Текст книги "Живая математика. Занимательные задачи для любознательных умов"

23. Первая задача Лойда

Исходя из расположения, показанного на рис. 18, привести шашки в правильный порядок, но со свободным полем в левом верхнем углу (рис. 19).

Рис. 18. Шашки не приведены в порядок

Рис. 19. К первой задаче Лойда

Рис. 20. Ко второй задаче Лойда

24. Вторая задача Лойда

Исходя из расположения рис. 15, поверните коробку на четверть оборота и передвигайте шашки до тех пор, пока они не примут расположения рис. 20.

25. Третья задача Лойда

Передвигая шашки согласно правилам игры, превратите коробку в «магический квадрат», а именно разместите шашки так, чтобы сумма чисел была во всех направлениях равна 30.

Крокет

Крокетным игрокам предлагаю следующие пять задач.

26. Пройти ворота или крокировать?

Крокетные ворота имеют прямоугольную форму. Ширина их вдвое больше диаметра шара. При таких условиях что легче: свободно, не задевая проволоки, пройти с наилучшей позиции ворота или с такого же расстояния крокировать шар?

27. Шар и столбик

Толщина крокетного столбика внизу – 6 см. Диаметр шара 10 см. Во сколько раз попасть в шар легче, чем с такого же расстояния заколоться?

28. Пройти ворота или заколоться?

Шар вдвое уже прямоугольных ворот и вдвое шире столбика. Что легче: свободно пройти ворота с наилучшей позиции или с такого же расстояния заколоться?

29. Пройти мышеловку или крокировать?

Ширина прямоугольных ворот втрое больше диаметра шара. Что легче: свободно пройти с наилучшей позиции мышеловку или с такого же расстояния крокировать шар?

30. Непроходимая мышеловка

При каком соотношении между шириной прямоугольных ворот и диаметром шара пройти мышеловку становится невозможным?

Решения головоломок 16-30

16. Для упрощения задачи отложим пока в сторону все 7 двойных косточек: 0–0, 1–1, 2–2 и т. д. Останется 21 косточка, на которых каждое число очков повторяется 6 раз. Например, 4 очка имеется (на одном поле) на следующих 6 косточках:

4-0; 4–1; 4–2; 4–3; 4–5; 4–6.

Итак, каждое число очков повторяется, мы видим, чётное число раз. Ясно, что косточки такого набора можно приставлять одну к другой равными числами очков до исчерпания всего набора. А когда это сделано, когда наши 21 косточка вытянуты в непрерывную цепь, тогда между стыками 0–0, 1–1, 2–2 и т. д. вдвигаем отложенные 7 двойняшек. После этого все 28 косточек домино оказываются вытянутыми, с соблюдением правил игры, в одну цепь.

17. Легко показать, что цепь из 28 костей домино должна кончаться тем же числом очков, каким она начинается. В самом деле: если бы было не так, то числа очков, оказавшиеся на концах цепи, повторялись бы нечётное число раз (внутри цепи числа очков лежат ведь парами); мы знаем, однако, что в полном наборе костей домино каждое число очков повторяется 8 раз, то есть чётное число раз. Следовательно, сделанное нами допущение о неодинаковом числе очков на концах цепи – неправильно: числа очков должны быть одинаковы. (Рассуждения такого рода, как это, в математике называются «доказательствами от противного».)

Между прочим, из сейчас доказанного свойства цепи вытекает следующее любопытное следствие: цепь из 28 косточек всегда можно сомкнуть концами и получить кольцо. Полный набор костей домино может быть, значит, выложен, с соблюдением правил игры, не только в цепь со свободными концами, но также и в замкнутое кольцо.

Читателя может заинтересовать вопрос: сколькими различными способами выполняется такая цепь или кольцо? Не входя в утомительные подробности расчёта, скажем здесь, что число различных способов составления 28-косточковой цепи (или кольца) огромно: свыше 7 триллионов. Вот точное число:

7 959 229 931 520

(оно представляет собой произведение следующих множителей: 2¹³ · 3⁸ · 5 · 7 · 4231).

Рис. 21

18. Решение этой головоломки вытекает из сейчас сказанного. 28 косточек домино, мы знаем, всегда выкладываются в сомкнутое кольцо; следовательно, если из этого кольца вынуть одну косточку, то

1) остальные 27 косточек составят непрерывную цепь с разомкнутыми концами;

2) концевые числа очков этой цепи будут те, которые имеются на вынутой косточке.

Спрятав одну кость домино, мы можем поэтому заранее сказать, какие числа очков будут на концах цепи, составленной из прочих костей.

19. Сумма очков всех сторон искомого квадрата должна равняться 44 × 4= 176, то есть на 8 больше, чем сумма очков на косточках полного набора домино (168). Происходит это, конечно, оттого, что числа очков, занимающих вершины квадрата, считаются дважды. Сказанным определяется, какова должна быть сумма очков на вершинах квадрата: 8. Это несколько облегчает поиски требуемого расположения, хотя нахождение его всё же довольно хлопотливо. Решение показано на рис. 21.

Рис. 22

Рис. 23

20. Приводим два решения этой задачи из числа многих возможных. В первом решении (рис. 22) имеем:

1 квадрат с суммой 3

2 квадрата с суммой 9

1 квадрат с суммой 6

1 квадрат с суммой 10

1 квадрат с суммой 8

1 квадрат с суммой 16

Рис. 24

Во втором решении (рис. 23):

2 квадрата с суммой 4

2 квадрата с суммой 10

1 квадрат с суммой 8

2 квадрата с суммой 12

21. На рис. 24 дан образчик магического квадрата с суммой очков в ряду 18.

22. Вот в виде примера две прогрессии с разностью 2:

a) 0–0; 0–2; 0–4; 0–6; 4–4 (или 3–5); 5–5 (или 4–6);

b) 0–1; 0–3 (или 1–2); 0–5 (или 2–3); 1–6 (или 3–4); 3–6 (или 4–5); 5–6.

Всех шестикосточковых прогрессий можно составить

23. Начальные косточки их следующие:

а) для прогрессий с разностью 1:

b) для прогрессий с разностью 2:

0—0; 0–2; 0–1.

23. Расположение задачи может быть получено из начального положения следующими 44 ходами:

24. Расположение задачи достигается следующими 39 ходами:

25. Магический квадрат с суммой 30 получается после ряда ходов:

Занимаясь головоломками, относящимися к домино и к игре 15, мы оставались в пределах арифметики. Переходя к головоломкам на крокетной площадке, мы вступаем отчасти в область геометрии.

26. Даже опытный игрок скажет, вероятно, что при указанных условиях пройти ворота легче, чем крокировать: ведь ворота вдвое шире шара. Однако такое представление ошибочно: ворота, конечно, шире, нежели шар, но свободный проход для шара через ворота вдвое уже, чем мишень для крокировки.

Взгляните на рис. 25, и сказанное станет вам ясно. Центр шара не должен приближаться к проволоке ворот меньше чем на величину радиуса, иначе шар заденет проволоку. Значит, для центра шара останется мишень на два радиуса меньше ширины ворот. Легко видеть, что в условиях нашей задачи ширина мишени при прохождении ворот с наилучшей позиции равна диаметру шара.

Рис. 25

Рис. 26

Рис. 27

Рис. 28

Посмотрим теперь, как велика ширина мишени для центра движущегося шара при крокировке. Очевидно, что, если центр крокирующего приблизится к центру крокируемого меньше чем на радиус шара, удар обеспечен. Значит, ширина мишени в этом случае, как видно из рис. 26, равна двум диаметрам шара.

Итак, вопреки мнению игроков, при данных условиях вдвое легче попасть в шар, нежели свободно пройти ворота с самой лучшей позиции.

27. После сейчас сказанного эта задача не требует долгих разъяснений. Легко видеть (рис. 27), что ширина цели при крокировке равна двум диаметрам шара, то есть 20 см; ширина же мишени при нацеливании в столбик равна сумме диаметра шара и столбика, то есть 16 см (рис. 28). Значит, крокировать легче, чем заколоться, в

всего на 25 %. Игроки же обычно сильно преувеличивают шансы крокировки по сравнению с попаданием в столбик.

Рис. 29

Рис. 30

Рис. 31

28. Иной игрок рассудит так: раз ворота вдвое шире, чем шар, а столбик вдвое у́же шара, то для свободного прохода ворот мишень вчетверо шире, чем для попадания в столбик. Наученный предыдущими задачами, читатель наш подобной ошибки не сделает. Он сообразит, что для прицела в столбик мишень в 1½ раза шире, чем для прохода ворот с наилучшей позиции. Это ясно из рассмотрения рис. 29 и 30.

(Если бы ворота были не прямоугольные, а выгнутые дугой, проход для шара был бы ещё уже – как легко сообразить из рассмотрения рис. 31.)

Рис. 32

Рис. 33

29. Из рис. 32 и 33 видно, что промежуток а, остающийся для прохода центра шара, довольно тесен при указанных в задаче условиях. Знакомые с геометрией знают, что сторона (АВ) квадрата меньше его диагонали (АС) в 1,4 раза. Если ширина ворот 3d (где d – диаметр шара), то АВ равно

3d : 1,4 = 2,1d.

Промежуток же а, который является мишенью для центра шара, проходящего мышеловку с наилучшей позиции, – ещё уже. Он на целый диаметр меньше и равен:

2,1d – d = 1,1d.

Между тем мишень для центра крокирующего шара равна, мы знаем, 2d. Следовательно, крокировать почти вдвое легче при данных условиях, чем пройти мышеловку.

30. Мышеловка становится совершенно непроходимой в том случае, когда ширина ворот превышает диаметр шара менее чем в 1,4 раза. Это вытекает из объяснения, данного в предыдущей задаче. Если ворота дугообразные, условия прохождения ещё ухудшаются.

Глава третья
Ещё дюжина головоломок

31. Верёвочка[2]2
  Эта головоломка принадлежит английскому беллетристу Барри Пэну.


[Закрыть]

– Ещё верёвочку? – спросила мать, вытаскивая руки из лоханки с бельём. – Можно подумать, что я вся верёвочная. Только и слышишь: верёвочку да верёвочку. Ведь я вчера дала тебе порядочный клубок. На что тебе такая уйма? Куда ты её девал?

– Куда девал бечёвку? – отвечал мальчуган. – Во-первых, половину ты сама взяла обратно…

– А чем же прикажешь мне обвязывать пакеты с бельём?

– Половину того, что осталось, взял у меня Том, чтобы удить в канаве колюшек.

– Старшему брату ты всегда должен уступать.

– Я и уступил. Осталось совсем немного, да из того ещё папа взял половину для починки подтяжек, которые лопнули у него от смеха, когда случилась беда с автомобилем. А после понадобилось ещё сестре взять две пятых оставшегося, чтобы завязать свои волосы узлом…

– Что же ты сделал с остальной бечёвкой?

– С остальной? Остальной-то было всего-навсего 30 см! Вот и устраивай телефон из такого обрывка…

Какую же длину имела бечёвка первоначально?

32. Носки и перчатки

В одном ящике лежат 10 пар коричневых и 10 пар чёрных носков, в другом – 10 пар коричневых и столько же пар чёрных перчаток. По сколько носков и перчаток достаточно извлечь из каждого ящика, чтобы из них можно было выбрать одну (какую-либо) пару носков и одну пару перчаток?

33. Долговечность волоса

Сколько в среднем волос на голове человека? Сосчитано: около 150 000[3]3
  Многих удивляет, как могли это узнать: неужели пересчитали один за другим все волосы на голове? Нет, этого не делали: сосчитали лишь, сколько волос на 1 см² поверхности головы. Зная это и зная поверхность кожи, покрытой волосами, легко уже определить общее число волос на голове. Короче сказать, число волос сосчитано анатомами таким же приёмом, каким пользуются лесоводы при пересчёте деревьев в лесу.


[Закрыть]. Определено также, сколько их средним числом выпадает в месяц: около 3000.

Как по этим данным высчитать, сколько времени – в среднем, конечно, – держится на голове каждый волос?

34. Заработная плата

Мой заработок за последний месяц вместе со сверхурочными составляет 250 руб. Основная плата на 200 руб. больше, чем сверхурочные.

Как велика моя заработная плата без сверхурочных?

35. Лыжный пробег

Лыжник рассчитал, что если он станет делать в час 10 км, то прибудет на место назначения часом позже полудня; при скорости же 15 км в час он прибыл бы часом раньше полудня.

Рис. 34. С какой скоростью он должен бежать?

С какой же скоростью должен он бежать, чтобы прибыть на место ровно в полдень?

36. Двое рабочих

Двое рабочих, старик и молодой, проживают в одной квартире и работают на одном заводе. Молодой доходит от дома до завода в 20 мин., старый – в 30 мин. Через сколько минут молодой догонит старого, если последний выйдет из дому 5 минутами раньше его?

37. Переписка доклада

Переписка доклада поручена двум машинисткам. Более опытная из них могла бы выполнить всю работу в 2 час., менее опытная – в 3 час.

Во сколько времени перепишут они этот доклад, если разделят между собой работу так, чтобы выполнить её в кратчайший срок?

Задачи такого рода обычно решают по образцу знаменитой задачи о бассейнах. А именно: в нашей задаче находят, какую долю всей работы выполняет в час каждая переписчица; складывают обе дроби и делят единицу на эту сумму. Не можете ли вы придумать новый способ решения подобных задач, отличный от шаблонного?

38. Две зубчатки

Шестерёнка о 8 зубцах сцеплена с колесом, имеющим 24 зубца (рис. 35). При вращении большего колеса шестерёнка обходит кругом него.

Спрашивается, сколько раз обернётся шестерёнка вокруг своей оси за то время, пока она успеет сделать один полный оборот вокруг большей зубчатки?

39. Сколько лет?

У любителя головоломок спросили, сколько ему лет. Ответ был замысловатый:

– Возьмите трижды мои годы через три года да отнимите трижды мои годы три года назад, – у вас как раз и получатся мои годы.

Сколько же ему теперь лет?

40. Чета Ивановых

Сколько лет Иванову?

– Давайте сообразим. Восемнадцать лет назад, в год своей женитьбы, он был, я помню, ровно втрое старше своей жены.

Рис. 35. Сколько раз обернётся шестерёнка?

– Позвольте, сколько мне известно, он теперь как раз вдвое старше своей жены. Это другая жена?

– Та же. И потому нетрудно установить, сколько сейчас лет Иванову и его жене.

Сколько, читатель?

41. Игра

Когда мы с товарищем начали игру, у нас было денег поровну. В первый кон я выиграл 20 коп. Во второй я проиграл две трети того, что имел на руках, и тогда у меня оказалось денег вчетверо меньше, чем у товарища.

С какими деньгами мы начали игру?

42. Покупки

Отправляясь за покупками, я имел в кошельке около 15 руб. отдельными рублями и двугривенными[4]4
  Двугривенный – монета номиналом 20 копеек. (Примеч. ред.)


[Закрыть]. Возвратившись, я принёс столько отдельных рублей, сколько было у меня первоначально 20-копеечных монет, и столько 20-копеечных монет, сколько имел я раньше отдельных рублей. Всего же уцелела у меня в кошельке треть той суммы, с какой я отправился за покупками.

Сколько стоили покупки?

Решения головоломок 31-42

31. После того как мать взяла половину, осталась ½; после заимствования старшего брата осталась ¼; после отца ⅛, после сестры ⅛ × ⅗ = ³/₄₀. Если 30 см составляют ³/₄₀ первоначальной длины, то вся длина равна 30: ³/₄₀ = 400 см, или 4 м.

32. Достаточно 3 носков, так как 2 из них всегда будут одинакового цвета. Не так просто обстоит дело с перчатками, которые отличаются друг от друга не только цветом, но ещё и тем, что половина перчаток правые, а половина – левые. Здесь достаточно будет 21 перчатки. Если же доставать меньшее количество, например 20, то может случиться, что все 20 будут на одну и ту же руку (10 коричневых левых и 10 чёрных левых).

33. Позже всего выпадет, конечно, тот волос, который сегодня моложе всех, то есть возраст которого 1 день.

Посмотрим же, через сколько времени дойдёт до него очередь выпасть. В первый месяц из тех 150 тысяч волос, которые сегодня имеются на голове, выпадет 3 тысячи, в первые два месяца – 6 тысяч, в течение первого года – 12 раз по 3 тысячи, то есть 36 тысяч. Пройдёт, следовательно, четыре года с небольшим, прежде чем наступит черёд выпасть последнему волосу. Так определилась у нас средняя долговечность человеческого волоса: 4 с небольшим года.

34. Многие, не подумав, отвечают: 200 руб. Это неверно: ведь тогда основная заработная плата будет больше сверхурочных только на 150 руб., а не на 200.

Задачу нужно решать так. Мы знаем, что если к сверхурочным прибавить 200 руб., то получим основную заработную плату. Поэтому если к 250 руб. прибавим 200 руб., то у нас должны составиться две основные заработные платы. Но 250 + 200 = 450. Значит, двойная основная зарплата составляет 450 руб. Отсюда одна заработная плата без сверхурочных равна 225 руб., сверхурочные же составят остальное от 250 руб., то есть 25 руб.

Проверим: заработная плата, 225 руб., больше сверхурочных, то есть 25 руб., на 200 руб., – как и требует условие задачи.

35. Эта задача любопытна в двух отношениях: во-первых, она легко может внушить мысль, что искомая скорость есть средняя между 10 и 15 км в час, то есть равна 12½ км в час. Нетрудно убедиться, что такая догадка неправильна. Действительно, если длина пробега а километров, то при 15-километровой скорости лыжник будет в пути часов, при 10-километровой , при 12½-километровой — или . Но тогда должно существовать равенство

потому что каждая из этих разностей равна одному часу.

Сократив на а, имеем

или, по свойству арифметической пропорции:

равенство неверное:

Вторая особенность задачи та, что она может быть решена не только без помощи уравнений, но даже просто устным расчётом.

Рассуждаем так: если бы при 15-километровой скорости лыжник находился в пути на два часа дольше (то есть столько же, сколько при 10-километровой), он прошёл бы путь на 30 км больший, чем прошёл в действительности. В один час, мы знаем, он проходит на 5 км больше; значит, он находился бы в пути 30: 5 = 6 час. Отсюда определяется продолжительность пробега при 15-километровой скорости: 6–2 = 4 час. Вместе с тем становится известным и проходимое расстояние: 15 × 4 = 60 км.

Теперь легко уже найти, с какой скоростью должен лыжник идти, чтобы прибыть на место ровно в полдень, – иначе говоря, чтобы употребить на пробег 5 час.

60:5 = 12 км.

Легко убедиться испытанием, что этот ответ правилен.

36. Задачу можно решить, не обращаясь к уравнению, и притом различными способами.

Вот первый приём. Молодой рабочий проходит в 5 мин. ¼ пути, старый – ⅙ пути, то есть меньше, чем молодой, на

Так как старый опередил молодого на ⅙ пути, то молодой настигнет его через

пятиминутных промежутка, иначе говоря, через 10 мин.

Другой приём проще. На прохождение всего пути старый рабочий тратит на 10 мин. больше молодого. Выйди старик на 10 мин. раньше молодого, оба пришли бы на завод в одно время. Если старик вышел только на 5 мин. раньше, то молодой должен нагнать его как раз посередине пути, то есть спустя 10 мин. (весь путь молодой рабочий проходит в 20 мин.).

Возможны ещё и другие арифметические решения.

37. Нешаблонный путь решения задачи таков. Прежде всего поставим вопрос: как должны машинистки поделить между собою работу, чтобы закончить её одновременно? (Очевидно, что только при таком условии, то есть при отсутствии простоя, работа будет выполнена в кратчайший срок.) Так как более опытная машинистка пишет в 1½ раза быстрее менее опытной, то ясно, что доля первой должна быть в 1½ раза больше доли второй – тогда обе кончат писать одновременно. Отсюда следует, что первая должна взяться переписывать ⅗ доклада, вторая – ⅖.

Собственно, задача уже почти решена. Остаётся только найти, во сколько времени первая переписчица выполнит свои ⅗ работы. Всю работу она может сделать, мы знаем, в 2 час.; значит, ⅗ работы будет выполнено в . В такое же время должна сделать свою долю работы и вторая машинистка.

Итак, кратчайший срок, в какой может быть переписан доклад обеими машинистками, – 1 час 12 мин.

38. Если вы думаете, что шестерёнка обернётся три раза, то ошибаетесь: она сделает не три, а четыре оборота.

Чтобы наглядно уяснить себе, в чём тут дело, положите перед собой на гладком листке бумаги две одинаковые монеты, например два двугривенных, так, как показано на рис. 36. Придерживая рукой нижнюю монету, катите по её ободу верхнюю. Вы заметите неожиданную вещь: когда верхняя монета обойдёт нижнюю наполовину и окажется внизу, она успеет сделать уже полный оборот вокруг своей оси; это будет видно по положению цифр на монете. А обходя неподвижную монету кругом, монета наша успеет обернуться не один, а два раза.

Рис. 36

Вообще, когда тело, вертясь, движется по кругу, оно делает одним оборотом больше, чем можно насчитать непосредственно. По той же причине и наш земной шар, обходя вокруг Солнца, успевает обернуться вокруг своей оси не 365 с четвертью, а 366 с четвертью раз, если считать обороты не по отношению к Солнцу, а по отношению к звёздам. Вы понимаете теперь, почему звёздные сутки короче солнечных.

39. Арифметическое решение довольно запутанное, но задача решается просто, если обратиться к услугам алгебры и составить уравнение. Искомое число лет обозначим буквой х. Возраст спустя три года надо тогда обозначить через × + 3, а возраст три года назад через × – 3. Имеем уравнение

3 (х + 3) – 3 (х – 3) – х,

решив которое получаем х = 18. Любителю головоломок теперь 18 лет.

Проверим: через три года ему будет 21 год; три года назад ему было 15 лет. Разность

3 · 21 – 3 · 15 = 63–45 = 18,

то есть равна нынешнему возрасту любителя головоломок.

40. Как и предыдущая, задача разрешается с помощью несложного уравнения. Если жене теперь х лет, то мужу 2х. Восемнадцать лет назад каждому из них было на 18 лет меньше: мужу 2х – 18, жене х – 18. При этом известно, что муж был тогда втрое старше жены:

3 (х – 18) = 2х– 18.

Решив это уравнение, получаем х = 36: жене теперь 36 лет, мужу 72.

41. Пусть в начале игры у каждого было х копеек. После первого кона у одного игрока стало х + 20, у другого х – 20. После второго кона прежде выигравший партнёр потерял ⅔ своих денег; следовательно, у него осталось

Другой партнёр, имевший х – 20, получил ⅔ (х + 20); следовательно, у него оказалось

Так как известно, что у первого игрока оказалось вчетверо меньше денег, чем у другого, то

откуда х = 100; у каждого игрока было в начале игры по одному рублю.

42. Обозначим первоначальное число отдельных рублей через х, а число 20-копеечных монет через у. Тогда, отправляясь за покупками, я имел в кошельке денег

(100х + 20у) коп.

Возвратившись, я имел

(100у + 20x) коп.

Последняя сумма, мы знаем, втрое меньше первой; следовательно,

3 (100у + 20x) = 100x + 20у.

Упрощая это выражение, получаем

х = 7у.

Если у = 1, то х = 7. При таком допущении у меня первоначально было денег 7 руб. 20 коп.; это не вяжется с условием задачи («около 15 руб.»).

Испытаем у = 2; тогда х = 14. Первоначальная сумма равнялась 14 руб. 40 коп., что хорошо согласуется с условием задачи.

Допущение у = 3 даёт слишком большую сумму денег: 21 руб. 60 коп.

Следовательно, единственный подходящий ответ – 14 руб. 40 коп. После покупок осталось 2 отдельных рубля и 14 двугривенных, то есть 200 + 280 = 480 коп.; это действительно составляет треть первоначальной суммы (1440: 3 = 480).

Израсходовано же было 1440 – 480 = 960. Значит, стоимость покупок 9 руб. 60 коп.