Текст книги "Занимательные науки"

Меры звездных расстояний

Наши крупные меры длины – километр, морская миля (1852 м) и географическая миля (равная 4 морским), достаточные для измерения на земном шаре, оказываются слишком ничтожными для измерений небесных. Мерить ими небесные расстояния столь же неудобно, как измерять миллиметрами длину железной дороги; расстояние, например, Юпитера от Солнца в километрах выражается числом 780 миллионов, длина же Октябрьской дороги в миллиметрах – числом 640 миллионов.

Чтобы не иметь дела с длинными рядами нулей в конце чисел, астрономы пользуются более крупными единицами длины. Для измерений, например, в пределах солнечной системы считают единицей длины среднее расстояние от Земли до Солнца (149 600 000 км). Это – так называемая «астрономическая единица». В таких мерах расстояние Юпитера от Солнца равно 5,2, Сатурна – 9,54, Меркурия – 0,387 и т. п.

Но для расстояний нашего Солнца до других солнц сейчас приведенная мера слишком мала. Например, расстояние до самой близкой к нам звезды (до так называемой Проксимы в созвездии Центавра[32]32
  Почти рядом с ней находится яркая звезда α Центавра.


[Закрыть], красноватой звездочки 11-й величины) выражается в этих единицах таким числом:

260 000.

И это лишь б л и ж а й ш а я звезда, прочие расположены гораздо дальше. Введенные в употребление более крупные единицы значительно упростили запоминание подобных чисел и обращение с ними. В астрономии имеются следующие исполинские единицы расстояний: световой год и успешно вытесняющий его парсек.

С в е т о в о й г о д – это путь, пробегаемый в пустом пространстве лучом света за год времени. Как велика эта мера, мы поймем, вспомнив, что солнечный свет достигает Земли всего за 8 минут. Световой год, следовательно, во столько раз больше радиуса земной орбиты, во сколько раз год времени больше 8 минут. В километрах эта мера длины выражается числом

9 460 000 000 000,

т. е. световой год равен около 9¹/₂ биллионов км.

Сложнее происхождение другой единицы звездных расстояний, к которой астрономы прибегают охотнее, – п а р с е к а. Парсек – это расстояние, на которое надо удалиться, чтобы полудиаметр земной орбиты виден был под углом в одну угловую секунду. Угол, под каким виден со звезды полудиаметр земной орбиты, называется в астрономии годичным параллаксом этой звезды. От соединения слов «параллакс» и «секунда» образовано слово «парсек». Параллакс названной выше звезды альфа Центавра – 0,76 секунды; легко сообразить, что расстояние этой звезды – 1,31 парсека. Нетрудно вычислить, что один парсек должен заключать в себе 206 265 расстояний от Земли до Солнца. Соотношение между парсеком и другими единицами длины таково:

1 парсек = 3,26 светового года = 30 800 000 000 000 км.

Вот расстояния нескольких ярких звезд, выраженные в парсеках и световых годах:

Это – сравнительно близкие к нам звезды. Какого порядка их «близость», вы поймете, когда вспомните, что для выражения приведенных расстояний в километрах надо каждое из чисел первого столбца увеличить в 30 биллионов раз (разумея под биллионом миллион миллионов). Однако световой год и парсек – еще не самые крупные меры, употребляемые в науке о звездах. Когда астрономы приступили к измерению расстояний и размеров звездных систем, т. е. целых вселенных, состоящих из многих миллионов звезд, понадобилась мера, еще более крупная. Ее образовали из парсека, как километр образован из метра: составился к и л о п а р с е к, равный 1000 парсекам, или 30 800 биллионам км. В этих мерах, например, поперечник Млечного Пути выражается числом 30, а расстояние от нас до туманности Андромеды – около 300.

Но и килопарсек вскоре оказался недостаточно большой мерой; пришлось ввести в употребление м е г а п а р с е к, содержащий м и л л и о н парсеков. Итак, вот звездные меры длины:

Представить себе мегапарсек наглядно нет никакой возможности. Даже если уменьшить километр до толщины волоса (0,05 мм), то мегапарсек и тогда будет превосходить силу человеческого воображения, так как сделается равным 1¹/₂ миллиардам км – 10-кратному расстоянию от Земли до Солнца.

Приведу, впрочем, одно сопоставление, которое, быть может, облегчит читателю оценку невообразимой огромности мегапарсека. Тончайшая паутинная нить, протянутая от Москвы до Петербурга, весила бы 10 г, от Земли до Луны – не более 6 кг. Такая же нить длиной до Солнца весила бы 2,3 т. Но, протянутая на длину одного мегапарсека, она должна была бы весить

500 000 000 000 т!

Система ближайших звезд

Сравнительно давно – около ста лет назад – стало известно, что самой близкой звездной системой является двойная звезда первой величины южного созвездия Центавра. Последние годы обогатили наши знания об этой системе интересными подробностями. Открыта была вблизи α Центавра небольшая звездочка 11-й величины, составляющая с двумя звездами α Центавра одну систему тройной звезды. То, что третья звезда физически входит в систему α Центавра, хотя их и разделяет на небе расстояние свыше 2°, подтверждается одинаковостью их движения: все три звезды увлекаются с одной скоростью в одном направлении. Самое замечательное в третьем члене этой системы то, что он расположен в пространстве ближе к нам, чем другие две звезды, и должен быть поэтому признан ближайшей из всех звезд, расстояния которых до сих пор определены. Звездочку эту так и называют «Ближайшая», по-латыни «Проксима». Она ближе к нам, нежели звезды Центавра (их называют α Центавра A и α Центавра B), на 3960 астрономических единиц. Вот их параллаксы:

α Центавра (A и B). . . . 0″,751

Проксима Центавра. . . 0″,762

Так как звезды A и B отделены друг от друга расстоянием только в 34 астрономические единицы, то вся система имеет довольно странный вид, представленный на рис. 50. A и B раздвинуты немного больше, чем Уран от Солнца. Проксима же отстоит от них на 59 световых суток. Звезды эти медленно меняют свое расположение: период обращения звезд A и B вокруг их общего центра тяжести равен 79 годам, Проксима же завершает один оборот более чем в 100 000 лет, так что нечего опасаться, что вскоре она перестанет быть ближайшей к нам звездой, уступив место одной из составляющих α Центавра.

Рис. 50. Система ближайшей к Солнцу звезды α Центавра: A, B и Проксима Центавра

Что же известно о физических особенностях звезд этой системы? α Центавра A по яркости, массе и диаметру лишь немногим больше Солнца (рис. 51). α Центавра B обладает несколько меньшей массой, больше Солнца по диаметру на ¹/₅, но светит в три раза менее ярко; соответственно этому и поверхностная температура ее ниже, нежели солнечная (4400°, Солнце – 6000°).

Рис. 51. Сравнительные размеры звезд системы α Центавра и Солнца

Еще холоднее Проксима: температура на ее поверхности 3000°; звезда эта красного цвета. Диаметр ее в 14 раз меньше солнечного, так что по размерам эта звездочка даже несколько меньше Юпитера и Сатурна (превосходя их, однако, по массе в сотни раз). Если бы мы перенеслись на α Центавра A, то увидели бы оттуда звезду B примерно такой же величины, какой Солнце наше сияет на небе Урана, Проксима же казалась бы даже оттуда маленькой и тусклой звездочкой: она ведь удалена в 250 раз больше, чем Плутон от Солнца, и в 1000 раз дальше, чем Сатурн.

После тройной звезды α Центавра следующая близкая соседка нашего Солнца – маленькая звездочка (9,5-й величины) в созвездии Змееносца, названная «Летящей звездой»[33]33
  Иначе – звезда Барнарда. (Прим. ред.)


[Закрыть]. Такое наименование она получила из-за чрезвычайно быстрого видимого движения, которым она обладает. Звезда эта в полтора раза дальше от нас, чем система α Центавра, но на северном полушарии неба она – наша ближайшая соседка. Полет ее, направленный косо к движению Солнца, так стремителен, что менее чем через десять тысячелетий она приблизится к нам вдвое и будет тогда ближе тройной звезды α Центавра.

Масштаб вселенной

Возвратимся к той уменьшенной модели солнечной системы, которую мы мысленно изготовили по указаниям главы о планетах, и попробуем достроить ее, включив мир звезд. Что получится?

Вы помните, что в нашей модели Солнце изображалось шаром 10 см в диаметре, а вся планетная система – кругом с поперечником в 800 м. На каких расстояниях от Солнца следовало бы поместить звезды, если строго придерживаться того же масштаба? Нетрудно рассчитать, что, например, Проксима Центавра – самая близкая звезда – оказалась бы на расстоянии 2700 км; Сириус – 5500 км, Альтаир – 9700 км. Этим «ближайшим» звездам даже на модели было бы тесно в Европе. Для звезд более отдаленных возьмем меру крупнее километра – именно, 1000 км, называемую мегаметро (Мм). Таких единиц всего 40 в окружности земного шара и 380 между Землей и Луной. Вега была бы в нашей модели удалена на 17 Мм, Арктур – на 23 Мм, Капелла – на 28 Мм, Регул – на 53 Мм, Денеб (α Лебедя) – более чем на 350 Мм.

Расшифруем это последнее число. 350 Мм = = 350 000 км, т. е. немного меньше расстояния до Луны. Как видим, уменьшенная модель, в которой Земля – булавочная головка, а Солнце – крокетный шар, сама приобретает космические размеры!

Наша модель еще не достроена. Крайние, наиболее отдаленные звезды Млечного Пути, разместятся в модели на расстоянии 30 000 Мм – почти в 100 раз дальше Луны. Но Млечный Путь – не вся вселенная. Далеко за его пределами расположены другие звездные системы, например та, которая видна даже простым глазом в созвездии Андромеды, или также доступные невооруженному зрению Магеллановы Облака. На нашей модели пришлось бы представить Малое Магелланово Облако в виде объекта с поперечником в 4000 Мм, Большое – в 5500 Мм, удалив их на 70 000 Мм от модели Млечного Пути. Модели туманности Андромеды мы должны были бы дать поперечник в 60 000 Мм и отодвинуть ее от модели Млечного Пути на 500 000 Мм, т. е. почти на действительное расстояние Юпитера!

Самые отдаленные небесные объекты, с какими имеет дело современная астрономия, – это скопления галактик далеко за пределами нашего Млечного Пути. Расстояние их от Солнца превышает 1 000 000 000 световых лет. Представляем читателю самостоятельно рассчитать, как должно изобразиться подобное расстояние в нашей модели. Вместе с тем читатель получит некоторое представление о размерах той части вселенной, которая доступна оптическим средствам современной астрономии.

Ряд относящихся сюда сопоставлений читатель найдет также в моей книге «Знаете ли вы физику?».

Интересующимся особенностями звезд и устройством звездной вселенной советуем внимательно прочитать следующие книги:

В о р о н ц о в-В е л ь я м и н о в Б.А., Очерки о вселенной. Изд. 5-е. Физматгиз, 1964.

А г е к я н Т.А., Звездная вселенная. Изд. 2-е. Гостехиздат, 1955.

Д о р о ж к и н Н.Я., Космос. Загадочный мир Вселенной. АСТ: Астрель: Ермак, 2004.

Глава четвертая
Геометрия в лесу

По длине тени

Еще сейчас памятно мне то изумление, с каким смотрел я в первый раз на седого лесничего, который, стоя возле огромной сосны, измерял ее высоту маленьким карманным прибором. Когда он нацелился своей квадратной дощечкой в вершину дерева, я ожидал, что старик сейчас начнет взбираться туда с мерной цепью. Вместо этого он положил прибор обратно в карман и объявил, что измерение окончено. А я думал, еще не начиналось…

Я был тогда очень молод, и такой способ измерения, когда человек определяет высоту дерева, не срубая его и не взбираясь на верхушку, являлся в моих глазах чем-то вроде маленького чуда. Лишь позднее, когда меня посвятили в начатки геометрии, понял я, до чего просто выполняются такого рода чудеса. Существует множество различных способов производить подобные измерения при помощи весьма незамысловатых приборов и даже без всяких приспособлений.

Самый легкий и самый древний способ – без сомнения, тот, которым греческий мудрец Фалес за шесть веков до новой эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался ее тенью. Жрецы и фараон, собравшиеся у подножия высочайшей пирамиды, озадаченно смотрели на северного пришельца, отгадывавшего по тени высоту огромного сооружения. Фалес, – говорит предание, – избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту; в этот момент высота пирамиды должна также равняться длине отбрасываемой ею тени[34]34
  Конечно, длину тени надо было считать от средней точки квадратного основания пирамиды; ширину этого основания Фалес мог измерить непосредственно.


[Закрыть]. Вот, пожалуй, единственный случай, когда человек извлекает пользу из своей тени…

Задача греческого мудреца представляется нам теперь детски простой, но не будем забывать, что смотрим мы на нее с высоты геометрического здания, воздвигнутого уже после Фалеса. Он жил задолго до Евклида, автора замечательной книги, по которой обучались геометрии в течение двух тысячелетий после его смерти. Заключенные в ней истины, известные теперь каждому школьнику, не были еще открыты в эпоху Фалеса. А чтобы воспользоваться тенью для решения задачи о высоте пирамиды, надо было знать уже некоторые геометрические свойства треугольника, – именно следующие два (из которых первое Фалес сам открыл):

1) что углы при основании равнобедренного треугольника равны, и обратно – что стороны, лежащие против равных углов треугольника, равны между собою;

2) что сумма углов всякого треугольника (или по крайней мере прямоугольного) равна двум прямым углам.

Только вооруженный этим знанием Фалес вправе был заключить, что, когда его собственная тень равна его росту, солнечные лучи встречают ровную почву под углом в половину прямого, и следовательно, вершина пирамиды, середина ее основания и конец ее тени должны обозначить равнобедренный треугольник.

Этим простым способом очень удобно, казалось бы, пользоваться в ясный солнечный день для измерения одиноко стоящих деревьев, тень которых не сливается с тенью соседних. Но в наших широтах не так легко, как в Египте, подстеречь нужный для этого момент: Солнце у нас низко стоит над горизонтом, и тени бывают равны высоте отбрасывающих их предметов лишь в околополуденные часы летних месяцев. Поэтому способ Фалеса в указанном виде применим не всегда.

Нетрудно, однако, изменить этот способ так, чтобы в солнечный день можно было пользоваться любой тенью, какой бы длины она ни была. Измерив, кроме того, и свою тень или тень какого-нибудь шеста, вычисляют искомую высоту из пропорции (рис. 52):

AB: ab = BC: bc,

т. е. высота дерева во столько же раз больше вашей собственной высоты (или высоты шеста), во сколько раз тень дерева длиннее вашей тени (или тени шеста). Это вытекает, конечно, из геометрического подобия треугольников АВС и abс (по двум углам).

Иные читатели возразят, пожалуй, что столь элементарный прием не нуждается вовсе в геометрическом обосновании: неужели и без геометрии неясно, что во сколько раз дерево выше, во столько раз и тень его длиннее? Дело, однако, не так просто, как кажется. Попробуйте применить это правило к теням, отбрасываемым при свете уличного фонаря или лампы, – оно не оправдается. На рис. 2 вы видите, что столбик АВ выше тумбы аb примерно втрое, а тень столбика больше тени тумбы (ВС: bс) раз в восемь. Объяснить, почему в данном случае способ применим, в другом нет, – невозможно без геометрии.

Рис. 52. Измерение высоты дерева по тени

Задача

Рассмотрим поближе, в чем тут разница. Суть дела сводится к тому, что солнечные лучи между собою параллельны, лучи же фонаря – непараллельны. Последнее очевидно; но почему вправе мы считать лучи Солнца параллельными, хотя они, безусловно, пересекаются в том месте, откуда исходят?

Рис. 53. Когда такое измерение невыполнимо

Решение

Лучи Солнца, падающие на Землю, мы можем считать параллельными потому, что угол между ними чрезвычайно мал, практически неуловим. Несложный геометрический расчет убедит вас в этом. Вообразите два луча, исходящие из какой-нибудь точки Солнца и падающие на Землю в расстоянии, скажем, одного километра друг от друга. Значит, если бы мы поставили одну ножку циркуля в эту точку Солнца, а другою описали окружность радиусом, равным расстоянию от Солнца до Земли (т. е. радиусом в 150 000 000 км), то между нашими двумя лучами-радиусами оказалась бы дуга в один километр длиною. Полная длина этой исполинской окружности была бы равна 2π × 150 000 000 км = = 940 000 000 км. Один градус ее, конечно, в 360 раз меньше, т. е. около 2 600 000 км; одна дуговая минута в 60 раз меньше градуса, т. е. равна 43 000 км, а одна дуговая секунда еще в 60 раз меньше, т. е. 720 км. Но наша дуга имеет в длину всего только 1 км; значит, она соответствует углу в секунды. Такой ничтожный угол неуловим даже для точнейших астрономических инструментов; следовательно, на практике мы можем считать лучи Солнца, падающие на Землю, за параллельные прямые[35]35
  Другое дело – лучи, направленные от какой-нибудь точки Солнца к концам земного диаметра; угол между ними достаточно велик для измерения (около 17"); определение этого угла дало в руки астрономов одно из средств установить, как велико расстояние от Земли до Солнца.


[Закрыть].

Если бы эти геометрические соображения не были нам известны, мы не могли бы обосновать рассматриваемый способ определения высоты по тени.

Пробуя применить способ теней на практике, вы сразу же убедитесь, однако, в его ненадежности. Тени не отграничены так отчетливо, чтобы измерение их длины можно было выполнить вполне точно. Каждая тень, отбрасываемая при свете Солнца, имеет неясно очерченную серую кайму полутени, которая и придает границе тени неопределенность.

Происходит это оттого, что Солнце – не точка, а большое светящееся тело, испускающее лучи из многих точек. На рис. 53 показано, почему вследствие этого тень ВС дерева имеет еще придаток в виде полутени CD, постепенно сходящей на нет. Угол CAD между крайними границами полутени равен тому углу, под которыми мы всегда видим солнечный диск, т. е. половине градуса. Ошибка, происходящая от того, что обе тени измеряются не вполне точно, может при не слишком даже низком стоянии Солнца достигать 5 % и более. Эта ошибка прибавляется к другим неизбежным ошибкам – от неровности почвы и т. д. – и делает окончательный результат мало надежным. В местности гористой, например, способ этот совершенно неприменим.

Рис. 54. Как образуется полутень

Задача

Как, однако, следует поступать, когда к измеряемому дереву невозможно почему-либо подойти вплотную?

Решение

Это – старинная задача, насчитывающая за собою свыше 500 лет. Ее рассматривает средневековый математик Антоний де Кремона в сочинении «О практическом землемерии» (1400 г.).

Задача разрешается двукратным применением сейчас описанного способа – помещением зеркала в двух местах. Сделав соответствующее построение, нетрудно из подобия треугольников вывести, что искомая высота дерева равна возвышению глаза наблюдателя, умноженному на отношение расстояния между положениями зеркала к разности расстояний наблюдателя от зеркала.

Прежде чем окончить беседу об измерении высоты деревьев, предложу читателю еще одну «лесную» задачу.

По способу Жюля Верна

Следующий – тоже весьма несложный – способ измерения высоких предметов картинно описан у Жюля Верна в известном романе «Таинственный остров».

«– Сегодня нам надо измерить высоту площадки Далекого Вида, – сказал инженер.

– Вам понадобится для этого инструмент? – спросил Герберт.

– Нет, не понадобится. Мы будем действовать несколько иначе, обратившись к не менее простому и точному способу.

Юноша, стараясь научиться возможно большему, последовал за инженером, который спустился с гранитной стены до окраины берега.

Взяв прямой шест, футов 12 длиною, инженер измерил его возможно точнее, сравнивая со своим ростом, который был ему хорошо известен. Герберт же нес за ним отвес, врученный ему инженером: просто камень, привязанный к концу веревки.

Не доходя футов 500 до гранитной стены, поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест фута на два в песок и, прочно укрепив его, поставил вертикально с помощью отвеса.

Затем он отошел от шеста на такое расстояние, чтобы, лежа на песке, можно было на одной прямой линии видеть и конец шеста, и край гребня (рис. 55). Эту точку он тщательно пометил колышком.

– Тебе знакомы начатки геометрии? – спросил он Герберта, поднимаясь с земли.

– Да.

– Помнишь свойства подобных треугольников?

– Их сходственные стороны пропорциональны.

Рис. 55. Как измерили высоту скалы герои Жюля Верна

– Правильно. Так вот: сейчас я построю два подобных прямоугольных треугольника. У меньшего одним катетом будет отвесный шест, другим – расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза же – мой луч зрения. У другого треугольника катетами будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены; гипотенуза же – мой луч зрения, совпадающий с направлением гипотенузы первого треугольника.

– Понял! – воскликнул юноша. – Расстояние от колышка до шеста так относится к расстоянию от колышка до основания стены, как высота шеста к высоте стены.

– Да. И следовательно, если мы измерим два первых расстояния, то, зная высоту шеста, сможем вычислить четвертый, неизвестный член пропорции, т. е. высоту стены. Мы обойдемся, таким образом, без непосредственного измерения этой высоты.

Оба горизонтальных расстояния были измерены: меньшее равнялось 15 футам, большее – 500 футам.

По окончании измерений инженер составил следующую запись:

15: 500 = 10: x,

500 · 10 = 5000,

5000: 15 = 333,3.

Значит, высота гранитной стены равнялась 333 футам».