Текст книги "Ритм Вселенной. Как из хаоса возникает порядок"

Это казалось просто сверхъестественным – система синхронизировала сама себя. Бросая вызов Филипу Лорену и всем прочим скептикам, которые утверждали, что синхронизация светлячков невозможна в принципе и что такое явление «противоречило бы всем законам природы», компьютер демонстрировал, что большая совокупность маленьких осцилляторов, не обладающих разумом, способна достигать синхронизма автоматически. Наблюдая за этим явлением, я испытывал чувство, близкое к мистическому ужасу. Наблюдатель поневоле испытывал ощущение, что осцилляторы словно договариваются между собой о совместных действиях, сознательно стремясь к порядку, хотя ни о чем подобном, разумеется, не могло быть и речи. Каждый из них лишь автоматически реагировал на импульсы, посылаемые другими осцилляторами, не преследуя при этом никакой конкретной цели.

Чтобы убедиться в том, что картина, увиденная мною с первой попытки, не была чистой случайностью, я повторял моделирование десятки раз, каждый раз при других произвольно выбранных начальных условиях и для других количеств осцилляторов – и каждый раз я наблюдал тенденцию к синхронизации. Похоже, Пескин пришел к правильному выводу. Теперь моя задача заключалась в том, чтобы получить строгое математическое доказательство. Только «железное» математическое доказательство продемонстрировало бы – причем так, как не мог бы сделать ни один компьютер в мире – неизбежность синхронизма, а еще лучше, если бы такое доказательство показало, почему именно наступление синхронизма неизбежно. Я обратился за помощью к своему другу Ренни Миролло, специалисту по математике, работающему в Бостонском колледже.

К тому времени я был знаком с Ренни Миролло уже около десяти лет. Будучи студентами-выпускниками Гарвардского университета, мы вместе отдыхали по выходным дням, вместе обедали по будням, уделяя в своих беседах примерно равное количество времени математике и женщинам. Но в те дни нам не приходилось работать вместе. По своему образованию Ренни Миролло был «чистым» математиком, тогда как я специализировался в прикладной математике. По этой причине мы понимали друг друга – но не всегда и не во всем.

Для своей докторской диссертации Ренни выбрал очень абстрактную тему. Интуиция подсказывала ему правильность некой теоремы – проблема заключалась лишь в том, чтобы найти доказательство этой теоремы. Ренни потратил три года на поиск доказательства и в конце концов понял, что доказать ее невозможно: он нашел контрпример, опровергающий эту теорему. Таким образом, три года жизни были потрачены зря. Однако этот отрицательный результат не поверг Ренни в отчаяние – он решил переключиться на какое-нибудь новое направление математики, решить какую-либо из ключевых проблем этого направления и написать диссертацию. На все это Ренни решил отвести себе один год.

Моя совместная работа с Ренни началась примерно в 1987 г. В этой совместной работе мы как бы дополняли друг друга. Обычно я предлагал ему какую-либо задачу, разъяснял ее научный контекст, выполнял компьютерное моделирование и предлагал интуитивные аргументы. Ренни придумывал стратегии, позволяющие прояснить проблему, а затем находил способы доказательства соответствующей теоремы.

Когда я рассказал Ренни о своих компьютерных экспериментах с моделью Пескина, поначалу он проявил, скажем так, спокойный интерес к этой проблеме. Однако после того как он разобрался в ней глубже, его начало разбирать нетерпение: в то время он напоминал мне боксера, готовящегося выйти на ринг. Он предоставил мне совсем немного времени, чтобы подытожить выполненную мною работу, но уже вскоре начал настаивать на том, что будет использовать свой собственный подход к решению этой проблемы.

Ренни безжалостно упростил мою модель. Его не заботили подробности, предусмотренные в исходной модели цепи, которую предложил Пескин – со всеми ее конденсаторами, резисторами и напряжениями. Единственной важной чертой этой модели, по мнению Ренни, является то, что каждый осциллятор следует кривой напряжения с замедлением роста в верхней ее части – по мере приближения к пороговому значению. Таким образом, он с самого начала заложил именно такую геометрию. Он отказался от схемы электрической цепи, которую предложил Пескин, заменив ее некой абстрактной переменной, изменяющейся по тому же закону, что и напряжение осциллятора: периодический подъем до порогового значения, запуск, сброс. Затем его воображение нарисовало совокупность из n таких переменных, идентичных друг другу и взаимодействующих между собой по описанному выше принципу: когда один осциллятор запускается, он «подтягивает» все остальные осцилляторы на некую фиксированную величину или до порогового значения (если оно будет достигнуто раньше).

Эта усеченная модель не только оказалась значительно проще первоначальной (что сильно упрощало математические выкладки), но и допускала более широкую область применения. Вместо чисто электрической интерпретации в терминах напряжения мы могли теперь рассматривать такую переменную как меру готовности любого из осцилляторов к запуску, будь то клетка сердца или сверчок, нейрон или светлячок.

Нам удалось доказать, что такая обобщенная система почти всегда становится синхронизированной – при любом количестве осцилляторов и при любых начальных условиях[15]15
  Renato E. Mirollo and Steven H. Strogatz, “Synchronization of pulse-coupled biological oscillators,” SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics) Journal on Applied Mathematics 50 (1990), pp. 1645–1662.


[Закрыть]. Ключевым ингредиентом в доказательстве является понятие «абсорбции» – обозначение идеи о том, что если один осциллятор проталкивает другой осциллятор за пороговое значение, они остаются синхронизированными навсегда, как если бы один осциллятор поглотил другой. Такие поглощения были заметны в моих компьютерных экспериментах, когда у наблюдателя складывалось впечатление, будто осцилляторы сливаются вместе, подобно каплям дождя, стекающим по оконному стеклу. Кроме того, такие слияния необратимы: как только два осциллятора запускаются вместе, они никогда не рассинхронизируются сами по себе, поскольку их динамика идентична; к тому же они одинаково связаны со всеми остальными осцилляторами, поэтому даже когда они испытывают толчок, их синхронизм не нарушается: ведь они испытывают одинаковый толчок. Следовательно, абсорбции действуют подобно храповому механизму, всегда приближая систему к синхронизму.

Основой доказательства является аргумент, демонстрирующий, что последовательность поглощений объединяет осцилляторы в группы, размеры которых все время увеличиваются – до тех пор, пока все они не образуют одну гигантскую совокупность. Если вы не математик, вас, наверное, интересует, как можно доказать все это. Существует бесконечно большое число способов запуска такой системы; как же в таком случае можно охватить одним доказательством все эти бесчисленные варианты? И где гарантия, что в конечном счете произойдет количество поглощений, достаточное для того, чтобы привести такую систему к полному синхронизму?

Ниже излагаются наши рассуждения по этому поводу. Не волнуйтесь, если какие-то детали этих рассуждений покажутся вам непонятными. Моя задача в данном случае заключается лишь в том, чтобы дать вам самое общее представление о том, как выстраиваются такие доказательства. Трудно рассчитывать на что-либо большее, если ваши познания в области математики ограничиваются курсом геометрии, который вы проходили в старших классах школы и который зачастую преподается в механистическом и авторитарном стиле. На самом деле конструирование математического доказательства – весьма творческий процесс, полный нечетких идей и образов, особенно на ранних стадиях этого процесса. Строгие формулировки появляются позже. (Если это не особенно интересует вас, можете пропустить следующие несколько страниц.)

Первым шагом является каталогизация всех возможных начальных конфигураций. Вернемся, например, к случаю двух осцилляторов. По причине использования Пескином уловки со стробами нам вовсе необязательно наблюдать за осцилляторами все время. Достаточно сосредоточиться на одном моменте в каждом цикле. В качестве такого момента мы выбрали момент непосредственно после запуска осциллятора A и его возвращения к исходному состоянию. Тогда на осцилляторе B может быть любое «напряжение» между исходным состоянием и порогом. Представляя напряжение на осцилляторе B в виде точки на числовой оси, исходное состояние на которой отображается нулем, а порог – единицей, мы видим, что существует линейный сегмент разных возможностей. Этот одномерный сегмент охватывает все возможные начальные условия для данной системы (поскольку нам известно, что осциллятор A находится в 0 [только что запустился и сбросился в исходное состояние], единственной переменной является B, который должен пребывать где-то вдоль линейного сегмента между 0 и 1).

Три осциллятора создают большее пространство возможностей. В этом случае нам нужно знать два числа: учитывая, что A только что запустился и находится в 0, нам все еще нужно указать напряжения осцилляторов B и C в этот момент. Как выглядит геометрия, соответствующая какой-то паре чисел? Мы можем представлять их как две координаты некой точки в двумерном пространстве.

Изобразим плоскость x, y, которая наверняка знакома вам из курса математики в старших классах. В данном случае ось x (как обычно, это горизонтальная ось) представляет напряжение осциллятора B в момент, когда запускается A. Вертикальная ось y представляет напряжение осциллятора C в тот же момент. Пара напряжений отображается на этой плоскости одной точкой.

Когда мы предоставляем возможность B и C изменяться независимо, принимая любые напряжения в промежутке между 0 и 1 (охватывая все возможные варианты), соответствующая точка, изображающая пару напряжений, движется внутри некой области, представляющей собой квадрат.

Таким образом, в случае трех осцилляторов мы получаем квадрат возможных начальных условий: одна ось для осциллятора B и одна для осциллятора C. Обратите внимание, что для A нам не нужна ось, поскольку этот осциллятор всегда стартует с нуля (в соответствии с тем, как мы решили стробировать эту систему).

Картина постепенно проясняется. По мере добавления осцилляторов нам необходимо добавлять все больше измерений, чтобы можно было учитывать все возможности. Для четырех осцилляторов требуется трехмерный куб начальных условий; для пяти осцилляторов требуется четырехмерный гиберкуб, а в общем случае для n осцилляторов требуется (n–1) – мерный гиберкуб. Людям, далеким от математики, это может показаться чересчур сложным (все это действительно сложно представить себе). Но с точки зрения формального математического подхода, вообще говоря, все равно, какому числу в каждом конкретном случае соответствует n: увеличение n не предполагает возникновения каких-либо новых сложностей. Поэтому, для большей определенности, в дальнейшем я продолжу рассматривать случай с тремя осцилляторами, который заключает в себе все основные идеи.

Очередной шаг заключается в преобразовании рассматриваемой нами динамики – эволюции такой системы во времени – в графическое представление, которое мы стремимся получить. Мы хотим убедиться в том, что в такой системе действительно будет достигнут синхронизм при неких начальных состояниях осцилляторов B и C.

Представим, что произойдет, если мы позволим такой системе начать работать. Напряжение на всех осцилляторах поднимется до порогового значения, они запустятся, а затем вернутся в исходное (нулевое) состояние; они также будут реагировать на «толчки» со стороны других осцилляторов. Чтобы устранить избыточную информацию, опять воспользуемся методом стробов: предоставим системе возможность работать в темноте до очередного момента, когда осциллятор A запустится и вернется в исходное состояние, а B и C отреагируют на это. Затем включим строб и сделаем очередной фотоснимок, зафиксировав новые позиции B и C.

Геометрический результат заключается в том, что старая точка в нашем квадрате оказалась на новом месте (обновленные напряжения B и C). Иными словами, динамическая эволюция нашей системы эквивалентна преобразованию, в результате которого любая данная точка в нашем квадрате оказывается в другом месте этого квадрата в соответствии с неким сложным правилом, которое определяется формой кривой заряда и величиной толчков.

Этот процесс можно повторить; при этом новую точку можно интерпретировать как начальную, которая изменяет свою позицию в соответствии с упомянутым преобразованием, снова и снова перепрыгивая с одного места в нашем квадрате на другое место. Если такая система должна в конечном счете прийти к синхронизму, то упомянутая нами точка должна постепенно продвигаться в сторону нижнего левого угла квадрата, то есть к точке с напряжениями (0,0); это означает, что все осцилляторы достигнут исходного положения одновременно. (Почему именно нижний левый угол? Потому что именно в этой точке находится осциллятор A. Согласно определению строба, осциллятор A уже запустился и сбросился, поэтому напряжение на нем равно нулю. В синхронизированном состоянии напряжение на обоих других осцилляторах также равно нулю.)

В принципе, у каждой начальной точки есть некое конечное положение, которое можно вычислить. Если в конечном счете все осцилляторы запускались синхронно, то такую начальную точку мы называли «хорошей». В противном случае мы называли ее «плохой». Нам с Ренни не удалось найти способ, который позволял бы нам точно сказать, какие точки являются «хорошими», а какие – «плохими», однако нам удалось доказать, что почти все точки являются хорошими. Плохие точки действительно существуют, но они встречаются настолько редко и настолько сильно разбросаны, что если собрать их все вместе, то занимаемая ими площадь стремится к нулю. Иными словами, если выбрать какую-либо точку произвольным образом, то у вас чрезвычайно мало шансов выбрать плохую точку.

Это может показаться абсурдным: если плохие точки существуют, то вы можете полагать, что с вашим-то везением вы наверняка выберете плохую. Спешу вас успокоить: не выберете. Это практически то же самое, как если бы вы бросали дротик в мишень для игры в «дартс» в надежде, что он попадет точно в разделительную линию между двумя соседними концентрическими областями. Это чрезвычайно маловероятно. А теперь представьте, что толщина этой разделительной линии стремится к нулю (а именно это требуется, если ее площадь должна равняться нулю). Теперь, надеюсь, вы понимаете, почему у вас практически нет шансов попасть дротиком в эту линию.

Идея о теоретическом существовании «плохих» точек принадлежала Ренни, хотя мы, разумеется, были заинтересованы в «хороших» точках. Стратегия Ренни напоминала концепцию отрицательного пространства, к которой прибегают художники: чтобы лучше уяснить интересующий вас объект, постарайтесь уяснить пространство, окружающее этот объект. В частности, Ренни придумал, как доказать, что «плохие» точки занимают нулевую площадь.

Чтобы составить некоторое представление о его доказательстве, сосредоточимся на наихудших из «плохих» точек, которые я буду называть «ужасными». Эти точки – самые непокорные в своем стремлении воспрепятствовать достижению синхронизма: они вообще не поддаются поглощениям. Когда система начинает свою работу с какой-либо ужасной точки, никакая из пар осцилляторов (и тем более не вся популяция осцилляторов) не сможет синхронизироваться.

Чтобы понять, почему ужасные точки не могут занимать площадь больше нулевой, вообразите все эти точки в виде некой совокупности и проанализируйте, что произойдет, когда мы применим наше преобразование ко всем точкам в такой совокупности. Каждая ужасная точка перескочит в какое-то другое место, но после такого преобразования она все равно останется ужасной. Это звучит почти как тавтология: если какая-либо точка никогда не приводит к поглощению, то после одной итерации нашего преобразования она все равно никогда не приведет к поглощению. Следовательно, новая точка также является ужасной. Поскольку первоначальная совокупность включала все ужасные точки (по определению), эта новая точка должна была бы где-то здесь появиться, чтобы она могла исполнить роль начальной.

Наш вывод заключается в том, что преобразованная совокупность находится полностью внутри первоначальной совокупности. Могу предложить более наглядную аналогию: это похоже на хорошо известные вам фотографии «до» и «после», используемые в рекламе всевозможных диет для похудения. Преобразованная совокупность – похудевшая «после» – фотография – полностью содержится внутри толстой «до» – фотографии (как в рекламе диет для похудения).

До сих пор в нашем доказательстве не использовалась какая-либо информация о форме кривой заряда или величине «толчков». Когда мы в конечном счете учтем эти детали, мы придем к выводу, который, на первый взгляд, может показаться парадоксальным, хотя на самом деле он является решающим доводом в нашем доказательстве. Нам с Ренни удалось доказать, что преобразование из «до» в «после» действует подобно функции увеличения масштаба в фотокопировальном аппарате. Любая совокупность точек, которую вы подаете на вход нашего преобразования, на его выходе оказывается увеличенной в том смысле, что ее суммарная площадь оказывается умноженной на коэффициент, больший 1. Неважно, какую именно совокупность вы выберете (как неважно и то, какое изображение вы поместите в фотокопировальный аппарат): увеличится площадь всех совокупностей. В частности, увеличится площадь совокупности ужасных точек. Но погодите, это означает, что совокупность ужасных точек становится толще, а не тоньше. Но это, похоже, противоречит тому, о чем мы говорили выше. Если быть более точным, проблема в том, что преобразованная версия совокупности ужасных точек должна находиться внутри исходной совокупности при том, что ее площадь также должна увеличиться, что кажется невозможным. Единственным условием, при котором эти два вывода могут быть совместимы, является нулевая площадь исходной совокупности (фотография «до» должна представлять собой изображение тонкого прута). В таком случае никакого противоречия нет: при умножении на число, большее 1, площадь исходной совокупности останется нулевой, поэтому преобразованная совокупность может поместиться внутри исходной совокупности. Но это именно то, что мы хотели продемонстрировать: ужасные точки занимают нулевую площадь. Именно поэтому вам никогда не удастся выбрать их, если вы будете выбирать начальное условие случайным образом. Не сможете вы выбрать и какие-либо другие «плохие» точки. Именно поэтому наступление синхронизма в такой модели является неизбежным.

Та же аргументация относится к любому другому количеству осцилляторов – с той небольшой поправкой, что в случае четырех или большего количества осцилляторов площадь нужно заменить на объем или гиперобъем. В любом случае вероятность начать процесс с плохой точки всегда остается равной нулю. Следовательно, Пескин был прав: в его модели идентичных импульсно-связанных осцилляторов каждый из осцилляторов в конечном счете запускается в унисон с остальными.

Конструируя это доказательство, мы пришли к выводу, что предположение Пескина об утечках было очень важным: в противном случае преобразование из «до» в «после» не расширяет площадь и все доказательство разваливается. Более того, оно должно развалиться, поскольку наша теорема без такого предположения недействительна. Если кривая заряда загибалась вверх, а не вниз – если напряжение растет все быстрее по мере приближения к пороговому значению, – то наше моделирование показывало, что рассматриваемая популяция осцилляторов вовсе не обязательно синхронизируется. Осцилляторы могут зациклиться в случайной картине хаотических запусков.

Этот тонкий момент зачастую ставил в тупик других математиков, когда я читал свои первые лекции по нашей работе: прежде чем я успевал дать развернутое пояснение этого момента, какой-нибудь критикан (а среди слушателей обязательно находился хотя бы один такой) прерывал меня и упрекал в тривиальности нашей теоремы: дескать, осцилляторы, конечно же, синхронизируются, поскольку все они идентичны и одинаково связаны друг с другом – а на какой же еще результат я рассчитывал? Но такое возражение слишком обманчиво: оно игнорирует слабое влияние кривой заряда. Синхронизм возникает с неизбежностью лишь в случае, когда эта кривая изгибается в «правильном» направлении. С биологической точки зрения, форма кривой заряда определяет, в какой момент толчки оказываются более сильными: в начале цикла (вблизи исходного состояния) или в конце цикла (вблизи порогового значения). Когда кривая заряда наклонена вниз, как в модели Пескина, данный толчок напряжения трансформируется в больший сдвиг фазы для осцилляторов, близких к пороговому значению, что в свою очередь гарантирует, что система будет синхронизирована, хотя понять, почему именно она будет синхронизирована, не так-то просто.

Сконструированное нами доказательство выводов, сделанных Пескином, оказалось первым строгим результатом, относящимся к популяции осцилляторов, обменивающихся внезапными импульсами. Что же касается реальных светлячков или клеток-ритмоводителей сердца, такая модель является очевидным упрощением. Она предполагает, что запуск одного осциллятора всегда подталкивает другие осцилляторы в направлении порога, продвигая таким образом их фазы вперед; реальные биологические осцилляторы могут, вообще говоря, сдвигать фазу как вперед (опережение), так и назад (запаздывание). Кроме того, тайские светлячки, которые являются самыми большими мастерами в части синхронизации – вид, известный как Pteroptyx malaccae, – используют совершенно другую стратегию[16]16
  Экспериментальные свидетельства разных стратегий перенастройки, используемых светлячками, изложены в статье Frank E. Hanson, “Comparative studies of firefly pacemakers,” Federation Proceedings 37 (1978), 2158–2164. Цель нашей математической модели никогда не заключалась в том, чтобы обеспечить большую реалистичность в этом отношении. Мы лишь хотели доказать правильность гипотезы Пескина и ссылались на светлячков как на самый наглядный пример этой абстракции, концепцию импульсно-связанных осцилляторов. Описание гораздо более достоверной с биологической точки зрения модели синхронизма светлячков можно найти в статье G. Bard Ermentrout, “An adaptive model for synchrony in the firefly Pteroptyx malaccae.” Journal of Mathematical Biology 29 (1991), pp. 571–585.


[Закрыть]: они непрерывно корректируют частоту своих «внутренних часов», а не их фазу, в ответ на сторонние вспышки. По сути, они заставляют свои «внутренние часы» тикать быстрее или медленнее, вместо того чтобы переводить свою минутную стрелку немного вперед или назад. К тому же, предполагая, что все осцилляторы идентичны, наша модель не принимает во внимание генетическое разнообразие, присущее любой реальной популяции. И наконец, наше допущение, что все осцилляторы оказывают одинаковое воздействие друг на друга, является очень грубым описанием клеток сердца, которые влияют главным образом на своих ближайших соседей. Учитывая все эти ограничения нашего анализа, мы оказались не готовы к реакции, которую он должен был вызвать с неизбежностью.

В течение нескольких следующих лет было опубликовано более 100 статей, посвященных импульсно-связанным осцилляторам. Авторами этих статей были ученые, представлявшие множество дисциплин, начиная с нейробиологии и заканчивая геофизикой. Что касается нейробиологии, то теоретиков, изучающих модели нейронных сетей, категорически не устраивал преобладающий подход, согласно которому нейроны весьма грубо описывались средними скоростями их запуска (количеством скачков напряжения в секунду), а не фактическим распределением самих этих скачков во времени[17]17
  Одной из ранних работ, посвященных этому вопросу, была статья L. F. Abbott and C. van Vreeswijk, “Asynchronous states in neural networks of pulse-coupled oscillators,” Physical Review E 48 (1993), pp. 1483–1490.


[Закрыть]. Предложенная нами новая модель импульсно-связанных осцилляторов идеально отвечала потребностям ученых-нейробиологов и духу времени в целом.

По случайному стечению обстоятельств или, может быть, в силу каких-то других причин в начале 1990-х годов ученые в других областях также размышляли над поведением систем такого рода. Например, влиятельный биофизик Джон Хопфилд, работающий в Калифорнийском технологическом институте, обнаружил связь между землетрясениями и импульсно-связанными нейронами[18]18
  John J. Hopfield, “Neurons, dynamics, and computation,” Physics Today 47 (1994), pp. 40–46; A. V. M. Herz and J. J. Hopfield, “Earthquake cycles and neural reverberations: Collective oscillations in systems with pulse-coupled threshold elements,” Physical Review Letters 75 (1995), pp. 1222–1225.


[Закрыть]. В упрощенной модели землетрясения пласты земной коры постоянно воздействуют друг на друга, создавая напряжение, которое нарастает до тех пор, пока не будет достигнут некий порог. Затем эти пласты внезапно начинают скользить относительно друг друга; высвобождающаяся при этом энергия приводит к взрыву. Весь этот процесс напоминает постепенное повышение и внезапный скачок напряжения нейрона. В описанной выше модели землетрясения соскальзывания одного пласта может оказаться достаточно, чтобы запустить соскальзывание других пластов (точно так же, как запуск нейрона может вызвать цепную реакцию других разрядов в мозге). Эти каскады множащихся событий могут приводить к землетрясениям (или эпилептическим хватательным движениям у человека). В зависимости от того, какой именно оказывается конфигурация других элементов системы, результатом может быть либо едва различимый гул, либо сильное землетрясение.

Такая же математическая структура возникала в моделях других взаимодействующих систем, начиная с лесных пожаров и заканчивая массовыми вымираниями живых организмов. В каждом таком случае какой-то отдельно взятый элемент подвергается нарастающему давлению, продвигается в направлении некого порога, а затем внезапно высвобождает накопившееся напряжение и распространяет его на другие элементы, что способно вызвать эффект домино. Модели с таким характером широко обсуждались в начале 1990-х годов. Статистика каскадов – в основном небольших, но в нескольких случаях катастрофических – изучалась теоретически физиком Пером Баком и его сотрудниками в связи с тем, что они называли самоорганизующейся критичностью[19]19
  Сведения о самоорганизующейся критичности можно найти в книгах Per Bak, How Nature Works: The Science of Self-Organized Crincality (New York; Copernicus Books, 1999) и Mark Buchanan, Ubiquity: The Science of History… or Why the World Is Simpler Than We Think (New York: Crown, 2001).


[Закрыть].

Открытие, сделанное Хопфилдом, заключается в том, что самоораганизующася критичность может быть тесно связана с синхронизацией в импульсно-связанных системах осцилляторов. Интригующая возможность связи между этими двумя областями породила десятки статей, в которых исследовались возможные варианты связи[20]20
  С обзором литературы, которая увязывает самоорганизующуюся критичность с синхронизацией, можно ознакомиться в статье C. J. Perez, A. Corral, A. Didz-Guilera, K, Christensen, and A. Arenas, “On self-organized criticality and synchronization in lattice models of coupled dynamical systems,” International Journal of Modern Physics B 10 (1996), pp. 1111–1151.


[Закрыть]. Этот эпизод служит примером того, как математики могут выявлять скрытую связь явлений, которые на первый взгляд кажутся не связанными между собой.

Наша работа привлекла также внимание средств массовой информации – в основном из-за ее связи со светлячками, которые вызывали у большинства людей детские воспоминания о летних вечерах, когда они ловили этих мерцающих насекомых в стеклянные банки[21]21
  См., например: Ivors Peterson, “Step in time,” Science News 140 (August 31, 1991), pp. 136–137; Ian Stewart, “All together now,” Nature 350 (1991), p. 557; Walter Sullivan, “A mystery of nature: Mangroves full of fireflies blinking in unison,” New York Times (August 13, 1991), p. C4.


[Закрыть]. В результате этого повышенного внимания со стороны прессы в 1992 г. я получил восторженное письмо от женщины по имени Линн Фост, проживающей в Ноксвилле, Теннеси. В характерной для нее вежливой и непосредственной манере она была готова разрушить давний миф о синхронно мерцающих светлячках. Вот о чем она поведала мне в своем письме.

Я уверена, вам известно об этом. Поэтому хочу лишь напомнить о том, что в национальном парке «Грейт-Смоки Маунтин» вблизи г. Элкмонт, Теннеси, у мерцающих насекомых наблюдается что-то наподобие группового синхронизма. Сеансы мерцания у них происходят с середины июня и начинаются каждые сутки примерно в 10 часов вечера. После 6 секунд полной темноты тысячи насекомых в течение трех секунд с идеальным синхронизмом совершают шесть быстрых вспышек, после чего все они «потухают» еще на 6 секунд.

В Элкмонте у нас есть маленький домик (к сожалению, по распоряжению руководства национального парка, он должен быть снесен в декабре 1992 г.) и, насколько нам известно, этот конкретный вид группового синхронного мерцания наблюдается лишь на этой небольшой территории. Между тем это поистине завораживающее зрелище.

Описанные мною насекомые существенно отличаются от наших обычных светлячков, которые после наступления темноты просто загораются и потухают в произвольные моменты времени.

Далее Линн Фост рассказала в своем письме, что по другую сторону речушки, на берегу которой стоит их домик, светлячки, расположившиеся выше по склону холма, начинают свою последовательность свечений чуть раньше тех, которые расположились ниже, поэтому у наблюдателя возникает впечатление огоньков, сбегающих волной вниз по склону холма, «что-то наподобие водопада светлячков».

Она отправила письмо руководству национального парка в Элкмонте с просьбой не проводить реконструкцию парка и не разрушать естественную среду обитания насекомых по крайней мере до тех пор, пока ученые не изучат их поведение. Ведь это явление можно наблюдать лишь в строго определенном месте этого национального парка. Кстати, уникальность этого места натолкнула Линн Фост на мысль о том, что проживающие там люди, наверное, делают что-то такое, что способствует столь необычному мерцанию светлячков. Она предположила, что причиной может быть периодическое подстригание травяных газонов местными жителями. На протяжении 50 лет жители Элкмонта подстригают свои газоны примерно каждые две недели. Это позволяло личинкам светлячков благополучно перезимовать, зарывшись в заросли короткой травы на болотистой почве. Весной эти личинки превращались в светлячков, которые размножались летом. Следовательно, по мнению Линн Фост, если Элкмонт покинут все его нынешние жители, регулярно подстригающие свои газоны, светлячки могут быть утрачены для науки раз и навсегда. В поддержку своей гипотезы, касающейся стрижки травяных газонов, Линн Фост указывала, что самые высокие концентрации светлячков отмечались

непосредственно возле домиков местных жителей и охватывали участки, на которых регулярно подстригалась трава… Ни одной из личинок не удалось обнаружить на участке, где раньше стоял дом «дядюшки Лема Оуенбая», то есть там, где уже давно не подстригают траву. На протяжении 15 лет, за которые на месте лужайки, примыкавшей к дому Мейны Маккинн, успел вырасти лес, она отмечала существенное уменьшение «своей» популяции светлячков.

Линн также удручала перспектива расставания со своим жильем и привычным окружением. К тому времени семейство Фостов наслаждалось фантастическим мерцанием светлячков уже на протяжении 40 лет. Каждый июнь три поколения Фостов укутывались в пледы и молча сидели на неосвещенном крыльце своего домика в ожидании начала очередного представления.

То, что было так знакомо семейству Фостов, было новостью для науки[22]22
  Об истории открытия, совершенного Линн Фост, рассказывается в статье Carl Zimmer, “Fireflies in lockstep,” Discover 15 (June 1994), pp. 30–31, и в статье Susan Milius, “U.S. fireflies flashing in unison,” Science News 155 (March 13, 1999), pp. 168–170. Прекрасный материал в пересказе самих очевидцев опубликован в газете The Tennessee Conservationist: Lynn Faust, Andrew Moiseff, and Jonathan Copeland, “The night lights of Elkmont,” The Tennessee Conservationist (May/June 1998), pp. 12–15. Научный материал на эту тему можно найти в статье Andrew Moiseff and Jonathan Copeland, “Mechanisms of synchrony in the North American firefly Photinus carolinus (Coleoptera: Lampyridae),” Journal of Insect Behaviors (.1995), p. 395.


[Закрыть]. Эти любительские наблюдения могли стать первым хорошо задокументированным случаем синхронного мерцания светлячков в Западном Гэмпшире. На протяжении многих десятилетий после дискуссии, разгоревшейся в начале XX века в журнале Science, было принято считать, что такое явление не встречается на американском континенте – только в Азии и Африке. Я познакомил Линн с Джонатаном Коуплендом, исследователем светлячков, работающим в Южном университете Джорджии. Коупленд вместе со своим коллегой Энди Моисеффом из Коннектикутского университета подтвердил, что светлячки, обитающие у домика Фостов, мерцают синхронно, причем величина рассинхронизации между светлячками не превышает трех сотых долей секунды.

Несмотря на то что в 1992 г. Элкмонт был в конечном счете поглощен национальным парком «Грейт-Смоки Маунтин», светлячкам удалось пережить эту трансформацию, и их «Световое шоу» продолжилось, став хорошей приманкой для туристов. Что касается Линн Фост, то ее по-прежнему увлекает повсеместность синхронизма в природе и она по-прежнему совершает свои открытия. Вот, например, о чем она написала мне в 1999 г.: «Еще одно явление простого синхронизма мне довелось наблюдать этой весной, когда четыре индюка (не диких, а домашних) во время весеннего брачного периода собираются в круг и начинают синхронно кулдыкать, после того как их вожак (во всяком случае, мне показалось, что он является их вожаком) издает первый звук».