Текст книги "Квантовая случайность. Нелокальность, телепортация и другие квантовые чудеса"

Координация – это не коммуникация

Говоря о нелокальном целом, мы невольно представляем мгновенный обмен информацией. Вспомните реакцию Ньютона на нелокальность в его всеобщей теории тяготения. В самом деле, если приборы Алисы и Боба выигрывают, то это происходит, потому что они координируют свои действия после того, как джойстики наклонены вправо или влево. Но так как они разделены большим расстоянием, эти приборы должны уметь координировать свои действия на расстоянии. Именно это Эйнштейн называл «призрачным действием на расстоянии» – выражение, которое отлично передает отношение мэтра к такого рода вещам! Проблема в том, что сегодня множество экспериментов противоречат интуиции Эйнштейна и подкрепляют квантовую теорию: природа действительно способна согласовывать два разнесенных в пространстве прибора.

Однако согласование, или координация, не означает коммуникацию. Но как же можно согласовать действия без обмена информацией? Мы, человеческие существа, конечно, не способны на такие трюки и с трудом можем вообразить, как это сделать. На самом деле, чтобы обеспечить координацию без коммуникации, приборы должны производить результаты случайно. Чтобы понять это, пойдем от обратного предположения, что приборы производят предопределенные результаты. Можно показать, что это позволит Алисе и Бобу осуществлять коммуникацию без физической передачи. Но мы ведь знаем, что такая коммуникация невозможна (см. справку 5), а потому должны заключить, что любая пара приборов, которая способна победить в игре Белла, не может выдавать предопределенные результаты.

Для лучшего понимания вопроса мы можем представить ситуацию, в которой прибор Алисы всегда выдает a = 0, а Боб выбирает y = 1. Если Боб получает результат b = 0, он знает, что a = b, и может сделать вывод, что Алиса, вероятно, выбрала x = 0. Напротив, если он получает b = 1, он знает, что a ≠ b, и может заключить, что Алиса, вероятно, выбрала x = 1. Действительно, только таким способом они могут получить очко в нашей игре. Справка 7 показывает, что это важное заключение остается верным, каким бы ни было отношение, определяющее результат Алисы как следствие ее выбора.

Из вышесказанного становится понятно, что если прибор Алисы производит результат a заранее определенным образом (следуя одной из четырех программ, рассмотренных выше) и Боб знает об этом, то Боб может сделать вывод, о том какой выбор сделала Алиса, исходя из результата, отображаемого на дисплее его прибора. Следовательно, согласно этой гипотезе, Боб может читать мысли Алисы на расстоянии. Ведь каждый раз, когда они получают очко, Боб может точно отгадать, каким был выбор Алисы. Если они выигрывают в игре Белла, то такой способ коммуникации должен быть вполне обычным.

Такая коммуникация будет практически мгновенной, так как время на передачу информации не зависит от расстояния между Алисой и Бобом. В частности, скорость передачи будет выше скорости света. Скорость света вообще не фигурирует в рассуждении, так как, увеличивая расстояние между Алисой и Бобом, можно превысить любую скорость. Что еще более важно, мы получаем нефизическую форму коммуникации, так как не будет нужно вообще передавать что-либо между приборами Алисы и Боба. А мы знаем, что коммуникация невозможна без передачи информации (см. справку 5).

В итоге если приборы Алисы и Боба могут координироваться на расстоянии, но таким способом, который Алиса и Боб не могут использовать для коммуникации, тогда результат Алисы не может быть произведен детерминистически. Он обязательно рождается случайно, в некотором нелокальном случайном процессе.

Справка 7. Детерминизм предполагал бы коммуникацию без физического переноса. Согласно гипотезе детерминизма, существует отношение, которое определяет результат, производимый каждым прибором, как следствие направления наклона джойстика. Но любое предопределенное отношение между направлением движения джойстика Алисы и ее результатом позволит Бобу узнавать выбор Алисы на расстоянии и, следовательно, получить коммуникацию без передачи информации. А поскольку такая коммуникация невозможна, детерминизм также невозможен. Чтобы убедиться в этом выводе, мы рассмотрим второй пример.

Представим, что, если Алиса наклоняет джойстик влево, ее прибор производит результат a = 0, а если вправо, то результат a = 1. Это соответствует стратегии № 3 из главы 2, то есть a = x. В этом случае если Боб двинет джойстик влево (y = 0), то из показаний своего прибора он может сделать вывод о направлении, в котором двинула свой джойстик Алиса. Если, к примеру, его результат b = 0, Боб понимает, что Алиса, скорее всего, наклонила джойстик влево, потому что только в этом случае они получат очко в игре Белла. В самом деле, при y = 0 мы должны иметь a = b для получения очка. Поэтому, если Боб видит b = 0, он делает вывод, что a = 0, но, так как этот результат возможен в нашем случае, только если x = 0, это значит, что Алиса двинула джойстик влево.

Чтобы убедиться, что это заключение остается верным при любом отношении, которое определяет результат a как следствие выбора x, достаточно заметить, что среди четырех переменных в уравнении a + b = x × y Бобу известны две: его выбор y и результат b. Если помимо этого он знает отношение a = f (x), то Боб может вычислить, какой выбор x сделала Алиса. К примеру, если a = x, тогда отношение a + b = x × y можно выразить так: x + b = x × y – и тогда, если Боб выбирает y = 0, мы имеем x = b, то есть результат, произведенный прибором Боба, равен значению выбора Алисы x.

Отношение, которое определяет результат Алисы как следствие выбора направления движения джойстика, может меняться от минуты к минуте, но в каждую минуту это отношение будет фиксированным, а в действительности – заданным задолго до этого. Если бы это было так, ничто не мешало бы Бобу знать это отношение в каждую отдельную минуту. Но для каждого отношения Боб может с высокой вероятностью угадать направление движения джойстика Алисы, а это, в сущности, то же самое, что читать ее мысли на расстоянии. Это и была бы коммуникация без передачи информации.

Нелокальная случайность

Мы только что увидели, что результаты Алисы и Боба должны возникать случайно, но эта случайность не является независимой в приборах Алисы и Боба, потому что на самом деле в двух приборах происходят одни и те же случайные события. Но это же поразительно! Случайность сама по себе является удивительной концепцией, но здесь одно и то же случайное событие проявляет себя в двух точках, разделенных значительным расстоянием. Это объяснение полностью противоречит здравому смыслу, но оно неизбежно. Если у вас это просто не укладывается в голове, знайте, что множество физиков находились в таком же положении, включая Альберта Эйнштейна, который никогда не верил в возможность победить в игре Белла.

Мы сосредоточим все внимание на «нелокальной случайности» в главе 5, а потом, в главе 6, попробуем объяснить эксперименты, которые дают нам возможность выиграть в игре Белла. В главе 9 мы подробно рассмотрим суть этих экспериментов и проверим, нет ли какой-нибудь лазейки, которая позволила бы нам сохранить понятие локальности.

Но, прежде чем закончить эту главу, вернемся обратно к нашему «объяснению». Я поставил это слово в кавычки, потому что сейчас мы подошли к моменту, когда нужно спросить себя: что мы подразумеваем под объяснением и чего мы требуем от него? Обычно объяснение – это история, которая что-то рассказывает о явлении, которое нужно объяснить. Читатель может возразить, и не без причины, что один лишь разговор о нелокальной случайности с трудом можно признать объяснением. Но вывод тем не менее неизбежен: мы не можем придумать такую историю, которая происходила бы локально в пространстве и беспрерывно во времени и при этом объясняла бы, как победить в игре Белла.

Вспомните современников Ньютона, когда их просили принять «объяснение» о том, что все на свете падает к центру Земли. Это ведь объяснение? И да, и нет. Объяснение через гравитацию имеет то достоинство, что оно происходит в нашем времени (мы падаем) и в нашем пространстве (к Земле), но оно оставляет открытым вопрос о том, откуда наше тело «знает» где находится Земля, особенно если наши глаза закрыты.

Объяснение явлений нелокальной случайностью представляется даже менее убедительным, чем объяснение притяжения свободным падением. Но здесь основная мысль заключается в том, что нельзя сформулировать объяснение, которое основывалось бы исключительно на локальных сущностях. Победа в игре Белла как раз и показывает, что природа нелокальна.

Может быть, лучше оставить все попытки объяснения? Конечно же, нет! Нам просто нужно смириться с тем, что наше толкование включает нелокальные черты, такие как нелокальная случайность – неприводимая, или нередуцируемая, случайность, которая может проявлять себя в нескольких далеких друг от друга местах без переноса от точки к точке в пространстве[20]20
  Я не собираюсь утверждать, что объяснение через нелокальную случайность является полным и окончательным. Однако я сказал бы, что ученые всегда стараются найти объяснения и что любое объяснение этого явления с необходимостью будет нелокальным. Объяснение, которое в конце концов будет принято и войдет в историю, обязательно позволит нам выйти за пределы современной физики и откроет совершенно новую физическую реальность, в которую квантовая физика войдет как приближение. Эта новая физика по-прежнему будет позволять нам побеждать в игре Белла, иначе она противоречила бы полученным экспериментальным результатам. Именно поэтому она тоже будет нелокальной.


[Закрыть]. Нелокальность заставляет нас расширить концептуальный инструментарий, который мы используем для описания механизмов природы.

Чтобы попытаться лучше понять это, представьте себе такую штуку, как нелокальные игральные кости, которые можно «бросить», наклонив любой из двух джойстиков. Этот «нелокальный кубик» производит результат a для Алисы, как только она сдвинула свой джойстик в направлении x, и результат b для Боба, когда он двигает свой джойстик в направлении y. Оба результата a и b случайны, но при этом с гарантией «притягиваются» друг к другу таким образом, что очень часто удовлетворяют цели игры Белла, то есть часто выполняется уравнение a + b = x × y.

Как только мы осознаем, что мир не является детерминистическим и, следовательно, нередуцируемая случайность действительно существует, мы также должны будем принять, что, с одной стороны, эта случайность совсем не обязательно подчиняется тем же законам, что и классические вероятности[21]21
  В классической физике результат любого измерения предопределен. В определенном смысле он записан в физическом состоянии системы, которую мы измеряем. Вероятности вступают в игру только из-за того, что точное физическое состояние нам неизвестно. Это незнание приводит ученых к необходимости использовать статистические методы и вероятностный расчет в соответствии с аксиомами Колмогорова. В квантовой физике результат измерения не предопределен, даже если состояние системы нам хорошо известно. В физическое состоянии системы, которую мы измеряем, записана лишь ее склонность к проявлению того или иного результата. Эта предрасположенность не подчиняется тем же самым правилам и не удовлетворяет аксиомам Колмогорова. Тем не менее следует заметить, что некоторые результаты в квантовой физике предопределены. Структура математической теории квантовой физики (гильбертово пространство) такова, что так называемых чистых состояний, в которых нет места незнанию, набор всех предопределенных результатов однозначным образом характеризует предрасположенность ко всем остальным возможным результатам. В этом смысле предрасположенности квантовой физики являются логическим обобщением классического детерминизма. (N. Gisin: Propensities in a non-deterministic physics, Synthese 89, 287–297, 1991; см. также arXiv: 1401.0419.)


[Закрыть], и, с другой стороны, ничто не запрещает ей одновременно проявляться в нескольких местах в одно и то же время, при условии, что этот эффект нельзя использовать для коммуникации.

Истинная случайность

Мы только что узнали, что есть лишь один способ избежать ситуации, когда победа в игре Белла приводит к возможности коммуникации на запредельных скоростях: прибор Алисы не должен производить результаты каждую минуту как следствие предопределенных отношений, но должен генерировать их истинно случайным образом. Только гипотеза об нередуцируемой случайности может помешать Бобу узнать отношение между выбором Алисы и ее результатом. Если бы не истинная случайность, Боб и все физики мира обнаружили бы это отношение.

Поэтому отбросим идею, что прибор Алисы производит результат локально. Два прибора вместе производят пару результатов глобально, даже если с точки зрения каждого из партнеров их собственный результат кажется случайным.

Понятие истинной случайности заслуживает отдельного внимания. Типичный пример случайного события – это игра «орел или решка» с монеткой или бросание игральных костей. В обоих случаях сложность микроявлений, например удары молекул воздуха по монете или неровность поверхности, на которую бросают кость, не дает возможности предсказать результат на практике. Но эта невозможность не заложена в природе вещей: по сути она является следствием множества незначительных во всех остальных отношениях причин, сочетание которых и формирует конечный результат. Если бы мы смогли отследить детали движения игральной кости с надлежащей точностью и с адекватными средствами расчета, то, имея начальные условия броска, состояние молекул воздуха и поверхности, на которую кость падает, отскакивает и в конце концов останавливается, мы могли бы точно предсказать, какой стороной она упадет. Поэтому это не истинная случайность.

Другой пример покажет это различие еще лучше. Чтобы провести числовое моделирование, инженеры часто используют так называемые псевдослучайные числа. Используя этот метод, можно проанализировать многие проблемы. Возьмем, к примеру, разработку проекта самолета. Вместо того чтобы строить десятки прототипов и испытывать их один за другим, инженеры могут имитировать их поведение на больших компьютерах. Чтобы промоделировать условия полета, которые все время меняются из-за ветра и других непредсказуемых воздействий, инженеры используют псевдослучайные числа. Эти числа генерируются компьютерами, которые сами по себе являются детерминистическими машинами, так что случайностью там и не пахнет. Эти числа на самом деле не производятся случайно, но получаются такими, как если бы мы бросали кость, поэтому их и называют «псевдослучайными». Отношение между одним псевдослучайным числом и следующим предопределено, но оно достаточно сложно для того, чтобы его можно было предугадать.

На первый взгляд кажется, что этого достаточно и что нет реальной разницы между псевдослучайными числами, которые сгенерировал компьютер, и числами, произведенными истинной случайностью. Но это неверно! Есть прототипы самолетов, которые прекрасно ведут себя при моделировании на базе псевдослучайных чисел, но в реальности летают довольно плохо[22]22
  Ferrenberg A. M., Landau D. P., Wong Y. J.: Monte Carlo simulations: Hidden errors from ‘good’ random number generators, Phys. Rev. Lett. 69, 3382 (1992); Ossola G., Sokal A. D.: Systematic errors due to linear congruential random-number generators with the Swendsen – Wang algorithm: A warning, Phys. Rev. E 70, 027701 (2004).


[Закрыть]. Такие случаи редки, но они существуют, и неважно, насколько умна и сложна программа, которая генерирует псевдослучайные числа. С другой стороны, такие патологические случаи не возникают, если числа произведены истинно случайным образом. Таким образом, существует вполне реальная разница между событиями, которые представляются случайными, вроде броска кубика, и истинно случайными, которые понадобятся нам для победы в игре Белла при запрете коммуникации. Мы также видим, что существование истинной случайности – это полезный ресурс для общества. Мы вернемся к этому в главе 7.

Истинная случайность разрешает существование нелокальности без коммуникации

Победа в игре Белла без коммуникации с необходимостью предполагает, что приборы Алисы и Боба производят результаты истинно случайным способом. Эта случайность фундаментальна и не может быть сведена к сложному детерминистическому механизму. Это означает, что природа способна на чистый акт творения!

Вместо того чтобы утверждать, как это делал Эйнштейн, что Бог не играет в кости, давайте лучше зададимся вопросом: зачем он играет в кости[23]23
  Popescu S., Rohrlich D.: Nonlocality as an axiom, Found. Phys. 24, 379 (1994).


[Закрыть]? Ответ: таким образом природа может быть нелокальной, и это не приводит к возможности коммуникации без передачи информации. В самом деле, как только мы примем факт, что природа может производить истинно случайные события, у нас не будет причин ограничивать проявление этой случайности каким-то одним хорошо локализованным местом. Истинная случайность может проявлять себя в нескольких местах сразу. Поскольку мы не можем использовать такую нелокальную случайность для коммуникации, нет причин ограничивать природу в ее проявлениях.

Мы пришли к тому, что две несопоставимые на первый взгляд концепции – случайность и локальность – в действительности тесно связаны. Если бы не было истинной случайности, локальность была бы необходима, чтобы избежать возможности коммуникации без физической передачи информации. Поэтому мы запомним, что истинная случайность существует и может проявлять себя нелокальным образом. Нужно просто привыкнуть к идее случайности, которая может проявляться в нескольких местах, то есть нелокальной случайности, которая согласовывает результаты, которые получаются в двух удаленных друг от друга местах. Необходимо встроить в наше интуитивное восприятие мира идею, что нелокальная случайность не может быть использована для коммуникации. Примерно так Алиса и Боб могут «слышать» шум, производимый странным «телефоном», – шум, который совершенно невозможно использовать для коммуникации, но который тем не менее дает нам возможность выиграть в игру Белла.

Глава 4
Невозможность квантового клонирования

Нелокальность без коммуникации имеет и другие удивительные последствия. Один из примеров – это вопрос о квантовом клонировании. В нашем случае это подобно попытке создать копию прибора Боба. Этот относительно простой пример лежит в основе квантовой криптографии и телепортации, как мы увидим в главах 7 и 8. Следовательно, на это стоит посмотреть.

Клонирование животных стало обычным делом. Без сомнения, клонирование человека не за горами и будет осуществлено до конца этого века. Оставив за скобками вполне понятную эмоциональную реакцию и скандал, который наверняка поднимется, давайте посмотрим, возможно ли клонирование в квантовом мире. Другими словами, можем ли мы скопировать физическую систему, принадлежащую к миру атомов и фотонов? Смогут ли физики создать клон, то есть идеальную копию прибора Алисы или прибора Боба?

Но давайте будем точными. Было бы довольно глупо копировать электрон, ведь все электроны строго одинаковы. Когда мы говорим о копировании книги, мы не пытаемся изготовить еще одну книгу того же формата и с тем же количеством страниц. Копия должна содержать в точности ту же информацию, то есть тот же текст и те же иллюстрации. Клон электрона, таким образом, должен нести ту же «информацию», что и оригинал, то есть иметь ту же среднюю скорость и ту же неопределимость[24]24
  В силу исторических причин физики часто называют это явление квантовой неопределенностью (uncertainty). Но так как «неопределенность» относится скорее к наблюдателю, чем к физической системе, мы предпочитаем говорить о квантовой неопределимости (см. справку 8). – Прим. авт.


[Закрыть] этой скорости, и так же для всех остальных характеристик. Только среднее положение в пространстве будет отличаться, потому что оригинал останется здесь, а клон появится там.

В этой главе мы ответим на вопрос: можно ли действительно клонировать прибор Боба? Мы уже ознакомились с содержимым приборов и знаем, что главным элементом являются кристаллы, обладающие квантовой характеристикой, которую мы назвали «запутанностью». Поэтому клонирование прибора в итоге означает клонирование этих квантовых сущностей вместе с их квантовыми свойствами.

Справка 8. Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Вернер Гейзенберг был одним из отцов квантовой теории. В частности, они известен формулировкой принципа неопределенности, согласно которому, если мы измеряем положение частицы с определенной точностью, мы с необходимостью оказываем влияние на ее скорость (импульс), и наоборот, если мы точно измеряем скорость частицы, мы с необходимостью вносим возмущение в ее положение. Поэтому мы не можем знать и положение, и скорость частицы в одно и то же время и с высокой точностью. Современная квантовая физика включила этот принцип в тот факт, что частица просто никогда не имеет точно определенного положения и точно определенной скорости. Поэтому мы предпочитаем говорить не о неопределенности, но о неопределимости[25]25
  В оригинальной работе 1927 года, написанной на немецком, Гейзенберг использовал слово Ungenauigkeit, что соответствует английскому indeterminacy и русскому «неопределимость». Только в заключении он использовал слово Unsicherheit (uncertainty, неопределенность). В англоязычной литературе устойчиво используется слово uncertainty, в русскоязычной – «неопределенность». – Прим. перев.


[Закрыть]. Мы можем сохранить слово «неопределенность» в названии принципа Гейзенберга, но должны избегать описания физических сущностей как неопределенных. Мы скажем, что они неопределимы, и неопределенность становится неопределимостью.

Квантовое клонирование разрешило бы невозможную коммуникацию

Невозможность клонирования квантовой системы – ключевое утверждение для прикладных областей, таких как квантовая криптография и квантовая телепортация (мы поговорим об этом позже). Чтобы доказать невозможность клонирования, мы будем использовать логический прием reductio ad absurdum – доказательство от противного. Мы начнем с допущения, что квантовое состояние клонировать можно, но это повлечет за собой абсурдный вывод – в данном случае о возможности коммуникации без передачи информации. Отсюда мы сможем заключить, что поскольку такая коммуникация невозможна, то и квантовое клонирование исключено.

Представим, что Боб смог клонировать свой прибор. Точнее, представьте себе, что Боб смог клонировать кристалл, который обнаружил в сердце своего прибора, учитывая, что все остальное содержимое – просто сложный механизм, который нетрудно воспроизвести. И вот перед ним два прибора, обозначим их как «левый» и «правый». У каждого прибора есть джойстик, его можно отклонять влево и вправо, и через секунду каждый из приборов выдаст результат на дисплей. Если эти два прибора действительно идеальные копии, то для каждого из них результат будет скоррелирован с результатом на приборе Алисы, причем так, что каждый из приборов выиграет вместе с Алисой игру Белла. Однако если Боб решит не выбирать одну сторону, а попробовать разные одновременно? Левый джойстик – влево, а правый – вправо. А теперь мы объясним, как Боб может вывести из своих двух результатов тот выбор, который сделала Алиса на огромном расстоянии от него.

Начнем со случая, когда показания на приборах Боба идентичны, то есть либо дважды 0, либо дважды 1. В этом случае Алиса, вероятно, выбрала x = 0. Если бы Алиса выбрала x = 1, то результат на правом приборе Боба должен был бы отличаться бы от результата Алисы (так как (x, y) = (1, 1) ⇒ a ≠ b), тогда как результат на левом приборе должен был бы совпасть с показаниями прибора Алисы ((x, y) = (1, 0) ⇒ a = b). С другой стороны, если показания на приборах Боба разные, тогда Алиса, вероятно, выбрала x = 1. В справке 9 это рассуждение проводится при помощи простой двоичной арифметики.

Справка 9. Теорема о невозможности клонирования. Пусть b_left и b_right обозначают показания с приборов Боба, левого и правого соответственно.

Выигрыш в игре Белла означает, что часто удовлетворяются следующие два равенства: a + b_left = x × y_left и a + b_right =x × y_right. Сложив их, мы получим:

a + b_left + a + b_right = x × y_left + x × y_right.

Теперь вспомним, что все эти символы представляют собой биты (0 или 1) и что суммирование выполняется по модулю 2, поэтому результат также является битом. Следовательно, a + a = 0. Мы также помним, что Боб передвигает джойстик на левом приборе влево, то есть y_left = 0, а джойстик правого прибора – вправо, то есть y_right = 1. В итоге мы получаем b_left + b_right = x. Так Боб может определить выбор Алисы x с высокой вероятностью, просто сложив два результата на своих приборах.

Следовательно, если бы Боб сумел клонировать свой прибор, он мог бы угадать выбор Алисы с высокой вероятностью, и это несмотря на то расстояние, которое их разделяет. То есть мы стали бы очевидцами коммуникации без передачи информации, причем на произвольной скорости. Некоторые могут заметить, что Боб может и ошибиться, когда угадывает выбор Алисы, ведь Алиса и Боб получают общий счет не 4, а лишь значительно больше 3. Конечно, Боб может иногда ошибаться. Однако того факта, что он угадывает правильно гораздо чаще, чем 1 раз из 2, достаточно, чтобы сделать коммуникацию возможной[26]26
  Можно доказать, что Боб правильно угадывает выбор Алисы чаще, чем 1 раз из 2, если Алиса и Боб побеждают в игре Белла чаще, чем 3 раза из 4.


[Закрыть]. Линия связи будет довольно шумной, и им придется много раз повторять посылку (при этом Алиса должна каждый раз делать один и тот же выбор), но в конце концов Боб сможет угадать выбор Алисы с почти полной уверенностью. На самом деле как раз это и происходит уже сейчас во всей цифровой коммуникации. Интернет и другие протоколы связи режут наши сообщения на маленькие кусочки, которые отсылают затем приемнику, и так как всегда есть маленькая возможность ошибки, сообщение отсылается несколько раз, пока вероятность любой ошибки не станет пренебрежимо малой.

Итак, возможность победы в игре Белла влечет невозможность клонирования квантовых систем. Физики называют это теоремой о запрете клонирования. Это исключительно важный результат квантовой физики. Ее очень просто доказать математически, но уже мы видели, что эта теорема также прямо следует из существования нелокальности без коммуникации, что еще раз подчеркивает важность этой идеи.