Текст книги "Живая математика. Занимательные задачи для любознательных умов"

Яков Перельман
Живая математика. Занимательные задачи для любознательных умов

Предисловие редакции

Яков Исидорович Перельман никогда не был ученым в прямом значении этого слова – не совершал научных открытий, не имел званий и степеней, однако всю свою жизнь посвятил науке. Он никогда не считал себя писателем, но его книги выходили такими большими тиражами, что составили целую научно-популярную библиотеку. Став первым в стране популяризатором физики, математики и астрономии, основоположником занимательной науки, одним из первых писателей жанра научно-популярной литературы, он успевал заниматься еще множеством самых разных дел – преподавал, создавал новые учебные программы, редактировал журналы, участвовал в работе научных обществ, постоянно выступал с докладами.

Популяризацией науки задолго до Перельмана занимались многие авторы, но только он достиг в этом деле огромного мастерства, сумев точно нащупать его секреты и выработать «фирменный» стиль повествования. Профессор физики Петербургского университета Орест Данилович Хвольсон, познакомившись с Перельманом и узнав, что книга написана не ученым-физиком, а ученым-лесоводом, сказал Якову Исидоровичу: «Лесоводов-ученых у нас предостаточно, а вот людей, которые умели бы так писать о физике, как пишете вы, нет вовсе. Мой вам настоятельнейший совет: продолжайте, обязательно продолжайте писать подобные книги и впредь».

В чем же секрет произведений Перельмана? Именно он мастерски умел оперировать сухими цифрами, знал, как с помощью неожиданно простого и понятного сравнения привлечь внимание читателя к сложным научным фактам и явлениям природы. Он сохранил в себе способность удивляться и подмечать в обыденных вещах то, чего не видит большинство людей, и умел увлекательно рассказывать об этом другим. Я.И. Перельман впервые в России предложил перевести стрелку часов на час вперед в целях экономии горючего, разработал проект первой советской противоградовой ракеты, а в середине 30-х годов он задумал и создал удивительный музей – «Дом занимательной науки», экспонаты которого поражали своими возможностями. Так, простые торговые весы могли без труда отгадать любое задуманное число и фамилию. Даже буфет «Дома занимательной науки» был устроен с разными причудами. Наряду с обычной здесь попадалась и «оперельманенная» посуда. Из бутылки, стоящей в битом льду, наливали кипящий чай, а чайная ложка таяла быстрее сахара, который она размешивала.

Вклад Перельмана в образование трудно переоценить: с 1913 года его книги только на русском языке переиздавались более 300 раз тиражом почти 15 миллионов экземпляров. Библиография Перельмана насчитывает более 1000 статей и заметок, опубликованных им в различных изданиях. И это помимо 47 научно-популярных, 40 научно-познавательных книг, 18 школьных учебников и учебных пособий. Книги Я.И. Перельмана 126 раз издавались в 18 зарубежных странах более чем на 15 языках.

* * *

«Живая математика» Я.И. Перельмана впервые вышла в свет в 1934 году в Государственном технико-теоретическом издательстве (Гостехиздат) и с тех пор многократно переиздавалась. Книга, которую вы держите в руках, по тексту соответствует пятому изданию, вышедшему в 1958 году. Текст не претерпел изменений относительно использованных в нем реалий, лишь были внесены необходимые пояснения в потенциально трудных для современного читателя местах. Одна из наиболее доступных для имеющего лишь начальную подготовку читателя книга серии, «Живая математика» содержит занимательные задачи и головоломки, многие из которых для большей увлекательности облечены в форму небольших рассказов. Решая занимательные задачи, как юные, так и уже взрослые читатели тренируют не только своё владение математикой, но и логическое мышление, воображение, смекалку.

Предисловие

Для чтения этой книги достаточна весьма скромная математическая подготовка: знание правил арифметики и элементарные сведения из геометрии. Лишь незначительная часть задач требует умения составлять и решать простейшие уравнения. Тем не менее содержание книги весьма разнообразно: от пёстрого подбора головоломок и замысловатых трюков математической гимнастики до полезных практических примеров счёта и измерения. Составитель заботился о свежести включаемого материала и избегал повторения того, что входит в другие сборники того же автора («Фокусы и развлечения», «Занимательные задачи»). Читатель найдёт здесь сотню головоломок, не включённых в прежние книги, причём некоторые из задач, например крокетные, вообще никогда не публиковались. Глава VII – «Рассказы о числах-великанах» – представляет собою переработку брошюры автора, пополненной четырьмя новыми рассказами.

Глава первая
Завтрак с головоломками

1. Белка на поляне

– Сегодня утром я с белкой в прятки играл, – рассказывал во время завтрака один из собравшихся за столом дома отдыха. – Вы знаете в нашем лесу круглую полянку с одинокой берёзой посредине? За этим деревом и пряталась от меня белка. Выйдя из чащи на полянку, я сразу заметил беличью мордочку с живыми глазками, уставившуюся на меня из-за ствола. Осторожно, не приближаясь, стал я обходить по краю полянки, чтобы взглянуть на зверька. Раза четыре обошёл я дерево – но плутовка отступала по стволу в обратную сторону, по-прежнему показывая только мордочку. Так и не удалось мне обойти кругом белки.

– Однако, – возразил кто-то, – сами же вы говорите, что четыре раза обошли вокруг дерева.

– Вокруг дерева, но не вокруг белки

– Но белка-то на дереве?

– Что же из того?

– То, что вы кружились и около белки.

– Хорошо кружился, если ни разу не видел её спинки.

– При чём тут спинка? Белка в центре, вы ходите по кругу, значит, ходите кругом белки.

– Ничуть не значит. Вообразите, что я хожу около вас по кругу, а вы поворачиваетесь ко мне всё время лицом, пряча спину. Скажете вы разве, что я кружусь около вас?

– Конечно, скажу. Как же иначе?

– Кружусь, хотя не бываю позади вас, не вижу вашей спины?

– Далась вам спина! Вы замыкаете вокруг меня путь – вот в чём суть дела, а не в том, чтобы видеть спину.

– Позвольте: что значит кружиться около чего-нибудь? По-моему, это означает только одно: становиться последовательно в такие места, чтобы видеть предмет со всех сторон. Ведь правильно, профессор? – обратился спорящий к сидевшему за столом старику.

– Спор идёт у вас, в сущности, о словах, – ответил учёный. – А в таких случаях надо начинать всегда с того, о чём вы сейчас только завели речь: надо договориться о значении слов. Как понимать слова: «двигаться вокруг предмета»? Смысл их может быть двоякий. Можно, во-первых, разуметь под ними перемещение по замкнутой линии, внутри которой находится предмет. Это одно понимание. Другое: двигаться по отношению к предмету так, чтобы видеть его со всех сторон. Держась первого понимания, вы должны признать, что четыре раза обошли вокруг белки. Придерживаясь же второго, обязаны заключить, что не обошли вокруг неё ни разу. Поводов для спора здесь, как видите, нет, если обе стороны говорят на одном языке, понимают слова одинаково.

– Прекрасно, можно допустить двоякое понимание. Но какое всё же правильнее?

– Так ставить вопрос не приходится. Условливаться можно о чём угодно. Уместно только спросить, что более согласно с общепринятым пониманием. Я сказал бы, что лучше вяжется с духом языка первое понимание, и вот почему. Солнце, как известно, делает полный оборот кругом своей оси в 26 суток…

– Солнце вертится?

Рис. 1. «Плутовка отступала в обратную сторону»

– Конечно, как и Земля вокруг оси. Вообразите, однако, что вращение Солнца совершается медленнее, а именно что оно делает один оборот не в 26 суток, а в 365¼ суток, то есть в год. Тогда Солнце было бы обращено к Земле всегда одной и той же своей стороной; противоположной половины, «спины» Солнца, мы никогда не видели бы. Но разве стал бы кто-нибудь утверждать из-за этого, что Земля не кружится вокруг Солнца?

– Да, теперь ясно, что я всё-таки кружился вокруг белки.

– Есть предложение, товарищи! Не расходиться, – сказал один из слушавших спор. – Так как в дождь гулять никто не пойдёт, а перестанет дождик, видно, не скоро, то давайте проведём здесь время за головоломками. Начало сделано. Пусть каждый по очереди придумает или припомнит какую-нибудь головоломку. Вы же, профессор, явитесь нашим верховным судьёй.

– Если головоломки будут с алгеброй или с геометрией, то я должна отказаться, – заявила молодая женщина.

– И я тоже, – присоединился кто-то.

– Нет, нет, участвовать должны все! А мы попросим присутствующих не привлекать ни алгебры, ни геометрии, разве только самые начатки. Возражений не имеется?

– Тогда я согласна и готова первая предложить головоломку.

– Прекрасно, просим! – донеслось с разных сторон. – Начинайте.

2. В коммунальной кухне

– Головоломка моя зародилась в обстановке коммунальной квартиры. Задача, так сказать, бытовая. Жилица – назову её для удобства Тройкиной – положила в общую плиту 3 полена своих дров, жилица Пятёркина – 5 поленьев, жилец Бестопливный, у которого, как вы догадываетесь, не было своих дров, получил от обеих гражданок разрешение сварить обед на общем огне. В возмещение расходов он уплатил соседкам 8 рублей. Как должны они поделить между собой эту плату?

– Пополам, – поспешил заявить кто-то. – Бестопливный пользовался их огнём в равной мере.

– Ну нет, – возразил другой, – надо принять в соображение, как участвовали в этом огне дровяные вложения гражданок. Кто дал 3 полена, должен получить 3 рубля; кто дал 5 поленьев, получает 5 рублей. Вот это будет справедливый делёж.

Рис. 2. «В возмещение расходов он уплатил соседкам 8 рублей»

– Товарищи, – взял слово тот, кто затеял игру и считался теперь председателем собрания. – Окончательные решения головоломок давайте пока не объявлять. Пусть каждый ещё подумает над ними. Правильные ответы судья огласит нам за ужином. Теперь следующий. Очередь за вами, товарищ пионер!

3. Работа школьных кружков

– В нашей школе, – начал пионер, – имеется 5 кружков: политкружок, военный, фотографический, шахматный и хоровой. Политкружок занимается через день, военный – через 2 дня на 3-й, фотографический – каждый 4-й день, шахматный – каждый 5-й день и хоровой – каждый 6-й день. 1 января собрались в школе все 5 кружков, а затем занятия велись в назначенные по плану дни, без отступлений от расписания. Вопрос состоит в том, сколько в первом квартале было ещё вечеров, когда собирались в школе все 5 кружков.

– А год был простой или високосный? – осведомились у пионера.

– Простой.

– Значит, первый квартал – январь, февраль, март – надо считать за 90 дней?

– Очевидно.

– Позвольте к вопросу вашей головоломки присоединить ещё один, – сказал профессор. – А именно: сколько в том же квартале года было таких вечеров, когда кружковых занятий в школе вовсе не происходило?

– Ага, понимаю! – раздался возглас. – Задача с подвохом. Ни одного дня не будет больше с 5 кружками и ни одного дня без всяких кружков. Это уж ясно!

– Почему? – спросил председатель.

– Объяснить не могу, но чувствую, что отгадчика хотят поймать впросак.

– Ну, это не довод. Вечером выяснится, правильно ли ваше предчувствие. За вами очередь, товарищ!

4. Кто больше?

– Двое считали в течение часа всех, кто проходил мимо них на тротуаре. Один стоял у ворот дома, другой прохаживался взад и вперёд по тротуару. Кто насчитал больше прохожих?

– Идя, больше насчитаешь, ясное дело, – донеслось с другого конца стола.

– Ответ узнаем за ужином, – объявил председатель. – Следующий!

5. Дед и внук

– То, о чём я скажу, происходило в 1932 году. Мне было тогда ровно столько лет, сколько выражают последние две цифры года моего рождения. Когда я об этом соотношении рассказал деду, он удивил меня заявлением, что с его возрастом выходит то же самое. Мне это показалось невозможным…

– Разумеется, невозможно, – вставил чей-то голос.

– Представьте, что вполне возможно. Дед доказал мне это. Сколько же лет было каждому из нас?

Рис. 3. «Продаю железнодорожные билеты»

6. Железнодорожные билеты

– Я – железнодорожная кассирша, продаю билеты, – начала следующая участница игры. – Многим это кажется очень простым делом. Не подозревают, с каким большим числом билетов приходится иметь дело кассиру даже маленькой станции. Ведь необходимо, чтобы пассажиры могли получить билеты от данной станции до любой другой на той же дороге, притом в обоих направлениях. Я служу на дороге с 25 станциями. Сколько же, по-вашему, различных образцов билетов заготовлено железной дорогой для всех её касс?

– Ваша очередь, товарищ лётчик, – провозгласил председатель.

7. Полёт дирижабля

– Из Ленинграда вылетел прямо на север дирижабль. Пролетев в северном направлении 500 км, он повернул на восток. Пролетев в эту сторону 500 км, дирижабль сделал новый поворот – на юг и прошёл в южном направлении 500 км. Затем он повернул на запад и, пролетев 500 км, опустился на землю. Спрашивается: где расположено место спуска дирижабля относительно Ленинграда – к западу, к востоку, к северу или к югу?

– На простака рассчитываете, – сказал кто-то. – 500 шагов вперёд, 500 вправо, 500 назад да 500 влево – куда придём? Откуда вышли, туда и придём!

– Итак, где, по-вашему, спустился дирижабль?

– На том же ленинградском аэродроме, откуда поднялся. Не так разве?

– Именно не так.

– В таком случае я ничего не понимаю!

– В самом деле, здесь что-то неладно, – вступил в разговор сосед. – Разве дирижабль спустился не в Ленинграде?.. Нельзя ли повторить задачу?

Лётчик охотно исполнил просьбу. Его внимательно выслушали и с недоумением переглянулись.

– Ладно, – объявил председатель. – До ужина успеем подумать об этой задаче, а сейчас будем продолжать.

8. Тень

– Позвольте мне, – сказал очередной загадчик, – взять сюжетом головоломки тот же дирижабль. Что длиннее: дирижабль или его полная тень?

– В этом и вся головоломка?

– Вся.

– Тень, конечно, длиннее дирижабля: ведь лучи солнца расходятся веером, – последовало сразу решение.

– Я бы сказал, – возразил кто-то, – что, напротив, лучи солнца параллельны; тень и дирижабль одной длины.

– Что вы? Разве не случалось вам видеть расходящиеся лучи от спрятанного за облаком солнца? Тогда можно воочию убедиться, как сильно расходятся солнечные лучи. Тень дирижабля должна быть значительно больше дирижабля, как тень облака больше самого облака.

Рис. 4. Расходящиеся лучи от спрятанного за облаком солнца

– Почему же обычно принимают, что лучи солнца параллельны? Моряки, астрономы – все так считают…

Председатель не дал спору разгореться и предоставил слово следующему загадчику.

9. Задача со спичками

Очередной оратор высыпал на стол все спички из коробка и стал распределять их в три кучки.

– Костёр собираетесь раскладывать? – шутили слушатели.

– Головоломка, – объяснил загадчик, – будет со спичками. Вот их три неравные кучки. Во всех вместе 48 штук. Сколько в каждой, я вам не сообщаю. Зато отметьте следующее: если из первой кучи я переложу во вторую столько спичек, сколько в этой второй куче имелось, затем из второй в третью переложу столько, сколько в этой третьей перед тем будет находиться, и, наконец, из третьей переложу в первую столько спичек, сколько в этой первой куче будет тогда иметься, – если, говорю, всё это проделать, то число спичек во всех кучках станет одинаково. Сколько же было в каждой кучке первоначально?

10. Коварный пень

– Головоломка эта, – начал сосед последнего загадчика, – напоминает задачу, которую давно как-то задал мне деревенский математик. Это был целый рассказ, довольно забавный. Повстречал крестьянин в лесу незнакомого старика. Разговорились. Старик внимательно оглядел крестьянина и сказал:

– Известен мне в леску этом пенёчек один удивительный. Очень в нужде помогает.

– Как помогает? Вылечивает?

– Лечить не лечит, а деньги удваивает. Положишь под него кошель с деньгами, досчитаешь до ста – и готово: деньги, какие были в кошельке, удвоились. Такое свойство имеет. Замечательный пень!

– Вот бы мне испробовать, – мечтательно сказал крестьянин.

– Это можно. Отчего же? Заплатить только надо.

– Кому платить? И много ли?

– Тому платить, кто дорогу укажет. Мне, значит. А много ли, о том особый разговор.

Стали торговаться. Узнав, что у крестьянина в кошельке денег мало, старик согласился получать после каждого удвоения по 1 руб. 20 коп. На том и порешили.

Старик повёл крестьянина в глубь леса, долго бродил с ним и наконец разыскал в кустах старый, покрытый мохом еловый пень. Взяв из рук крестьянина кошелёк, он засунул его между корнями пня. Досчитали до ста. Старик снова стал шарить и возиться у основания пня, наконец извлёк оттуда кошелёк и подал крестьянину.

Заглянул крестьянин в кошелёк, и что же? – деньги в самом деле удвоились! Отсчитал из них старику обещанные 1 руб. 20 коп. и попросил засунуть кошелёк вторично под чудодейственный пень.

Рис. 5. Старик повёл крестьянина в глубь леса

Снова досчитали до ста, снова старик стал возиться в кустах у пня, и снова совершилось диво: деньги в кошельке удвоились. Старик вторично получил из кошелька обусловленные 1 руб. 20 коп.

В третий раз спрятали кошель под пень. Деньги удвоились и на этот раз. Но когда крестьянин уплатил старику обещанное вознаграждение, в кошельке не осталось больше ни одной копейки. Бедняга потерял на этой комбинации все свои деньги. Удваивать дальше было уже нечего, и крестьянин уныло побрёл из лесу.

Секрет волшебного удвоения денег вам, конечно, ясен: старик недаром, отыскивая кошелёк, мешкал в зарослях у пня. Но можете ли вы ответить на другой вопрос: сколько было у крестьянина денег до злополучных опытов с коварным пнём?

11. Задача о декабре

– Я, товарищи, языковед, от всякой математики далёк, – начал пожилой человек, которому пришёл черёд задавать головоломку. – Не ждите от меня поэтому математической задачи. Могу только предложить вопрос из знакомой мне области. Разрешите задать календарную головоломку?

– Просим!

– Двенадцатый месяц называется у нас «декабрь». А вы знаете, что, собственно, значит «декабрь»? Слово это происходит от греческого слова «дека» – десять, отсюда также слова «декалитр» – 10 литров, «декада» – 10 дней и др. Выходит, что месяц декабрь носит название «десятый». Чем объяснить такое несоответствие?

– Ну, теперь осталась только одна головоломка, – произнёс председатель.

12. Арифметический фокус

– Мне приходится выступать последним, двенадцатым. Для разнообразия покажу вам арифметический фокус и попрошу раскрыть его секрет. Пусть кто-нибудь из вас, хотя бы вы, товарищ председатель, напишет на бумажке, тайно от меня, любое трёхзначное число.

– Могут быть и нули в этом числе?

– Не ставлю никаких ограничений. Любое трёхзначное число, какое пожелаете.

– Написал. Что теперь?

– Припишите к нему это же число ещё раз. У вас получится, конечно, шестизначное число.

– Есть. Шестизначное число.

– Передайте бумажку соседу, что сидит подальше от меня. А он пусть разделит это шестизначное число на 7.

– Легко сказать: разделить на 7! Может, и не разделится.

– Не беспокойтесь, поделится без остатка.

– Числа не знаете, а уверены, что поделится.

– Сначала разделите, потом будем говорить.

– На ваше счастье, разделилось.

– Результат вручите своему соседу, не сообщая мне. Он разделит его на 11.

– Думаете, опять повезёт – разделится?

– Делите, остатка не получится.

– В самом деле без остатка! Теперь что?

– Передайте результат дальше. Разделим его… ну, скажем, на 13.

– Нехорошо выбрали. Без остатка на 13 мало чисел делится… Ан нет, разделилось нацело. Везёт же вам!

– Дайте мне бумажку с результатом; только сложите её, чтобы я не видел числа.

Не развёртывая листа бумаги, «фокусник» вручил его председателю.

– Извольте получить задуманное вами число. Правильно?

– Совершенно верно! – с удивлением ответил тот, взглянув на бумажку. – Именно это я и задумал… теперь, так как список ораторов исчерпан, позвольте закрыть наше собрание, благо и дождь успел пройти. Разгадки всех головоломок будут оглашены сегодня же, после ужина. Записки с решениями можете подавать мне.

Решения головоломок 1-12

1. Головоломка с белкой на поляне рассмотрена была полностью раньше. Переходим к следующей.

2. Нельзя считать, как многие делают, что 8 руб. уплачено за 8 поленьев, по 1 руб. за полено. Деньги эти уплачены только за третью часть от 8 поленьев, потому что огнём пользовались трое в одинаковой мере. Отсюда следует, что все 8 поленьев оценены были в 8 × 3, то есть в 24 руб., и цена одного полена – 3 руб.

Теперь легко сообразить, сколько причитается каждому. Пятёркиной за её 5 поленьев следует 15 руб.; но она сама воспользовалась плитой на 8 руб.; значит, ей остаётся дополучить ещё 15 – 8, то есть 7 руб. Тройкина за три своих полена должна получить 9 руб., а если вычесть 8 руб., причитающиеся с неё за пользование плитой, то следовать ей будет всего только 9–8, то есть 1 руб.

Итак, при правильном дележе Пятёркина должна получить 7 руб., Тройкина – 1 руб.

3. На первый вопрос – через сколько дней в школе соберутся одновременно все 5 кружков – мы легко ответим, если сумеем разыскать наименьшее из всех чисел, которое делится без остатка на 2, на 3, на 4, на 5 и на 6. Нетрудно сообразить, что число это 60. Значит, на 61-й день соберутся снова 5 кружков: политический – через 30 двухдневных промежутков, военный – через 20 трёхдневных, фотокружок – через 15 четырёхдневных, шахматный – через 12 пятидневок и хоровой – через 10 шестидневок. Раньше чем через 60 дней такого вечера не будет. Следующий подобный же вечер будет ещё через 60 дней, то есть уже во втором квартале.

Итак, в течение первого квартала окажется только один вечер, когда в клубе снова соберутся для занятий все 5 кружков.

Хлопотливее найти ответ на второй вопрос задачи: сколько будет вечеров, свободных от кружковых занятий? Чтобы разыскать такие дни, надо выписать по порядку все числа от 1 до 90 и зачеркнуть в этом ряду дни работы политкружка, то есть числа 1, 3, 5, 7, 9 и т. д. Потом зачеркнуть дни работы военного кружка: 4-й, 10-й и т. д. После того как зачеркнём затем дни занятий фотокружка, шахматного и хорового, у нас останутся незачёркнутыми те дни первого квартала, когда ни один кружок не работал.

Кто проделает эту работу, тот убедится, что вечеров, свободных от занятий, в течение первого квартала будет довольно много: 24. В январе их 8, а именно: 2-го, 8-го, 12-го, 14-го, 18-го, 20-го, 24-го и 30-го. В феврале насчитывается 7 таких дней, в марте – 9.

4. Оба насчитали одинаковое число прохожих. Хотя тот, кто стоял у ворот, считал проходивших в обе стороны, зато тот, кто ходил, видел вдвое больше встречных людей.

5. С первого взгляда может действительно показаться, что задача неправильно составлена: выходит как будто, что внук и дед одного возраста. Однако требование задачи, как сейчас увидим, легко удовлетворяется.

Внук, очевидно, родился в XX столетии. Первые две цифры года его рождения, следовательно, 19: таково число сотен. Число, выражаемое остальными цифрами, будучи сложено с самим собою, должно составить 32. Значит, это число 16: год рождения внука 1916, и ему в 1932 году было 16 лет.

Дед его родился, конечно, в XIX столетии; первые две цифры года его рождения 18. Удвоенное число, выражаемое остальными цифрами, должно составить 132. Значит, само это число равно половине 132, то есть 66. Дед родился в 1866 году, и ему в 1932 году было 66 лет.

Таким образом, и внуку, и деду в 1932 году было столько лет, сколько выражают последние две цифры годов их рождения.

6. На каждой из 25 станций пассажиры могут требовать билет до любой станции, то есть на 24 пункта. Значит, разных билетов надо напечатать 25 × 24 = 600 образцов.

7. Задача эта никакого противоречия не содержит. Не следует думать, что дирижабль летел по контуру квадрата: надо принять в расчёт шарообразную форму Земли. Дело в том, что меридианы к северу сближаются (рис. 6); поэтому, пройдя 500 км по параллельному кругу, расположенному на 500 км севернее широты Ленинграда, дирижабль отошёл к востоку на большее число градусов, чем пролетел потом в обратном направлении, очутившись снова на широте Ленинграда. В результате дирижабль, закончив полёт, оказался восточнее Ленинграда.

Рис. 6

На сколько именно? Это можно рассчитать. На рис. 6 вы видите маршрут дирижабля: АВСВЕ. Точка N — Северный полюс; в этой точке сходятся меридианы АВ и ВС. Дирижабль пролетел сначала 500 км на север, то есть по меридиану АN Так как длина градуса меридиана 111 км, то дуга меридиана в 500 км содержит 500: 111 = 4°,5. Ленинград лежит на 60-й параллели; значит, точка В находится на 60° + 4°,5 = 64°,5. Затем дирижабль летел к востоку, то есть по параллели ВС, и прошёл по ней 500 км. Длину одного градуса на этой параллели можно вычислить (или узнать из таблиц); она равна 48 км. Отсюда легко определить, сколько градусов пролетел дирижабль на восток: 500: 48 = 10°,4. Далее воздушный корабль летел в южном направлении, то есть по меридиану СВ, и, пройдя 500 км, должен был очутиться снова на параллели Ленинграда. Теперь путь лежит на запад, то есть по АВ; 500 км этого пути явно короче расстояния АВ. В расстоянии АВ заключается столько же градусов, сколько и в ВС, то есть 10°,4. Но длина Г на ширине 60° равна 55,5 км. Следовательно, между А и В расстояние равно 55,5 × 10,4 = 577 км. Мы видим, что дирижабль не мог спуститься в Ленинграде; он не долетел до него 77 км, то есть спустился на Ладожском озере.

8. Беседовавшие об этой задаче допустили ряд ошибок. Неверно, что лучи Солнца, падающие на земной шар, заметно расходятся. Земля так мала по сравнению с расстоянием её от Солнца, что солнечные лучи, падающие на какую-либо часть её поверхности, расходятся на неуловимо малый угол: практически лучи эти можно считать параллельными. То, что мы видим иногда (при так называемом «иззаоблачном сиянии», см. рис. 4) лучи Солнца, расходящиеся веером, – не более, как следствие перспективы.

Рис. 7

В перспективе параллельные линии представляются сходящимися; вспомните вид уходящих вдаль рельсов (рис. 7) или вид длинной аллеи.

Однако из того, что лучи Солнца падают на землю параллельным пучком, вовсе не следует, что полная тень дирижабля равна по длине самому дирижаблю. Взглянув на рис. 8, вы поймёте, что полная тень дирижабля в пространстве суживается по направлению к земле и что, следовательно, тень, отбрасываемая им на земную поверхность, должна быть короче самого дирижабля: СВ меньше, чем АВ.

Если знать высоту дирижабля, то можно вычислить и то, как велика эта разница. Пусть дирижабль летит на высоте 1000 м над земной поверхностью. Угол, составляемый прямыми АС и BD между собою, равен тому углу, под которым усматривается Солнце с земли; угол этот известен: около ½ °, С другой стороны, известно, что всякий предмет, видимый под углом в ½°, удалён от глаза на 115 своих поперечников. Значит, отрезок MN (этот отрезок усматривается с земной поверхности под углом в ½°) должен составлять 115-ю долю от АС?. Величина АС больше отвесного расстояния от А до земной поверхности. Если угол между направлением солнечных лучей и земной поверхностью равен 45°, то АС (при высоте дирижабля 1000 м) составляет около 1400 м, и, следовательно, отрезок MN равен = 12 м.

Рис. 8

Но избыток длины дирижабля над длиною тени, то есть отрезок МВ, больше MN, а именно больше в 1,4 раза, потому что угол MBD почти точно равен 45°. Следовательно, МВ равно 12 × 1,4; это даёт почти 17 м.

Всё сказанное относится к полной тени дирижабля – чёрной и резкой и не имеет отношения к так называемой полутени, слабой и размытой.

Расчёт наш показывает, между прочим, что, будь на месте дирижабля небольшой воздушный шар, диаметром меньше 17 м, он не отбрасывал бы вовсе полной тени; видна была бы только его смутная полутень.

9. Задачу решают с конца. Будем исходить из того, что после всех перекладываний число спичек в кучках сделалось одинаковым. Так как от этих перекладываний общее число спичек не изменилось, осталось прежнее (48), то в каждой кучке к концу всех перекладываний оказалось 16 штук.

Итак, имеем в самом конце:

Непосредственно перед этим в 1-ю кучку было прибавлено столько спичек, сколько в ней имелось; иначе говоря, число спичек в ней было удвоено. Значит, до последнего перекладывания в 1-й кучке было не 16, а только 8 спичек. В кучке же 3-й, из которой 8 спичек было взято, имелось перед тем 16 + 8 = 24 спички.

Теперь у нас такое распределение спичек по кучкам:

Далее: мы знаем, что перед этим из 2-й кучки было переложено в 3-ю столько спичек, сколько имелось в 3-й кучке. Значит, 24 – это удвоенное число спичек, бывших в 3-й кучке до этого перекладывания. Отсюда узнаем распределение спичек после первого перекладывания:

Легко сообразить, что раньше первого перекладывания (то есть до того, как из 1-й кучки переложено было во 2-ю столько спичек, сколько в этой 2-й имелось) распределение спичек было таково:

Таковы первоначальные числа спичек в кучках.

10. Эту головоломку также проще решить с конца. Мы знаем, что после третьего удвоения в кошельке оказалось 1 руб. 20 коп. (деньги эти получил старик в последний раз). Сколько же было до этого удвоения? Конечно, 60 коп. Остались эти 60 коп. после уплаты старику вторых 1 руб. 20 коп., а до уплаты было в кошельке 1 руб. 20 коп. + 60 коп. = 1 руб. 80 коп.

Далее: 1 руб. 80 коп. оказались в кошельке после второго удвоения; до того было всего 90 коп., оставшихся после уплаты старику первых 1 руб. 20 коп. Отсюда узнаем, что до уплаты находилось в кошельке 90 коп. + 1 руб. 20 коп. = 2 руб. 10 коп. Столько денег имелось в кошельке после первого удвоения; раньше же было вдвое меньше – 1 руб. 05 коп. Это и есть те деньги, с которыми крестьянин приступил к своим неудачным финансовым операциям.

Проверим ответ:

Деньги в кошельке после:

11. Наш календарь ведёт своё начало от календаря древних римлян. Римляне же (до Юлия Цезаря) считали началом года не 1 января, а 1 марта. Декабрь тогда был, следовательно, десятый месяц. С перенесением начала года на 1 января названия месяцев изменены не были. Отсюда и произошло то несоответствие между названием и порядковым номером, которое существует теперь для ряда месяцев.

12. Проследим за тем, что проделано было с задуманным числом. Прежде всего к нему приписали взятое трёхзначное число ещё раз. Это то же самое, что приписать три нуля и прибавить затем первоначальное число; например:

872 872 = 872 000 + 872.

Теперь ясно, что, собственно, проделано было с числом: его увеличили в 1000 раз и, кроме того, прибавили его самого; короче сказать – умножили число на 1001.