Текст книги "Возврат к Пифагору"

Глава 5 ПРИЛОЖЕНИЕ И ВЫВОДЫ

Разложение на множители. С этой операции фактически и началась эта работа. Теперь надо по иному взглянуть на многие утверждения, определения и практическое применение в элементарной теории чисел. Эта единица ничего не усложняет, но уточняет и упрощает. Теперь сумма и разность квадратов будут разлагаться на множители равноправно, с одинаковыми по модулю сомножителями в соответствующих двумерных плоскостях:

А это будет означать, что операция умножения в области действительных чисел необратима, поскольку обратная ей операция (разложения на множители) является многозначной. Операции разложения на множители или извлечения корня не могут быть выполнены с помощью элементов этого же множества.

Решение квадратных уравнений. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение

где x – неизвестная модель, p, q – заданные модели чисел или значения. Как известно, его решение мы привыкли определять по формуле

.

.

Теперь, как видно из сравнения решений квадратного уравнения, наблюдается полная симметрия.

Примеры. Решить уравнения:

.

Аналогия основных соотношений. Запишем основные тождества для тригонометрических и гиперболических функций в виде:

Такая запись позволяет провести полный анализ этих двух соотношений. Множители a2 и b2 могут быть общими знаменателями, если слагаемые внутри скобок являются квадратами рациональных значений. Если a2cos2x0, a2sin2x0, a2 тройка, удовлетворяющая первому тождеству, то эта же тройка будет удовлетворять и второму соотношению. В частности ими могут быть и пифагоровы тройки.

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ МОДЕЛИ ЧИСЕЛ

Гиперболотригонометрическая (пространственная) модель числа. Введение пропущенной единицы решает проблему создания пространственной модели числа. Пусть даны две модели чисел

перемножая левые и правые части (35) и (36), получим

Получили трехмерную модель числа, записанного в гиперболо-тригонометрической форме (38) и алгебраической форме (39), с формулами перехода (40). Тем самым на лицо существование трехмерной модели числа с тремя независимыми единицами «1», «I» и «j». Следовательно, теорема Фробениуса неверна.

Операции над пространственными моделями чисел. Из построения пространственной модели числа следует, что его модуль определяется по формуле

для которой можно определить арифметические и алгебраические операции.

Пусть даны две пространственные модели числа

для которых выполняются соотношения (37). Для этих моделей вводятся определение равенства и операции по правилам:

Скалярное произведение

Векторное произведение

Смешанное произведение векторов

.

Таким образом, введенные операции сложения и умножения обладают свойствами коммутативности

ассоциативности

и дистрибутивности

Из свойств 1) следует, что множество трехмерных моделей чисел содержит в себе образы всех одномерных моделей чисел x, а также образы всех двумерных моделей чисел.

Операцию возвышения в степень лучше проводить, записав пространственную модель числа в форме (38). Из неё получим

Очевидно, что пространственная модель числа обладает двумя периодами: для тригонометрических функций T=2π и для гиперболических T=2πi.

Глава 6. Множества моделей чисел

Арифметическое значение корня. Понятие множества вводится в математике, независимо от физики, без определения. Более того, часто ставятся и решаются задачи с указанием рассматриваемого множества, без обоснования того, что это возможно. Например, Великая теорема Ферма сформулирована для «целых чисел» и несколько поколений математиков и поклонников теоремы ищут ее доказательство в «целых числах». Но выше было установлено, что даже квадратное уравнение может быть решено в двумерных моделях чисел. Однако, если нарушить условия строгости, т. е. игнорировать свойство корня из единицы или нарушить структуру множества, то такие задачи можно ставить и решать.

Действительно, операция извлечения корня, в силу своей неоднозначности, явилась первым барьером, который стал перед математиками. Для преодоления этого барьера и было определено арифметическое значения корня. К сожалению, автор, введший это определение в практику, неизвестен. Нет и ссылок в учебниках и в исторических исследованиях. Это определение удовлетворило математиков, а потому никто не заметил потери целого множества моделей чисел. Это множество должно было предшествовать множеству комплексных «чисел», которые удалось открыть Гауссу.

Итак, нестрогий подход к решению проблемы двузначности при извлечении корня привел к потере множества первой (простейшей) модели чисел. Ни в коем случае нельзя считать их обобщением действительных моделей чисел.

Вторая двумерная модель чисел (комплексные «числа»). Вот как вводятся комплексные «числа»: «Комплексными числами называются упорядоченные пары вещественных чисел (компонент), для которых понятия равенства, суммы, произведения и отождествления некоторых пар с вещественными числами вводятся согласно следующим определениям (аксиомам).

I. Пары (a, b) и (c, d) считаются равными в том и только в том случае, когда равны их соответствующие компоненты.

В символической записи:

def

(a, b) = (c, d)↔ a=c, b=d,

II. Суммой пар (a, b) и (c, d) называется пара (a+с, b+d), т. е.

def

(a, b) + (c, d) = (a+с, b+d).

III. Произведением пар (a, b) и (c, d) называется пара (acbd, ad+bc), т. е.

def

(a, b)(c, d) = (acbd, ad+bc).

IV. Пара (a, 0) отождествляется с вещественным числом a, т. е.

(a, 0) = a». [26]

Понятно, что четвертая аксиома здесь ошибочная, ибо пары (a, 0) имеют двумерное изображение, они не являются количеством. Над ними можно определить скалярное и векторное произведения. К сожалению, здесь опять встречаемся с зрительным эффектом. Установление изоморфизма между действиями над действительными «числами» и парами (a, 0) не дает основания для четвертой аксиомы (или определения), поскольку это качественно различные объекты. Эта аксиома удаляет из множества комплексных «чисел» неупорядоченные пары (a, 0) и вставляет в неупорядоченное множество одномерное упорядоченное множество элементов a. Фактически это неосуществимо, но именно так обстоит нынешняя ситуация с множеством комплексных моделей чисел. Это искаженное множество невозможно изобразить схематически. В комплексной плоскости мы закрываем глаза на то, что элементы (a, 0) двумерны. Как видно из сравнения структур различных моделей чисел следует, что никаких равенств устанавливать между ними нельзя, однако говорить, что, в частном случае, они содержат образы моделей из других множеств – можно.

Глава 7. Модельные и количественные соотношения

Физическая основа математики. Геометрические объекты и вещи, с которыми мы встречаемся в жизни, обладают свойствами, которые можно охарактеризовать с помощью какихлибо физических величин: размерами, весом, температурой и др. Разумеется, есть задачи теории «чисел», которые к физике никакого отношения не имеют. Да и вещи тоже с ними не связаны. Вещи – физические объекты. Определение числа по Пифагору учитывает физическую сущность числа.

Можно ли написать математическое соотношение без учета физических и природных свойств? Нельзя. Действительно. Написав чтото, мы получаем модель того, что имели в виду. Это наше видение написанного. Совсем по иному оно может быть воспринято природой. Если написанное не соответствует законам природы, так как о них думаете вы, то написанное будет истиной только для вас. Можно плодотворно заниматься исследованием своей истины, но, если оно оторвано от законов природы, оно будут математической игрой. Так, в упомянутом ранее учебнике [5], автор при определении порядкового натурального числа, приводит аксиомы Пиано. Он указывает, что они «по форме отличаются от приведенной». Однако у Пеано использован только один символ «0», в то время как в принятых использовано – четыре символа. И, хотя смысл каждого символа дан, он является субъективным, поскольку каждый символ является моделью числа.

Линейное уравнение. Пусть дано обычное линейное уравнение

где a, b ϾR. При его решении можно придерживаться существующей тории. Можно его рассматривать как количественное соотношение. Если же a, b ϾI или a, b ϾC, т. е. являются моделями (векторами), то x – неизвестная модель (вектор). Рассматривать соотношение как числовое будет неверным, ибо здесь есть только модели чисел, и такую же неизвестную модель числа надо найти. Поэтому это уравнение означает, что надо найти такой вектор x0, который, будучи подставлен вместо неизвестного вектора x, превращает соотношение (1) в тождество. Очевидно, что векторы ax0 и b лежат на одной прямой и противоположно направлены.

Если же нас интересует количественное соотношение, то это уравнение надо записать в гиперболической или тригонометрической форме, (в зависимости от заданных векторов a и b), т. е., перевести его в соотношение между модулями заданных моделей (векторов).

Квадратное уравнение. Линейное уравнение является единственным, когда можно указать область его рассмотрения и решения. Квадратное уравнение

как выше было показано, уже нельзя рассматривать, как количественное соотношение.

Все входящие в него слагаемые, независимо от нашего желания, рассматриваются как модели (векторы). Здесь три слагаемых и, согласно механике, эти три вектора образуют замкнутую фигуру – треугольник.

Решить квадратное уравнение это значит найти такие векторы x0 и x1 , для которых сумма векторов x2 , px и q равнялась нулю [17].

Для получения количественного соотношения, надо уравнение записать в гиперболической или тригонометрической форме.

Однородное линейное уравнение. Диофантовы уравнения занимают особое место в математике изза нерешенности многих поставленных в них задач. Одной из такой задач и является теорема Ферма, элементарное доказательство которой не найдено до сих пор. Убедимся, что причиной этого является зрительное восприятие и ошибочность понимания числа.

Рассмотрим уравнение

которое известно как линейное однородное уравнение с тремя неизвестными. Оно хорошо исследовано даже с целыми коэффициентами при неизвестных. Получены формулы целочисленных решений таких уравнений через параметр. Неизвестные входят в него первой степени, а потому его можно рассматривать как количественное. Если же это уравнения рассматривать в областях двумерных моделей чисел, то механический и геометрический смысл этого уравнения означает, что сумма векторов x и y равна вектору z. Эти три вектора могут образовать треугольник.

Теорема о существовании треугольника для второй двумерной модели. Если векторы x, y и z не коллинеарны, тогда для соотношения

существует хотя бы один треугольник со сторонами

Доказательство. В уравнении (43) векторы x, y и z представим в тригонометрической форме (

Подставляя в (43), получим

Используя определение равенства, получим отсюда два соотношения

Возводя обе части этих соотношений в квадрат и складывая, получим

Записав уравнение (43) в виде

подставим сюда значения (44) и проделав процедуру аналогичную предыдущей, получим вместо (45)

Для уравнения

аналогично получим

Обозначая

перепишем соотношения (45) – (47) в виде

А, В и С, являющихся значениями элементов треугольника. Теорема доказана.

Условие, что векторы x, y и z не коллинеарные можно, согласно [2], заменить условием для углов треугольника:

0<А<p

Из первого соотношения (74), в частности, следует, что

т. е. обобщенными пифагоровыми тройками могут быть только модули, взятые в скобки. Теорема Билля доказана и уточнена.

В приведенном выше примере

– прямоугольный, но тройка значений не является Пифагоровой.

Из полученных соотношений для модулей моделей вытекает, что любое соотношение между моделями можно перевести в единственное количественное соотношение между их модулями. Обратное невозможно.

Заключение

Никто не застрахован от ошибок. Искусственный интеллект может проверить и найти ошибки на том уровне, на каком он оснащен. Но он не будет заниматься исследованиями по собственной инициативе. А вот человеку не все равно. Он будет интересоваться не только темными пятнами науки, но и белыми, в которых как будто бы все ясно. В качестве примера можно привести ту же ВТФ. Сложное трудоемкое доказательство Уайлса вполне устроило математиков. Специалисты теории чисел абсолютно не занимаются поиском элементарного доказательства. А вот не специалисты заниматься этим не перестали. Вот и я попытался изложить, навряд ли строго то, что я обнаружил, увлекшись поиском доказательства ВТФ.

Очень сомневаюсь, что математиков заинтересует эта работа. Согласиться, что в математике неверно принято толкование числа, определены виды чисел, введены ненужные кватернионы, дано разложение разности квадратов, определены гиперболические функции и т. д. Это только начало неограниченной по своим масштабам работы. Мне ее не осилить. Надеюсь, что найдутся математики, которые отнесутся ко всем моим измышлениям серьезно, найдут в них рациональное зерно и изложат все это строго математически.

Надеюсь, что математика получит раскрепощение, которое позволит ей начать двигаться вперед с введением сложных моделей и новых операций над ними. Больше всего от ошибок пострадала алгебра. Здесь должна быть проведена основная работа по исправлению некоторых основных выводов, особенно в теории полиномов и алгебраических уравнений. Основное, что здесь надо сделать – это ввести физический смысл, связать ее с природой.

В тоже время есть много того, что останется без изменения. Это все то, что инвариантно к изложенным результатам. Например, соотношения Виетта. Это абсолютно не касается тригонометрии и многих других областей математики.

Выводы

В истории математики не проанализирован вопрос о роли атрибутов счета: пальцы, камешки, палочки, засечки и т. п., их возникновении, разнообразии и трансформации с течением времени. Я немного вскопал этот пласт и пришел к выводу, что они играли роль моделей вещей, которые надо было сосчитать. Возможно, с этим согласятся не все. Тогда надо обосновать их иную роль. Пока такого объяснения нет. Это обстоятельство оказало существенную роль на отход от правильной трактовки числа. Разумеется, что модели эти были не осознанными. Но почему в атрибутах счета не определили модели вещей исследователи? Объяснение простое. Понятие моделирования возникло недавно и считалось, что в древности этим заниматься не могли. Возникнув в виде живых материальных моделей: пальцы рук и ног, части тела, со временем они трансформировались в неодушевленные материальные модели: камешки, палочки, веревочки и т. п., которые, в свою очередь, постепенно перешли в изображения – абстрактные атрибуты счета. Таким образом, изображения, какие бы они не были, являются абстрактными моделями вещей, но не числами.

Установлено, что определение числа Пифагором фразой «вещи – суть числа» – правильное. Мы же за число приняли его изображение. Причина этого – неверный анализ деятельности Пифагора и его школы, приобщение его к мистицизму, которого у него вовсе не было, и просто неверное понимание и толкование самой фразы. С признанием этого определения любой физический объект считается числом. Нет объектов – нет и чисел. Однако математиками физического свойства числа определено не было. Это обстоятельство дополнительно усугубило отход от правильного понимания числа.

Доказано ошибочное определение арифметического значения корня. В результате этой ошибки утеряна независимая единица, занимающая положение между обычной и мнимой единицами.

Показано неравноправное использование знаков «+» и «—», что привело к потери симметрии в разложениях разности и суммы квадратов.

Уточнено определение гиперболических функций и соотношений между ними, выведены дополнительные связи, аналогичные связям, существующих для тригонометрических функций, в частности, выведен аналог формулы Эйлера.

Определены первая двумерная и пространственная модели чисел с основными арифметическими операциями.

Показано правильное решение квадратных уравнений и доказано правильное разложение разности квадратов. Определён физический смысл квадратных уравнений и их обобщений.

Указана ошибочная аксиома, принятая при введении комплексных «чисел», в результате чего неупорядоченное множество было смешано с упорядоченным.

Впервые рассмотрено и проанализировано с учетом физического смысла линейное уравнение с тремя неизвестными в области второй двумерной модели (комплексных «чисел»). Показано, что для него и любого уравнения можно определить соотношения для модулей, входящих в него моделей.

Обращено внимание на теорему о существовании треугольника. Указано на необоснованное игнорирование её. Именно с учетом этой теоремы устанавливается, что уравнению Пифагора, которому удовлетворяют все пифагоровы тройки, может соответствовать только равнобедренный прямоугольный треугольник.

Доказано, что уравнения Ферма и Билля есть не что иное, как обобщение рассмотренного выше линейного уравнения с тремя неизвестными, а потому физический смысл их один и тот же.

Список использованных источников

1. Математическая энциклопедия т.3, М., «Советская энциклопедия», 1984, с.1984.

2. Математическая энциклопедия т.5, М., «Советская энциклопедия», 1985, с.1248.

3. Никольский С. М., Потапов М. К., Шевкин А. В., Арифметика, М., «НАУКА», 1988, с.384.

4. Кольман Э. Предмет и метод современной математики, М., «СОЦЭКГИЗ», 1936, с. 316.

5. Арнольд И. В., Теоретическая Арифметика, М., «УЧПЕДГИЗ», 1939, с. 400.

6. Брадис В. М. Теоретическая арифметика, М., «УЧПЕДГИЗ», 1954, с. 208.

7. Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века, М., ГОНТИ.НКТП.СССР, 1938, с.232.

8. Рыбников К. А. История математики, М., МГУ, 1960, с.192.

9. Никифоровский В. А. В мире уравнений, М., «Наука», 1987, с. 176.

10. Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел, «Наука», Москва, 1982, с. 240.

11. БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, т. 14, третье издание, М., «Советская энциклопедия», 1973, с. 624.

12. Струве Г. Элементарная логика, издание девятое, Ст.Петербург, 1895, с. 176.

13. Глаголев А. Н. Курс теоретической арифметики и сборник теоретических упражнений. Издание третье. М., Типогр. Тва И. Д. Сытина, 1914, с. 280.

14. Преображенский А. Г. Этимологический словарь русского языка., том второй., ПЯ, М., ГОСИЗДАТ, 1959, с.1284.

15. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. Издание третье. М., «НАУКА», 1978, с.336.

16. Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 11ое издание, М., «Наука», 1975, с. 432.

17. ЛевиБрюль Л. Первобытное мышление, Л.М., Атеист, 1930, с.340.

18. Новосёлов С. И. Специальный курс тригонометрии, «Советская наука», Москва, 1935, с. 464.

19. Назыров Я. З. Условия совместности для алгебраических уравнений. В сб. «Илмийамалий анжуман тезислари», Ташкент, «Узбекистон», 2001.

20. Назыров Я. З. Модели чисел. Международная научно – практическая конференция «Инновация2003», сб. научных статей.

21. Халмедов Х. Теорема Пифагора в комплексной плоскости, в сб. «Фан ва техника тараккиетида ёшлар», 3 часть, Ташкент, 2003.

22. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Арифметика, М., «НАУКА», 1988, с. 384.

23. Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 11 ое издание, М., «Наука», 1975, с.432.

24. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, т. 1, М., «Наука», 1987, с. 432.

25. Хинчин А. Я. Великая теорема Ферма, М., Госиздат, 1927, с. 76.

26. Фадеев Д. К. Лекции по алгебре., М., «Наука», 1984, с.416.

27. Янпольский А. Р. Гиперболические функции, ФИЗМАТГИЗ, 1960, с.196.