесие оказывается неустойчивым: малейший толчок смещает систему в направлении синхронизма.

Несмотря на успешный анализ такого двухосцилляторного случая, выполненный Пескином, случай произвольного количества осцилляторов ждал соответствующего доказательства целых 15 лет. На протяжении этих 15 лет о результатах, полученных Пескином, почти никто не вспоминал. Сведения об этих результатах были похоронены в какой-то заумной монографии, которая, по сути, представляла собой фотокопию конспекта его лекций и которую можно было получить из его отдела лишь по специальному запросу.

Однажды, в 1989 г., я листал книгу под названием The Geometry of Biological Time («Геометрия биологического времени»), написанную биологом-теоретиком Артом Уинфри, одним из героев моей нынешней книги[14]14
  Arthur T. Winfree, The Geometry of Biological Time (New York: Springer-Verfag, 1980). Указанную цитату о работе Пескина можно найти на стр. 119. Недавно Уинфри внес в свой шедевр ряд исправлений и дополнений (второе издание этой книги было опубликовано в 2001 г.), использовав формат, до которого мог додуматься только он. Цель применения этого формата заключалась в том, чтобы подчеркнуть все превратности научного прогресса. Вместо того чтобы воспользоваться хорошо известными преимуществами рассуждения «задним числом», то есть спустя 20 лет после выхода первого издания, и исправить ошибки, вкравшиеся в текст первого издания, а также убрать свои собственные ложные предположения и прогнозы, он оставил оригинальный текст неизменным и поместил новый материал в рамки, внутренняя область которых залита серым фоном, подробно комментируя те из своих старых идей, которые нуждаются в корректировке или в дополнительном разъяснении (и во многих случаях демонстрируя, насколько дальновидными оказались его выводы). Хотя временами такой формат затрудняет чтение книги, он подчеркивает, что наука представляет собой сложный, живой и развивающийся организм. (Этот эффект напомнил мне превосходную серию документальных фильмов Майкла Аптеда под общим названием “7 Up” («Спустя семь лет»). В этих фильмах у группы людей берут интервью через каждые 7 лет на протяжении всей их жизни, начиная с семилетнего возраста. Таким образом, зрителям предоставляется возможность наблюдать развитие человека на всех стадиях его жизни.)


[Закрыть]. В то время я был научным сотрудником с ученой степенью, специализировавшимся на прикладной математике в Гарвардском университете, и пытался подобрать какую-либо интересную тему для своих дальнейших исследований. Хотя я размышлял над книгой Уинфри предыдущие восемь лет, она продолжала казаться мне неисчерпаемым источником идей и вдохновения. Она представляла собой не просто изложение результатов последних исследований по биологическим осцилляторам, а своего рода карту для охотников за удачей, руководство к будущим научным открытиям. Почти на каждой странице Уинфри указывал путь к интересным нерешенным проблемам и высказывал собственные соображения относительно того, какие из них в наибольшей степени созрели для того, чтобы за их решение можно было приняться прямо сейчас.

В этой книге я натолкнулся на вариант, которого не замечал прежде: в разделе, посвященном осцилляторам, взаимодействующим посредством ритмических импульсов, Уинфри упоминал о модели, описывающей поведение клеток-ритмоводителей сердца, предложенной Пескином в его монографии. Хотя Пескину удалось проанализировать лишь случай двух идентичных осцилляторов, писал Уинфри, «задача со многими осцилляторами еще ожидает своего решения».

Это разожгло мое любопытство. Что же представляет собой эта фундаментальная загадка, которая все еще ожидает своего решения? Я никогда прежде не слышал о работах Пескина, но указанная им проблема произвела на меня сильное впечатление. Никто даже еще не пытался придумать математический аппарат, который описывал бы большую популяцию из «импульсно-связанных» осцилляторов, взаимодействие в которой осуществляется посредством кратковременных пульсирующих сигналов. Это было ощутимым пробелом в литературе по математической биологии – и к тому же весьма подозрительным пробелом, если принять во внимание широкую распространенность в природе именно такого способа взаимодействия между биологическими осцилляторами. Светлячки мерцают. Сверчки стрекочут. Нейроны посылают электрические сигналы. Все они используют внезапные импульсы для общения друг с другом. Тем не менее, теоретики уклонялись от изучения такой импульсной связи по причине отсутствия подходящего математического аппарата. Импульсы вызывают постоянные скачки переменных, однако у математики возникают большие проблемы при описании таких скачков – математика предпочитает иметь дело с процессами, которые изменяются плавно. Однако Пескину удалось каким-то образом проанализировать два осциллятора, которые периодически воздействуют друг на друга кратковременными импульсами. Каким образом это удалось ему? И что помешало ему перейти от системы с двумя идентичными осцилляторами к системам со многими осцилляторами?

В нашей библиотеке не оказалось экземпляра монографии Пескина, однако Пескин любезно согласился переслать мне соответствующие страницы из этой монографии. Его анализ показался мне весьма элегантным и понятным. Но я быстро понял, почему он ограничился системой лишь с двумя идентичными осцилляторами: несмотря на всю элегантность выполненного им анализа, его формулы оказались чересчур громоздкими. С тремя осцилляторами дело обстояло еще хуже, а система из произвольного количества (n) осцилляторов представлялась вообще неподъемной. Я не понимал, как можно распространить его модель на большое количество осцилляторов и обойти возникающие осложнения.

Чтобы получить более полное представление об этой проблеме, я попытался решить ее на компьютере двумя разными способами. Первый подход заключался в постепенном наращивании сложности системы: я пробовал, подражая стратегии Пескина, найти решение для системы с тремя осцилляторами, используя малые толчки и утечки и перекладывая на компьютер решение всех алгебраических вопросов. Формулы оказались просто устрашающими – некоторые из них простирались на несколько страниц, – но с помощью компьютера мне удалось сократить их до вполне приемлемого вида. Полученные мною результаты показали, что предположение Пескина является, по-видимому, правильным для системы с тремя осцилляторами. Однако эти результаты также говорили о необходимости найти какой-то другой способ решения данной проблемы. С ростом количества осцилляторов используемый мною математический аппарат оказывался неприемлемым.

Второй подход заключался в компьютерном моделировании. Попытаемся на данном этапе обойтись без формул и предоставим возможность компьютеру продвигать систему во времени шаг за шагом вперед, а затем посмотрим, что из этого получится. Компьютерное моделирование ни в коей мере не заменяет собою математический аппарат – оно никогда не позволит получить доказательство, – но если гипотеза Пескина ложна, то такой подход сэкономит массу времени, убедив меня в необходимости поиска других путей решения проблемы. Такой подход чрезвычайно ценен в математике. Когда вы пытаетесь доказать что-либо, желательно быть уверенным в том, что вы не пытаетесь доказать нечто изначально ложное. Такая уверенность придаст вам силы, которые понадобятся вам для поиска строгого доказательства.

Разработать компьютерную программу для моего случая оказалось сравнительно простым делом. Когда запускается один осциллятор, он подталкивает все остальные осцилляторы на определенную, фиксированную величину. Если какие-либо из «продвинутых» таким образом осцилляторов преодолеют определенный порог, предоставляем им возможность также запуститься – и соответствующим образом обновляем другие осцилляторы. В противном случае используем в промежутках между запусками формулы Пескина для подталкивания соответствующих осцилляторов в направлении их порогов.

Я испытал этот механизм на популяции из 100 идентичных осцилляторов. Изначально был создан случайный разброс их напряжений между базовым (нулевым) уровнем и порогом. Я отобразил этот разброс на диаграмме в виде совокупности точек, взбирающихся в направлении порога по общей для них кривой заряда, которая представляет собой зависимость напряжения от времени. Даже с помощью средств компьютерной графики мне не удалось выявить какой-либо определенной картины в их коллективном движении – полная путаница.

В данном случае проблемой оказался слишком большой объем информации. И здесь я оценил по достоинству еще одно преимущество метода стробов, предложенного Пескином: этот метод не только позволяет упростить анализ, но и представляет собой наилучший способ визуализации поведения системы. Все осцилляторы остаются невидимыми за исключением именно тех моментов, когда запускается какой-то конкретный осциллятор. В такие моменты свет воображаемого строба подсвечивает остальные осцилляторы, показывая их мгновенные напряжения. Затем вся эта система вновь погружается в темноту до наступления следующего момента, когда запускается определенный осциллятор. Модель Пескина обладает тем свойством, что осцилляторы запускаются по очереди – никто и никогда не нарушает эту очередь; таким образом, 99 других осцилляторов запускаются в темноте, до того как произойдет вспышка следующего строба.

Отображаемые на компьютере, эти вычисления мелькали так быстро, что изображение на экране буквально мельтешило: 99 осцилляторов быстро взбирались вдоль кривой заряда, изменяя свои позиции с каждой очередной вспышкой строба. Теперь полученная картина не вызывала сомнений. Точки собирались в группы, образуя маленькие пакеты синхронизма, которые объединялись в более крупные пакеты, подобно каплям дождя, которые собираются в ручейки, стекающие по оконному стеклу.