Текст книги "Возврат к Пифагору"

Поскольку все рассмотренные объекты есть числа, то векторы могут служить простейшими моделями этих объектов – чисел. Не скаляры и не сумма вектора и скаляра, а именно, только, векторы. Итак, можно больше не говорить о «вещах» или о «все», а говорить только о числах. Но, говоря о числах, мы будем думать, о чем не говорим так же, как Пифагор и его школа. Как бы мы не абстрагировали наши математические исследования и результаты, получаемые с помощью моделей чисел, у нас всегда будет естественное желание найти их связь с природой. Определение модели числа оказалось очень простым: Простейшей математической моделью числа называется вектор (направленный отрезок).

Мы устраним логическую ошибку, если станем модели любых чисел изображать не точками и не длинами отрезков, а векторами. Противоречие, о котором говорилось выше, пропадет. Мы убедились, что понятия число, теория чисел и т. д. более общие, чем понятие математика, оперирующая только моделями чисел. Для большинства читателей этот вывод может показаться противоестественным. Все вышеизложенное и последующее является совершенно неожиданным и отталкивающим. Склонность людей сохранять состояние, в котором они находятся, всегда вступало в противодействие любому новшеству, каким бы прогрессивным оно ни было.

Для определения числа воспользуемся пифагорейской формулировкой «вещи – суть числа». Из этого определения следует, что число не является математическим объектом, владельцами которого являются математики. Математики должны построить модель числа (вещи) и с нею работать. Очевидно, что именно это и имели в виду Пифагор и его школа. Здесь нет никакой мистики. Математика нам нужна для изучения и познания природы, объектами которой являемся и мы. Изучать вещи (числа) у себя, в тетради или за компьютером, мы можем только с помощью моделей этих вещей (чисел).

В глубокой древности, разумеется, люди не думали о моделях, но они пользовались ими неосознанно. Информацию об этом можно найти во многих источниках: учебниках арифметики или в книгах по истории математики. Например, в учебнике А. Глаголева: «Необходимость отличать между собою и считать одинаковые предметы должна была рано развиться у людей. Появление представления об одном предмете в связи с множеством других таких же предметов послужило зародышем представления о «числе» «один».

Развитие счисления и началось, вероятно, с системы, составленной из двух этих представлений – один и неопределенное множество. С течением времени из второй группы выделилось «число» «два», и, для целей счета, стало существовать три представления: один, два и много…

Таким же образом из представления «много» выделились новые представления: три, четыре, причем средствами выражения этих понятий, вероятно, служила мимика; поднятие двух рук означало «число» два; указание на руки и одну ногу – «число» три. Для целей счета человек мог воспользоваться пальцами на руках, и тогда же из представления «много» могло выделиться представление о новом «числе» – «пять».

Употребление пальцев другой руки для целей счета дало возможность выделить новые элементы: шесть, семь, восемь, девять и десять. Пальцы на ногах могли повести к дальнейшему представлению «чисел» до двадцати включительно…

Нужно предполагать, что эти немногие числа выражались также мимикой, а не звуками; числа выражаются и теперь у диких народов мимическими пальцами, при чем способ показывать числа пальцами не у всех народов одинаков…

Кроме этого «пальцевого счета», были и другие приемы считать: устанавливали соответствие между считаемыми и другими предметами, всегда находившимися под рукой; напр., считая стадо коров, устанавливали соответствие между коровой и одним камешком, и тогда «числу» коров в стаде соответствовало «число» камешков. Одни и те же камешки могли служить для счета лошадей, деревьев и др. однородных предметов.

Можно также предполагать, что счет производился также нанесением штрихов на палках или костях. Количеству штрихов на палке соответствовало количество определяемых предметов» [13, 5]. Везде слово число мною взято в кавычки, поскольку нашего понимания числа в то время не было. Здесь, скорее всего, лучше подходит термин количество.

Итак, камешки, пальцы – модели пересчитываемых однородных предметов, безразлично каких и, одновременно, они же модели чисел. Модели эти неосознанные. И это неосознанно до сих пор. Это предполагали, скорее всего, пифагорейцы, но держали это в секрете. Неспособность понять и объяснить пифагорейское определение числа, побуждает потомков обвинить ученого Пифагора и его школу в мистицизме. Древние философы считали непростительной ошибку, когда имя называли другим именем. Модель числа и число – это два разных понятия. Число не может быть моделью самого себя. Так, например, если камешки были моделями каких-то однородных пересчитываемых объектов, то сами эти объекты могли только подразумеваться. Каждый из нас не может быть моделью самого себя. Тоже можно сказать о любом природном объекте.

Назвав или подразумевая под моделью числа число, мы подвели солидную теоретическую базу под это понятие, потеряв, однако, определение числа. Пифагора же, давшего правильное определение числа, записали в мистики. Теперь вспомним о «помещенной единице», которая изображалась точкой. Этот факт отмечают все историки, занимавшиеся работами Пифагора. Тут никак нельзя не заметить связь с понятием абстрактной модели числа. Тем не менее ее упорно не замечают. Как видим, от определения числа зависит весьма существенный факт, которым математики зачастую пренебрегают, делая бездоказательные утверждения. Модели чисел представляют собой неупорядоченное множество. Но упорядочить можно модули моделей чисел или длины векторов. Между величинами вполне уместны операции сравнения. Однако величины не могут быть числами или порождать их. Теперь необходимо рассматривать два множества: 1) множество моделей чисел; и 2) множество модулей этих моделей. Первое множество всегда неупорядоченное, в то время, как второе всегда будет упорядоченным. Первое множество может порождать второе. Обратное – не имеет места.

Приняв определение (не понятие) числа, данное Пифагором, ибо только оно является правильным и объективным, в дальнейшем изложении будем его придерживаться. Это не означает, что нам надо распрощаться с нашей математикой. Это означает переосмысление понятия числа, которое теперь имеет точное определение. В соответствии с этим определением, претерпит изменение терминология. Например «комплексные числа» будем называть второй двумерной моделью чисел.

Глава 2. О теореме Фробениуса

Арифметическое значение корня. Где, кем и когда введено это понятие – тайна за семью замками. Как известно (см., например Арнольд И. В. «Теоретическая арифметика»), для операций сложения и умножения определены обратные однозначные операции – вычитания и деления. Операция вычитания стала выполнимой за счет введения «чисел», противоположных положительным «числам», а деления – за счет введения рациональных «чисел» – т. е. за счет обобщения понятия «числа». Но попытки определить операцию извлечения корня, как обратную к возвышению в степень, оказались неудачными. Одна из причин этого, конечно, неоднозначность. Действительно, разложение алгебраического выражения на два множителя – уже неоднозначная операция. Как известно, критерием любой теории является практика. Операции сложения и вычитания подтверждены в истории практической деятельностью человека. Элементы, участвующие в этих операциях, и их результат принадлежат одному и тому же множеству. Теоретически в учебниках доказывается, что и операция произведения обладает таким же свойством. Однако практического подтверждения этого нет. История в этом вопросе, напротив, утверждает, что результат операции может не принадлежать этому множеству. При умножении на веревочках результатом будут узелки (не веревочки), а при умножении на палочках – точки пересечении палочек (но не палочки). Но если это так, то разложение алгебраического выражения на множители мы проводим зачастую неверно, ибо превратить узелки в веревочки или точки в палочки – невозможно.

При разложении алгебраического выражения на множители сомножители могут быть из другого множества. В этом не трудно убедиться из соотношения

a2+b2=(a-ib)(a+ib). (*)

Здесь левая часть – одномерная модель числа, а правая – состоит из произведения двух сопряженных двумерных моделей чисел, с одинаковыми модулями. Выражение a2+b2 мы можем разложить на множители (в области действительных значений) бесчисленным множеством способов, но мы используем только (*). Пример. Пусть a=12 и b=25, тогда a2+b2=169, тогда 169=132, а в области рациональных значений разложение любого значения на два множителя бесконечно, но мы игнорируем эти разложения, раскладывая его в виде 132+52=(13-5i)(13+5i) с помощью второй двумерной модели чисел. Зрительно мы видим только эти два множителя, и это согласуется с теорией. В данном случае буквенные обозначения играют роковую роль. Сумма a2+b2=169 становится безразличной, и все другие разложения игнорируются. Однако надо отметить одно свойство разложения (*). Это свойство заключается в равенстве модулей сомножителей |a-ib|=|a+ib| (в нашем примере =|(13-5i)|=|(13+5i)|=|13 |=13). Тогда, при a2-b2≠0, никто не будет сомневаться в соотношении (a-b)(a+b)=a2-b2, но возникнут сомнения в соотношении

a2-b2=(a-b)(a+b)?

Почему из бесчисленного количества способов разложения левой части на множители мы выбрали именно это? При тех же значениях a и b, мы получаем 132-52=(13-5)(13+5)=8.18. Другие разложения игнорируются. Буквенные обозначения играют ту же роковую роль, что и для суммы квадратов. Здесь опять на нас больше действует эффект зрительного восприятия, чем математическая точность. Два множителя нам видны и мы этим пользуемся. Если здесь левая часть – действительное значение, и множители правой части, модули которых не одинаковы, тоже действительные значения, то налицо полное несоответствие этого разложения и разложения суммы квадратов. Здесь также сказывается предпочтение, отдаваемое нами знаку минус.

Свойство равенства модулей сомножителей, которое имеет место при разложении (*) здесь отсутствует: |a-b|≠|a+b|(|13-5 |≠|13+5 |≠|12 |=12).

Из этих примеров можно сделать следующие выводы:

1) Сумму квадратов и разность квадратов мы разлагаем на множители в разных множествах;

2) Эти разложения осуществляются разными методами;

3) Результаты разложения отличаются качественно;

4) Причинами этого являются наше зрительное восприятие и буквенные обозначения.

Но основной причиной такого несоответствия является понятие арифметического значения корня, которое для комплексных «чисел» совершенно не нужно. Без труда можно проверить, что результат извлечения корня – это уже не «число» из множества рациональных чисел. Убедимся в этом. Положим J2=1, тогда J1, 2=±√1. Число J=√1 обладает двумя свойствами:

1) модуль этого числа равен единице, действительно | J |=|√1 |=1;

2) не являясь знаком, оно стало обладать свойством знака минуса, действительно для четной функции f(x), имеем f(jx)=f(x), для нечетной f(j x) = j f(x), следовательно, J ≠ 1, так как не является количеством.

Однако по определению арифметического значения корня мы полагаем J=√1=1, игнорируя второе свойство. Таким образом, правильным будет соотношение

a2 – b2=(a-jb)(a+jb).(**)

Это соотношение полностью согласуется с первым: слева может стоять действительное значение, а справа – сопряженные множители с одинаковыми модулями |a-jb|=|a+jb| (в нашем примере |12-5j|=|12+5j|=|12 |=12) первой двумерной модели, (определение будет дано ниже). Это не означает, что понятие арифметического значения корня можно проигнорировать. Нет, оно должно применяться после ликвидации двузначности с помощью введенных единиц «i» и «j».

Таким образом, на лицо два равноправных разложения разности квадратов двух чисел? Какое из них справедливо? Как ни странно – оба, что доказывается одним и тем же способом. Однако, если с разностью квадратов раскладывать точно также, как мы раскладываем сумму квадратов, то нет никаких сомнений, что мы должны принять соотношение (**). Только в этом случае разложения в рассмотренных примерах будут равноправными.

Различие разложений том, что сомножители принадлежат разным множествам. Но, если первое множество нам знакомо, то второе множество, согласно теореме Фробениуса, должно быть следствием уже существующих множеств. Однако нет никакого смысла рассматривать гиперкомплексные «числа», являющихся, согласно Арнольда обобщением кватернионов, поскольку при специальном выборе «чисел» – коэффициентов от которых «зависит тот или иной закон умножения … мы придем … к алгебре обыкновенных комплексных «чисел». Можно, также, подобрать эти числа «для числовой системы кватернионов» [5, 388]. Дальнейшее обобщение понятия «числа» было остановлено теоремой Фробениуса: «невозможно построить при n>2 линейную, ассоциативную и коммутативную алгебру гиперкомплексных чисел так, чтобы операция деления на число, отличное от нуля, была всегда однозначна и выполнима» [5, 394].

Таким образом, математикам и всему человечеству (народ слушает математиков), оставили возможность работать или считать только с помощью действительных значений (n=1), комплексных моделей чисел (n=2) и кватернионов (n=4), с дыркой (n=3). Человечество, живущее в трехмерном пространстве, не имеет трехмерной модели числа! За созданный тупик в обобщении «числа» Фробениус вошел в число знаменитых математиков. Далее будет показано, что существует еще одно множество двумерных моделей чисел, отличных от множества второй двумерной модели чисел. А единица j существует независимо от имеющихся единиц «1» и i, следовательно, на базе этих единиц можно создать трехмерную модель числа, т. е. теорема Фробениуса неверна.

Здесь наблюдается полное игнорирование истории развития счета. Она на практике показала, что систем счета было много и все они развивались независимо друг от друга. Никакой теории тогда не было. По сути, теорема Фробениуса утверждает, что такого в истории не было и не могло быть. Правда, история счета обходилась без нуля. С другой стороны, теорема нашла область ограниченности математики. Может ли быть такое? Как ни странно, эта теорема принята на вооружение и теоретические поиски таких систем прекращены.

Глава 3. Определение гиперболических функций

Аналог формулы Эйлера. С введением единицы j корни из положительного и отрицательного числа становятся равноправными. Определение их можно дать общей формулой:

Оба значения равноправны и отражают совершенно одинаковый подход к знакам «+» и «—». Будем считать эту единицу пропущенной по ошибке. После обычной количественной единицы она должна быть второй, а единица i – третьей. Все единицы равноправны, но каждая следующая поглощает (при операции умножения) все предыдущие. Для новой единицы, по определению, имеют место соотношения:

Учитывая это, заменим в ряде

переменную x на jx, получим

Определим равенством функцию

и назовем ее гиперболическим косинусом, а функцию

назовем гиперболическим синусом. В этих обозначениях соотношение (2) можно переписать в виде

Формула (5) является аналогом замечательной формулы Эйлера.

Основное тождество для гиперболических функций. Аналогично, заменив в формуле (1) переменную x на – jx, получим еще одну формулу

Из соотношений (5) и (6) найдем выражения этих функций через показательные:

Формулы (5) и (6) являются аналогами формул Эйлера для тригонометрических функций и отсутствуют в учебниках для гиперболических функций. Формула (8) совпадает с имеющимися в учебниках, формула (7) отличается на множитель у двойки в знаменателе. Можно этот множитель выкинуть. Тогда настоящее исследование не будет иметь какойлибо ценности. Можно обойтись без новых соотношений и ограничиться имеющимися. Провести упрощение в ущерб точности? Однако объем ущерба от этой неточности будет оценен еще не скоро. Возможно, ожидать серьезную дискуссию о праве существования пропущенной единицы (см. Научный форум dxdy). Из соотношений (7) и (8) получим:

или

– основное тождество для гиперболических функций, являющегося аналогом известного основного тождества

для тригонометрических функций.

Определение других гиперболических функций. По аналогии с тригонометрическими функциями определим другие: гиперболические тангенс, котангенс, секанс и косеканс:

Эти определения частично совпадают с имеющимися в учебной литературе, но в большинстве случаев отличаются на множитель «j.

Во всех формулах подразумевается арифметическое значение корня.

Формулы суммы аргументов. Пользуясь определением основных гиперболических функций и новой единицы, найдем:

аналогично получим

Формулы двойного аргумента. Для получения этих формул достаточно в полученных формулах положить y=x:

Формулы половинного аргумента. Заменяя в этих формулах x на x/2, получим:

при арифметическом значении корней.

Поскольку вывод формул для гиперболических функций ничем не отличается от вывода аналогичных формул для тригонометрических функций, приведем готовые результаты. Кроме того, все эти формулы и их вывод можно найти в руководствах для гиперболических функций, например [27].

Формулы суммы и разностей одноименных функций. Или переход от суммы к произведению.

Формулы перехода от произведения к сумме.

Аналогично можно выписать все формулы для обратных гиперболических функций.

Глава 4. Первая двумерная модель чисел

Свойство основного соотношения. Из него, прежде всего, следует, что всегда

что позволяет без нарушения свойств второй двумерной модели чисел ввести первую двумерную модель чисел. Нарушение условия (21) привело бы к неоднозначности операции умножения и невыполнимости деления.

Определение гиперболической и показательной формы первой двумерной модели чисел. Определение. Гиперболической формой первой двумерной модели чисел называется выражение вида

Структура его состоит из двух единичных векторов «1» и «j» с коэффициентом у первого вектора ρchx, а у второго – ρshx, ρ – модуль двумерной модели числа. Из формулы Эйлера (5) и соотношения (22) определяем показательную форму первой двумерной модели числа:

Операции над первыми двумерными моделями чисел числами. Для двух двумерных моделей чисел

определены их равенство, сопряженность, операции сложения, вычитания, умножения, деления, возвышения в степень и извлечения корня. Модели чисел z1 и z2 равны тогда и только тогда, когда у них равны отдельно модули и аргументы:

Сложение и вычитание определяются по правилам:

где

т. е. складываются отдельно части при соответствующих единичных векторах, причем a ≠ ±b, а сама модель числа теряет гиперболическую форму. Операция умножения определяется по правилу

т. е. при умножении двух моделей чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, причем гиперболическая форма модели числа сохраняется. Для возведения в степень, воспользуемся формулами (5), (22) и (23), при z1 = z2:

Для получения формулы извлечения корня nтой степени убедимся в периодичности гиперболических функций и определим этот период. Для этого воспользуемся показательной формой модели числа (5). Имеем

Но из известного соотношения формулы Эйлера, имеем

Сравнивая с предыдущим, получаем, что T=2kπij=2kπi. При k=1 получаем наименьший по модулю период T=2πi. Здесь использовано поглотительное свойство единицы второй двумерной модели: ij=ji=i.

Допустим, что

Возводя обе части равенства в степень n, получим

Используя определение равенства первой двумерной модели чисел, получим

Подставляя найденные значения в соотношение (25), получим формулу извлечения корня nтой степени из первой двумерной модели числа

Здесь

K=0, 1, …, n. (26)

Из этой формулы получаются n различных значений корня из модели числа, заданного в гиперболической форме.

Алгебраическая форма гиперболических моделей чисел. Большинство авторов введение комплексных «чисел» объясняют необходимостью решения уравнения

x2+1=0, (27)

решение которого имеет вид, которое после введения комплексных чисел мы стали записывать в виде (i, i). Ни у кого не вызывает сомнения, что уравнение

x2–1=0 (28)

имеет решение, которое мы, используя определение арифметического значения корня, записываем в виде (1;+1). Известно, что в реальном мире все обладает симметрией. Числа, о которых выше шла речь и их модели, обладают симметрией. Если гдето будет обнаружена несимметричность, то это сразу вызывает исследование причин этого явления. Уравнения (27) и (28) равноправны. Если для первого уравнения мы ввели обозначение

то, почему для второго уравнения не ввести аналогичные обозначения

Попытки таких исследований были. Так, например, Стройк дает следующую информацию: «Вильям Кингдон Клиффорд … был одним из первых англичан, понявших Римана и разделявших его глубокий интерес к происхождению наших пространственных представлений. Клиффорд разрабатывал геометрию движения, и для этих исследований он обобщил кватернионы Гамильтона, построив так называемые бикватернионы …. Это были кватернионы с коэффициентами, взятыми из системы комплексных чисел, где может быть +1, 1 или 0» [15, 241].

Нас интересует именно первое обозначение, поскольку в этом случае оно совпадает с обозначением (30). Почему же на это обозначение, умершего в расцвете своей научной деятельности молодого математика не обратили внимания? Здесь произошло почти то же самое, что и с ситуацией обобщения понятия «числа». Там, на пути этих исследований, стала теорема Фробениуса. Здесь не стали разбираться с этим предложением, потому что на пути стоит определение арифметического значения корня. Оба эти определения сыграли как положительную, так и отрицательную роль.

Для векторов вида мы никаких обозначений не вводили. Если бы не существовало определения арифметического значения корня, мы не смогли бы эти два вектора изобразить в комплексной плоскости – их там нет. Используя же это определение, мы пишем =, выкидывая корень, как не нужную шапку. В этом случае будет наблюдаться полное неравноправие векторов (–1). и.1. При извлечении корня из первого вектора мы получаем вектор, перпендикулярный данному вектору. При извлечении корня из второго вектора мы получаем вектор, совпадающий с ним или противоположный ему по направлению.

Определение. Алгебраическойформой модели гиперболического числа называется выражение

Где x, y – действительные модели чисел и x ≠ ±y, w=x+jz=x+zj, можно также считать, что x, z – коэффициенты, при соответствующих единичных векторах «1» и «j»; при этом для двух двумерных моделей чисел w1= x1+jz1 и w2=x2+jz2 введены понятия равенства и арифметические операции по следующим правилам:

Из 1) и 3) следует, что j2=1.

Таким образом, введенные операции сложения и умножения обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.

Переход от алгебраической формы к гиперболической. Используем определение равенства двух гиперболических чисел. Пусть выполняется соотношение

Тогда, должно быть

и, с учетом основного соотношения, получаем формулы перехода:

Аргумент и значение. В силу поглотительного свойства единицы «i», единица «j» не изменяет вида имеющихся формул

Потому аналогичные формулы пособия [1] не приводим. Из этих формул видно, что гиперболические функции дают те же самые значения, что и тригонометрические, но от мнимого аргумента. Например, если cos(π/3)=1/2 то и ch(i π/3)= 1/2.