Текст книги "Возврат к Пифагору"

«А вы, друзья, как не садитесь, но в музыканты не годитесь!» – сказал дедушка Крылов британским учёным: – ))

23 ноября 2015 в 18: 00 #

Yarkin Nazirov

Но любая модель – это не есть сама «вещь», так ведь?

В частном случае может. Модели бывают материальные и абстрактные. Математикам нужны абстрактные модели (пальцы, камешки…., счеты – пройденный этап). Как раз то, что математики назвали действительными числами, есть не что иное, как одномерные модели чисел. Это их основная ошибка, убрав которую, они снимут петлю с шеи математики.

24 ноября 2015 в 17: 19 #

Валерий Петров

Для арифметики достаточно и «одномерных» моделей (палочек). А трёхмерную модель показать «в натуре» на плоском чертеже не так уж и просто. Математически Перельман как раз и ДОКАЗАЛ, что такой универсальной моделью трёхмерного множества (какого-то числа) является именно трёхмерная СФЕРА.

Но Гриша рисовать трёхмерные модели не стал, потому что математики его и так ПОНЯЛИ (абстрактно).

В действительном мире все тела (вещи) имеют в пространстве трёхмерное измерение. А в геометрии, например, одномерным измерением можно считать отрезок прямой, двухмерным – определённую площадь или квадрат, а трёхмерным – куб. Нулевым измерением измерить ничего нельзя (нуля нет), а точку можно обозначить как координату пересечения двух прямых.

Тогда давайте попробуем «смоделировать» точку – как материальный объект. У меня получился некий шар, не имеющий определённого размера (нулемерный?). А Перельман доказал, что ВСЕ материальные «точки» – тоже трёхмерны (вещественны).

Тогда, чтобы смоделировать трёхмерную сферу, я беру футбольный мячик и делаю его (мысленно – абстрактно) из плоских многоугольников, а точки пересечений граней изображаю (моделирую) трёхмерными шариками. Если каждый из таких шариков назвать единицей измерения, то количество этих шариков можно назвать ЧИСЛОМ, то есть посчитать – СКОЛЬКО именно таких единичек содержится в данной сфере. Но и всю эту сферу (футбольный мячик) можно принять за единицу и аналогично составить трёхмерную сферу из таких единиц, а полученное трёхмерное множество назвать ЧИСЛОМ, если точно знаем, СКОЛЬКО таких СФЕР (мячиков) содержится в этой БОЛЬШОЙ СФЕРЕ.

А куда в таком случае делся НОЛЬ? А его там и не было! За нулевое измерение можно принять «пустоту», которая на моей модели показана цветом (белым, оранжевым и зелёным). Но без этой «пустоты» мы бы не увидели на модели никаких «шариков» – трёхмерных сфер!»

Из приведенных отрывков дискуссий этих конференций видно, что большинство ее участников не могут определить ни роли атрибутов счета в истории, ни понятия числа. Можно предположить, что они отражают фактическое положение об этих и других понятиях (о которых речь будет идти далее) во всей математике. Если эта работа поможет стереть что-то непознанное или убедит заняться исследованием поднятых мною вопросов, буду считать свою цель достигнутой.

Вещи – суть числа.

Пифагор

Глава 1. Из истории древнего счета

Умножение на пальцах. См. http: //utiputi.com.ua/view_articles.php? id=802.

Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета «единицами», «парами», «тройками», «четверками», «пятерками» и «десятками». Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством.

Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались.

Например, умножим 7 на 8. В рассмотренном примере будет загнуто 2 и 3 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев (2+3=5) и перемножить количества не загнутых (23=6), то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения 56. Так можно вычислять произведение любых однозначных чисел, больше 5.

Умножение на 9. Умножение для числа 9–9·1, 9·2 … 9·10 – легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится «на пальцах».

Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке).

Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа – количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа – 4 пальца. Таким образом, 9·6=54. Ниже на рисунке детально показан весь принцип «вычисления».

Еще пример: нужно вычислить 9·8=?. По ходу дела скажем, что в качестве «счетной машинки» не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа – 2 клеточки. Значит 9·8=72. Все очень просто. Здесь не использовано определение умножения как операции сложения: «взято m предметов по n раз».

Умножение на палочках. Из приведенной ниже иллюстрации, совершенно понятно, как в Японии учили умножать на палочках см. http: //kantemirov-r.livejournal.com/178217.html. Красная и зеленая палочки – десятки, черные палочки – единицы. Пересечение красной и зеленой – одно (сотня), количество других пересечений разноцветных палочек – пять (десятков), количество пересечений одноцветных палочек – шесть (единиц). Здесь также не использовано определение умножения как операции сложения: «взято m предметов по n раз».

Атрибуты счета. Самым подручным атрибутом счета, очевидно являются пальцы рук и ног. Они всегда с человеком. Нас здесь не интересует методика счета, в каком порядке использовались пальцы рук и ног, а также наименования количеств. Отметим, что при счете на пальцах было безразлично, какой палец был отмечен за данную вещь. Все пальцы считались одинаковыми. Их унификация и различие стали появляться при возникновении арифметических действий. До этого пальцы играли роль счетного материала, созданного самой природой. Этот счетный материал, из-за его ограниченности, успешно мог быть заменен камешками, не обязательно, одинаковыми. Важно, чтобы их количество могло бы соответствовать количеству пересчитываемых вещей. При этом камешек являлся моделью какой-либо пересчитываемой вещи: барана, дома, человека и т. д. Более цивилизованным счетным материалом были палочки (первоклашки использую их и сейчас). У некоторых народностей использовались веревочки.

Камешки, палочки и веревочки отличались от пальцев тем, что это были неодушевленные атрибуты счета. Их, в отличие от пальцев, можно было передавать от одного пользователя к другому. В тоже время пальцы, камешки, палочки и веревочки были материальными атрибутами счета или являлись простейшими материальными моделями пересчитываемых вещей. До наших дней сохранились пальцы, счеты и четки. Простой эксперимент пересчета присутствующих с помощью пальцев провести можно. Поскольку пальцы принимаются за присутствующих, то этим и доказывается, что пальцы являются простейшими моделями присутствующих.

Следует отметить, что называя атрибуты счета моделями вещей, мы отходим от её математического определения. Атрибуты счета совершенно не отражали ни свойств пересчитываемых объектов, ни их соразмерность. Эти объекты подразумевались. Одни и те же атрибуты счета могли использоваться для счета совершенно различных предметов. Следовательно, одни и те же атрибуты счета могли быть их моделями.

Засечки и черточки успешно пришли на замену материальных атрибутов счета. Каждая черточка могла изображать какую-нибудь вещь. Черточка явилась первой простейшей абстрактной моделью какой-либо вещи, не являясь ни ее подобием, ни ее изображением. В дальнейшем черточки трансформировались в буквы и другие изображения, однако их суть не могла измениться. Итак, понятие, которое существовало в древности (неосознанно), прошло через все эпохи и существует сейчас – это понятие простейшей модели данной вещи, к великому сожалению, неосознанному до сих пор. Удивительно, что во всей использованной литературе ни один из авторов не говорит о таком понятии, как математическая модель. Но, уже сейчас, с пятого класса, школьников учат понятию математической модели. Однако авторы, строя математическую модель решения задачи, не осознают, что ее можно построить только из элементов модели, являющихся моделями вещей. Сейчас построение моделей решения задач соответствуют строительству дома без строительных материалов.

Еще один, очень важный вывод по атрибутам счета: они все были самостоятельны и не переходили из одного вида в другой. Палочки оставались палочками, пальцы – пальцами и т. д. Ни один из видов атрибутов счета не являлся обобщением какого-либо другого вида. Атрибуты счета с течением времени упрощались. Пальцы с нами, их не выкинешь. Их и сейчас мы используем при обучении счету своих детей. Но камешки, палочки, веревочки и счеты мы с собой не таскаем. Необходимость в этих атрибутах отпала. Мы должны осознать, во что с течением времени они трансформировались.

Называя материальные атрибуты счета простейшими моделями вещей, засечки, черточки, иероглифы можно назвать простейшими абстрактными моделями вещей. Они давали возможность проводить расчеты без присутствия самих вещей. Почему «простейшие»? Если камешки, палочки, веревочки – простейшие материальные модели вещей, скрывающих объект, который они моделируют, то скульптура представляет сложную модель, по которой можно определить оригинал объекта. Использовать вместо барана палец или камешек проще, чем, например, чучело самого барана. Одна черточка проще, чем изображение самой вещи. Кроме того, любую модель можно усложнять бесконечно. Основная задача математики заключается в создании абстрактных моделей вещей и моделирование процессов их взаимодействия. Этим с момента возникновения счета и занимались, правда, неосознанно и только с первой частью задачи. Этим занимаются и сейчас, но только со второй частью задачи, считая, что первая ее часть решена. К этому мы пришли из-за принятого неправильного понятия числа. Поскольку с момента принятия этого понятия прошло более 300 лет, то математика и отстает в своем развитии от других наук на это время. Она потеряла абстрактный строительный материал, из которого можно строить модели решения задач.

Определение или понятие числа? Это наиболее глубокое расхождение в толковании числа в древности и в современной математике. Если бы в этом вопросе все было бы ясно, никаких проблем с доказательством Великой теоремы Ферма не было бы. В современной математике мы пользуемся первичными понятиями числа и множества. В отличие от первичных понятий геометрии, которые наш рассудок может представить, эти понятия никакого геометрического образа не несут и в природе не встречаются. Не пришли они к нам и из древней математики или из практического опыта. Поэтому включение числа и множества в первичные понятия весьма спорно.

Пифагор дал простое определение числа фразой «Вещи суть – числа». Историки и математики связывают это определение обычно с мистикой Пифагора, который якобы связывал каждое число с определенной вещью. Но его ученик Филолай дал определение числа фразой «Все есть число». Его в мистицизме никто не обвиняет. Филолай не столь знаменит, как Пифагор, и его можно игнорировать. Но, будучи учеником Пифагора, Филолай дал определение на основе его учения, добавив свое мировоззрение. Называть Пифагора и его учеников мистиками неразумно. Но одного Пифагора – запросто. Но как мистик мог готовить не мистиков? Следовательно, никакой мистики в его определении нет, и он вещь не связывал с определенным числом, а все вещи считал числами. Именно такое объяснение подтверждается Библией (глава «Числа»), а также «числами» и «числовиками», существовавшими при монгольском иге.

В современной школе определение числа не дается, оно принимается на понятийном уровне. Изучаются с начала единицы, потом десятки и т. д. Определяются цифры и с их помощью изображения «чисел». Но, как мы установили выше, любое изображение – это не что иное, как абстрактная модель какой-либо вещи. Следовательно, это новый вид атрибутов счета, в которые с течением времени трансформировались пальцы, камешки и палочки. Показывая дошкольнику на руках, например, семь пальцев, спрашиваем – это сколько? Получаем ответ – семь. Не семь пальцев, а «семь». Таким образом, еще до школы, а затем и в школе мы изображение числа (вещи) прочно принимаем за число. Это все равно, что куклу считать человеком, свою фотографию – собой, а себя – Богом.

В математической энциклопедии [1, т.5, с.873] говориться, что «ЧИСЛО – основное понятие математики, сложившееся в ходе длительного исторического развития. Возникновение и формирование этого понятия происходило вместе с зарождением и развитием математики. Практическая деятельность человека, с одной стороны, и внутренние потребности математики – с другой определили развитие понятия числа». Это вся информация о числе, ибо дальше даются определения числа натурального, целого, рационального и т. д. Этой информации абсолютно недостаточно, и она порождает многочисленные вопросы, ответы на которые в имеющейся литературе о числе найти невозможно.

Если проанализировать фразу «в ходе длительного исторического развития», то придем к выводу, что это не совсем так. Она вполне соответствует периоду от первобытнообщинного строя до нашей эпохи. Период же нашей эпохи и особенно ее завершающая часть (200–300 лет), когда математики заверили мир, что они знают, что такое число, является ничтожно малым, по сравнению с первым. Именно в этот период математика развивалась бурно и скачкообразно, когда отдельный математик (без всякого умысла) мог проигнорировать историю и изменить направление развития понятия числа по своему субъективному мышлению. Поэтому, упомянутую фразу относить к периоду нашей эпохи нельзя, ибо нельзя считать, что на нем достаточно отразилась «практическая деятельность человека».

В этом же издании [2, т.3, с.560] читаем, что «МАТЕМАТИКА – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира». Следовательно, «основное понятие математики» должно отражать «количественные и пространственные формы» нашего реального мира. Какую же пространственную форму действительного мира или количественное отношение отражает существующее понятие числа? Этот вопрос правилен по той простой причине, что математика и понятие числа не могли развиваться в отрыве друг от друга. Что мы можем сказать об этом для конкретного числа a? – ничего, пока нам не известно о каком виде числа идет речь. Каким образом «основное понятие математики» отражает «пространственные формы и количественные отношения»? Можно ли количественные отношения описывать с помощью чисел, а числа количеством? Правильно ли мы употребляем термины: число, величина, модуль, арифметическое значение, корень и решение уравнения и т. д.?

В громадной математической литературе мы не встретим разъяснения связей между этими терминами, хотя определение каждого термина найти нетрудно. Рассматривая эти определения в совокупности, нетрудно убедиться в существовании различного рода их несоответствий. Так, например, в учебнике Никольского и др. говориться, что «… формализм арифметики необходим для практики вычислений. Конечно, должна быть ещё и общая идея. Такой идеей является формирование понятия числа как длины отрезка, а ещё точнее – как координаты произвольной точки прямой» [3, 8]. Здесь авторы, только что рассуждавшие о логике, тут же её нарушают, ибо длина и координата совершенно разные понятия. Одно из них имеет размерность, а другое – нет. Сформировать такое понятие числа невозможно, хотя авторы считают, что они его осуществили. Решение увязать понятие числа с простейшими пространственными формами – точкой или длиной отрезка – приближает его к определению математики, приведенному выше. Однако общего понятия числа в учебнике так и не дается.

Более тесную увязку определения математики и понятия числа, а, следовательно, связи его с природой, мы встретим у Кольмана. Он отвёл формированию понятия числа первую ступень абстракции, по времени совпадающую с зарождением самой математики, и эту ступень он делит на две: «Самый процесс счета первоначально состоит из пересчитывания…, возникает сначала понятие п о р я д к о в о г о числа.… Лишь на значительно высшей ступени развития число отделяется от этого порядкового содержания, выступая как количественное число. Это происходит лишь тогда, когда укрепляется убеждение, что количество не зависит от порядка счета. Нужно, однако, отметить, что существует и другой взгляд, согласно которому количественное число исторически и логически предшествует числу порядковому» [4, 12].

Действительно, так например, Арнольд дает построение натурального числа, сперва как количественного, а потом, как порядкового и считает, что «В теории конечных натуральных чисел имеется… полный параллелизм между формальными свойствами системы конечных количественных чисел (§ 15), достаточных для определения класса каждого множества, и только что (§ 20) построенной системой конечных порядковых чисел, достаточных для определения (путем нумерации) порядкового места элемента во всяком конечном упорядоченном множестве» [5, 71].

Такой же подход и у Брадиса [6]. Получается, что Кольман сам признается в нелогическом подходе в этом вопросе. Ведь порядок – это не величина и не пространственная форма, а количество не может существовать без пространства. Где же истина?

Описание отражения числами объектов реального мира в этой литературе встретить маловероятно. Но оно всё-таки есть! Так Цейтен пишет: «Известно, что Пифагор видел в числе принцип всего сущего и говорил: вещи суть числа» [7, 54]. Далее идет собственное мнение автора об этом высказывании Пифагора: «Так как слово «число» означало у греков целые числа …, то афоризм этот … вполне гармонировал с … исследованиями пифагорейцев по теории целых чисел, а также с мистическим значением, которое они придавали некоторым численным отношениям. Сами по себе слова эти означают просто, что всё доступно числовому определению, и так как речь здесь могла идти лишь о величине вещей, то они означают, что величины эти могут быть выражены числами. Это, действительно, относится к соизмеримым величинам, если взять достаточно малую единицу меры. Таким образом, в приведенном изречении не было бы ничего загадочного, если бы именно пифагорейцы не открыли, что величины одной и той же природы не всегда бывают соизмеримы и что, следовательно, понимаемое буквально изречение это ложно.

Отсюда не следует, однако, что данное нами объяснение, – которое одно только соответствует греческому употреблению слова число – является ошибочным. Возможно, что цитированное выше пифагорейское изречение древнее открытия несоизмеримых количеств; возможно даже, что попытки доказать его правильность привели к открытию этих количеств. Философскую формулу, с которой связан целый комплекс различных соображений, не отбрасывают так легко даже тогда, когда убедились в ошибочности её первоначального смысла; смысл этот пытаются видоизменить так, чтобы им можно было пользоваться и в дальнейшем, и возможно, что пифагорейцы сделали попытки такого рода» (там же с. 54–55).

Такие рассуждения и выводы, которые Цейтен поместил в разделе «Бесконечное», хотя, как он признаёт, нет никаких поводов, утверждать, что в школе Пифагора вещи определялись бесконечно малыми величинами. Аналогично обстоит дело с его утверждением о том, что в этом афоризме речь идет о возможности выражать величины вещей числами. Если бы это было так, то они бы говорили: вещи – суть величины. Но этого у Пифагора нет, а потому выражать величины вещей числами (т. е. вещами же) они не могли.

Но у Цейтена нет никаких поводов утверждать и то, что пифагорейцы занимались теорией целых чисел, ибо это не вяжется с тем, что они в каждой вещи видели число. Возьмем камни. По Пифагору каждый камень – число. Изучение целых чисел – изучение целых камней или целых вещей. Могут ли вещи делиться на целые и не целые? Относительно несоизмеримости величин одной природы, открытой пифагорейцами, следует рассуждать именно с их точки зрения. Тогда мы придем к выводу, что здесь речь не идет о числах, поскольку величина вещи – это не вещь, следовательно – не число.

Обвинение Пифагора и его школы в мистицизме можно встретить и у других математиков. Так, например, Рыбников считает, что «Особенностью школы Пифагора являлось то, что отдельным числам и числовым соотношениям приписывались таинственные магические свойства, а само занятие теорией чисел рассматривалось как удел «избранных» и «посвященных». Числовой мистицизм пифагорейцев, разумеется, имел не естественнонаучное, а социально-политическое происхождение» [8, 27]. Вот такой приговор пифагорейцам зачитывался на лекциях начинающим математикам. Оказывается, научные математические выводы могут иметь «социально-политическое происхождение». А почему «разумеется», автор не объясняет, считая его математическим очевидно.

Никифоровский же утверждает, что «математика и числовая мистика были перемешаны в учении Пифагора. Но позднее пифагорейцы смогли получить в математике значительные результаты» [9, 22]. Как можно перемешать математику и мистику её основного понятия и получить при этом научный успех?

Аналогичной позиции придерживается и Д. Стройк, предлагая свою версию в становлении мистицизма пифагорейцев: «Вероятно, от группы софистов, которые в некоторой степени были связаны с демократическим движением, отмежевалась другая группа философов с математическими интересами, примыкавшая к аристократическим объединениям. Они называли себя пифагорейцами в честь основателя этой школы Пифагора, который, предположительно, был мистиком, ученым и государственным деятелем аристократического толка. Софисты в большинстве подчеркивали реальность изменений, пифагорейцы стремились найти в природе и обществе неизменное… Арифметика пифагорейцев была в высшей степени спекулятивной наукой и имела мало общего с современной ей вычислительной техникой Вавилона. Числа разбивались на классы… Сами фигуры значительно старше; ведь некоторые из них мы находим в неолитической керамике. Пифагорейцы же исследовали их свойства, внесли сюда налет своего числового мистицизма и сделали числа основой своей философии вселенной, пытаясь свести все соотношения к числовым» («все есть число»). Точка была «помещенной единицей». Если проанализировать эту информацию Стройка, то смело можно сказать, что он ошибается, приписывая Пифагору мистицизм. Нет здесь никакого мистицизма. Это чисто научный подход. Почему числа (вещи) не разбивать на классы (или категории) и не исследовать их свойства? Разве мир не основан на соотношениях между вещами (числами)? Поэтому выводы Стройка нельзя отнести к Объективным. В истории неизвестны другие мистики, которые бы прославились на века такими научными достижениями, которыми мы пользуемся до сих пор. Действительно, многие хотели бы быть такими мистиками, если бы они имели те результаты, каких добились пифагорейцы. Правомерно ли наше обвинение в мистицизме школы Пифагора и его самого, ухитрившегося быть ученым, государственным деятелем, философом, организатором и руководителем школы? Скорее всего, это сугубо субъективное суждение, хотя оно встречается у большинства математиков. Мы считаем себя вооруженными знаниями о «числе». Число мы не считаем вещью, а любую вещь – числом, а тех, кто это будет делать, обвиним в мистицизме. Но как могло возникнуть или зародиться знание о числе без связи с природой? Неужели наши древние предки стали сразу мыслить абстрактно? Ведь искать в то время связи между получаемыми математическими результатами с природой и ее явлениями было естественно. Считаем мы не так как в древности. Да и считаем ли? Счет мы полностью доверили калькулятору. Нам не надо напрягать мышление, чтобы что-то подсчитать. Поскольку наши предки такую возможность не имели, то приходиться восхищаться их способностью проводить громоздкие вычисления [17], на которые мы без помощи электроники не способны. Считается, что обоснование понятия числа, в основном, проходила во второй половине XIX века. Согласно Арнольда, «По пути анализа понятия числа удалось установить, что ряд обобщений этого понятия, вызывавших сомнения методологического характера с самого начала своего возникновения, допускает строгое логическое обоснование на основе понятия натурального, т. е. целого положительного числа»[5, 9]. Вот выход! Мы сперва определим один из видов «чисел», а потом с его помощью все остальные. Так и поступили. С этого момента история развития счета отбрасывается.

Все остальные виды чисел, начиная с целых, определяются по индукции, и каждое расширение этого понятия обосновывается необходимостью выполнения действий, которые в прежней системе были невыполнимы. Итак, категория «число», содержащая в себе виды чисел, не имеет определения. За то, в этой категории, все виды чисел определены на основе натуральных, – считающихся в этой категории простейшими, из-за ограниченности, выполнимых в ней, действий.

Попробуйте в какой-нибудь другой категории найти такую зависимость. Например, в категории «человек», содержащей виды: кавказец, монгол, негр и др. – мы никак не сможем определить, например, монгола через кавказца или наоборот. С такими же трудностями мы встретимся в категориях «зверь», «камни», «мебель», «атрибуты счета» и др. Математики могут возразить такому подходу, имея в виду то, что число – понятие абстрактное. Если это так, то оно должно отражать какие-то объекты действительного мира или отношения между ними. Используя это, можно было бы создавать абстрактные модели и с их помощью изучать природные явления. Абстрактная модель не требует никаких затрат. Она продукт нашего мышления. Но эта модель должна отражать конкретные объекты или явления реального мира, иначе в ней нет необходимости, кроме как использовать ее в фантастике. Является ли число или каждый его конкретный вид моделью какого-нибудь объекта реального мира?

Надо иметь в виду, что с момента (вторая половина XIX века) обоснования понятия числа прошло всего два века – срок небольшой, в сравнении со всей историей развития математики. Обоснование понятие числа проведено великими математиками, которые считали, что они знают, что такое число и что существуют их различные виды, введенные для выполнения высших операций. Надо было построить теорию закономерности, на их взгляд, процесса развития и расширения понятия числа. Эта задача и была, не без трудностей, ими выполнена. Но в этом случае этот процесс похож на решение задачи с известным ответом. Более того, никакой задачи не надо решать, а имеющийся ответ (решение), в нашем понимании числа, надо лишь обосновать. Безусловно, математики, которым приписывается заслуга в этой работе, справились с этой задачей успешно. При этом почему-то считается, что они полностью придерживались законов логики. Но, как было показано выше, это не так. Категория «число» и подкатегории «виды чисел», совершенно не равноправны в смысле определения или понятия. Нам надо понять причины, по которым пифагорейцы, занимаясь математическими исследованиями, придерживались определения «все есть число» или «вещи – суть числа».

Рассуждая об исследованиях пифагорейской школы и истории теоремы Пифагора (коротко ТП), Стройк пишет: «Мы уже видели, что эта теорема была известна в Вавилоне времени Хаммураи, но весьма возможно, что первое общее доказательство было получено в школе пифагорейцев.

Наиболее важным, среди приписываемых пифагорейцам открытий, было открытие иррационального в виде несоизмеримых отрезков прямой линии … Это вело к изучению отношения сторон и диагонали квадрата, и было обнаружено, что такое отношение не выражается «числом», то есть тем, что мы теперь называем рациональным числом (целым числом или дробью), а только такие числа допускались пифагорейской арифметикой». Автор взял в кавычки слово число. Именно в нашем понимании, это было число, но не в пифагорейском. Надо отдать должное Стройку за эту правдивость. Большинство же математиков, комментируя исследования пифагорейцев, сообщают о полученных ими результатах, как будто они представляли число так, как его представляем мы, (т. е. модель числа принимаем за число). Для осознания этого, начнем с рассмотрения человека. Среди объяснений происхождения слова человек в этимологическом словаре А. Преображенского можно найти и такое: «чело – соотв. цел. – (целый – здоровый); – век – сила; след., человек значит обладающий полной силою» [14, 61].

Рис. 1. Усложненные и простейшие модели живых чисел: а) человека; б) животного; в) птицы.

Исторически люди возвеличивали и изображали числа – это пирамиды, купола церквей и мечетей, оружие. 12 столетий на территории нескольких государств каждый житель считался числом (см. ту же БСЭ, т. 29, с. 637). Библия в главе «Числа» перечисляет тех, кого ими считали.

Описание чисел на языке математики и их взаимодействия в природе и природных явлениях – это способность разумных существ моделировать природные процессы. При правильном определении числа связь с природой будет осознаваться с самого начала изучения математики.

По Пифагору, человек тоже число, следовательно, это число можно изобразить вертикальным вектором, направленным вверх. Части тела человека – руки, ноги и голову также можно считать числами и изображать в виде векторов. Наконец, пальцы на руках и ногах, выполнявших ранее роль живых моделей, также можно считать числами. Аналогично, любого животного или зверя можно изобразить горизонтальным вектором, направленным от хвоста к голове. Птиц можно изображать векторами, наклоненных к горизонту, примерно в 450. Наконец деревья и растения можно опять-таки изображать вертикальными векторами, но направленными вниз. Все эти вектора могут служить моделями живых существ – чисел. Объекты неживой природы почти совпадают с растительным миром. Сила тяжести любого неживого объекта направлена к земле. Наконец, сама земля с ее осью вращения, движущаяся вокруг солнца, может быть изображена вектором. То же самое можно сказать о солнечной системе, галактиках и других объектов вселенной.