Текст книги "Удовольствие от X. Увлекательное путешествие в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире"

Часть II. Соотношения

7. Получая радость от Х

Итак, пора переходить от арифметики начальной школы к математике средних классов. На протяжении следующих десяти глав мы будем повторять алгебру, геометрию и тригонометрию. Не волнуйтесь, если вы их забыли, – на этот раз не будет никаких экзаменов. Вместо того чтобы беспокоиться о формальной стороне изучения алгебры и геометрии, позволим себе сосредоточиться на самых красивых, важных и далеко идущих идеях этих разделов математики. Например, алгебра может поразить вас головокружительным сочетанием символов, определений и методов, но, в конце концов, все это сведется лишь к двум вещам: нахождению решений x и работе с уравнениями.

Первое похоже на работу детектива. Вы ищете неизвестное число х, при этом вам дается несколько подсказок либо в виде уравнения наподобие 2x + 3 = 7, либо, что менее удобно, в виде запутанного словесного портрета x, то есть словесного описания задачи. В любом случае ваша цель – найти на основании полученных данных значение х.

Напротив, работа с уравнениями представляет собой смесь искусства и науки. Вместо того чтобы остановиться на конкретном значении х, вы подтасовываете и уплотняете соотношения, которые по-прежнему содержат изменяющиеся числа; они называются переменными и как раз и являются тем, что действительно отличает алгебру от арифметики. А уравнения, если можно так выразиться, – просто изящные модели самих чисел. Именно в них алгебра сродни искусству. Можно также сказать, что формулы выражают соотношения между числами в реальном мире, как это происходит в законах движения свободно падающих тел и характеристиках планетарных орбит либо у частот генотипов в популяции. Вот здесь алгебра сродни науке.

Такое определение двух основных функций алгебры не считается общепринятым (оно придумано мной и, как мне кажется, довольно правдиво). В следующей главе я больше расскажу о поиске решений x, а пока, чтобы пояснить мою мысль, сосредоточимся на уравнениях и формулах. Начнем с пары простых примеров.

Несколько лет назад моя дочь Джо поняла зависимость между числами, выражающими ее возраст и возраст ее старшей сестры Лии{23}23
  Для зануд: Лия действительно на 21 месяц старше Джо.


[Закрыть]. Она мне сказала: «Папа, смотри, всегда есть число между моим возрастом и возрастом Лии. Вот сейчас мне шесть лет, а Лии восемь, а семь находится посередине. И даже когда мы станем старше – мне исполнится двадцать, а ей двадцать два года, – посередине по-прежнему будет число!»

Рассуждения Джо – пример алгебраического подхода (хотя никто, кроме гордого отца, возможно, этого и не видит). Она подметила соотношение между двумя постоянно меняющимися переменными: своим возрастом, x, и возрастом Лии – y. Лия всегда будет на два года старше сестры: y = x + 2.

На языке алгебры такие задачи формулировать естественнее всего. Но потребуется небольшая практика, чтобы хорошо разобраться в этой науке, потому что существуют, как говорят французы, faux amis, то есть ложные друзья: пары слов, звучащие похоже и вроде бы означающие одно и то же, но на самом деле имеющие совершенно различные значения.

Предположим, что длина коридора равна y, если ее измерять в ярдах, и f, если мы ее измерим в футах. Составьте уравнение, описывающее отношение между y и f.

Мой друг Грант Виггинс, эксперт по вопросам образования, уже много лет предлагает такое задание студентам и университетским преподавателям. Основываясь на своем опыте, он утверждает, что студенты более чем в половине случаев выполняют его неправильно, даже если совсем недавно прошли и успешно сдали курс алгебры.

Если вы тоже думаете, что ответ – y = 3f, добро пожаловать в клуб неудачников.

Эта формула похожа на «дословный перевод» утверждения «Один ярд равняется трем футам» на язык алгебры. Но как только вы попробуете подставить в уравнение несколько чисел, то сразу увидите, что в нем все перевернуто с ног на голову. Скажем, коридор имеет длину 10 ярдов, то есть 30 футов. Тогда при y = 10 ярдам, понятно, что f = 30 футам, и тождество становится неверным.

Верное уравнение: f = 3y. И здесь 3 действительно означает, что в одном ярде 3 фута (то есть имеет размерность фут/ярд). Когда вы умножите 3 на переменную y в ярдах, то ярды в уравнении сократятся, и у вас останутся, как и должно быть, футы.

Проверка правильности формулы с помощью сокращения единиц измерения помогает избежать грубой ошибки такого типа. Например, она могла бы спасти сотрудников отдела обслуживания клиентов компании Verizon (см. пример в главе 5) от путаницы между долларами и центами.

Еще один вид формул называется тождеством. Когда на уроках алгебры вы раскладывали на множители или перемножали многочлены, вы работали с тождествами. Можете использовать их и теперь, чтобы произвести впечатление на друзей дешевыми трюками с числами. Вот один, который поразил физика Ричарда Фейнмана[8]8
  Ричард Фейнман (1918–1988) – выдающийся американский ученый, основные открытия сделал в области теоретической физики. Один из создателей квантовой электродинамики. В 1943–1945 гг. входил в число разработчиков атомной бомбы в Лос-Аламосе. Прим. перев.


[Закрыть], хотя он сам неплохо считал устно.

Работая в Лос-Аламосе{24}24
  Фейнман рассказывает об остроумном методе Бете возведения в квадрат чисел до 50 в книге R. P. Feynman, Surely, You’re Joking, Mr. Feynman! стр. 193 (W. Norton and Company, 1985).
  Прим. ред.: Фейнман Р. Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман! М.: Колибри, 2008.


[Закрыть], я убедился, что Ганс Бете[9]9
  Ганс Бете (1906–2005) – американский астрофизик, лауреат Нобелевской премии по физике. В 1943–1945 гг. входил в число разработчиков атомной бомбы в Лос-Аламосе. Прим. перев.


[Закрыть] превосходно считает. Как-то раз мы подставляли числа в формулу и добрались до квадрата 48, я уже было потянулся за калькулятором, и тут Ганс сказал:

– Это будет равняться 2300.

Я стал нажимать кнопки, а он продолжил:

– Если вам нужен точный ответ, то 2304.

Калькулятор тоже выдал 2304.

– Ну и дела! Это впечатляет! – воскликнул я.

– Разве вы не знаете, как возвести в квадрат числа, не превышающие 50? – удивился он. – Возводите в квадрат 50 – равно 2500 – и вычитаете 100 раз разность между 50 и вашим числом (в данном случае это 2), так у вас выйдет 2300. Если хотите иметь точное значение, то к этому числу прибавьте квадрат разности. Выйдет 2304.

Трюк Бете основан на тождестве (50 + х)² = 2500 + 100x + х². Он запомнил его и применил при х = –2, так как 48 = 50 – 2. Для интуитивного доказательства этой формулы представьте себе квадратный кусочек ковра со стороной 50 + х.

Его площадь, равная (50 + х) в квадрате, и есть наше искомое. Однако на диаграмме видно, что эта область состоит из квадрата 50 × 50 (в формуле это равно 2500), двух прямоугольников размером 50, умноженное на x, (площадь каждого по 50x; всего 100х), и, наконец, x, умноженное на x, что равно площади х в квадрате.

Такие тождества полезны не только для физиков-теоретиков. Еще одно тождество, подобное тождеству Бете, имеет отношение к любому, кто вкладывает деньги в фондовый рынок{25}25
  Получение одинаковых результатов при повышении и понижении стоимости акций на одинаковый процент при колебании цен на фондовом рынке можно доказать математически с помощью умножения 1 + x на 1 – x или геометрически, нарисовав схему, аналогичную используемой Бете для объяснения своего метода. Если у вас есть настроение, в качестве упражнения попробуйте оба подхода.


[Закрыть]. Предположим, ваши акции катастрофически упали на 50% в одном году, а затем, в следующем, поднялись на 50%. Даже при такой высокой прибыли их стоимость уменьшилась на 25%. Чтобы в этом убедиться, обратите внимание на то, что при подсчете 50% потерь вы умножаете свои деньги на 0,50, а при вычислении 50% прибыли – на 1,50. Если производить эти вычисления одно за другим, то ваши деньги нужно умножить на 0,50 и на 1,50, что составляет 0,75. Другими словами, 25% потерь.

На самом деле вам никогда не вернуться к первоначальной сумме, даже если вы несколько лет подряд будете иметь то потери, то прибыль на одинаковый процент. Алгебра поможет нам понять, почему так происходит. Это следует из тождества

(1 – х) (1 + х) = 1 – x².

В одном году стоимость портфеля акций уменьшалась на коэффициент 1 – x (в примере x = 0,50), а в следующем году увеличивалась на коэффициент 1 + x. Таким образом, абсолютное изменение можно представить в виде выражения (1 – х)(1 + х), в соответствии с формулой, приведенной выше, оно равно 1 – x².

Дело в том, что это выражение для любого х, отличного от 0, всегда меньше 1. Следовательно, вы никогда полностью не компенсируете своих потерь.

Само собой разумеется, что не все соотношения между переменными так же просты, как рассмотренные нами. Тем не менее привлекательность алгебры соблазнительна, а в наивных руках она создает такие глупости, как формулу для социально приемлемой разницы в возрасте партнеров, находящихся в романтических отношениях{26}26
  «Ваш возраст, деленный на два, и плюс семь», – эта формула называется стандартом приемлемой разницы в возрасте партнеров, находящихся в романтических отношениях. Ее можно найти по ссылке http://xkcd.com/314/.


[Закрыть]. На некоторых сайтах в интернете сказано: если ваш возраст х, то светское общество не одобрит вашу связь с партнером, если его возраст меньше чем х/2 + 7 лет.

Иными словами, если 82-летний мужчина встречается с 48-летней женщиной, даже если она не замужем, это достойно осуждения. А если ему только 81? Тогда ничего страшного!

8. В поиске своих корней

Более 2500 лет математики мучились над решениями уравнений относительно х. Путь поиска решений{27}27
  О поиске решений более сложных уравнений, от квадратных до уравнений пятого порядка, ярко и подробно рассказывается в книге M. Livio, The Equation That Couldn’t Be Solved (Simon and Schuster, 2005).
  Прим. ред.: Книга для школьников по решению алгебраических уравнений: Самарова С.С. Решение алгебраических уравнений. М.: Резольвента, 2010.


[Закрыть], то есть нахождения корней этих уравнений, для все более и более сложных уравнений стал одним из великих эпосов в истории человеческой мысли.

Одна из первых подобных задач поставила в тупик граждан Делоса[10]10
  Делос – остров в Эгейском море. Прим. ред.


[Закрыть] примерно в 430 году до н. э. Отчаявшись предотвратить распространение чумы, они, по совету Дельфийского оракула, вознамерились увеличить объем кубического алтаря бога Аполлона в 2 раза. К сожалению, оказалось, что удвоение объема куба{28}28
  Дополнительные сведения о классической проблеме удвоения куба можно найти по адресу http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Doubling_the_cube.html.


[Закрыть] требует знания и умения извлекать кубический корень из 2. Посредством того ограниченного арсенала геометрических инструментов, который имелся в то время у греков (циркуль и линейка), решить эту задачу было невозможно.

Более поздние исследования подобных задач выявили еще одну неизбежно возникающую раздражающую мелочь: в процессе решения уравнений очень часто приходилось извлекать квадратные корни из отрицательных чисел{29}29
  Чтобы больше узнать о мнимых и комплексных числах и их применении, а также об их переменчивой истории см. J. Nahin, An Imaginary Tale (Princeton University Press, 1998) и B. Mazur, Imagining Numbers (Farrar, Straus and Giroux, 2003).
  Прим. ред.: Среди обширной литературы по комплексным числам укажем только одну из последних книг: Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов. М.: МЦНМО, 2002.


[Закрыть]. Над этим еще довольно долго смеялись, как над чем-то ложным и софистическим.

Математики почти до 1700-х годов отрицали возможность извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, поскольку те не могли быть положительными числами, так как положительное число, умноженное на положительное, всегда дает положительное. А мы ищем числа, квадраты которых отрицательные. Они не могли быть и отрицательными числами, так как отрицательное число, умноженное на отрицательное, опять же дает положительное. Казалось, не было никакой надежды на получение числа, которое при умножении на себя даст отрицательное число.

Здесь мы опять наблюдаем очередной кризис. Они неизменно возникают в математике в случае, когда уже существующие операции пытаются применять в числовых областях, где применить их уже нельзя. Так, вычитание бо́льших чисел из меньших породило отрицательные числа (см. главу 3), а деление породило дроби (см. главу 5), необходимость извлекать квадратные корни в конечном итоге вынудила вновь расширить вселенную чисел.

Исторически так сложилось, что этот шаг был самым болезненным. Квадратный корень из –1 до сих пор носит унизительное название «мнимый».

Этот новый вид чисел (или, если вы предпочитаете быть агностиками, называйте их символами, а не числами) определяется таким свойством, что

i² = –1.

То, что i нельзя найти на числовой оси, действительно правда. В этом отношении i гораздо более необычно, чем ноль, отрицательные числа, дроби и даже иррациональные числа, но, как ни странно, у всех мнимых чисел есть место на числовой оси. И при достаточном воображении наш ум может его отыскать и для i тоже. Оно «живет» на собственной мнимой оси, расположенной под прямым углом к основной. И, наложив мнимую ось на ось реальную числовую, вы создадите 2D-пространство, то есть двумерную плоскость, где обитают воображаемые числа.

Это комплексные числа. Но их комплексность означает не сложность, а то, что два типа чисел, действительных и мнимых, скреплены вместе и образуют сложное, гибридное число, например 2 + 3i.

Комплексные числа – это сверкающая вершина всей системы чисел. Они радуют теми же свойствами, что и реальные числа. Их можно складывать и вычитать, умножать и делить, но они лучше реальных чисел, потому что из них всегда можно извлечь корни. Вы можете извлечь из комплексного числа квадратный корень, корень третьей степени или вообще корень любой степени, а в результате все равно получится комплексное число.

И напоследок грандиозное утверждение, называемое основной теоремой алгебры. В нем говорится, что корни любого многочлена – всегда комплексные числа. В этом смысле они завершают поиски святого Грааля. Вселенная чисел больше не должна расширяться. Комплексные числа – кульминация путешествия, которое началось с единицы.

Вы можете оценить полезность комплексных чисел (то есть почувствовать их правдоподобие), если знаете, как их визуализировать. Ключом к визуализации станет понимание того, что такое умножение на i. Предположим, мы умножаем произвольное положительное число, скажем 3, на i. Результатом будет мнимое число 3i.

Таким образом, умножение на i представляет собой вращение против часовой стрелки на четверть оборота. До умножения на i число 3 обозначается стрелкой длиною 3, направленной на восток, результатом умножения на i будет стрелка такой же длины, но направленная на север.

Инженеры-электротехники любят комплексные числа именно по этой причине. Иметь такой компактный способ представления вращения на 90° при работе с переменным током, напряжением или электрическими и магнитными полями очень удобно, потому что они часто связаны с колебаниями или волнами, которые составляют четверть цикла (то есть представляют сдвиг фазы на 90°).

Действительно, комплексные числа необходимы всем инженерам. В авиационно-космической промышленности они облегчили расчеты подъема крыла самолета. Инженеры-строители и инженеры-механики регулярно используют их для анализа вибрации элементов пешеходных мостов, небоскребов и автомобилей на ухабистой дороге.

Поворот на 90° также проливает свет на то, что на самом деле означает i² = –1. Если мы умножим положительное число на i², то стрелка, равная длине положительного числа, повернется на 180° в направлении с востока на запад, так как производится два поворота на 90° (по одному для каждой степени i), в итоге – на 180°.

Но умножение на –1 делает такое же сальто на 180°. Вот поэтому i² = –1.

Компьютеры вдохнули новую жизнь в комплексные числа и вековую проблему извлечения корней. Когда ПК не используются нами для веб-серфинга или отправки и получения электронной почты, они на наших столах способны обнаружить такое, что древние и представить себе не могли.

В 1976 году мой коллега по Корнуолльскому университету Джон Хаббард попытался применить в задачах по динамике метод Ньютона{30}30
  Прекрасную журналистскую работу о Джоне Хаббарде можно найти в книге J. Gleick, Chaos, р. 217 (Viking, 1987). Собственный взгляд Хаббарда на метод Ньютона отображен в разделе 2.8 книги J. Hubbard and B. B. Hubbard, Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms, 4th edition (Matrix Editions, 2009).
  Для читателей, которые хотят углубиться в математический аппарат метода Ньютона, более сложное, но все же довольно понятное объяснение дано в книге H.-O. Peitgen and P. H. Richter, The Beauty of Fractals (Springer, 1986), chapter 6; также см. статью Эдриана Двади (сотрудник Хаббарда), озаглавленную Julia sets and the Mandelbrot set, в этой же книге.


[Закрыть], мощный алгоритм для поиска корней уравнений в комплексной плоскости. В соответствии с этим методом выбирается начальное значение (близкое к значению корня) и неоднократно производятся определенные вычисления. При этом на каждом последующем шаге используется значение, полученное на предыдущем. Этот метод позволяет быстро приблизиться к корням уравнения.

Хаббард заинтересовался множественными корнями. Какой из множественных корней можно найти методом Ньютона? Хаббард доказал, что из двух корней всегда будет найден тот, который наиболее близок к начальному значению. Однако при наличии трех и более корней его предыдущее доказательство не сработало.

Тогда Хаббард провел так называемый численный эксперимент. Он запрограммировал компьютер на выполнение метода Ньютона, настроив устройство так, чтобы оно маркировало цветом миллионы различных начальных значений в соответствии с тем, к какому корню они приближались, и меняло интенсивность цвета в зависимости от скорости их приближения к корню.

До того как Хаббард увидел результат, он предполагал, что к корням уравнения быстрее всего притянутся наиболее близкие к ним по значению, и это отобразится в виде ярких точек на сплошном цветовом пятне. Но вот границы между пятнами? О них он даже не думал.

Компьютер выдал неожиданный результат.

Пограничная область между пятнами напоминала психоделические галлюцинации{31}31
  Хаббард не был первым математиком, поставившим вопрос о применении метода Ньютона, в комплексной плоскости. Артур Кэли, британский математик, задал его еще в 1879 году. Он также рассмотрел квадратичный и кубический полиномы и понял, что первый случай гораздо проще, чем второй. Хотя тогда он еще не мог знать о фракталах, которые были обнаружены век спустя, он прекрасно понимал, что есть риск возникновения определенных проблем, если корней окажется больше двух. В его небольшой (на одну страницу) статье Desiderata and suggestions: No.3—the Newton-Fourier imaginary problem, American Journal of Mathematics, 2(1), March 1879, p. 97, с которой можно ознакомиться на сайте http://www.jstor.org/pss/2369201, заключение звучит как сдержанное предупреждение: «Для квадратного уравнения решение легко и элегантно, но представляется, что решение кубического уравнения окажется значительно сложнее».


[Закрыть]. Цвета в ней смешивались беспорядочно, соприкасаясь друг с другом в невероятно большом количестве точек. Они всегда располагались в трех направлениях. Другими словами, где бы ни появлялись два цвета, между ними всегда присутствовал третий.

Расширение границ выявило наличие пятен внутри пятна.

Структура была фрактальной{32}32
  Снимки, представленные в этой главе, были рассчитаны методом Ньютона, примененного для нахождения корней многочлена z³–1. Его корни – три кубических корня из 1. Для этого случая в соответствии с алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости выбирается точка z, она и переносит значение корня в новую точку, рассчитанную по формуле
z – (z³–1)/(3z²).  Именно это значение и становится следующим значением z. Данный процесс повторяется, пока z не подходит достаточно близко к корню или, что эквивалентно, пока z³–1, не подойдет достаточно близко к нулю, где под «достаточно близко» понимается очень маленькое расстояние, выбранное программистом. Затем все исходные точки, которые приводят к определенному корню, окрашиваются в одинаковый цвет. Таким образом, точки красного цвета сходятся к одному корню, точки зеленого – к другому, а синего – к третьему. Снимки окончательного фрактала Ньютона были любезно предоставлены Саймоном Татемом. Дополнительные сведения о его работе вы найдете на странице Fractals derived from Newton-Raphson iteration на сайте: http://www.chiark.greenend.org.uk/~sgtatham/newton/.
  Видеоанимация фрактала Ньютона сделана Teamfresh. Потрясающе глубокое масштабирование других фракталов, в том числе знаменитого множества Мандельброта, можно увидеть на сайте Teamfresh по адресу http://www.hd-fractals.com.


[Закрыть] – сложной формы, внутренняя структура которой повторялась во все более мелких масштабах.

Кроме того, вблизи границы царил хаос. Две точки могли вначале находиться очень близко друг к другу, какое-то время попрыгать рядышком, а потом разойтись к разным корням. Выбранный корень был так же непредсказуем, как выигрышные числа при игре в рулетку. Мелочи, крошечные, незаметные изменения в начальных условиях могли полностью изменить всю картину.

Работа Хаббарда была одной из первых вылазок в область науки, ныне называемой комплексная динамика, – потрясающее сочетание теории хаоса, комплексного анализа и фрактальной геометрии. В некотором смысле это позволило геометрии вернуться к своим корням. В 600 году до Рождества Христова руководство для строителей храма в Индии{33}33
  Для знакомства с древнеиндийскими методами нахождения квадратного корня см. работу D. W. Henderson and D.Taimina, Experiencing Geometry, 3rd edition (Pearson Prentice Hall, 2005).
  Прим. ред.: См. также Чистяков В. Д. Материалы по истории математики в Китае и Индии. М.: Учпедгиз, 1960.


[Закрыть], написанное на санскрите, давало подробные инструкции, как при проектировании ритуальных алтарей вычислять квадратные корни. Спустя свыше 2500 лет математики все еще ищут корни, но в настоящее время инструкции пишутся в двоичном коде.

9. Ванна моя преисполнена[11]11
  В названии автор перефразирует известную фразу из Библии, Псалтырь (22:5) «Ты приготовил предо мною трапезу в виду врагов моих; умастил елеем голову мою; чаша моя преисполнена» (англ. My Сup Runneth Over); оригинальное название главы My Tub Runneth Over. Прим. перев.


[Закрыть]

Дядюшка Ирв был братом моего отца и его компаньоном. Они владели обувным магазином в нашем городе. Так вот, он хорошо разбирался в практической стороне вещей и по большей части находился наверху в своем кабинете, потому что лучше управлялся с цифрами, чем с клиентами.

Когда мне было лет десять или одиннадцать лет, дядя Ирв задал мне мою первую арифметическую задачу{34}34
  Большое количество классических арифметических задач находятся на http://MathNEXUS.wwu.edu/Archive/oldie/list.asp.
  Прим. ред.: В русскоязычном интернете очень много сайтов, которые предлагают арифметические задачи для «решателей» разного возраста – от дошкольников до седых ветеранов. Вот несколько из них: Эрудит. net (http://eruditov.net/publ/math/1); Математические задачи – Логика и рассуждения (http://www.smekalka.pp.ru/math_logic.html); Математические задачи (http://www.prostomac.com/tag/matematicheskie-zadachi/); Математика (http://nazva.net/rubric/11/).


[Закрыть]. Этот день навсегда врезался мне в память, вероятно, потому, что я ошибся и чувствовал смущение.

В условии задачи говорилось о заполнении ванны водой{35}35
  Более сложная задача с ванной появилась в драме 1941 года How Green Was My Valley («Как зелена моя долина»). Клип к этому фильму можно найти по адресу http://www.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/swf/valley.html. И пока вы еще там, посмотрите ролик из комедии о бейсболе Little Big League («Маленькая большая лига»), который можно найти по адресу http://www.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/m4v/league.m4v.
  В этом фильме есть задача о покраске домов: «Если я могу покрасить дом за три часа, а ты – за пять, сколько нам потребуется времени на покраску дома, если мы будем работать вместе?».
  На экране мы видим, как бейсболисты дают различные глупые ответы. «Все очень просто, пять умножить на три, так что это пятнадцать». «Нет, нет, нет, посмотрите. Это займет восемь часов: пять плюс три, вот и восемь». После еще нескольких промахов один игрок наконец отвечает правильно: 1 ⁷/₈ часов.


[Закрыть]. Если включить кран с холодной водой, то ванна наполнится за полчаса, а если с горячей – то за час. Сколько времени потребуется, чтобы заполнить ванну, когда включены оба крана?

Я уверенно, вероятно, как и многие из вас, ответил: «Сорок пять минут». Дядюшка Ирв покачал головой и усмехнулся. И своим высоким гнусавым голосом он преподал мне урок.

«Стивен, – обратился ко мне он, – скажи, сколько воды будет в ванне через минуту». Холодная вода заполняет ванну за 30 минут, так что за одну минуту она заполнит ¹/₃₀ ее часть. Но горячая вода льется медленнее и наполнит ванну через 60 минут, то есть за минуту она заполнит только ¹/₆₀ часть ванны. Поэтому, когда вода льется из обоих кранов, она заполняет ¹/₃₀+¹/₆₀ ванны за минуту.

Чтобы сложить эти дроби, обратите внимание, что наименьший общий знаменатель равен 60. Преобразовав ¹/₃₀ в ²/₆₀, получаем

Это означает, что вода из двух кранов за минуту заполнила ¹/₂₀ ванны. Следовательно, ванна наполнится через двадцать минут.

С тех пор на протяжении многих лет я неоднократно вспоминал о той ванне, причем всегда с любовью к дядюшке Ирву и самой задаче. Мне преподали урок, как просто ради удовольствия решать задачи, основываясь на интуиции, и как найти приближенное решение, если сложно отыскать точное.

Рассмотрим мое первоначальное предположение – 45 минут – и, решив задачу интуитивно (в соответствии со здравым смыслом), поймем, что этот ответ не может быть правильным. Действительно, он абсурден. Чтобы понять почему, предположим, что горячая вода отключена, тогда холодная вода заполнит ванну за 30 минут. Поэтому какой бы дядюшка Ирв ни задал вопрос, ответ должен быть «меньше 30 минут»; если в ванну льется не только холодная, но и горячая вода, то ванна заполнится быстрее.

Правда, этот вывод не столь убедителен, как ответ «20 минут», который мы получили методом, предложенным дядюшкой Ирвом, зато он не требует никаких расчетов.

Другой способ упростить задачу – предположить, что вода из обоих кранов течет с одинаковой скоростью. Причем ванна при одном открытом кране заполняется за 30 минут. Тогда очевидно, что она наполнится за 15 минут, так как каждый кран выполнит половину работы.

Отсюда сразу становится ясно, что, по расчетам дядюшки Ирва, наполнение ванны должно занимать больше пятнадцати минут. Почему? Потому что «быстрый + быстрый» побьет «медленный + быстрый». Наша условно симметричная задача имеет два быстрых крана, в то время как у дядюшки Ирва один медленный и один быстрый. А поскольку 15 минут – ответ задачи для двух быстрых кранов, то ванна дядюшки Ирва будет наполняться дольше.

Получается, что благодаря рассмотрению двух гипотетических случаев – в первом ванна заполняется только холодной, так как горячая отключена, а во втором – горячей и холодной с одинаковой скоростью, – мы узнали, что ответ лежит в пределах 15–30 минут. В более сложных задачах, где порой невозможно найти точный ответ, и не только в математике, но и в других областях, такой подход может очень пригодиться.

Даже если вы все-таки найдете точное решение, не стоит самоуспокаиваться. Данную задачу можно решать более простыми способами. Это единственное место, где математика дает простор творчеству. Например, помимо метода дядюшки Ирва (с помощью обыкновенных дробей, приведенных к общему знаменателю), есть более забавный маршрут, приводящий к тому же результату. Несколько лет спустя, когда я попытался определить, почему эта задача настолько запутанна, до меня дошло, что в первую очередь из-за разных скоростей кранов. Необходимость следить, каков вклад каждого крана в наполнение ванны, вызывает напряжение. Особенно если вы можете представить такую картину: горячая и холодная вода плещется из кранов, перемешиваясь в ванне.

Так что давайте не смешивать два вида воды, по крайней мере в нашей голове. Вместо одной ванны представим себе две разные конвейерные ленты с движущимися ваннами с отдельными кранами с горячей и холодной водой.

Из каждого крана наполняется одна ванна – перемешивание не допускается. И как только одна ванна наполняется, она движется далее по конвейеру, уступая место следующей.

Теперь все становится понятным. За один час кран с горячей водой наполняет одну ванну, за это же время кран с холодной водой заполняет две ванны (так как на одну требуется полчаса). Это составляет три ванны в час или одну ванну каждые двадцать минут. Эврика!

Так почему же столько людей, в том числе и я, грубо ошибаются, отвечая «45 минут»? Почему так заманчиво разделить пополам сумму тридцати и шестидесяти минут? Я не уверен, но, кажется, из-за ошибочного понимания условия задачи. Может быть, задача с заполнением ванны в сознании наложилась на другие задачи, где нахождение разности имело бы смысл. Моя жена объяснила мне это с помощью аналогии: «Представь себе, что ты помогаешь пожилой даме перейти улицу. Без твоей помощи это займет у нее 60 секунд, ты бы перебежал дорогу за тридцать. Сколько времени вы будете ее переходить, если ты будешь держать даму под руку?» Теперь ясна логика людей, которые говорят о сорока пяти секундах, потому что, когда пожилая дама цепляется за ваш локоть, она замедляет ваше движение, а вы ускоряете ее.

Отличие от задачи с ванной здесь в том, что и вы, и пожилая дама воздействуете на скорость движения друг друга, чего не происходит с кранами. Они независимы. По-видимому, наше подсознание не распознает это различие, по крайней мере, когда мы жадно хватаемся за неправильный вывод.

Нет худа без добра. Даже неправильные ответы могут быть полезны – если вы осознаете, что они неправильные. Они разоблачают ошибочные аналогии и другие погрешности мышления и помогают облечь суть проблемы в более понятную форму.

Классические занимательные арифметические задачи специально сформулированы таким образом, чтобы так же ловко, как это делает фокусник, обмануть свою жертву, то есть вас. Само условие задачи содержит подвох. Если вы ответите инстинктивно, то, вероятно, попадетесь на эту удочку.

Вот пример такого типа задачи. Предположим, трое мужчин могут покрасить три забора за три часа. Сколько времени потребуется, чтобы один человек покрасил один забор?

Очень заманчиво ляпнуть: «Один час». Сама формулировка подталкивает вас к этому. Барабанный ритм первого предложения – трое мужчин, три забора, три часа – настраивает ваше внимание на определенную волну, поэтому когда в вопросе в таком же ритме повторяется: один человек, один забор, то ответу «один час» трудно сопротивляться. Эти параллельные конструкции психологически настраивают на ответ, который правилен лингвистически, но математически неверен.

Правильный ответ: три часа.

Если вы визуализируете задачу, мысленно представив троих мужчин, три забора и уже покрашенные через три часа заборы, то ответ становится очевидным. Чтобы через три часа покрасить все три забора, каждый человек должен красить свой забор в течение трех часов.

Отвлекаясь от рассуждений, скажу, что такие задачи считаются наиболее ценными среди текстовых задач. Они тренируют наше внимание, заставляя остановиться и посмотреть на задачу с совершенно неожиданной стороны.

Возможно, еще важнее то, что текстовые задачи учат нас думать не только о количестве, но и о соотношениях между числами, выражающими количества. Например, как скорость вытекания воды из кранов влияет на время, необходимое для заполнения ванны. И это следующий важный шаг в математическом образовании человека. Понятно, что для многих это сложно, так как соотношения – нечто более абстрактное, чем просто числа. Но они также представляют собой более мощный инструмент познания окружающего мира, поскольку отражают его внутреннюю логику. Причина и следствие, спрос и предложение, вход и выход, воздействие и отдача – все они связаны между собой парами чисел и соотношениями между ними. Текстовые задачи вырабатывают у нас образ мышления, который интенсивно использует различные соотношения.

Тем не менее Кит Девлин в своем эссе «Проблемы с текстовыми задачами» (The problem with word problems) высказывает о них интересные критические замечания. С его точки зрения, проблема в том, что при решении таких задач считается, что вы понимаете правила игры и соглашаетесь с ними, хотя часто они искусственные, а иногда и вообще нелепые. Например, в нашей задаче о трех мужчинах и трех заборах, которые они красят в течение трех часов, подразумевается, что, во-первых, все трое красят с одинаковой скоростью и, во-вторых, красят непрерывно, не снижая и не повышая темпа работы.

Оба допущения нереальны. Предполагается, что вы игнорируете все это, иначе задача оказалась бы слишком сложной и у вас не было бы достаточно данных для ее решения. Вы должны были бы точно знать, сколько раз каждый маляр замедлял работу и насколько он устал на третьем часу, как часто останавливался, чтобы перекусить, и т. п.

Преподаватели математики должны быть готовы к тому, что текстовые задачи заставляют нас делать упрощающие предположения. Этот ценный навык называется математическим моделированием. Ученые используют его всегда, когда применяют математику к явлениям реального мира. Но они, в отличие от авторов большинства текстовых задач, как правило, заранее сообщают о своих допущениях.

Итак, спасибо дядюшке Ирву за первый урок. Незабываемый? Да. Унизительный? Да, но – в хорошем смысле.